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2025 年高考数学终极押题猜想
（高分的秘密武器：终极密押+押题预测）
押题猜想一 函数的性质...................................................................................................................................1
押题猜想二 向量的最值问题...........................................................................................................................3
押题猜想三 函数的零点问题...........................................................................................................................4
押题猜想四 圆锥曲线的离心率计算...............................................................................................................5
押题猜想五 圆锥曲线的面积问题...................................................................................................................6
押题猜想六 条件概率的计算...........................................................................................................................8
押题猜想七 解三角形（正余弦定理结合三角恒等变换）...........................................................................9
押题猜想八 外接球，内切球，棱切球.........................................................................................................11
押题猜想九 立体几何中的不规则图形.........................................................................................................12
押题猜想十 数列不等式证明（结合奇偶项求和）.....................................................................................15
押题猜想十一 利用导数研究双变量问题.....................................................................................................17
押题猜想一 函数的性质
限时：2min
已知函数
是定义在上
的偶函数，若对于任意不等实数
，不等式
恒成立，则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
或
押题解读
从近五年的高考情况来看，本部分多以单选题呈现，函数的单调性、奇偶性、周期性是高考的必考内
容，重点关注单调性、奇偶性结合在一起，与函数图像、函数零点和不等式相结合进行考查，解题时
要熟练掌握基本函数图像及其变换规律，深入理解函数性质的定义与应用.本题利用函数性质解不等式
是今年高考的热点之一.
1．函数
的图象大致为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．已知
是奇函数，则
（ ）
A．
B．0
C．1
D．2
3．已知奇函数
的定义域为
，若
为偶函数，且
，则
的值为（ ）
A．
B．0
C．1
D．2
4．已知函数
的图象如图所示，则
的解析式可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
押题猜想二 向量的最值问题
限时：4min
已知在平行四边形ABCD 中，
，
，
，F 是线段AD 的中点，
．若
，
AE 与BF 交于点N，
，则
的值为 ．若
，则
的最小值是
．
押题解读
本部分多以填空题呈现，天津卷近年高频出现的向量与函数、几何结合的最值题，如利用向量模长、
夹角公式或坐标法求解距离、面积最值。掌握向量坐标化与几何转化的双路径，活用不等式（如柯西
不等式）和三角函数有界性，注意几何意义（如投影、对称性分析）简化计算，避免方向错误或漏解。
本题考查数量积的最值，是今年高考的热点之一.
1．如图，已知矩形
的边
，
，点
，
分别在边
，
上.若
，
，
则用
和
表示
；若
，则
的最小值为 .
2．平面四边形
中，
，
，
，点
为线段
的中点．
（I）若
，则
；
（II）
的取值范围是 ．
3．已知平面四边形
满足
，
且
，
为
的中点，则
，若
、
分别为线段
、
上的动点，且满足
，则
的最小
值为 .
4．在边长为
的菱形
中，
，且
，
，则
；若
为线段
上的动点，则
的最小值为 ．
押题猜想三 函数的零点问题
限时：4min
若关于
的方程
有两个不相等的实根，则实数
的取值范围是 .
押题解读
本部分多以填空题呈现，主要综合考查函数图像、方程根与代数运算能力，契合高考对基础概念应用
的重视。天津卷近年多次出现结合二次函数、指数函数或含参函数讨论零点个数、分布区间或数值计
算问题。熟记零点存在定理，掌握图像交点分析法，利用导数预判单调性及极值点辅助判断零点数量，
注意含参问题需分情况讨论端点值、判别式或极限趋势，填空题可快速代入特殊值验证或利用对称性
简化计算。本题考查分段函数零点个数问题，是今年高考的热点之一
1．若函数
有且仅有一个零点
，且
，则实数
的取值范围为
.
2．函数
，若
恰有三个零点，则实数
的取值范围是 ．
3．已知
，若方程
有四个不同的实数根，则实数
的
取值范围为 ．
4．定义函数
，
，若
至少有
个不同的实数解，则实数
的取值范围是 ．
押题猜想四 圆锥曲线的离心率计算
限时：2min
设双曲线
的左、右顶点分别是
，点
是
的一条渐近线上一点，若
，则
的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．4
押题解读
圆锥曲线的离心率问题是高考中的一个难点和热点．因为离心率是刻画圆锥曲线形状的一个基本量，
能考查考生对圆锥曲线形状最本质的理解，考查数学抽象、数学建模、数学运算等数学核心素养，灵
活多变，综合性强．求椭圆或双曲线的离心率、与双曲线的渐近线有关的问题，多以选择、填空题的
形式考查，难度中等，是高考常用的考查形式．双曲线的离心率是今年高考的热点之一.
1．已知
是双曲线
的左焦点，
为坐标原点，过点
且斜率为
的直线与
的右支交于点
，与左支交于点
，则
离心率为 （ ）
A．2
B．3
C．
D．
2．已知
为坐标原点，双曲线
的左右焦点分别为
，
，双曲线上一点
满足
，且
，则
的离心率为（ ）
A．
B．
C．2
D．
3．已知双曲线
为
的左顶点，抛物线
的准线与
轴交于
．若在
的渐近线上存在点
，使得
，则
的离心率的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．已知
是双曲线
的右焦点，过点
的直线与双曲线
的一条渐近线垂直，
垂足为
，且直线与双曲线
的左支交于点
，若
，则双曲线
的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
押题猜想五 圆锥曲线的面积问题
限时：2min
已知椭圆
的离心率为
，且过点
．
(1)求椭圆
的标准方程；
(2)已知点
，过点
作直线（不与
轴重合）交椭圆
于
，连接
交
于点
，连接
，直线
与
轴交于点
．
（i）求
的值；
（ii）若点
在线段
上，求
的取值范围．
押题解读
本部分多以解答题呈现，圆锥曲线面积问题的题目思路会比较顺畅，重点会在计算上面设置障碍，要
利用几何关系转换所求的面积，复习过程中要关注如何简化计算和转化思想．椭圆的面积比问题是今
年高考的热点之一.
1．椭圆
的左、右焦点分别为
和
，左顶点为
，下顶点为
.
(1)求椭圆的离心率；
(2)已知过
的直线与椭圆交于
两点，若在直线
上存在一点
，使得
为面积是
的
等边三角形，求直线的方程与椭圆的标准方程.
2．已知椭圆
的左、右顶点为
、
，左焦点为
，离心率为
，过点
且垂直
于
轴的直线被椭圆
截得的线段长为
．
(1)求椭圆
的标准方程；
(2)过点
的直线交椭圆
于
，
两点（其中点
在
轴上方），求
与
的面积之比的取值
范围．
3．椭圆
的左焦点为
，离心率为
．
(1)求椭圆
的方程；
(2)若椭圆
的右顶点为
，点
的坐标为
，过点
的直线与椭圆
交第一象限于点
，与线段
交于点
．若三角形
的面积是三角形
面积的5 倍（
为坐标原点），求直线的方程．
4．已知椭圆
的左焦点为
，右焦点为
，离心率
． 过
且斜率为
的直线交椭圆
于
、
两点，
的周长为．
(1)求椭圆
的方程；
(2)过点
且垂直于
的直线与椭圆
的一个交点为
(
在
轴上方)，过点
且平行于
的直线与椭圆
交于另一点
，问：是否存在直线，使得四边形
为平行四边形？若存在，求出此时四边形
的面积；若不存在，说明理由．
押题猜想六 条件概率的计算
限时：2min
第十五届中国国际航空航天博览会在2024 年11 月12 日至17 日在广东珠海举行.此次航展，观众累计参观
近60 万人次，签约金额超2800 亿人民币.为庆祝这一盛会的成功举行，珠海某商场决定在航展期间举行
“购物抽奖送航模”活动，奖品为“隐形战机歼-20S”模型.抽奖规则如下：盒中装有7 个大小相同的小球，
其中3 个是红球，4 个是黄球.每位顾客均有两次抽奖机会，每次抽奖从盒中随机取出2 球，若取出的球颜
色不相同，则没有中奖，小球不再放回盒中，若取出的球颜色相同，则中奖，并将小球放回盒中、某顾客
两次抽奖都中奖的概率为 ；该顾客第一次抽奖没有中奖的条件下，第二次抽奖中奖的概率为
.
押题解读
本部分多以填空题呈现，主要综合考查逻辑推理与概率公式的应用能力，契合高考对数学思维严谨性
的要求。天津卷高频出现的以独立事件、排列组合或几何概率为背景的条件概率题。这类题主要利用
独立性简化计算，复杂问题可画树状图梳理事件关系，注意题目中“至少”“至多”等关键词的转化，
本题条件概率背景下概率与实际生活密切联系，是今年高考的热点之一
1．石室校园，望楼汉阙，红墙掩映，步移景异！现有甲、乙、丙、丁四位校友到“文翁化蜀”、“锦水
文风”、“魁星阁”、“银杏大道”4 处景点追忆石室读书时光.若每人只去一处景点，设事件
为“4 个
人去的景点各不相同”，事件
为“只有甲去了锦水文风”，则
，
.
2．某大学开设了“九章算术”，“数学原理”，“算术研究”三门选修课程．甲、乙、丙、丁四位同学
进行选课，每人只能等可能地选择一门课程，每门课程至少一个人选择，甲和乙选择的课程不同，则四人
选课的不同方案共有 种；若定义事件
为甲和乙选择的课程不同，事件
为丙和丁恰好有一人选
择的是“九章算术”，则
．
3．袋子中装有8 球，其中6 个黑球，2 个白球，若依次随机取出2 个球，则在第一次取到黑球的条件下，
第二次取到白球的概率为 ；若随机取出3 个球，记取出的球中白球的个数为
，则
的数学期
望
.
4．长时间玩手机可能影响视力，据调查，某学校学生中大约有
的学生，每天玩手机超过1 小时，这些人
近视率约为
，其余学生的近视率约为
，现从该校任意调查一名学生，他近视的概率大约是 .
押题猜想七 解三角形（正余弦定理结合三角恒等变换）
限时：8min
在
中，角A、B、C 的对边分别为a、b、c，
．
(1)求
；
(2)若
的面积为
，且
，
（ⅰ）求
的周长；
（ⅱ）若
，求
．
押题解读
本部分多以解答题呈现，主要综合考查三角函数、几何关系与代数变形能力，契合高考对多知识点融
合的要求。解决这类题要熟记定理公式，掌握“边角互化”技巧，如用正弦定理将边化为角，再用余
弦定理联立方程；复杂问题可尝试用辅助角公式或方程思想，注意多解情况需验证三角形存在性。本
题综合利用正余弦定理解决面积与周长问题，是今年高考的热点之一
1．在
中，内角
，
，
所对的边分别为
，
，，已知
．
(1)求角
的大小；
(2)设
，
．
（i）求
的值；
（ii）求
的值．
2．在
中，内角
所对的边分别是
，已知
，
，
(1)求b，c 的值；
(2)求
的值；
(3)求
的值．
3．在
中，角
所对的边分别为
，已知
的面积为
，
，
.
(1)求
的值；
(2)求
的值；
(3)求
的值.
4．在
中，内角
的对边分别为
，且
．
(1)求边
的长；
(2)求
的值；
(3)求
的值．
押题猜想八 外接球，内切球，棱切球
限时：4min
已知正四面体
（四个面都是正三角形），其内切球（与四面体各个面都相切的球）表面积为
，设
能装下正四面体
的最小正方体的体积为
，正四面体
的外接球（四面体各顶点都在球的表面
上）体积为
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
押题解读
本部分多以选择题呈现，主要综合考查空间想象、几何推导与代数运算能力，契合高考对多能力融合
的要求。天津卷近年多次出现的复杂几何体（如棱柱、棱锥）相关球问题，如求球半径、体积或证明
球与几何体的位置关系。要熟记三类球的定义（外接球球心到顶点距离相等，内切球球心到面距离相
等，棱切球球心到棱距离相等），掌握几何公式（如球体积、点到面距离），利用对称性简化计算，
复杂问题可补形为长方体或分析截面特性，注意多解情况需结合几何约束验证。本题综合考查与球相
关的外接与内切问题，是今年高考的热点之一
1．已知
，
，
为球
的球面上的三个点，
为
的外接圆，若
的面积为
，
，则球
的表面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．直三棱柱
的各条棱长均为2，
为棱
中点，则点
到直三棱柱
的外接球
球心的距离是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．六氟化硫，化学式为
，在常压下是一种无色、无味、无毒、不燃的稳定气体，有良好的绝缘性，在
电器工业方面具有广泛用途．六氟化硫分子结构为正八面体结构（正八面体是每个面都是正三角形的八面
体），如图所示．若此正八面体的棱长为
，则下列说法正确的是（ ）
A．正八面体的体积为
B．正八面体的表面积为
C．正八面体的外接球体积为
D．正八面体的内切球表面积为
4．球与棱长为
的正四面体各条棱都相切，则该球的表面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
押题猜想九 立体几何中的不规则图形
限时：10min
在如图所示的几何体中，四边形
为矩形，
平面
，其中
是棱
的中点.
(1)求证：
平面
；
(2)求直线
与平面
夹角的正弦值；
(3)求点
到平面
的距离；
押题解读
本部分多以解答题呈现，立体几何中的不规则图形问题是一个由抽象到直观，由直观到抽象的过程．
高考中，立体几何中的不规则图形常与空间中的平行、垂直、空间角及距离相结合命题．因此，关注
立体几何中的不规则图形问题是非常有必要的，也是今年高考的热点之一.
1．如图，在多面体ABCDGEF 中，四边形ABCD 为直角梯形，且满足
，
，
，
，
平面ABCD．
(1)证明：
平面CDE；
(2)求平面CDE 与平面ABE 夹角的余弦值；
(3)在线段BE 上是否存在一点P，使得直线DP 与平面ABE 所成角的正弦值为
？若存在，求
的值；
若不存在，说明理由．
2．如图，在多面体
中，侧面
为矩形，
平面
，
平面
，
，
，
.
(1)求直线
与平面
所成角的正弦值；
(2)求平面
与平面
的夹角的余弦值；
(3)求点
到平面
的距离.
3．如图，四边形
是正方形，
平面
，
，
，
、
、
分别为
、
、
的中点．
(1)求证：
平面
；
(2)求平面
与平面
夹角的大小；
(3)在线段
上是否存在一点
，使直线
与直线
所成的角为
？
4．如图，在直五棱柱
中，
，
，
，
，
，
.
(1)求证：
；
(2)求平面
与平面
的夹角余弦值；
(3)求点
到平面
的距离.
押题猜想十 数列不等式证明（结合奇偶项求和）
限时：15min
已知数列
的前
项和
，
，
，
.设数列
的前
项和为
，且
，
(1)求
的通项公式；
(2)求
；
(3)求证：
.
押题解读
本部分多以解答呈现，主要在于其综合考查分类讨论、归纳推理与代数变形能力，契合高考对思维严
谨性的要求。天津卷近年多次出现的需分奇偶项处理的数列问题，如递推公式含周期性因子或奇偶项
规律不同，需分别求和并比较大小。数列常与不等式结合，如比较大小、不等式恒成立、求参数范围
等问题，需要熟练应用不等式知识解决数列中的相关问题．本题数列不等式证明与奇偶项求和相结合，
是今年高考的热点之一
1．已知数列
为等差数列，数列
为等比数列，且
，
，
，
，
．
(1)求数列
和
的通项公式；
(2)已知
，求数列
的前
项和
；
(3)当
时，设集合
，集合
中元素的个数记为
，
求数列
的通项公式．
2．已知等差数列
的前n 项和为
是公比大于0 的等比数列
且
成等差数列.
(1)求数列
和
的通项公式；
(2)设
求
；
(3)对于数列
在
和
之间插入数列
的前k 项
组成一个新的数列
：
…，求
.
3．若无穷数列
满足：对于
，
，其中A 为常数，则称数列
为“A 数列”．
(1)若等比数列
为“A 数列”，求
的公比q；
(2)若数列
为“A 数列”，且
，
．
①求证：
；
②若
，且
是正项数列，
，求满足不等式
的
的最小值．
4．已知数列
是正项等比数列，
是等差数列，且
.
(1)求
和
的通项公式；
(2)
表示不超过
的最大整数，
表示数列
的前
项和，集合
共有4 个元素，求实数
的取值范围；
(3)
，数列
前
项和为
，求证：
.
押题猜想十一 利用导数研究双变量问题
限时：15min
已知函数
，
.
(1)求函数
在
处的切线方程；
(2)若
，
（i）当
时，求函数
的最小值；
（ii）若
有两个实根
，
，且
，证明：
.
押题解读
本部分多以解答题呈现，天津卷高考常考双变量不等式，双变量问题更是综合考察数学建模和逻辑推
理的载体。要掌握构造函数技巧，如将双变量转化为单变量函数，利用导数求极值、分析单调性，结
合放缩法或比值代换简化证明。天津卷注重基础综合应用，此类题常作为压轴出现，考察学生灵活运
用导数的能力，备考时需强化构造思维和导数工具的应用训练。本题利用比值代换简化证明，是今年
高考的热点之一.
1．已知函数
.
(1)求曲线
在其零点处的切线方程；
(2)若方程
有两个解
，且
.
（i）求实数
的取值范围；
（ii）若
恒成立，求实数
的取值范围.
2．已知函数
，
.
(1)求曲线
在
处的切线方程；
(2)若
对任意的
恒成立，求实数
的取值范围；
(3)若
有三个零点
，
，
，且
，求证：
.
3．已知函数
.
(1)当
时，直线
（
为常数）与曲线
相切，求
的值；
(2)若
恒成立，求
的取值范围；
(3)若
有两个零点
，求证：
.
4．已知函数
．
(1)讨论
的单调区间；
(2)已知
，设
的两个极值点为
，且存在
，使得
的图象与
有三
个公共点
；
①求证：
；
②求证：
．
5．已知函数
，
．
(1)当
时，求曲线
在
处的切线方程；
(2)求
的单调区间；
(3)设
是函数
的两个极值点，证明：
．
