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第一部分 专题三 微专题3
A 组·基础练
1.(2024·福建莆田二模)带电粒子流的磁聚焦是薄膜材料制备的关键技术之一。
磁聚焦原理如图，真空中一半径为r 的圆形区域内存在垂直纸面的匀强磁场，一束
宽度为2r、沿x 轴正方向运动的带电粒子流射入该磁场后汇聚于坐标原点O。已
知粒子的质量均为m、电荷量均为q、进入磁场的速度均为v，不计带电粒子的重
力及粒子间的相互作用力。则磁感应强度的大小应为( )
A．
B．
C．
D．
【答案】 C
【解析】 利用
形区域匀
磁
粒子流的磁聚焦，需要
足：粒
圆
强
场实现对带电
满
子匀速
周运
半径与
形磁
区域的半径相等，
粒子做匀速
周运
的半径
圆
动
圆
场
设
圆
动
为R，有
则
R＝r，粒子匀速
周运
所需向心力等于洛
力，有
圆
动
伦兹
则
qvB＝m，解得
B＝，故选C。
2. (多选)(2024·安徽蚌埠模拟)如图，半径为R 的圆形区域内有一垂直于纸面向
里、磁感应强度大小为B 的匀强磁场，磁场边界上的P 点有一同种粒子源，粒子的
比荷为k，粒子以相等速率沿不同方向进入磁场，其中沿直径方向飞入的粒子在有
界磁场中偏转90°射出，粒子的重力以及粒子之间的相互作用力均可忽略，由此可
以判断( )
A．所有粒子离开磁场时的速度方向相互平行
B．粒子从P 点进入磁场时的速率为kBR
C．粒子从P 点进入磁场时的速率为
D．若粒子从射出点沿射出速度反方向以相等速率射入，一定会从P 点射出
【答案】 AB
【解析】 沿直径方向
入的粒子在有界磁
中偏
飞
场
转90°射出，根据几何关系
可知，粒子
周运
的
迹半径
圆
动
轨
为R，任意方向
入磁
的粒子其入射点、出射
则
进
场
点、
迹
心与磁
心四点构成棱形，
出射点速度方向始
垂直于入射点位
轨
圆
场圆
则
终
置磁
的半径，即所有粒子离开磁
的速度方向相互平行，故
场圆
场时
A 正确；合上
结
述可知qvB＝m，解得v＝＝kBR，故B 正确，C
；若粒子从射出点沿射出速度
错误
反方向以相等速率射入，根据左手定
可知，粒子所受洛
力方向与射出前洛
则
伦兹
力方向相反，粒子偏
方向与射出前相反，此后
迹入射点、出射点、迹
伦兹
转
轨
轨
圆
心与磁
心四点构成棱形，根据磁
聚可知，粒子将从磁
上与
场圆
汇
场圆
P 点
称的
对
点射出，故D
。故
错误
选AB。
3. (2024·山东临沂模拟)如图所示，直角三角形的AB 边长为L，∠C＝30°，三角
形区域内存在着方向垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B。一质量为
m、电荷量为q 的带正电粒子从D 点沿着垂直BC 边的方向以速度v 射入磁场，CD
间距离为L，不计粒子受到的重力。下列说法正确的是( )
A．粒子在磁场中运动的最长时间为
B．v＝时，带电粒子垂直于AC 边射出磁场
C．若粒子从BC 边射出磁场，则v<
D．若粒子从AC 边射出磁场，则v>
【答案】 B
【解析】 粒子
正
，根据左手定
可知，粒子
入磁
后将向上偏
，粒子
带
电
则
进
场
转
从BC
离开
，粒子在磁
中运
迹
的
心角最大，运
最
，当
边
时
场
动轨
对应
圆
动时间
长
轨
迹
好与
刚
AC
相切
，粒子
迹如
边
时
轨
图1 所示
由洛
力提供向心力可得
伦兹
qv1B＝m
根据几何关系可得r1＋＝L
立解得
联
r1＝，v1＝
可知粒子在磁
中运
的最
场
动
长时间为tmax＝T＝
若粒子从BC
射出磁
，
有
边
场
则
v<
若粒子从AC
射出磁
，
有
边
场
则
v>
故A、C、D
；若
粒子垂直于
错误
带电
AC
射出磁
，如
边
场
图2 所示
根据几何关系可知r2＝L
由洛
力提供向心力可得
伦兹
qvB＝m
立解得
联
v＝
故B 正确。
4.(多选)(2024·广东中山模拟)如图所示，边长为L 的等边三角形A′B′C′区
域内，存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B。若将质量为m、电荷量为q
的带正电粒子从顶点A′沿角平分线方向以不同的速率射入磁场区域内，不计粒
子重力，则( )
A．粒子可能从B′点射出
B．粒子入射速率为时，从C′点射出
C．粒子入射时的速率越大，在磁场中的运动时间一定越短
D．从A′C′边射出的粒子，出磁场时的速度方向都相同
【答案】 BD
【解析】 根据左手定
，粒子会向
则
A′C′偏
，不可能从
转
B′点射出，故A
；根据洛
力提供向心力
错误
伦兹
qvB＝m，若粒子从C′点射出，根据几何关系有r
＝L，解得粒子入射速率为v＝，故B 正确；粒子在磁
中的运
周期
场
动
为T＝，粒
设
子运
迹
的
心角
动轨
对应
圆
为θ，粒子在磁
中的运
场
动时间为t＝T＝，当粒子的速度
大于等于
，粒子都打在
时
A′C′
上，其
迹
的
心角都相等，都等于
边
轨
对应
圆
60°，
在磁
中的运
相等，
粒子入射
的速率越大，在磁
中的运
不一
场
动时间
则
时
场
动时间
定越短，从A′C′
射出的粒子，在磁
中偏
角度相同，出磁
的速度方向
边
场
转
场时
都相同，故C
，
错误
D 正确。故选BD。
5.(多选)(2024·湖南郴州模拟)如图所示，匀强磁场中位于P 处的粒子源可以沿
垂直于磁场向纸面内的各个方向发射质量为m、电荷量为q，速率为v 的带正电粒
子，P 到荧光屏MN 的距离为d，设荧光屏足够大，不计粒子重力及粒子间的相互
作用。下列判断正确的是( )
A．若磁感应强度B＝，则发射出的粒子到达荧光屏的最短时间
B．若磁感应强度B＝，则同一时刻发射出的粒子到达荧光屏的最大时间差为
C．若磁感应强度B＝，则荧光屏上形成的亮线长度为(＋)d
D．若磁感应强度B＝，则荧光屏上形成的亮线长度为(＋2)d
【答案】 ABC
【解析】 根据qvB＝m，若磁感
度
应强
B＝
由
可知，运
的
道半径
题
动
轨
R＝d
最短
，恰好弦
最短，打到
时间时
长
P 点的正左方，如
所示
图
根据几何关系，偏
的
心角
，因此运
转
圆
为
动时间为t＝＝，故A 正确；
由几何关系可知，打到
光屏
荧
MN 上最
恰好运
了个周期，迹如下
长时间
动
轨
图
所示
因此
差
时间
Δt＝＝，故B 正确；
若磁感
度
应强
B＝，
道半径
则轨
R＝2d
到达
光屏最下端的粒子的
迹是与
荧
轨
MN 相切的，
下半部分的亮
度
设
线长
为
x1，根据几何关系，有x＋(R－d)2＝R2
解得x1＝d
到达
光屏最上端的粒子与屏的交点与
荧
P 点
迹的直径，
上半部分
连线为轨
设
亮
的
度
线
长
为x2，根据几何关系，有x＋d2＝(2R)2
解得x2＝d
所以亮
的
度
线
总长
为(＋)d，故C 正确，D
。故
错误
选ABC。
B 组·综合练
6.(多选)(2024·陕西榆林一模)磁聚焦的原理图如图。通电线圈产生沿其轴线
AA′方向的匀强磁场。从A 点发出的带电粒子束初速度v0大小相等，方向与AA′
的夹角都比较小。把初速度v0沿AA′方向和垂直于AA′方向分解，沿AA′方向
的分速度v1＝v0cos θ≈v0(θ 很小时)，这表明所有粒子在沿AA′方向的分速度都相
同。在垂直AA′方向，所有粒子均做圆周运动，只要粒子的比荷相等，周期就相等
因此，所有从A 点发出的带电粒子束就能在A′点汇聚，这就是磁聚焦原理。设由
电性相反、比荷均为k 的两种粒子组成的粒子束从A 点射入该通电线圈，初速度
v0大小相等，方向与AA′的夹角相等且都很小，这些粒子在A′点汇聚在了一起。
已知该通电线圈在线圈内产生的匀强磁场的磁感应强度大小为B，忽略粒子的重
力及粒子间的相互作用，则A、A′之间的距离可能是( )
A．
B．
C．
D．
【答案】 BCD
【解析】 由于粒子束由
性相反的两种粒子
成，两种粒子在磁
中的旋
电
组
场
转
方向相反，要
聚，必
周期的整数倍，因此
实现汇
须经过
A、A′之
的距离可能是
间
Tv0、2Tv0……而不能是Tv0、…，由于qvB＝m，T＝，解得T＝＝，所以A、A′之间
的距离可能是d＝(n＝1,2,3…)，当n＝1
有
时
d＝，当n＝2
有
时
d＝，当n＝3
有
时
d
＝，故选BCD。
7.(2024·湖南娄底模拟)磁场可以对带电粒子的运动施加影响，只要设计适当
的磁场，就可以控制带电粒子进行诸如磁聚焦、磁扩散、磁偏转、磁约束与磁滞留
等运动。利用电场和磁场来控制带电粒子的运动，在现代科学实验和技术设备中
有广泛的应用，如图所示，以O 点为圆心、半径为R 的圆形区域内有垂直纸面向外
的匀强磁场，圆形区域外有垂直纸面向里的匀强磁场，两个磁场的磁感应强度大
小都是B。有一质量为m、所带正电荷电荷量为q 的带电粒子从P 点沿半径垂直磁
场射入圆形区域，粒子两次穿越磁场边界后又回到P 点，不计粒子重力，则( )
A．粒子在磁场中做圆周运动的轨迹半径为R
B．粒子从P 点射入磁场的速度大小为
C．粒子从P 点射出到第一次回到P 点所需的时间为
D．如果圆形区域外的磁场在一个以O 为圆心的圆环内，则该圆环的面积至少
为(6＋4)πR2
【答案】 D
【解析】 因
粒子两次穿越磁
界后又回到
为
场边
P 点，画出粒子
迹示意
如
轨
图
所示，粒子做
周运
的
迹半径
图
设
圆
动
轨
为r，有
则
tan 30°＝，可得r＝R，选项A 错
；由
误
qvB＝m，可得v＝，选项B
；粒子在磁
中匀速
周运
的周期
错误
场
圆
动
为T＝
＝，粒子从P 点射出到第一次回到P 点所需要的时间为t＝＋＋＝，选项C
；
错误
由几何关系可知，
的大
半径
圆环
圆
为(2＋)R，小
半径
圆
为R，所以其面积为S＝π[(2
＋)R]2－πR2＝(6＋4)πR2，选项D 正确。
8. (2024·陕西西安模拟)如图所示，在xOy 坐标系中，垂直于x 轴的虚线与y 轴
之间存在磁感应强度大小为B 的匀强磁场(含边界)，磁场方向与xOy 平面垂直。一
质子束从坐标原点射入磁场，所有质子射入磁场的初速度大小不同但初速度方向
都与x 轴正方向成α＝53°角向下。PQ 是与x 轴平行的荧光屏(质子打到荧光屏上
不再反弹)，P、Q 两点的坐标分别为P(0,0.4l)，Q(l,0.4l)。已知质子比荷＝k，sin 53°
＝0.8。求：(结果均可用分数表示)
(1)质子在磁场中运动的最长时间是多少；
(2)如果让荧光屏PQ 发光长度尽可能长且质子的运动轨迹未出磁场，质子初
速度大小的取值范围是多少。
【答案】 (1) (2)≤v≤
【解析】 (1)
子能打到
质
y
上
，在磁
中运
的
最
，如
轴
时
场
动
时间
长
图1 所示
由周期公式T＝
又由几何关系可知θ＝2(90°－α)
粒子在磁
中运
的最
则
场
动
长时间
t＝T＝。
(2)当
子
迹与
质
轨
PQ 相切
，如
时
图1 所示，此
初速度
设
时
为v1，迹半径
轨
为R，
由几何关系可得R＋Rcos α＝0.4l
又qBv1＝
解得v1＝＝
当粒子运
迹与磁
界相切
，如
动轨
场边
时
图2 所示，
此
初速度
设
时
为v2，
迹半径
轨
为R′，由几何关系可得R′＋R′sin α＝l
又qBv2＝
解得v2＝＝
上可得
综
≤v≤。
9.(2024·天津模拟)在以坐标原点O 为中心、边长为l 的正方形EFGH 区域内，
存在磁感应强度为B、方向垂直于纸面向外的匀强磁场，如图所示。在A 处有一个
粒子源，可以连续不断地沿＋x 方向射入速度不同的带电粒子，且都能从磁场的上
边界射出。已知粒子的质量为m，电荷量为q，不计重力，不考虑粒子间的相互作用
求：
(1)粒子所带的电性；
(2)从E 点射出的粒子的速度大小v；
(3)若粒子以速度v′＝射入磁场，粒子在磁场中运动的时间t。
【答案】 (1)负电 (2) (3)
【解析】 (1)根据左手定
，粒子
。
则
带负电
(2)根据牛
第二定律得
顿
qvB＝m
根据
意得
题
r＝l
解得v＝。
(3)若粒子以速度v′＝射入磁
，根据牛
第二定律得
场
顿
qv′B＝m
解得r′＝l
根据几何关系得cos θ＝
解得θ＝60°
粒子在磁
中运
的
场
动
时间t
t＝T
T＝
解得t＝。
10.(2024·山东临沂模拟)如图所示，在xOy 平面内的第一象限内存在一有界匀
强磁场(未画出)，磁感应强度大小为B、方向垂直于xOy 平面向外。一束质量为m、
电荷量为＋q 的粒子以不同的速率从O 点沿xOy 平面内的OP 方向发射，沿直线
飞行到P 点时进入有界匀强磁场区域，O、P 两点间的距离为L，OP 连线与x 轴正
方向的夹角α＝30°，所有粒子在离开磁场后最终都能从x 轴上垂直x 轴射出，若速
度最大的粒子A 从x 轴上的Q 点以速度vm(未知)射出，且射出之前都在磁场内运
动，粒子所受的重力忽略不计，求：
(1)vm的大小；
(2)粒子A 在匀强磁场中运动的时间；
(3)有界匀强磁场区域的最小面积。
【答案】 (1) (2) (3)L2
【解析】 (1)粒子的运
迹如
动轨
图
粒子
设
A 在磁
中做
周运
的半径
场
圆
动
为Rm，由几何关系得Rm＝L
粒子在磁
中的
周运
，由洛
力提供向心力，
有
场
圆
动
伦兹
则
qvmB＝m
解得vm＝。
(2)粒子做匀速
周运
，
有
圆
动
则
qvB＝m
周期为T＝
解得T＝
由运
迹可知，粒子
动轨
A
磁
后的偏
角
经过
场
转
为120°，
粒子
则
A 在磁
中运
场
的
动
时间
t＝T＝T
解得t＝。
(3)由几何关系可知三角形PO1Q 的面积
S1＝Rsin 120°
120°
心角
的扇形面
圆
对应
积
S2＝πR
由数理
律可知，磁
区域的最小面
中阴影部分面
，其面
规
场
积为图
积
积
ΔS＝S2－S1＝L2。
