文档文本内容
微专题19 带电粒子在磁场中的临界、极值、多解问题
跟踪练习
基础过关
一．选择题：
1.如图所示，在x 轴的上方(y≥0)存在着垂直于纸面向里的匀强磁场（未画
出），磁感应强度大小为B。在原点O 有一个离子源向x 轴上方的各个方向发
射出质量为m、带电荷量为q 的正离子，速率都为v。对那些在xOy 平面内运动
的离子，在磁场中可能到达的位置中离x 轴及y 轴最远距离分别为( )
A． B．
C． D．
2.如图所示，半径为r 的圆形区域内有垂直纸面向里的
匀强磁场，磁感应强度大小为B。磁场边界上A 点有一粒
子源，源源不断地向磁场发射各种方向（均平行于纸面）且速
度大小相等的带正电的粒子（重力和粒子间的相互作用力不
计），已知粒子的比荷为k，速度大小为2kBr。则粒子在磁场
中运动的最长时间为( )
A． B． C． D．
3.（2025·江西模拟预测）如图所示，在半径为R、圆心为O 的半圆形区域
内存在垂直纸面向里、磁感应强度大小为B 的匀强磁场，带电荷量为－q、质量
为m 的粒子（不计所受重力）从O 点沿纸面各个方向射入匀强磁场后，均从
OC 段射出磁场，下列说法正确的是( )
A．粒子射入磁场时的最大速度为
B．粒子射入磁场时的最大速度为
C．粒子在磁场中运动的最长时间为
D．粒子在磁场中运动的最长时间为
4.如图所示，边长为L 的正方形区域abcd 中充满匀强磁场，
磁场方向垂直于纸面向里。一带电粒子从ad 边的中点M
垂直于ad 边、以一定速率射入磁场，仅在洛伦兹力的作
用下，正好从ab 边中点N 射出磁场。忽略粒子受到的重
力，下列说法正确的是( )
A．若仅将粒子射入磁场的速度增大为原来的2 倍，
则粒子将从b 点射出
B．若仅将粒子射入磁场的速度增大为原来的2 倍，则粒子在磁场中运动的
时间也增大为原来的2 倍
C．若仅将磁感应强度的大小增大为原来的2 倍，则粒子将从a 点射出
D．若仅将磁感应强度的大小增大为原来的2 倍，则粒子在磁场中运动的时
间也增大为原来的2 倍
5.如图所示，在荧光板MN 的上方分布了水平方向的匀强磁场，磁感应强度
大小为B，方向垂直纸面向里。距荧光板d 处有一粒子源S，能够在纸面内不断
均匀地向各个方向发射速度大小为v＝、电荷量为q、质量为m 的带正电粒子，
不计粒子的重力，已知粒子源发射粒子的总个数为N，则( )
A．粒子能打到板上的区域长度为2d
B．打到板上的粒子数为N
C．从粒子源出发到板的最短时间
D．同一时刻发射的粒子打到荧光板上的最大
时间差为
6.（多选）如图所示，等腰直角三角形区域分布有垂直纸面向里的匀强磁场，
腰长AB＝2 m，O 为BC 的中点，磁感应强度B＝0.25 T，一群质量m＝1×10-7
kg、电荷量q＝－2×10-3 C 的带电粒子以速度v＝5×103 m/s 垂直于BO，从
BO 之间射入磁场区域，带电粒子不计重力，则(
)
A．在AC 边界上有粒子射出的长度为（－1） m
B．C 点有粒子射出
C．在AB 边界上有粒子射出的长度为1 m
D．磁场中运动时间最长的粒子从底边距B 点（－1） m 处入射
7.（多选）如图所示，挡板MN 位于水平面x 轴上，在第一、二象限y≤L
区域内存在磁感应强度为B 的矩形匀强磁场，磁场方向垂直纸面向外。在MN 上
O 点放置了粒子发射源，能向第二象限各个方向发射速度大小为v0＝的带正电
同种粒子，已知粒子质量为m、电荷量为q，不计粒子的重力和粒子间的相互作
用，粒子打到挡板上时均被挡板吸收，以下说法正确的是( )
A．所有粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径均为
B．粒子在磁场中运动的最长时间为
C．所有粒子运动的区域面积为πL2
D．所有粒子运动的区域面积为
8.（多选）如图所示，坐标原点O 处有一粒子源，
能向坐标平面第一、二象限内发射大量质量为m、电荷量为q 的正粒子（不计重
力），所有粒子速度大小相等。圆心在(0，R)，半径为R 的圆形区域内，有垂
直于坐标平面向外的匀强磁场，磁感应强度为B，磁场右侧有一点A（2R，
R），已知初速度沿y 轴正方向的粒子经过磁场后，粒子的速度方向沿x 轴正方
向，则( )
A．初速度方向与x 轴夹角为120°的粒子经过A 点
B．初速度方向与x 轴夹角为135°的粒子经过A 点
C．经过A 点的粒子在磁场中运动的时间为
D．经过A 点的粒子在磁场中运动的时间为
能力提升
一．选择题：
9.（多选）如图所示，P、Q 为一对水平放置的平行板，板长与板间距离均
为d，板间区域内充满匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向里。一
质量为m、电荷量为q 的粒子（重力不计），以水平初速度v0从P、Q 两板间
左侧中央沿垂直磁场方向射入，粒子打到板上，则初速
度v0大小可能为( )
A． B．
C． D．
10.（多选）如图所示，A 点的离子源沿纸面垂直OQ
方向向上射出一束负离子，离子的重力忽略不计，忽略
离子间的相互作用。为把这束负离子约束在OP 之下的区域，可加垂直纸面的
匀强磁场。已知O、A 两点间的距离为s，负离子的比荷为，速率为v，OP 与
OQ 间的夹角为30°，则所加匀强磁场的磁感应强度B 的大小和方向可能是(
)
A．B>，垂直纸面向里
B．B>，垂直纸面向里
C．B>，垂直纸面向外
D．B>，垂直纸面向外
11.（多选）（2025·山西晋中质检）如图所示，有以O 为圆心，半径分别为
R1、R2的同心圆，R1＝2R0，R2＝R0，在圆环区域内有垂直于纸面向外的匀强磁
场。一电荷量为＋q、质量为m 的粒子从内圆上的A 点以速度v0垂直磁场进入
该区域，之后从OA 的延长线与外圆的交点C 射出，方向与OA 延长线成30°角，
不计粒子重力，下列说法正确的是( )
A．环形区域磁场的磁感应强度大小为
B．粒子在磁场中运动的时间为
C．若粒子从A 点垂直磁场进入时的速度大小为v，
方向不确
定，要使粒子一定能够从外圆射出，磁感应强度大小需
小于
D．若粒子从A 点垂直磁场进入时的速度大小为v，方向不确定，要使粒子
一定能够从外圆射出，磁感应强度大小需小于
二．计算题：
12.电子质量为m，电荷量为e，从坐标原点O 处沿xOy 平面射入第一象限，
射入时速度方向不同，速度大小均为v0，如图所示。现在某一区域加一方向向
外且垂直于xOy 平面的匀强磁场，磁感应强度为B，若这些电子穿过磁场后都
能垂直射到荧光屏MN 上，荧光屏与y 轴平行，求：
(1)荧光屏上光斑的长度；
(2)所加磁场范围的最小面积。
培优训练
一．计算题：
13.如图所示，在x 轴上方有一匀强磁场，磁感应强度为B；x 轴下方有一匀
强电场，电场强度为E，屏MN 与y 轴平行且相距L。一质量为m、电荷量为e
的电子，在y 轴上某点A 自静止释放，如果要使电子垂直打在屏MN 上，那么：
(1)电子释放位置与原点O 的距离s 需满足什么条件？
(2)电子从出发点到垂直打在屏上需要多长时间？
参考答案：
1.A 解析 若让沿x 轴正方向射出的离子的轨迹圆绕O 点缓慢转动（如图
所示），不难得出离y 轴最远为|x|＝2r＝，离x 轴最远为y＝2r＝，所以A 项正
确。
2.C 解析 粒子在磁场中运动的半径为R＝＝＝2r；当粒子在磁场中运动
时间最长时，其轨迹对应的圆心角最大，此时弦长最大，最大值为圆磁场的直
径，则圆心角最大为，故粒子在磁场中运动的最长时间t＝＝＝，故选项C 正确。
3. D 解析 如图所示，当离子轨迹与半圆形边界相切时，离子轨迹半径最
大，则有rm＝，由洛伦兹力提供向心力可得qvmB＝m，可得粒子射入磁场时的
最大速度为vm＝，粒子在磁场中运动的最长时间为tm＝T＝，故A、B、C 错误，
D 正确。
4. C 解析 由题意结合左手定则可知，粒子带正电，带电粒子在磁场中由
洛伦兹力提供向心力，做匀速圆周运动，如图所示，则有Bqv＝m，r＝，T
＝，若粒子射入磁场的速度增大为原来的2 倍，即v′＝2v，则粒子的半径将增
大为原来的2 倍，由图可知，粒子不会从b 点射出，A 错误；粒子在磁场中运
动的周期为T＝，由图可知，若粒子射入磁场的速度增大为原来的2 倍，则粒
子的半径将增大为原来的2 倍，可粒子在磁场中运动的圆心角将减小，周期不
变，则粒子在磁场中运动的时间将减小，B 错误；若仅将磁感应强度的大小增
大为原来的2 倍，则粒子的运动半径将减小为原来的，将从a 点射出，C 正确；
结合C 选项，由T＝可知，若仅将磁感应强度大小增大为原来的2 倍，粒子在
磁场中运动的周期T′＝，在磁场中运动时间t＝，与从N 点射出时的运动时间
相同，即时间将不变，D 错误。
5. D 解析 根据洛伦兹力提供向心力，有qvB＝m，粒子运动半径R＝＝
d，粒子运动到荧光板的两种临界情况如图所示，SC 垂直于MN，由几何关系
可知，左侧最远处与S 之间的距离恰好是圆的直径，则左侧最远处A 与C 的距
离为d，右侧最远处B 与C 的距离为d，所以粒子能打在板上的区域长度是（＋
1）d，故A 错误；粒子在磁场中运动时间最长和最短的运动轨迹如图所示，粒
子做完整圆周运动的周期T＝，由几何关系可知最短时间t2＝T＝＝，故C 错误；
粒子在磁场中运动的最长时间t1＝T＝＝，则Δt＝t1－t2＝＝，故D 正确；当向
垂直于板竖直方向左侧发射时，均可打到板上，而向垂直于板竖直方向右侧发
射时，打不到板上，所以打到板上的粒子数为N，故B 错误。
6. ACD 解析 粒子在磁场中偏转，根据洛伦兹力提供向心力，有qvB＝
m，粒子在磁场中运动的轨道半径为R＝＝ m＝1 m，作出粒子在磁场中的运动
轨迹图，如图所示。由图可知，能从AC 边射出的粒子长度为DE＝R－R＝
（－1） m，故A 正确；粒子不可能到达C 点，故B 错误；由图可知，在AB
边界上有粒子射出的长度为BF＝R＝1 m，故C 正确；磁场中运动时间最长的
粒子运动半个圆周，轨迹与AB、AC 相切，由图可知从底边距B 点（－1） m
处入射，故D 正确。
7. AC 解析 由洛伦兹力提供向心力有qBv0＝m，解得r＝，A 正确；粒
子在磁场中运动的最长时间为t＝T＝，B 错误；所有粒子运动的区域面积为图
中阴影部分面积，由几何关系有S＝πr2＋π(2r)2＝πL2，C 正确，D 错误。
8. AC 解析 初速度沿y 轴正方向的粒子经过磁场后，粒子的速度方向沿x
轴正方向，则粒子的轨迹半径r＝R，由qvB＝，可得粒子轨迹半径均为R，结
合题意和几何关系可知，平面第一、二象限射入的粒子从磁场射出时，速度一
定沿x 轴正方向，经过A 点的粒子在磁场中运动的轨迹如图所示，根据几何关
系有R＋R sin (α－90°)＝R，解得α＝120°，故A 正确，B 错误；该粒子在
磁场中的运动的时间为t＝×＝，故C 正确，D 错误。
9. BC 解析 设粒子带正电，根据左手定则可判断粒子刚进入板间时所受
洛伦兹力向上，由于粒子不计重力，粒子在洛伦兹力的作用下做匀速圆周运动，
由洛伦兹力提供向心力有qvB＝m，解得r＝，由题意知粒子在偏转以后打在板
上，若粒子恰好未打在板上，与极板平行从左端射出，由几何关系知半径r1
＝，速度v1＝；若粒子恰好从极板右端飞出，由几何关系知半径r2与d 之间关
系为r＝d2＋（r2－）2，解得r2＝d，速度v2＝，粒子要打在极板上，则初速度
v0应满足的条件为<v0<，故A、D 错误，B、C 正确。
10.BD 解析 当磁场方向垂直纸面向里时，离子恰好与OP 相切的轨迹如
图甲所示，切点为M，设轨迹半径为r1，由几何关系可知sin 30°＝，可得r1＝
s，由r1＝可得B1＝；当磁场方向垂直纸面向外时，其临界轨迹与OP 相切于N
点，如图乙所示，设轨迹半径为r2，由几何关系可知s＝＋r2，得r2＝，又r2
＝，所以B2＝，综合上述分析可知，选项B、D 正确，A、C 错误。
11.AD 解析 如图1，由几何关系可得粒子在磁场中做圆周运动的半径R＝
R0，则由Bqv＝m 可得B＝，A 正确；A 到C 运动的时间t＝，T＝，可得t＝，
B 错误；磁感应强度越大，轨道半径越小，如图2，由临界关系可得r1＝R0，则
B1＝，r2＝R0，则B2＝，则磁感应强度的最大值为B2＝，所以C 错误，D 正确。
12.答案 (1) (2) （）2
(1)解析 如图所示，初速度沿x 轴正方向的电子，沿弧OB 运动到P 点，P
为荧光屏上光斑的最高点；初速度沿y 轴正方向的电子，沿弧OC 运动到Q 点，
为荧光屏上光斑的最低点。电子在磁场中做匀速圆周运动
由牛顿第二定律得ev0B＝m 解得R＝
光斑长度PQ＝R＝ 。
(2)所加磁场的最小面积是以O′为圆心、R 为半径的斜线部分，其面积大小为
S＝ πR2＋R2－ πR2＝ （）2。
13.答案 (1)s＝(n＝0，1，2，3，…)
(2) ＋(2n＋1)(n＝0，1，2，3，…)
(1)解析 在电场中，电子从A→O，由动能定理得eEs＝mv
在磁场中，电子做匀速圆周运动，有qv0B＝m
据题意，有(2n＋1)r＝L
所以s＝(n＝0，1，2，3，…)。
(2) 在电场中做匀变速直线运动的时间与在磁场中做圆周运动的时间之和
为电子总的运动时间
t＝(2n＋1)＋＋n 其中a＝，T＝
整理后得t＝＋(2n＋1)(n＝0，1，2，3，…)。
