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第4 讲 功能关系 能量守恒定律
1．功能关系
(1)内容
①功是能量转化的量度，即做了多少功，就有多少能量发生了转化。
②做功的过程一定伴随有能量的转化，而且能量的转化必须通过做功来实现。
(2)做功对应变化的能量形式
①合力的功影响物体的动能的变化。
②重力的功影响物体重力势能的变化。
③弹簧弹力的功影响弹性势能的变化。
④除重力或系统内弹力以外的力做功影响物体机械能的变化。
⑤滑动摩擦力的功影响系统内能的变化。
⑥静电力的功影响电势能的变化。
⑦分子力的功影响分子势能的变化。
2．两种摩擦力做功特点的比较
项目
静摩擦力做功
滑动摩擦力做功
不同
点
能量的
转化方面
只有机械能从一个物体转移
到另一个物体，而没有机械
能转化为其他形式的能
(1)将部分机械能从一个物体转移到
另一个物体
(2)一部分机械能转化为内能，此部
分能量就是系统机械能的损失量
一对摩擦
力做的
总功方面
一对静摩擦力做功的代数和
总等于
0
一对滑动摩擦力做功的代数和总是
负值
相同
点
正功、负功、
不做功方面
两种摩擦力对物体可以做正功，也可以做负功，还可以不做功
3.能量守恒定律
(1)内容：能量既不会凭空产生，也不会凭空消失，它只能从一种形式转化为另一种形
式，或者从一个物体转移到别的物体，在转化或转移的过程中，能量的总量保持不变。
(2)表达式：ΔE 减＝Δ E 增。
考点一 对功能关系的理解
1．对功能关系的理解
(1)做功的过程是能量转化或转移的过程。不同形式的能量发生相互转化或转移是通过
做功来实现的。
(2)功是能量转化的量度，功和能的关系，一是体现为不同的力做功，对应不同形式的
能转化，具有一一对应关系；二是做功的多少与能量转化的多少在数量上相等。
2．力学中几种常见的功能关系
考向1 对功能关系的理解
【典例1】（2026·辽宁·二模）如图所示，把不可伸长的轻绳两端固定在水平天花板上的a、
b 两点，绳长为L；一个质量为m 的物体A 通过穿在绳上的轻质光滑小环挂在轻绳中间（小
环大小忽略不计），静止时小环两侧轻绳的张角为120°。现给小环施加一水平向右的力
F，让小环缓慢沿绳移动，最终使小环重新稳定在b 点的正下方。已知重力加速度为g，则
（ ）
A．重新稳定时轻绳中张力大小为2
3 mg
B．重新稳定时水平力大小为
❑√3
2 mg
C．在小环移动过程中水平力做功为1
4 mgL
D．若水平力大小F =mg，则重新稳定时，小环两侧的轻绳与天花板所成角度之和小于
90°
考向2 功能关系与图像的综合
【典例2】（2026·福建宁德·二模）（多选）如图所示，在某低速教学风洞中，有一个高
H =0.8 m的台面，上方固定一半径同为H的四分之一光滑圆弧轨道AB，轨道末端B与桌面
边缘水平相切。将一质量m=0.4 kg的小球由轨道顶端A处静止释放，最终落在水平地面上，
整个过程中，小球始终受到水平向左大小为3 N的恒定风力作用。重力加速度g取10 m /s
2，
下列说法正确的是（ ）
A．小球从A点运动到B点的过程中，机械能减少了2.4 J
B．小球在B点对轨道的压力为4 N
C．小球从B点飞出后到落地前的最小动能为1.4 J
D．小球从B点抛出到落地过程中，小球重力做功的瞬时功率不断增大
考点二 能量守恒定律的理解和应用
1．理解
(1)某种形式的能量减少，一定存在其他形式的能量增加，且减少量和增加量一定相等。
(2)某个物体的能量减少，一定存在其他物体的能量增加，且减少量和增加量一定相等。
2．表达式：ΔE 减＝ΔE 增。
3．解题的步骤
(1)分清有几种形式的能在变化，如动能、势能(包括重力势能、弹性势能、电势能)、内
能等。
(2)明确哪种形式的能量增加，哪种形式的能量减少，并且列出减少的能量ΔE 减和增加
的能量ΔE 增的表达式。
(3)列出能量守恒关系式：ΔE 减＝ΔE 增。
【典例3】（2026·河南南阳·模拟预测）某装置中，传送带长度为LAB=18 m，与水平面夹角
为θ =37
∘，以加速度a=6 m /s
2顺时针加速转动，当传送带速度为v0= 4 m /s时，将质量
md =1kg的物块d 轻放于传送带顶端A 点，物块与传送带间动摩擦因数为μ1=0.5，物块d
经过各连接处速率不变，随后物块d 经光滑水平面BC 滑上质量mc=0.5kg的长木板c，长
木板c 及另一质量mb=0.5kg的小物块b 初始静止，小物块b 位于长木板右端。物块d 与长
木板c 间动摩擦因数为μ2=0.2，小物块b 与长木板c 间动摩擦因数为μ3=0.1，长木板c 与
地面间动摩擦因数为μ4=0.025。最终物块d、b 恰好未碰撞。重力加速度g 取10 m /s
2，
sin37
∘=0.6，cos37
∘=0.8，求：
(1)物块d与传送带共速时的速率；
(2)整个过程传送带与d 之间因摩擦产生的热量及传送带对d 做的功；
(3)长木板c 的长度。
【典例4】 （2026·重庆沙坪坝·模拟预测）如题图所示，某物理兴趣小组设计了一个挑战
游戏。挑战者通过弹射装置压缩弹簧，使质量为m的小物块（视为质点）以一定速度弹出，
从水平台面沿切线方向进入圆弧轨道ab，轨道ab与轨道bc相切于b点，b点到轨道圆心的连
线与水平面的夹角为θ =30
∘，c 端与水平地面相平，ab、bc 的半径分别为R、2 R。在de 段，
挑战者可自行选择传送带以v0= ❑√5 gR顺时针或逆时针匀速转动，若小物块能始终不脱离轨
道运动至ef 段且不与gf 碰撞，则挑战成功。所有轨道、传送带在同一竖直面内，cdef 在同
一水平面上，de =5R，ef =2 R，物块与de、ef 段之间动摩擦因数分别为μ1= 5
7
、μ2= 6
7
，
其余摩擦均不计，重力加速度为g。求：
(1)为使小物块不脱离圆弧轨道，求初始弹性势能的最小值；
(2)分别讨论传送带顺时针或逆时针转动时，挑战能否成功，若成功，求初始弹性势能的取
值范围。
1.
（2026·安徽芜湖·二模）如图所示，水平面上一劲度系数为k 的水平轻弹簧一端固定于墙上，
另一端连接物体甲。现用物体乙缓慢推甲使弹簧压缩x0，甲、乙质量均为m。乙的下表面光
滑，甲与水平面间的动摩擦因数为μ，重力加速度为g。现同时由静止释放甲、乙，两者向
右运动一段时间后分离，下列说法正确的是（ ）
A．甲运动到速度最大时，弹簧压缩量为0
B．甲与乙分离时，弹簧为伸长状态
C．释放后，甲、乙间的最大弹力为k x0−μmg
2
D．从释放到分离，甲、乙与弹簧组成的系统机械能减少量为μmg x0
2.
（2026·湖北·二模）我国空间站在高空绕地球做圆周运动，空间站在运行过程中受到稀薄空
气阻力的作用，当空间站的轨道半径从R降低到(R−Δ R)（其中Δ R≪R）时就要进行轨
道维护与提升，以确保空间站能稳定运行。假设空间站质量为m，空间站绕地球每一圈均视
为匀速圆周运动，地球质量为M，引力常量为G。取无穷远处为零势能点，当空间站运行
轨道半径为r时，空间站与地球组成系统具有的引力势能可表示为Ep=−GMm
r
，受到空气
阻力大小为f = k
r
（k为大于零的常数）。空间站绕地球运动n圈后需要进行轨道维护与提升，
则n等于（ ）
A．GMm
4πk(
1
R−Δ R −1
R)
B．GMm
2πk(
1
R−Δ R −1
R)
C．
Mm
2πkG(
1
R−Δ R −1
R)
D．
Mm
4πkG(
1
R−Δ R −1
R)
3.
（2026·重庆沙坪坝·三模）如题图所示，一质量为M、半径为R、内壁光滑的半圆槽放在粗
糙水平地面上，半圆槽与地面间的动摩擦因数为μ。一质量为m的小球，从半圆槽的最左端
与圆槽圆心等高位置由静止释放。已知在小球运动的过程中半圆槽始终相对地面静止，不计
空气阻力，重力加速度为g。释放小球后，下列说法正确的是（ ）
A．小球加速度的最大值为3
2 g
B．地面对半圆槽摩擦力的最大值为1
2 mg
C．μ的最小值为
3m
2❑√M (3m+ M )
D．当小球运动到最低点时，地面对半圆槽的支持力F N <(m+ M )g
4.
（2026·河北衡水·二模）军事演习中，一台油电混合无人机通过缆绳O
′O连接OA、OB、
OC、OD 四根等长的绳索运送质量为m 的橡皮艇，结点为O，A、B、C、D 四点在同一水平
面内且OA = AB = BC =CD = DA。在无人机与橡皮艇一起沿竖直方向匀加速上升的过程中，
加速度大小为a，缆绳O
′O始终竖直，空气对橡皮艇的作用力大小恒为f，方向竖直向下。
不计缆绳与绳索质量，无人机燃油消耗不能忽略，重力加速度为g。下列说法正确的是（
）
A．橡皮艇的机械能守恒
B．无人机受到空气的作用力保持不变
C．绳索OA 受到的拉力大小为
❑√2
4
(mg+ f )
D．当速度为v0时绳索OA 对橡皮艇的拉力的功率为1
4
(mg+ f +ma)v0
5.
（2026·辽宁鞍山·二模）如图，物块B 和C 间通过一轻质弹簧相连，轻质绳跨过固定于天花
板上的轻质定滑轮，两端分别与套在竖直固定杆上的小球A 和物块B 连接。初始时托住A 使
系统静止，滑轮与A 间的绳水平，滑轮与B 间的绳竖直，且绳无拉力。B、C 质量均为m，A
的质量为2m。将A 从图示位置由静止释放，当连接A 的绳与竖直杆的夹角为37°时，B 上升
的速度大小为v 且C 刚要离开地面。取sin37° =0.6，cos37° =0.8，重力加速度为g，不
计一切摩擦力和空气阻力，不计物体和滑轮的大小，则在此过程中A 下降的高度为（ ）
A．v
2
2 g
B．11v
2
8 g
C．v
2
g
D．57 v
2
75 g
6.
（2026·北京海淀·一模）一根不可伸长的轻绳跨过轻质定滑轮，绳的两端分别系有小球A 和
B。用手托住B 球，当绳刚好被拉紧时，B 球离地面的高度为h，A 球静止于地面，如图所示。
已知B 球的质量是A 球的k 倍（k＞1），忽略一切摩擦和空气阻力。B 球从释放至刚好落地
的过程中，下列判断不正确的是（ ）
A．A 球和B 球组成系统的机械能不守恒
B．A 球上升过程的速度大小等于B 球下落过程的速度大小
C．A 球加速度的大小等于B 球加速度的大小
D．k 值越大，B 球运动的加速度越接近g
7.
（2026·海南省直辖县级单位·二模）如图所示，物块与圆环通过光滑轻质定滑轮用细绳连接
在一起，圆环套在光滑的竖直杆上，开始时连接圆环的细绳水平，竖直杆与滑轮间的距离为
L。某时刻圆环由静止释放，圆环下落到B点时，速度达到最大，此时细绳与竖直杆成37
∘。
已知圆环的质量为m，重力加速度为g,sin37
∘=0.6,cos37
∘=0.8，空气阻力不计，下列判
断正确的是（ ）
A．圆环下落过程中，圆环和物块组成的系统机械能守恒
B．圆环下落过程中，圆环的机械能先增大后减小
C．当圆环到达B位置时，物块所受合力为0
D．物块的质量为5
4 m
8.
（2026·河北保定·二模）（多选）如图，倾斜滑道高h=0.6 m，水平底边长L=0.8 m，与水
平传送带平滑连接，传送带沿垂直于滑道的方向匀速运行。质量为2kg 的工件（可视为质
点）从滑道顶端由静止释放，沿滑道下滑后垂直滑上传送带。已知工件与滑道及传送带间的
动摩擦因数均为0.5，传送带运行速度v =1m/s，取g=10 m/s
2，忽略工件在连接处的能量
损失。下列说法正确的是（ ）
A．工件滑上传送带时的速度大小为2m/s
B．工件在传送带上受到的摩擦力方向与传送带运动方向夹角为45°
C．为防止工件从传送带侧边滑落，传送带的最小宽度d 为0.4m
D．工件在传送带上滑动过程中摩擦生热为5J
9.
（2026·河北沧州·一模）如图所示，质量 mA =1.5kg、长L=0.5m 的木板A 放在水平平台上，
质量mB=1kg的物块B（可视为质点）放在木板A 的左端，物块B 和质量为mC的物块C 通过
绕过光滑定滑轮的轻绳连接，物块 B 和滑轮之间的轻绳水平。已知物块B 和木板A 之间的
动摩擦因数 μ1=0.4，木板A 和平台之间的动摩擦因数 μ2=0.1，g 取10 m /s
2。
设最大
静摩擦力等于滑动摩擦力，物块B 与滑轮间的距离足够大，物块C 与地面间的距离足够大，
由静止释放物块C。下列说法中正确的是（ ）
A．若mC=0.25kg，木板A 和物块B 一起向右运动
B．木板A 的加速度可能为2m /s
2
C．若mC=0.5kg，物块C 的加速度大小为 2
3 m /s
2
D．若mC=0.75kg，物块B 离开木板A 的过程中系统损失的机械能为3.25 J
10. （2026·河南信阳·二模）（多选）2021 年6 月17 日，“神舟十二号”载人飞船搭载着聂海
胜、刘伯明、汤洪波三名宇航员成功飞天，开启历时三个月的太空任务。9 月17 日13 时30
分许，“神舟十二号”返回舱在东风着陆场安全降落。返回舱的返回轨迹可以简化为如图所
示，已知返回舱在轨道Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ运行时的周期分别为T 1、T 2和T 3，在轨道Ⅰ和Ⅲ运行时
的速度大小分别为v1和v3。则（ ）
A．返回舱在椭圆轨道上运行周期为T 2= T 1+T 3
2
B．返回舱在轨道Ⅰ的机械能大于轨道Ⅲ的机械能
C．从轨道Ⅱ上P点反向喷火减速进入轨道Ⅲ（不计位置变化），减速前后瞬间返回舱
的加速度不变
D．返回舱在轨道Ⅱ上Q点的速度与轨道Ⅲ上的运行速度无法比较大小
11. （2026·安徽·模拟预测）（多选）如图，竖直平面内固定一半径为R的光滑圆轨道，质量为
m=0.2kg、可视为质点的小球静止在圆轨道的最低点。现给小球一水平向右的初速度v0，
使小球能做完整的圆周运动。当小球转过的圆心角θ =60°时，轨道弹力大小为11N，小球
的动能减少0.6J。重力加速度大小取g=10m/ s
2，则（ ）
A．圆轨道半径R =0.5 m
B．小球运动过程中的最小速度大小为2❑√3 m/s
C．小球的初速度大小为v0=6 m/s
D．小球对圆轨道任意两点压力差的最大值为15 N
12. （2026·浙江·二模）如图所示，一小物块以某一初速度从O 处开始冲上斜面，最终停在B 处。
斜面和地面平滑连接于A，且物块与斜面、地面间的动摩擦因数均相同。若以O 为原点，水
平向右为正方向建立x 轴，则运动过程中，物块机械能E 与其水平位移x 的关系图像正确的
是（ ）
A．
B．
C．
D．
13. （2026·安徽·模拟预测）（多选）2026 年米兰-科尔蒂纳丹佩佐冬奥会（第二十五届冬季奥
林匹克运动会），于2026 年2 月6 日至22 日在意大利米兰和科尔蒂纳丹佩佐举行。中国单
板滑雪运动员苏翊鸣从18 岁在北京冬奥会一鸣惊人，到22 岁在米兰-科尔蒂纳冬奥会拼下
一金一铜，他用四年时光，完成了从天才少年到强者的蜕变。大跳台主要由助滑道，圆弧形
起跳台和着陆坡组成，起跳台的半径为20 米，起跳方向与水平方向成30°角，如图所示为简
化示意图。运动员在助滑道下滑后在起跳台起跳，在空中做抛体运动后落在着陆坡上。图中
虚线为苏翊鸣在某次比赛中起跳后的运动轨迹，a 点为起跳点，b 点为轨迹最高点，c 点为
落在坡上的着陆点。苏翊鸣的质量为50 kg，不计一切阻力，g=10 N/kg，则下列说法正确
的是
A．若苏翊鸣起跳时va=10 m/s，则ab 段水平距离为5
2
❑√3 m
B．若苏翊鸣起跳时va=10 m/s，则苏翊鸣在最低点对起跳台压力为250(7−2❑√3)N
C．苏翊鸣在ab 段运动过程中处于超重状态，在bc 段处于失重状态
D．苏翊鸣起跳后重力的功率不断地减小
14. （2026·北京昌平·一模）如图所示，劲度系数为k的轻质弹簧一端固定在天花板上，另一端
连接一个质量为m的小球，小球静止时位于O点。现竖直向下拉动小球至P点后由静止释放，
小球在竖直平面内做简谐运动。已知O、P 两点间的距离为mg
k
，弹簧始终处于弹性限度内，
重力加速度为g，弹簧的弹性势能Ep与弹簧形变量x之间的关系式为Ep= 1
2 k x
2。下列说法
正确的是（ ）
A．简谐运动的振幅为2mg
k
B．从P向O点运动时，弹簧的弹性势能转化为小球的动能
C．在O点处，小球的速度最大，大小为g ❑√
m
k
D．在弹簧原长处，小球的速度最大，大小为g ❑√m
15. （2026·江西·模拟预测）（多选）如图所示，光滑的固定斜面倾角θ =30
0。左侧放置一个木
板，其上表面与斜面底端平滑相连，若干个相同的小滑块紧挨着放在斜面上，小滑块总长度
为l =1.62m，最下端的小滑块刚好与斜面底端对齐，由静止释放所有小滑块，然后滑上木板，
当木板刚滑动时，将斜面上的小滑块取走，最终冲上木板的滑块均未从木板左端滑出。已知
木板的质量M =2kg，滑块总质量为m=16.2kg，滑块与木板之间的动摩擦因数μ1=0.4，
木板与地面之间的动摩擦因数μ2=0.2，木板与地面之间的最大静摩擦力是滑动摩擦力的1.5
倍。重力加速度取g=10 m /s
2，则下列说法正确的是（ ）
A．木板刚滑动时滑块的速度大小为2m /s
B．滑块与木板共速后之间的摩擦力为10 N
C．木板至少长0.75 m
D．滑块与木板之间摩擦产生的热量为13.2 J
16. （2026·新疆省直辖县级单位·模拟预测）（多选）如图所示，半径为R 的光滑大圆环用一细
杆固定在竖直平面内，质量为m 的小球A 套在大圆环上。上端固定在杆上的轻质弹簧与质
量为m 的滑块B 连接，并一起套在杆上，小球A 和滑块B 之间用长为2R 的轻杆分别通过铰
链连接，当小球A 位于圆环最高点时、弹簧处于原长；此时给A 一个微小扰动（初速度视为
0），使小球A 沿环顺时针滑下，当杆与大圆环相切时小球A 的速度为❑√gR（g 为重力加速
度）。不计一切摩擦，A、B 均可视为质点，则下列说法正确的是（ ）
A．小球A、滑块B 和轻杆组成的系统在下滑过程中机械能守恒
B．当杆与大圆环相切时B 的速度为
❑√5 gR
2
C．小球A 从圆环最高点到达杆与大圆环相切的过程中滑块B 的重力势能减小
(3+ ❑√5)mgR
D．小球A 从圆环最高点到达杆与大圆环相切的过程中弹簧的弹性势能增加了
23
8 mgR−6 ❑√5
5
mgR
17. （2026·重庆九龙坡·二模）（多选）如图是一款游戏装置的简化图，半径为 R 的四分之三
光滑圆管轨道竖直固定。一挑战者在管口 A 点正上方 h 高处，静止释放一质量为 m 的
小球，小球落入管中运动一段时间后从 E 点飞出，且恰好落回 A 点，游戏挑战成功。小
球直径略小于管径，管径远小于 R ，不计空气阻力， g 为重力加速度。下列说法正确的
是（ ）
A．小球通过 E 点时的速度大小为 ❑√gR
B．小球下落时距 A 点的高度 h 为 5
4 R
C．小球通过 E 点时圆管对小球的作用力竖直向下
D．小球通过 B、E 两点与圆管作用力大小的差为 5mg
18. （2026·重庆九龙坡·二模）（多选）科学家设想未来通过 “地心隧道” 来探测地核资源。
如图所示，质量为m 的探测器从地球表面A 点由静止释放，仅在万有引力作用下在地球的
A 、B两点往返运动（AB为直径）。地球视为质量分布均匀半径为R的球体，地心在O点，
P为OB的中点。已知均匀球壳对内部物体的引力为零，地表重力加速度为g，不考虑地球
自转，下列说法正确的是（ ）
A．探测器在A 点时加速度的大小为0
B．探测器在P 点时加速度大小为4 g
C．探测器在P 点速度的大小为
❑√3 gR
2
D．探测器在O 点速度的大小为❑√gR
19. （2026·山东潍坊·二模）（多选）如图所示，可绕O 点自由转动的轻杆左端固定一小球c，
通过细线将小球拉起使轻杆水平，用跨过定滑轮P 的轻绳连接物体b 与小球c，物体a、b 通
过一竖直轻弹簧相连。开始时，系统处于静止状态，轻绳恰好伸直但无张力。已知a、b 的
质量均为m，c 的质量为M，轻杆长度为L，O、P 间的距离为4
3 L，重力加速度大小为g，
忽略空气阻力及一切摩擦。某时刻剪断c 上方的细线，当c 运动到O 点正下方时，a 恰好离
开地面。则（ ）
A．轻弹簧的劲度系数为6mg
L
B．当c 下落高度为
❑√7
4 L时，b 和c 的速度大小相等
C．c 运动到O 点正下方时的速度大小为5 ❑√
2(3 M −4 m)gL
3(25 M +16m)
D．c 运动到O 点正下方时的速度大小为❑√
2(3 M −4 m)gL
3(M +m)
20. （2026·安徽淮北·二模）如图所示，有一长L=1.25m，距离地面高度h=0.8m 的平台BC，其
右端连接内壁光滑、半径r=0.2m 的四分之一细圆管CD，O 为细圆管的圆心，OD 水平。管
口D 端正下方有一根劲度系数为k=100N/m 的轻弹簧直立于水平地面上，弹簧下端固定，自
由伸长时弹簧上端恰好与管口D 端平齐。将一可视为质点的小球由水平地面上的A 点斜向
上抛出，小球运动至B 点时速度方向恰好水平，然后小球沿平台BC 运动，在C 点无能量损
失进入细圆管CD。小球通过D 点后压缩弹簧，当小球速度最大时弹簧的弹性势能Ep=0.5J。
已知A、B 间的水平距离d=1.2m，小球的质量m=1kg，小球与平台BC 间的摩擦力f=0.2mg。
不计空气阻力，重力加速度g 取10m/s2。求：
(1)小球到达B 点时的速度大小；
(2)小球进入管口C 端时对管壁的作用力；
(3)在压缩弹簧过程中小球的最大动能。
21. （2026·陕西咸阳·模拟预测）如图所示，光滑圆锥桶固定在地面上，桶底中心为O
′，AB为
过底面O
′的一条直径，顶点O有一光滑的小孔，一根长L=1.5 m的细轻绳穿过O点处小孔，
一端拴着静止在桶外表面、质量m=1kg的小球P，另一端拴着静止在O
′点、质量M =2kg
的小球Q，现让小球P在水平面内做匀速圆周运动.已知∠AOO
′ =37
∘，圆锥桶高h=1m，不
计一切摩擦，小球P、Q均可视为质点，重力加速度g取
10 m /s
2，sin37
∘=0.6，cos37
∘=0.8，求：
(1)小球P对桶外表面恰好无压力时，小球P的角速度大小；
(2)小球Q对地面恰好无压力时，小球P的线速度；
(3)当小球P由静止到线速度大小v = ❑√15 m /s时，外界对小球P、Q做的功。
22. （2026·北京丰台·一模）引力波探测为研究天体系统的演化提供了重要手段。为深入理解引
力波辐射的物理机制，可研究一个理想化的双星系统：两颗质量均为m 的星体，仅在万有
引力作用下绕其连线中点做匀速圆周运动。已知两星体间的引力势能为Ep=−G m
2
r
，其中
两星体间距为r，引力常量为G，取无穷远处引力势能为零。某同学建立如下两种模型：
模型I：假设双星系统的能量取分立值，能级结构类似于氢原子，即第n 个能级的能量可表
示为En=−A
n
2 ( A >0,n=1,2,3⋯⋯)，其中n=1对应双星系统能量最低的定态。
模型Ⅱ：假设双星系统因持续辐射引力波而损失能量，导致r 连续减小，辐射的引力波功率
P 可表示为P = 64G
4m
5
5c
5r
5
，其中c 为光速，此过程可以认为天体的质量保持不变。
(1)求双星系统总能量E 与两星间距r 的关系式；
(2)在模型I 中，若已知双星系统从n=2能级跃迁到n=1能级时辐射的引力波能量为Δ E。求
基态时两星体间距r1的表达式（用Δ E、G、m 表示）；
(3)在模型Ⅱ中，经过一段时间Δt，两星体间距减小了Δr（Δr ≪r），辐射引力波的能量
为E波= P⋅Δt。某同学认为两星体间距r 会减小得越来越快。你是否同意他的想法，请说
明理由。
