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题型06 动量守恒定律与动量与能量的综合
动量定理与动量守恒定律是高中物理的核心主干，也是高考的高频必考点与压轴热点。其不仅是解决
碰撞、反冲等典型问题的专用工具，更是与能量观点、牛顿定律并列的力学三大基本观点之一，贯穿于力
学乃至电磁学综合问题的分析中，是处理复杂多过程问题的关键思路。
高考命题常以计算题形式呈现，集中于四大考向：动量定理的综合应用；流体与微粒的“柱状模型”；
碰撞与类碰撞问题；三大观点的综合应用（涉及弹簧、板块等多过程模型）。考查方法突出矢量性、条件
性、系统性和模型构建能力。
考向01 动量定理的综合应用
目录
第一部分 题型解码 高屋建瓴，掌握全局
第二部分 考向破译 微观解剖，精细教学
典例引领
方法透视
变式演练
考向01 动量定理的综合应用
考向02 动量守恒定律的综合应用【重】
考向03 碰撞模型【重难】
考向04 “保守型”碰撞拓展模型【重难】
考向05 “耗散型”碰撞拓展模型【重难】
考向06 应用力学三大观点处理多过程物理问题【重难】
第三部分 综合巩固 整合应用，模拟实战
【例1-1】（2025·浙江·高考真题）有一离地面高度
、质量为
稳定竖直降落的沙尘颗粒，在
其降落过程中受到的阻力与速率v 成正比，比例系数
，重力加速度
，则它降落到地
面的时间约为（ ）
A．
B．
C．
D．
【例1-2】】（2025·北京·高考真题）关于飞机的运动，研究下列问题。
(1)质量为m 的飞机在水平跑道上由静止开始做加速直线运动，当位移为x 时速度为v。在此过程中，飞机
受到的平均阻力为f，求牵引力对飞机做的功W。
(2)飞机准备起飞，在跑道起点由静止开始做匀加速直线运动。跑道上存在这样一个位置，飞机一旦超过该
位置就不能放弃起飞，否则将会冲出跑道。已知跑道的长度为L，飞机加速时加速度大小为
，减速时最
大加速度大小为
。求该位置距起点的距离d。
(3)无风时，飞机以速率u 水平向前匀速飞行，相当于气流以速率u 相对飞机向后运动。气流掠过飞机机翼，
方向改变，沿机翼向后下方运动，如图所示。请建立合理的物理模型，论证气流对机翼竖直向上的作用力
大小F 与u 的关系满足
，并确定
的值。
1.流体类“柱状模型”问题
流体及
其特点
通常液体流、气体流等被广义地视为“流体”，质量具有连续性，通常已知密度ρ
分
析
步
骤
1
建立“柱状模型”，沿流速v 的方向选取一段柱形流体，其横截面积为S
2
微元研究，作用时间Δt 内的一段柱形流体的长度为Δl，对应的质量为Δm＝ρSvΔt
3
建立方程，应用动量定理研究这段柱状流体
2.微粒类“柱状模型”问题
微粒及
通常电子流、光子流、尘埃等被广义地视为“微粒”，质量具有独立性，通常给出
其特点
单位体积内粒子数n
分
析
步
骤
1
建立“柱状模型”，沿运动的方向选取一段微元，柱体的横截面积为S
2
微元研究，作用时间Δt 内一段柱形流体的长度为Δl，对应的体积为ΔV＝Sv0Δt，则
微元内的粒子数N＝nv0SΔt
3
先应用动量定理研究单个粒子，建立方程，再乘以N 计算
【变式1-1】（2025·湖北·高考真题）一个宽为L 的双轨推拉门由两扇宽为
的门板组成。门处于关闭状
态，其俯视图如图（a）所示。某同学用与门板平行的水平恒定拉力作用在一门板上，一段时间后撤去拉
力，该门板完全运动到另一边，且恰好不与门框发生碰撞，其俯视图如图（b）所示。门板在运动过程中
受到的阻力与其重力大小之比为
，重力加速度大小为g。若要门板的整个运动过程用时尽量短，则所用
时间趋近于（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1-2】（2022·福建·高考真题）（多选）我国霍尔推进器技术世界领先，其简化的工作原理如图所示。
放电通道两端电极间存在一加速电场，该区域内有一与电场近似垂直的约束磁场（未画出）用于提高工作
物质被电离的比例。工作时，工作物质氙气进入放电通道后被电离为氙离子，再经电场加速喷出，形成推
力。某次测试中，氙气被电离的比例为95%，氙离子喷射速度为
，推进器产生的推力为
。
已知氙离子的比荷为
；计算时，取氙离子的初速度为零，忽略磁场对离子的作用力及粒子之
间的相互作用，则（ ）
A．氙离子的加速电压约为
B．氙离子的加速电压约为
C．氙离子向外喷射形成的电流约为
D．每秒进入放电通道的氙气质量约为
．【变式1-3】（2025·四川·高考真题）如图所示，真空中固定放置两块较大的平行金属板，板间距为d，
下极板接地，板间匀强电场大小恒为E。现有一质量为m、电荷量为q（
）的金属微粒，从两极板
中央O 点由静止释放。若微粒与极板碰撞前后瞬间机械能不变，碰撞后电性与极板相同，所带电荷量的绝
对值不变。不计微粒重力。求：
(1)微粒第一次到达下极板所需时间；
(2)微粒第一次从上极板回到O 点时的动量大小。
考向02 动量守恒定律的综合应用
例2-1】(2025·河南卷)两小车P、Q 的质量分别为mP和mQ，将它们分别与小车N 沿直线做碰撞
实验，碰撞前后的速度v 随时间t 的变化分别如图1 和图2 所示。小车N 的质量为mN，碰撞
时间极短，则( )
A．mP>mN>mQ
B．mN>mP>mQ
C．mQ>mP>mN
D．mQ>mN>mP
【例2-2】（2024·江苏·高考真题）“嫦娥六号”探测器由着陆器、上升器、轨道器和返回器四个部分组成，
沿环月轨道以速度
运动。某时刻，着陆器和上升器（组合体
）、轨道器和返回器（组合体
）分离，
分离时间为
。分离后
的速度大小为，方向与
相同。已知组合体
、
的质量分别为
、
。求：
（1）分离后
的速度大小
；
（2）分离过程中，
对
的平均
推力大小。
动量守恒定律的理解及其“三个性质”
1
【变式2-1】 ．（2025·湖南·高考真题）0 如图，某爆炸能量测量装置由装载台和滑轨等构成，C 是可以在
滑轨上运动的标准测量件，其规格可以根据测量需求进行调整。滑轨安装在高度为h 的水平面上。测量时，
将弹药放入装载台圆筒内，两端用物块A 和B 封装，装载台与滑轨等高。引爆后，假设弹药释放的能量完
全转化为A 和B 的动能。极短时间内B 嵌入C 中形成组合体D，D 与滑轨间的动摩擦因数为
。D 在滑轨
上运动
距离后抛出，落地点距抛出点水平距离为
，根据
可计算出弹药释放的能量。某次测量中，
A、B、C 质量分别为
、
、
，
，整个过程发生在同一竖直平面内，不计空气阻力，重力加
速度大小为g。则（ ）
A. D 的初动能与爆炸后瞬间A 的动能相等
B. D 的初动能与其落地时的动能相等
C. 弹药释放的能量为
D. 弹药释放的能量为
【变式2-2】（2025·山东·高考真题）轨道舱与返回舱的组合体，绕质量为M 的行星做半径为r 的圆周运动，
轨道舱与返回舱的质量比为
。如图所示，轨道舱在P 点沿运动方向向前弹射返回舱，分开瞬间返回舱
相对行星的速度大小为
，G 为引力常量，此时轨道舱相对行星的速度大小为（ ）
A．
B．
C．
D．
考向03 碰撞模型
【例3-1】（2025·广东·高考真题）如图所示，光滑水平面上，小球M、N 分别在水平恒力
和
作用下，
由静止开始沿同一直线相向运动在
时刻发生正碰后各自反向运动。已知
和
始终大小相等，方向相反。
从开始运动到碰撞后第1 次速度减为0 的过程中，两小球速度v 随时间t 变化的图像，可能正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
【例3-2】（2025·广重庆·高考真题）如图所示，长度为d 的水平传送带M 顺时针匀速运动。质量为m
的小物块A 在传送带左端M 由静止释放。A 还未与传送带达到相同速度时就从右端N 平滑地进入光滑水平
面NO，与向右运动的小物块B 发生碰撞（碰撞时间极短）。碰后A、B 均向右运动，从O 点进入粗糙水
平地面。设A 与传送带间的动摩擦因数和A、B 与地面间的动摩擦因数均为
，重力加速度为g。
（1）求A 在传送带上的加速度大小及离开传送带时的速度大小；
（2）若碰前瞬间，B 的速度大小为A 的一半，碰撞为弹性碰撞，且碰后A、B 在粗糙地面上停下后相距
d，求B 的质量；
（3）若B 的质量是A 的n 倍，碰后瞬间A 和B 的动量相同，求n 的取值范围及碰后瞬间B 的速度大小范
围。
1.碰撞三原则：
动量守恒
m1v1＋m2v2＝m1v1′＋m2v2′
机械能不增
加
Ek1＋Ek2≥Ek1′＋Ek2′
或＋≥＋
速度要合理
同向碰撞
碰撞前，后面的物体速度大；碰撞后，前面的物体速
度大或两物体速度相等
(
2．两种碰撞的特点
弹性
碰撞
举例：一动碰一静
动量守恒mv1＝m1v1′＋m2v2′
机械能守恒m1v＝m1v1′2＋m2v2′2
解得v1′＝，v2′＝
结论：
(1)m1＝m2时，v1′＝0，v2′＝
v1，即两球碰撞后交换了速度
(2)当m1>m2时，v1′>0，
v2′>0，碰后两球都沿v1方向运
动，当m1≫m2时v1′＝v1，v2′
＝2v1
(3)m1<m2时，v1′<0，v2′>0，
碰后入射小球反弹，当m1≪m2
时，v1′＝－v1，v2′≈0
完全非
弹性碰撞
碰后两球粘在一起，末速度相同
动量守恒m1v1＋m2v2＝(m1＋m2)v，机
械能损失最多
损失的机械能ΔE＝m1v＋m2v－
(m1＋m2)v2
【变式3-1】(2025·江苏卷)如图所示，在光滑水平面上，左右两列相同的小钢球沿同一直线放
置。每列有n 个。在两列钢球之间，一质量为m 的玻璃球以初速度v0向右运动，与钢球发生
正碰。所有球之间的碰撞均视为弹性碰撞。
(1)若钢球质量为m，求最右侧的钢球最终运动的速度大小；
(2)若钢球质量为3m，求玻璃球与右侧钢球发生第一次碰撞后，玻璃球的速度大小v1；
(3)若钢球质量为3m，求玻璃球经历2n 次碰撞后的动能Ek。
【变式3-2】（2024·重庆·高考真题）如图所示，M、N 两个钉子固定于相距a 的两点，M 的正下方有不可
伸长的轻质细绳，一端固定在M 上，另一端连接位于M 正下方放置于水平地面质量为m 的小木块B，绳长
与M 到地面的距离均为10a，质量为2m 的小木块A，沿水平方向于B 发生弹性碰撞，碰撞时间极短，A 与
地面间摩擦因数为
，重力加速为g，忽略空气阻力和钉子直径，不计绳被钉子阻挡和绳断裂时的机械能
损失。
(1)若碰后，B 在竖直面内做圆周运动，且能经过圆周运动最高点，求B 碰后瞬间速度的最小值；
(2)若改变A 碰前瞬间的速度，碰后A 运动到P 点停止，B 在竖直面圆周运动旋转2 圈，经过M 正下方时细
绳子断开，B 也来到P 点，求B 碰后瞬间的速度大小；
(3)若拉力达到12mg 细绳会断，上下移动N 的位置，保持N 在M 正上方，B 碰后瞬间的速度与（2）间中的
相同，使B 旋转n 圈。经过M 正下的时细绳断开，求MN 之间距离的范围，及在n 的所有取值中，B 落在
地面时水平位移的最小值和最大值。
考向04 “保守型”碰撞拓展模型
【例4-1】（2025 年山东卷第17 题）如图所示，内有弯曲光滑轨道的方形物体置于光滑水平面上，P、Q
分别为轨道的两个端点且位于同一高度，P 处轨道的切线沿水平方向，Q 处轨道的切线沿竖直方向。小物
块a、b 用轻弹簧连接置于光滑水平面上，b 被锁定。一质量
的小球自Q 点正上方
处自由
下落，无能量损失地滑入轨道，并从P 点水平抛出，恰好击中a，与a 粘在一起且不弹起。当弹簧拉力达
到
时，b 解除锁定开始运动。已知a 的质量
，b 的质量
，方形物体的质量
，重力加速度大小
，弹簧的劲度系数
，整个过程弹簧均在弹性限度内，
弹性势能表达式
（x 为弹簧的形变量），所有过程不计空气阻力。求：
（1）小球到达P 点时，小球及方形物体相对于地面的速度大小
、
；
（2）弹簧弹性势能最大时，b 的速度大小
及弹性势能的最大值
。
【例4-2】（2023·浙江·高考真题）为了探究物体间碰撞特性，设计了如图所示的实验装置。水平直轨道
AB、CD 和水平传送带平滑无缝连接，两半径均为
的四分之一圆周组成的竖直细圆弧管道DEF 与
轨道CD 和足够长的水平直轨道FG 平滑相切连接。质量为3m 的滑块b 与质量为2m 的滑块c 用劲度系数
的轻质弹簧连接，静置于轨道FG 上。现有质量
的滑块a 以初速度
从
D 处进入，经DEF 管道后，与FG 上的滑块b 碰撞（时间极短）。已知传送带长
，以
的
速率顺时针转动，滑块a 与传送带间的动摩擦因数
，其它摩擦和阻力均不计，各滑块均可视为质点，
弹簧的弹性势能
（x 为形变量）。
（1）求滑块a 到达圆弧管道DEF 最低点F 时速度大小vF和所受支持力大小FN；
（2）若滑块a 碰后返回到B 点时速度
，求滑块a、b 碰撞过程中损失的机械能
；
（3）若滑块a 碰到滑块b 立即被粘住，求碰撞后弹簧最大长度与最小长度之差
。
“保守型”碰撞拓展模型
图例(水
平面光滑)
小球
弹簧模型
—
小球
曲面模型
—
小球
小球模型
—
达到共速
相当于完全非弹性碰撞，系统水平方向动量守恒，满足mv0
＝(m＋M)v 共，损失的动能最多，分别转化为弹性势能、重
力势能和电势能
再次分离
相当于弹性碰撞，系统水平方向动量守恒，满足mv0＝mv1
＋Mv2，机械能守恒，满足mv＝mv＋Mv
【变式4-1】 （2025 湖南省长沙市湖南师范大学附属中学一模）在相互平行且足够长的两根水平光滑的硬
杆上，穿着三个半径相同的刚性球A、B、C，如图所示。三球的质量分别为
，初状态B、C 球之间连着一根轻质弹簧并处于静止状态，B、C 连线
与杆垂直并且弹簧刚好处于原长状态，A 球以
的速度向左运动，与同一杆上的B 球碰撞后粘
在一起（作用时间极短），则下列判断，正确的是（ ）
A. A 球与B 球碰撞中损耗的机械能为108J
B. 在以后的运动过程中，弹簧形变量最大时C 球的速度最大
C. 在以后的运动过程中，弹簧的最大弹性势能为36J
D. 在以后的运动过程中，B 球的最小速度为2m/s
【变式4-2】（2025·广东·模拟预测）如图甲，竖直挡板固定在光滑水平面上，质量为M的光滑半圆形弯槽
静止在水平面上并紧靠挡板，质量为m的小球从半圆形弯槽左端静止释放，小球速度的水平分量和弯槽的
速度与时间的关系如图乙所示。下列说法正确的是（ ）
A．小球释放后，小球与弯槽系统动量守恒
B．t2时小球到达位置低于释放时的高度
C．由图可知m大于M
D．图中阴影面积S2<2S1
【变式4-3】（2025·山东·模拟预测）如图所示，在水平面上放置一质量为m的物体A，右边紧靠一半径为
R、质量为m的半圆形槽B，P、Q为半圆形槽的两端点，现锁定A、B。将一质量为m的小球自半圆形槽左
端P点正上方R处的O点由静止释放，小球从P点沿切线进入半圆形槽内。已知在直径PQ所在水平面的上
方，小球总是受到大小恒为1
2 mg、方向竖直的阻力作用，重力加速度为g，小球可视为质点，忽略一切摩
擦。
(1)求小球经过半圆形槽最低点时的速度大小v0和对半圆形槽的压力大小F N。
(2)若解除对A、B的锁定，在O点由静止释放小球，小球从P点沿切线进入半圆形槽内，求小球第一次经过
Q点后上升的最大高度h。
(3)若解除对B的锁定并移走A，仍在O点由静止释放小球，小球从P点沿切线进入半圆形槽内，经过足够长
的时间，求小球在直径PQ所在水平面的上方运动的路程s 和最终在半圆形槽内动能的最大值Ekm。
考向05 “耗散型”碰撞拓展模型
【例5-1】（2024·安徽·高考真题）如图所示，一实验小车静止在光滑水平面上，其上表面有粗糙水平轨道
与光滑四分之一圆弧轨道。圆弧轨道与水平轨道相切于圆弧轨道最低点，一物块静止于小车最左端，一小
球用不可伸长的轻质细线悬挂于O 点正下方，并轻靠在物块右侧。现将细线拉直到水平位置时，静止释放
小球，小球运动到最低点时与物块发生弹性碰撞。碰撞后，物块沿着小车上的轨道运动，已知细线长
。小球质量
。物块、小车质量均为
。小车上的水平轨道长
。圆弧
轨道半径
。小球、物块均可视为质点。不计空气阻力，重力加速度g 取
。
（1）求小球运动到最低点与物块碰撞前所受拉力的大小；
（2）求小球与物块碰撞后的瞬间，物块速度的大小；
（3）为使物块能进入圆弧轨道，且在上升阶段不脱离小车，求物块与水平轨道间的动摩擦因数
的取值
范围。
【例5-2】（2024·湖北·高考真题）（多选）如图所示，在光滑水平面上静止放置一质量为M、长为L 的木
块，质量为m 的子弹水平射入木块。设子弹在木块内运动过程中受到的阻力不变，其大小f 与射入初速度
大小
成正比，即
（k 为已知常数）。改变子弹的初速度大小
，若木块获得的速度最大，则（
）
A．子弹的初速度大小为
B．子弹在木块中运动的时间为
C．木块和子弹损失的总动能为
D．木块在加速过程中运动的距离为
““耗散型”碰撞拓展模型
图例(水平
面或水平
导轨光滑)
未穿出
未滑离
达到共速
达到共速
相当于完全非弹性碰撞，满足mv0＝(m＋M)v 共，损失的动
能最多，分别转化为内能或电能
【变式5-1】（2023·浙江·高考真题）一游戏装置竖直截面如图所示，该装置由固定在水平地面上倾角
的直轨道
、螺旋圆形轨道
，倾角
的直轨道
、水平直轨道
组成，除
段外
各段轨道均光滑，且各处平滑连接。螺旋圆形轨道与轨道
、
相切于
处．凹槽
底面
水
平光滑，上面放有一无动力摆渡车，并紧靠在竖直侧壁
处，摆渡车上表面与直轨道
、平台
位于
同一水平面。已知螺旋圆形轨道半径
，B 点高度为
，
长度
，
长度
，
摆渡车长度
、质量
。将一质量也为
的滑块从倾斜轨道
上高度
处静止释放，滑
块在
段运动时的阻力为其重力的0.2 倍。（摆渡车碰到竖直侧壁
立即静止，滑块视为质点，不计空
气阻力，
，
）
（1）求滑块过C 点的速度大小
和轨道对滑块的作用力大小
；
（2）摆渡车碰到
前，滑块恰好不脱离摆渡车，求滑块与摆渡车之间的动摩擦因数
；
（3）在（2）的条件下，求滑块从G 到J 所用的时间。
【变式5-2】（2025·湖南邵阳市一模）为了研究多层钢板在不同模式下的防弹效果，建立如下简化模型。
如图所示，两个完全相同的钢板A、B 厚度均为d，质量均为m。第一次把A、B 焊接在一起静置在光滑水
平面上，质量也为m 的子弹水平射向钢板A，恰好将两钢板击穿。第二次把A、B 间隔一段距离水平放置，
子弹以同样的速度水平射向A，穿出后再射向B，且两块钢板不会发生碰撞。设子弹在钢板中受到的阻力
为恒力，不计子弹的重力，子弹可视为质点。下列说法正确的是（ ）
A. 第一次子弹射出B 时，A 的位移为d
B. 第一次子弹穿过A、B 所用时间之比为
C. 第二次子弹不能击穿钢板B，进入钢板B 的深度为
D. 第一次、第二次整个系统损失的机械能之比为
（2023·辽宁·高考真题）如图，质量m1= 1kg 的木板静止在光滑水平地面上，右侧的竖直墙面固定一劲度
系数k = 20N/m 的轻弹簧，弹簧处于自然状态。质量m2= 4kg 的小物块以水平向右的速度
滑上
木板左端，两者共速时木板恰好与弹簧接触。木板足够长，物块与木板间的动摩擦因数μ = 0.1，最大静
摩擦力等于滑动摩擦力。弹簧始终处在弹性限度内，弹簧的弹性势能Ep与形变量x 的关系为
。
取重力加速度g = 10m/s2，结果可用根式表示。
（1）求木板刚接触弹簧时速度
的大小及木板运动前右端距弹簧左端的距离x1；
（2）求木板与弹簧接触以后，物块与木板之间即将相对滑动时弹簧的压缩量x2及此时木板速度v2的大小；
（3）已知木板向右运动的速度从v2减小到0 所用时间为t0。求木板从速度为v2时到之后与物块加速度首次
相同时的过程中，系统因摩擦转化的内能U（用t0表示）。
考向06 应用力学三大观点的综合应用
【例6-1】（2025·江西·高考真题）如图所示，在竖直平面内一轻质弹力绳的一端固定于P 点，另一端经光
滑孔钉Q 连接质量为m 的小球A，该球穿过与水平直杆
（足够长）成
角的直杆
，两杆平滑连接。
点P、Q 和O 在同一竖直线上，
间距为弹力绳原长。将小球A 拉至与Q 等高的位置由静止释放。当小
球A 首次运动到斜杆底端O 点后，在水平方向与穿在直杆
且静止于O 点、质量为
的小球B 发生弹
性碰撞。小球A、B 与杆间的动摩擦因数均为
，且最大静摩擦力等于滑动摩擦力。弹力绳始终在弹
性限度内且满足胡克定律，劲度系数为k，其弹性势能
与伸长量x 的关系为
。已知重力加速度
为g，
间距为
。
(1)求小球A 下滑过程中滑动摩擦力的大小；
(2)若从碰撞后开始计时，小球A 第一次上滑过程中离O 点的距离x 与时间t 关系为
（
为
常数），求小球A 第一次速度为零时，小球B 与O 点的距离。
【例6-2】（2025·浙江·高考真题）某兴趣小组设计了一传送装置，其竖直截面如图所示。AB 是倾角为
的斜轨道，BC 是以恒定速率
顺时针转动的足够长水平传送带，紧靠C 端有半径为R、质量为M 置于光
滑水平面上的可动半圆弧轨道，水平面和传送带BC 处于同一高度，各连接处平滑过渡。现有一质量为m
的物块，从轨道AB 上与B 相距L 的P 点由静止下滑，经传送带末端C 点滑入圆弧轨道。物块与传送带间
的动摩擦因数为
，其余接触面均光滑。已知
，
，
，
，
，
。不计空气阻力，物块可视为质点，传送带足够长。求物块
(1)滑到B 点处的速度大小；
(2)从B 点运动到C 点过程中摩擦力对其做的功；
(3)在传送带上滑动过程中产生的滑痕长度；
(4)即将离开圆弧轨道最高点的瞬间，受到轨道的压力大小。
1.解动力学问题的三个基本观点
(1)力的观点:运用牛顿运动定律结合运动学知识解题,可处理匀变速运动问题。
(2)能量观点:用动能定理和能量守恒观点解题,可处理非匀变速运动问题。
(3)动量观点:用动量守恒观点解题,可处理非匀变速运动问题。
2.力学规律的选用原则
(1)如果要列出各物理量在某一时刻的瞬时对应关系式,可用牛顿第二定律。
(2)研究某一物体受到力的持续作用发生运动状态改变时, 一般用动量定理(涉及时间的问题)或动能定理(涉
及位移的问题)去解决问题。
(3)若研究的对象为一物体系统,且它们之间有相互作用,一般用动量守恒定律和机械能守恒定律去解决问题,
但需注意所研究的问题是否满足守恒的条件。
(4)在涉及相对位移问题时则优先考虑能量守恒定律,系统克服摩擦力所做的总功等于系统机械能的减少量,
即转变为系统内能的量。
(5)在涉及碰撞、爆炸、打击、绳绷紧等物理现象时,需注意到这些过程一般均隐含有系统机械能与其他形
式能量之间的转化。这种问题由于作用时间都极短,因此用动量守恒定律去解决。
【变式4-1】（2025·山东·高考真题）如图所示，内有弯曲光滑轨道的方形物体置于光滑水平面上，P、Q
分别为轨道的两个端点且位于同一高度，P 处轨道的切线沿水平方向，Q 处轨道的切线沿竖直方向。小物
块a、b 用轻弹簧连接置于光滑水平面上，b 被锁定。一质量
的小球自Q 点正上方
处自由下
落，无能量损失地滑入轨道，并从P 点水平抛出，恰好击中a，与a 粘在一起且不弹起。当弹簧拉力达到
时，b 解除锁定开始运动。已知a 的质量
，b 的质量
，方形物体的质量
，
重力加速度大小
，弹簧的劲度系数
，整个过程弹簧均在弹性限度内，弹性势能表达
式
（x 为弹簧的形变量），所有过程不计空气阻力。求：
(1)小球到达P 点时，小球及方形物体相对于地面的速度大小
、
；
(2)弹簧弹性势能最大时，b 的速度大小
及弹性势能的最大值
。
【变式4-2】（2025·四川·高考真题）如图所示，倾角为
的斜面固定于水平地面，斜面上固定有半径为R
的半圆挡板和长为
的直挡板。a 为直挡板下端点，bd 为半圆挡板直径且沿水平方向，c 为半圆挡板最高
点，两挡板相切于b 点，de 与ab 平行且等长。小球乙被锁定在c 点。小球甲从a 点以一定初速度出发，沿
挡板运动到c 点与小球乙发生完全弹性碰撞，碰撞前瞬间解除对小球乙的锁定，小球乙在此后的运动过程
中无其他碰撞。小球甲质量为
，两小球均可视为质点，不计一切摩擦，重力加速度大小为g。
(1)求小球甲从a 点沿直线运动到b 点过程中的加速度大小；
(2)若小球甲恰能到达c 点，且碰撞后小球乙能运动到e 点，求小球乙与小球甲的质量比值应满足的条件；
(3)在满足（2）中质量比值的条件下，若碰撞后小球乙能穿过线段de，求小球甲初动能应满足的条件。
【
1．（2025·河北·高考真题）如图，一长为2m 的平台，距水平地面高度为1.8m。质量为0.01kg 的小物块以
3m/s 的初速度从平台左端水平向右运动。物块与平台、地面间的动摩擦因数均为0.2。物块视为质点，不
考虑空气阻力，重力加速度g 取10m/s2。
(1)求物块第一次落到地面时距平台右端的水平距离。
(2)若物块第一次落到地面后弹起的最大高度为0.45m，物块从离开平台到弹起至最大高度所用时间共计
1s。求物块第一次与地面接触过程中，所受弹力冲量的大小，以及物块弹离地面时水平速度的大小。
2．（2024·安徽·高考真题）（多选）一倾角为
足够大的光滑斜面固定于水平地面上，在斜面上建立
Oxy 直角坐标系，如图（1）所示。从
开始，将一可视为质点的物块从O 点由静止释放，同时对物块
施加沿x 轴正方向的力
和
，其大小与时间t 的关系如图（2）所示。已知物块的质量为1.2kg，重力加
速度g 取
，不计空气阻力。则（ ）
A．物块始终做匀变速曲线运动
B．
时，物块的y 坐标值为2.5m
C．
时，物块的加速度大小为
D．
时，物块的速度大小为
3.（2023·广东·高考真题）某同学受电动窗帘的启发，设计了如图所示的简化模型．多个质量均为
的
滑块可在水平滑轨上滑动，忽略阻力．开窗帘过程中，电机对滑块1 施加一个水平向右的恒力
，推动滑
块1 以
的速度与静止的滑块2 碰撞，碰撞时间为
，碰撞结束后瞬间两滑块的共同速度为
．关于两滑块的碰撞过程，下列说法正确的有（ ）
A．该过程动量守恒
B．滑块1 受到合外力的冲量大小为
C．滑块2 受到合外力的冲量大小为
D．滑块2 受到滑块1 的平均作用力大小为
4．（2024·江苏·高考真题）如图所示，物块B 分别通过轻弹簧、细线与水平面上的物体A 左右端相连，整
个系统保持静止。已知所有接触面均光滑，弹簧处于伸长状态。剪断细线后（ ）
A．弹簧恢复原长时，A 的动能达到最大
B．弹簧压缩最大时，A 的动量达到最大
C．弹簧恢复原长过程中，系统的动量增加
D．弹簧恢复原长过程中，系统的机械能增加
5．（2024·广东·高考真题）（多选）如图所示，光滑斜坡上，可视为质点的甲、乙两个相同滑块，分别从
、
高度同时由静止开始下滑。斜坡与水平面在O 处平滑相接，滑块与水平面间的动摩擦因数为
，
乙在水平面上追上甲时发生弹性碰撞。忽略空气阻力。下列说法正确的有（ ）
A．甲在斜坡上运动时与乙相对静止
B．碰撞后瞬间甲的速度等于碰撞前瞬间乙的速度
C．乙的运动时间与
无关
D．甲最终停止位置与O 处相距
6．（2025·湖南郴州·一模）一个连同装备质量为M 的航天员，脱离宇宙飞船后，在离飞船L 的位置与飞船
处于相对静止状态（L 远小于飞船的轨道半径r）。为了返回飞船，他将质量为m 的氧气以相对飞船大小
为v 的速度快速向后喷出，则宇航员获得相对飞船的速度大小为（ ）
A．
B．
C．v
D．
7．（2025·湖北·模拟预测）如图所示，两端带有固定挡板的平板车质量为
，静止在光滑水平面上，质
量为
的物块放在平板车上。弹簧的左端与挡板连接，右端与物块接触但不连接，弹簧处于自然状态，弹
簧的原长为
，平板车两挡板间的距离为
，
为平板车的中点，
点左侧表面光滑，右侧粗糙。某时
刻，一颗质量为
的子弹以初速度
击中物块，并留在物块中。物块被弹簧弹出后，与右侧发生一次碰撞，
最终物块恰好停在
点。不计子弹与物块的大小，碰撞过程机械能不损失，已知重力加速度为
，弹性势
能表达式为
，其中
为弹簧的形变量，则下列判断正确的是（ ）
A．最终物块速度大小为
B．弹簧的最大弹性势能为子弹初动能的
C．物块与平板车右侧的动摩擦因数为
D．弹簧的最短长度为
8．（2025·广东清远·一模）弹棋是中国古代棋类游戏，晋人徐广《弹棋经》曰，“二人对局，黑白各六枚，
先列棋相当，下呼上击之”。弹射过程简化如下：在水平桌面上放置两个质量、大小、材料都相同的棋子，
其中A 为黑棋、B 为白棋（均可视为质点），将黑棋A 从左侧以某一初速度快速弹出，两棋子发生正碰
（碰撞时间极短），测得两棋子从碰后到停止滑行的距离分别为
、L，下列说法正确的是（ ）
A．两棋子发生的是弹性碰撞
B．碰撞过程中A、B 两棋子所受冲量大小之比为1：2
C．碰后瞬间A、B 两棋子的动量大小之比为1：2
D．碰撞过程损失的机械能与碰撞前瞬间A 棋子的动能之比为1：4
9．（2025·安徽·模拟预测）如图所示，在光滑的水平桌面上，原长为、劲度系数为
的轻弹簧两端各连
接一个物块，按住物块
，向左拉物块
，在弹簧长度为
时由静止释放物块
，当弹簧恢复原长时释放
物块
。已知两物块的质量均为
，弹簧的形变量为
时的弹性势能为
。下列说法正确的是（
）
A．刚释放物块
时，物块
的速度为
B．最终两物块以相同的速度匀速运动
C．两物块之间的最小距离为
D．物块
的最大速度为
10．（2025·江苏·一模）质量为M 的半圆形凹槽静置在光滑水平面上，质量为m 的光滑小球静止在凹槽底
部。初始时刻给小球一个水平初速度
，计算机模拟得到小球的部分轨迹如图，已知图中轨迹顶点与凹槽
端口等高，则（ ）
A．m>M
B．仅增大M 值后重新模拟，小球能飞离凹槽
C．长时间观察，有些时间段内凹槽对地向左运动
D．小球从图中A 到B 运动过程中，凹槽先加速后减速
11．（2024·天津·高考真题）如图所示，光滑半圆轨道直径沿竖直方向，最低点与水平面相切。对静置于
轨道最低点的小球A 施加水平向左的瞬时冲量I，A 沿轨道运动到最高点时，与用轻绳悬挂的静止小球B 正
碰并粘在一起。已知I = 1.8 N∙s，A、B 的质量分别为mA = 0.3 kg、mB = 0.1 kg，轨道半径和绳长均为R =
0.5 m，两球均视为质点，轻绳不可伸长，重力加速度g 取10 m/s2，不计空气阻力。求：
(1)与B 碰前瞬间A 的速度大小；
(2)A、B 碰后瞬间轻绳的拉力大小。
12．（2024·山东·高考真题）如图甲所示，质量为M 的轨道静止在光滑水平面上，轨道水平部分的上表面
粗糙，竖直半圆形部分的表面光滑，两部分在P 点平滑连接，Q 为轨道的最高点。质量为m 的小物块静置
在轨道水平部分上，与水平轨道间的动摩擦因数为μ，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。已知轨道半圆形部
分的半径
，重力加速度大小
。
（1）若轨道固定，小物块以一定的初速度沿轨道运动到Q 点时，受到轨道的弹力大小等于3mg，求小物
块在Q 点的速度大小v；
（2）若轨道不固定，给轨道施加水平向左的推力F，小物块处在轨道水平部分时，轨道加速度a 与F 对应
关系如图乙所示。
（i）求μ 和m；
（ii）初始时，小物块静置在轨道最左端，给轨道施加水平向左的推力
，当小物块到P 点时撤去
F，小物块从Q 点离开轨道时相对地的速度大小为7m/s。求轨道水平部分的长度L。
13。（2025·湖南·高考真题）某地为发展旅游经济，因地制宜利用山体举办了机器人杂技表演。表演中，
需要将质量为m 的机器人抛至悬崖上的A 点，图为山体截面与表演装置示意图。a、b 为同一水平面上两条
光滑平行轨道，轨道中有质量为M 的滑杆。滑杆用长度为L 的轻绳与机器人相连。初始时刻，轻绳？？紧
且与轨道平行，机器人从B 点以初速度v 竖直向下运动，B 点位于轨道平面上，且在A 点正下方，
。滑杆始终与轨道垂直，机器人可视为质点且始终作同一竖直平面内运动，不计空气阻力，轻
绳不可伸长，
，重力加速度大小为g。
(1)若滑杆固定，
，当机器人运动到滑杆正下方时，求轻绳拉力的大小；
(2)若滑杆固定，当机器人运动到滑杆左上方且轻绳与水平方向夹角为
时，机器人松开轻绳后被抛至A
点，求v 的大小；
(3)若滑杆能沿轨道自由滑动，
，且
，当机器人运动到滑杆左上方且轻绳与水平方向夹角为
时，机器人松开轻绳后被抛至A 点，求v 与k 的关系式及v 的最小值。
14．（2025·甘肃·高考真题）如图1 所示，细杆两端固定，质量为m 的物块穿在细杆上。初始时刻。物块
刚好能静止在细杆上。现以水平向左的力F 作用在物块上，F 随时间t 的变化如图2 所示。开始滑动瞬间
的滑动摩擦力等于最大静摩擦力。细杆足够长，重力加速度为g，θ=30°。
求：
(1)t=6s 时F 的大小，以及t 在0~6s 内F 的冲量大小。
(2)t 在0~6s 内，摩擦力f 随时间t 变化的关系式，并作出相应的f−t 图像。
(3)t=6s 时，物块的速度大小。
15.（2024·浙江·高考真题）一弹射游戏装置竖直截面如图所示，固定的光滑水平直轨道AB、半径为R 的光
滑螺旋圆形轨道BCD、光滑水平直轨道DE 平滑连接。长为L、质量为M 的平板紧靠长为d 的固定凹槽
EFGH 侧璧EF 放置，平板上表面与DEH 齐平。将一质量为m 的小滑块从A 端弹射，经过轨道BCD 后滑
上平板并带动平板一起运动，平板到达HG 即被锁定。已知R=0.5 m，d=4.4 m，L=1.8 m，M=m=0.1 kg，平
板与滑块间的动摩擦因数μ1=0.6、与凹槽水平底面FG 间的动摩擦因数为μ2。滑块视为质点，不计空气阻
力，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度
。
（1）滑块恰好能通过圆形轨道最高点C 时，求滑块离开弹簧时速度v0的大小；
（2）若μ2=0，滑块恰好过C 点后，求平板加速至与滑块共速时系统损耗的机械能；
（3）若μ2=0.1，滑块能到达H 点，求其离开弹簧时的最大速度vm。
16．（2024·广东·高考真题）汽车的安全带和安全气囊是有效保护乘客的装置。
（1）安全带能通过感应车的加速度自动锁定，其原理的简化模型如图甲所示。在水平路面上刹车的过程
中，敏感球由于惯性沿底座斜面上滑直到与车达到共同的加速度a，同时顶起敏感臂，使之处于水平状态，
并卡住卷轴外齿轮，锁定安全带。此时敏感臂对敏感球的压力大小为F N，敏感球的质量为m，重力加速度
为g。忽略敏感球受到的摩擦力。求斜面倾角的正切值
。
（2）如图乙所示，在安全气囊的性能测试中，可视为质点的头锤从离气囊表面高度为H 处做自由落体运
动。与正下方的气囊发生碰撞。以头锤到气囊表面为计时起点，气囊对头锤竖直方向作用力F 随时间t 的
变化规律，可近似用图丙所示的图像描述。已知头锤质量
，重力加速度大小取
。求：
碰撞过程中
①
F 的冲量大小和方向；
碰撞结束后头锤上升的最大高度。
②
17．（2024·浙江·高考真题）某固定装置的竖直截面如图所示，由倾角
的直轨道
，半径
的圆弧轨道
，长度
、倾角为
的直轨道
，半径为R、圆心角为
的圆弧管道
组成，
轨道间平滑连接。在轨道末端F 的右侧光滑水平面上紧靠着质量
滑块b，其上表面与轨道末端F
所在的水平面平齐。质量
的小物块a 从轨道
上高度为h 静止释放，经圆弧轨道
滑上轨道
，轨道
由特殊材料制成，小物块a 向上运动时动摩擦因数
，向下运动时动摩擦因数
，且最大静摩擦力等于滑动摩擦力。当小物块a 在滑块b 上滑动时动摩擦因数恒为
，小物块a
动到滑块右侧的竖直挡板能发生完全弹性碰撞。（其它轨道均光滑，小物块视为质点，不计空气阻力，
，
）
（1）若
，求小物块
第一次经过
①
C 点的向心加速度大小；
在
②
上经过的总路程；
在
③
上向上运动时间
和向下运动时间
之比。
（2）若
，滑块至少多长才能使小物块不脱离滑块。
18．（2023·广东·高考真题）如图为某药品自动传送系统的示意图．该系统由水平传送带、竖直螺旋滑槽
和与滑槽平滑连接的平台组成，滑槽高为
，平台高为
。药品盒A、B 依次被轻放在以速度
匀速运动
的传送带上，在与传送带达到共速后，从
点进入滑槽，A 刚好滑到平台最右端
点停下，随后滑下的B
以
的速度与A 发生正碰，碰撞时间极短，碰撞后A、B 恰好落在桌面上圆盘内直径的两端。已知A、B
的质量分别为
和
，碰撞过程中损失的能量为碰撞前瞬间总动能的
。
与传送带间的动摩擦因数为
，重力加速度为g，AB 在滑至N 点之前不发生碰撞，忽略空气阻力和圆盘的高度，将药品盒视为质点。
求：
（1）A 在传送带上由静止加速到与传送带共速所用的时间；
（2）B 从
点滑至
点的过程中克服阻力做的功
；
（3）圆盘的圆心到平台右端
点的水平距离．
