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2024 年高考一轮复习100 考点100 讲
第9 章 机械振动和机械波
第9.7 讲 利用单摆测量重力加速度实验
【知识点精讲】
[考纲解读]
(1)练习使用秒表和米尺，测单摆的周期和摆长。(2)求出当地重力加速度g 的值。(3)考查单摆
的系统误差对测重力加速度的影响。
【实验目的】
1练习使用秒表和刻度尺
2探究影响单摆运动周期的因素
3学会用单摆测定当地重力加速度
【实验器材】
带孔小钢球、细长长约1 m、游标卡尺、毫米刻度尺、秒表
【实验装置图】
【实验原理】
测定长l 和周期T，由单摆周期公式T＝2π√
l
g
→g＝4 π
2l
T
2
【实验步骤】
1做单摆,将细线穿过带中心孔的小钢球，并打一个比小孔大一些的结，然后把线的另一端用铁夹固定
在铁架台上，让摆球自然下垂
2测摆长,用米尺量出摆线长l′精确到毫米，用游标卡尺测出小球直径D，则单摆的摆长l＝l′＋D
2
3测周期,将单摆从平衡位置拉开一个角度小于5°，然后释放小球，记下单摆摆动30 次～50 次的总
时间，算出一次全振动的时间，即为单摆的振动周期
4改变摆长，重做几次实验
【实验探究】．
1
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1.定性探究单摆的振幅、质量、摆长对周期的影响
(1)探究方法：控制变量法。
(2)实验结论
①单摆振动的周期与摆球的质量无关。
②振幅较小时，周期与振幅无关。
③摆长越长，周期越长；摆长越短，周期越短。
2．定量探究单摆的周期与摆长的关系
(1)周期的测量：用停表测出单摆N(30～50)次全振动的时间t，利用T＝计算它的周期。
(2)摆长的测量：用刻度尺测出细线长度l0，用游标卡尺测出小球直径D，利用l＝l0＋求出摆
长。
(3)数据处理：改变摆长，测量不同摆长及对应周期，作出T－l、Tl2或T－ 图象，得出结论。
单摆周期公式
(1)公式的提出：周期公式是荷兰物理学家惠更斯首先提出的。
(2)公式：T＝2π
，即
T 与摆长l 的二次方根成正比，与重力加速度g 的二次方根成反比。
(3)应用——测重力加速度：由T＝2π 得g＝，即只要测出单摆的
摆长
l 和周期
T ，就可以求出
当地的重力加速度。
【方法归纳】
1. 实验操作时应注意
（1）悬线顶端不能晃动，需用夹子夹住，保证顶点固定。
（2）摆球在同一平面内振动且摆角小于10°。
（3）选择在摆球摆到平衡位置处开始计时，并数准全振动的次数。
（4）小球自然下垂时，用毫米刻度尺量出悬线长l′，用游标卡尺测量小球的直径，然后算出
摆球的半径r，则摆长l＝l′＋r。
（5）选用一米左右的细线。
2．数据处理与误差分析
(1)数据处理
①公式法：g＝4 π
2l
T
2 ，算出重力加速度g 的值，再算出g 的平均值。
②图象法：作出l－T2图象求g 值。
(2)误差分析
产生原因
减小方法
2
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偶然误
差
测量时间(单摆周期)及摆长时产生
误差
①多次测量再求平均值
②计时从单摆经过平衡位置时
开始
系统误
差
主要来源于单摆模型本身
①摆球要选体积小，密度大的
②最大摆角要小于5°
【最新高考题精练】
1（2022 高考上海）在“用单摆测定当地的重力加速度”的实验中：
（1）摆线质量和摆球质量分别为m 线和m 球，摆线长为l，摆球直径为d，则
A. m 线>>m 球，l<<d；
B. m 线>>m 球，l>>d；
C. m 线<<m 球，l<<d；
D. m 线<<m 球，l>>d；
(2) 小明在测量后作出的T2——l 图像如图所示，则他测得的结果是g= m/s2。（保留2 为小数）
（3）为了减小实验误差，应该从最高点还是最低点开始计时，请简述理由 。
【参考答案】（1）D （2）9.74 （3）最低点 速度最大，计时误差最小。
【命题意图】本题考查单摆测量重力加速度+图像法处理实验数据+误差分析+实验探究能力+模型思想
【名师解析】（1）单摆模型是轻细线悬挂小球，不计细线质量，摆球视为质点，所以该实验要求摆线质
量远小于摆球质量，摆线长度要远大于摆球直径，即m 线<<m 球，l>>d；选项D 正确。
(2)由单摆周期公式，T=2π
，可得T2=
l，T2——l 图像斜率k=
，由题给出的实验T2——l 图像
可得k=
=4.05，由
=4.05 解得：重力加速度g=9.74m/s2。
（3）由于摆球摆动到最低点时速度最大，以最低点开始计时，计时误差最小。
3
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【最新模拟题精练】
1. （2023 长春三模）如图甲所示为某物理实验小组同学探究“利用单摆测重力加速度”的实验装置。将
选好的一根长约
左右的细线穿过带孔的小钢球，在细线的下端打一个比小球上的孔径稍大些的结。把
细线的上端固定在铁架台上，铁架台放在实验桌边，使悬点伸到桌面以外，摆线自然下垂。
（1）将下列实验步骤补充完整：
①测量摆长：用刻度尺测出悬点到小球上端的距离为
，用游标卡尺测出小球的直径如图乙所示，则小球
直径
_________
，并计算出单摆的摆长l。
②测量周期：将单摆从平衡位置拉开一个较小的角度，然后释放小球，让小球保持竖直面内摆动。用停表
记下单摆50 次全振动的时间，计算出完成一次全振动的时间T。
③多次改变摆长，重复前面实验过程。
（2）根据多次改变摆线长度得到的数据作出
图像，即可求出当地的重力加速度。理论上
图像
是一条经过坐标原点的直线，实验时某同学误把
记作摆长l，绘出
图像如图丙所示。请你判断用
该图像_________（填“能”或“不能”）计算出当地重力加速度g。若能，计算出g 的数值，（结果保留
到小数点后两位）；若不能，简要说明理由：_________。
【参考答案】： ①. 2.030 ②. 能 ③. 9.76
【名师解析】：（1）①[1]游标卡尺的读数即小球直径为
4
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（2）[2][3]根据单摆周期公式
可得
可知
图像斜率
根据图像可得
解得
2. （2023 湖南衡阳二模）（1）某同学在用单摆测量重力加速度实验时，测量摆长。用米尺测得摆线长度
为
，用游标卡尺测得小铁球的直径如图甲所示，则摆球的直径为___________
。（结果保留
两位小数）
（2）用停表测量单摆的周期。把单摆从平衡位置拉开一个很小的角度释放，当单摆稳定时，摆球到达
___________（选填“最高”或“最低”）点时开始计时，并计数为零。单摆每经过这点时记一次数，当
数到100 次时，如图乙所示，所用的时间为___________ ，则单摆的周期为___________ 。
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（3 ）他计算得出的重力加速度为___________
，比实际测量的重力加速度要大，其原因是
___________。
A．摆球太重 B．摆角太小
C．开始计时时停表过迟按下 D．实验中全振动次数记少了
【参考答案】 ①
②. 最低 ③.
.
④
.
⑤
##10.4
.
⑥C
【名师解析】
（1）[1]单摆的摆球直径为
（2）[2][3][4] 当单摆稳定时，摆球到达最低点时开始计时，并计数为零。单摆每经过这点时记一次数，
当数到100 次时，如图乙所示，所用的时间为1 分37.5 秒，单摆全振动次数为50 次，故单摆的周期为
。
（3）[5]根据单摆周期公式
解得
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[6] AB．
值大的原因就在于周期值比实际的要小，与摆球质量、摆角无关，故AB 错误；
C．开始计时时停表过迟按下，使记录时间变小，次数不变，故周期变小，
值比实际测量的重力加速度
要大，故C 正确；
D．实验中全振动次数计少了，记录时间不变，则周期变大，
值比实际测量的重力加速度要小，故D 错
误。
3. （2023 福建泉州三模）某同学利用图甲实验装置测量当地的重力加速度。实验主要步骤如下：
A．按图甲将沙漏悬挂在支架上，在沙漏正下方放置一块长木板，木板与电动机的牵引绳相连，在木板上
固定一张白纸；
B．测得悬挂沙漏的摆线长度为
；
C．使沙漏在支架所在的竖直面内小幅度摆动，同时让细沙不断流出；
D．启动电动机，使木板以
的速度水平匀速运动，运动方向与沙漏摆动平面垂直，细沙在白纸上
形成一条曲线，并建立坐标如图乙所示，用该图线研究沙漏的振动规律；
E．将摆线长度视为该单摆的摆长，结合其它所得的数据和图线，可求出当地的重力加速度。
（1）该单摆的周期为__________s；
（2）取
，可求得当地的重力加速度大小为__________m/s2（结果保留三位有效数字）：
（3）重力加速度的测量值与真实值相比__________（选填“偏大”或“偏小”）。
【参考答案】 ①. 2.0
.
②9.66
.
③偏小
【名师解析】
（1）[1]根据题意，由图乙可知，单摆摆动一个周期，木板移动的距离为
，可得单摆周期为
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（2）[2]根据题意，由单摆周期公式
可得，当地
重力加速度为
代入数据解得
（3）[3]由于计算时摆长用的摆线长，小于实际摆长，则重力加速度的测量值与真实值相比偏小。
4. . (2023 浙江杭州九校期中联考)在“用单摆测量重力加速度”的实验中，某实验小组在测量单摆的周期
时，测得摆球经过n 次全振动的总时间为
，在测量单摆的摆长时，先用毫米刻度尺测得摆线长度为，
再用游标卡尺测量摆球的直径为D。
回答下列问题：
（1）为了减小测量周期的误差，实验时需要在适当的位置做一标记，当摆球通过该标记时开始计时，该
标记应该放置在摆球摆动的________。
A．最高点 B．最低点 C．任意位置
（2）该单摆的周期为________。
（3）若用表示摆长，T 表示周期，那么重力加速度的表达式为g＝________。
（4）如果测得
g 值偏小，可能的原因是________。
A．测摆长时摆线拉得过紧
B．摆线上端悬点未固定，振动中出现松动，使摆线长度增加了
C．开始计时时，停表过迟按下
D．实验时误将49 次全振动记为50 次
（5）为了提高实验的准确度，在实验中可改变几次摆长L 并测出相应的周期T，从而得出几组对应的L 和
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T 的数值，以L 为横坐标、
为纵坐标作出
图线，但同学们不小心每次都把小球直径当作半径来计
算摆长，由此得到的
图像是图乙中的________（选填“①”“②”或“③”）。
【参考答案】： ①. B
.
②
.
③
.
④B
.
⑤①
【名师解析】：（1）[1]为了减小测量周期的误差，应该将小球经过最低点时作为计时开始和终止的位置
更好些，实际摆动中最高点的位置会发生变化，且靠近最高点时速度较小，计时误差较大。故选B。
（2）[2]因为摆球经过n 次全振动的总时间为
，则该单摆的周期为
（3）[3]由单摆周期公式
可得，重力加速度的表达式为
（4）[5]因为重力加速度的表达式为
A．测摆长时摆线拉得过紧，所测摆长偏大，则所测重力加速度偏大，A 错误；
B．摆线上端悬点未固定，振动中出现松动，使摆线长度增加了，故所测重力加速度偏小，B 正确；
C．开始计时时，秒表过迟按下，所测周期偏小，则所测重力加速度偏大，C 错误；
D．实验中误将49 次全振动次数记为50 次，所测周期偏小，则所测重力加速度偏大，D 错误。
故选B。
（5）[5]由题意可得，单摆的实际摆长为
由单摆周期表达式得
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化简可得
由此得到的
图像是图乙中的①。
5. （2023 浙江台州部分重点高中联考）某实验小组在利用单摆测定当地重力加速度的实验中：
（1）用游标卡尺测定摆球的直径，测量结果如图甲所示，则该摆球的直径为________
。摆动时偏角满
足的条件是偏角小于
，为了减小测量周期的误差，计时开始时，摆球应是经过________（选填“最高”
或“最低”）点的位置，且用停表测量单摆完成多次全振动所用的时间，再求出周期。图乙中停表示数为
一单摆全振动50 次所需的时间，时间为________s。
（2）用最小刻度为
的刻度尺测摆长，测量情况如图丙所示，O 为悬挂点，若用L 表示摆长，T 表示
周期，那么重力加速度的表达式为
________。
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（3）某同学用单摆测量当地的重力加速度。他测出了摆线长度L 和摆动周期T，如图丁a 所示。通过改变
悬线长度L，测出对应的摆动周期T，获得多组T 与L，再以
为纵轴、L 为横轴画出函数关系图像如图丁
b 所示。由图像可知，摆球的半径
________m，当地重力加速度
________
；由此种方法得到
的重力加速度值与实际的重力加速度值相比会________（选填“偏大”“偏小”或“一样”）。
【参考答案】： ①. 0.97 ②. 最低 ③. 102.5 ④.
⑤.
⑥. 9.86 ⑦. 一样
【名师解析】：（1）[1]10 分度游标卡尺的精确值为
，由图甲可知摆球的直径为
[2]为了减小测量周期的误差，计时开始时，摆球应是经过最低点的位置；
[3]图乙中停表示数为一单摆全振动50 次所需的时间，时间为
（2）[4]根据单摆周期公式可得
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可得重力加速度的表达式为
（3）[5][6]根据单摆周期公式可得
可得
由图像可知，摆球的半径为
图像的斜率为
可得当地重力加速度为
[7]根据以上推导可知，由此种方法得到的重力加速度值与实际的重力加速度值相比会一样。
7. （2023 浙江杭州名校联考）实验小组的同学在实验室做“用单摆测量重力加速度的大小”的实验。
（1）下列最合理的装置是______
A．
B．
C．
D．
（2）为使重力加速度的测量结果更加准确，下列做法合理的是______
A．测量摆长时，应测量水平拉直后的摆线长
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B．在摆球运动过程中，必须保证悬点固定不动
C．在摆球运动过程中，摆线与竖直方向的夹角不能太大
D．测量周期时，应该从摆球运动到最高点时开始计时
（3）某同学课后尝试在家里做用单摆测量重力加速度的实验。由于没有合适的摆球，于是他找到了一块
鸡蛋大小、外形不规则的大理石块代替小球进行实验。
如图1 所示，实验过程中他先将石块用细线系好，结点为M，将细线的上端固定于O 点。
然后利用刻度尺测出OM 间细线的长度l 作为摆长，利用手机的秒表功能测出石块做简谐运动的周期T。在
测出几组不同摆长l 对应的周期T 的数值后，他作出的
图像如图2 所示。
①该图像的斜率为______
A．g B．
C．
D．
②由此得出重力加速度的测量值为______
。（
取3.14，计算结果保留三位有效数字）
【参考答案】 （1）①. D （2） ②. BC##CB （3）③. C
.
④9.86
【名师解析】
（1）[1]根据单摆理想模型可知，为减小空气阻力的影响，摆球应采用密度较大，体积较小的铁球，为使
单摆摆动时摆长不变化，摆线应用不易形变的细私线，悬点应该用铁夹来固定。
故选D。
（2）[2]根据周期公式
可得重力加速度
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A．测量摆长时，应该测量竖直拉直后的摆线长，故A 错误；
B．在摆球运动过程中，必须保证悬点固定不动，故B 正确；
C．摆球运动过程中，摆线与竖直方向的夹角不能太大，如摆角太大，将不能看作简谐运动，单摆周期公
式失效，故C 正确；
D．测量周期时，应该从摆球运动到最低点时开始计时，因为最低点位置摆球速度最大，相同的视觉距离
误差引起的时间误差较小，则周期测量比较准确，故D 错误。
故选BC。
（3）①[3]由图可知，设M 点到重心得距离为d，根据周期公式
可得
故该图像的斜率为
故选C。
[4]
②
由于
解得由此得出重力加速度的测量值为
7.（8 分）（2023 湖北重点高中期中联考）某实验小组利用单摆测重力加速度
（1）用毫米刻度尺测得单摆的悬线长为98.00cm，用20 分度的游标卡尺测摆球的直径时示数如图甲所示，
则摆球的直径D=
mm，则摆长L=
cm.
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甲
乙
（2）为了比较准确地测量出当地的重力加速度值，实验中为了减少摆长的测量误差对实验精度的影响，
小组决定改变摆长的大小测出对应的单摆周期T，并绘出T2-L 图线，从而间接测定当地的重力加速度.
A.若T2-L 图线的斜率为k，当地的重力加速度计算公式为g= ；
B.实验小组测得相关数据，绘制出T2-L 图线如图乙所示：
C.若取
，请根据图乙的T2-L 图线算出当地重力加速度值为g= m/s2（保留三位有效数
字）.
【参考答案】.（1）20.80（2 分）
99.04（2 分）（2）
（2 分）
9.70（9.69~9.72）（2 分）
【名师解析】：（1）摆球的直径
；
摆长
.
（2）根据
，解得
，
图线的斜率为k，则
，解得
；由图
象可得斜率大小为
；当地重力加速度值为
.
8.（2023 广东佛山重点高中质检）(7 分)在“用单摆测量重力加速度的大小”的实验中．
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(1)安装好实验装置后，先用游标卡尺测量摆球直径d，测量的示数如图甲所示，则摆球直径d＝________
cm.
(2)摆球摆动稳定后，当它到达________(选填“最低点”或“最高点”)时启动秒表开始计时，并记录此
后摆球再次经过最低点的次数n，当n＝60 时刚好停表．停止计时的秒表读数为67.5 s，该单摆的周期为
T＝________s(周期要求保留3 位有效数字)．
(3)如果g 测量值小于真实值，可能原因是________．
A．将摆球经过最低点的次数n 计多了
B．计时开始时，秒表启动稍晚
C．将摆线长当成了摆长
D．将摆线长和球的直径之和当成了摆长
(4)测出多组单摆的摆长l 和运动周期T，作出T2－l 图像．理论上T2－l 图像是一条过坐标原点的直线，某
同学根据实验数据作出的图像如图乙所示，造成图像不过坐标原点的原因可能是
________________________________________ ，由图像求出的重力加速度g ＝________m/s2.( 取π2＝
9.87，计算结果保留3 位有效数字)
【参考答案】(1)1.84
(2)最低点 2.25 (3)C
(4)将线长当作摆长 9.87（2 分）其余每空1 分
【名师解析】
(1)摆球直径d＝18 mm＋4×0.1 mm＝18.4 mm＝1.84 cm.
(2)由于在最低点摆球的运动速度最快，如果记录位置有误差，那么时间的相对误差较小，在
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最低点开始计时；由于每两次经过最低点的时间间隔为一个周期，因此振动周期T＝s＝2.25
s.
(3)根据周期的计算公式T＝2π 可得g＝l，若将摆球经过最低点的次数n 计多了，从而测得
振动周期偏小，从而测得的重力加速度偏大，A 错误；若计时开始时，秒表启动稍晚，振动
周期测量值偏小，从而测得的重力加速度偏大，B 错误；若将摆线长当成了摆长，这样摆长
测量值偏小，从而测得的重力加速度偏小，C 正确；若将摆线长和球的直径之和当成了摆长，
这样摆长测量值偏大，从而测得的重力加速度偏大，D 错误．
(4)有可能将线长当作摆长，从而当线长为0 时，振动周期大于0，根据g＝(l＋l0)，图像的
斜率k＝，由题图乙可得k＝4 s2/m，可得g＝9.87 m/s2.
16. （2023 浙江萧山名校联考）在“用单摆测定当地的重力加速度”的实验中：
（1）摆线质量和摆球质量分别为m 线和m 球，摆线长为l，摆球直径为d，则___________；
A．
B．
C．
D．
（2）为了减小测量周期的误差，摆球在经过最低点的位置时开始计时，若某次用秒表测量若干次全振动
所用的时间如图所示，则时间为t=___________s。
（3）在“用单摆测定重力加速度”的实验中：甲同学用标准的实验器材和正确的实验方法测量出几组不
同摆长L 和周期T 的数值，画出如图T2-L 图象中的实线
；乙同学也进行了与甲同学同样的实验，但实
验后他发现测量摆长时忘了加上摆球的半径，则该同学作出的T2-L 图像为___________。
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A．虚线①，不平行实线OM
B．虚线②，平行实线OM
C．虚线③，平行实线OM
D．虚线④，不平行实线OM
【参考答案】 ①. D
.
②70.8
.
③B
【名师解析】
（1）[1]实验要求摆线质量比摆球质量小的多，摆线长要远大于小球直径，即
，
，故选
D。
（2）[2]用秒表测量若干次全振动所用的时间为
（3）[3]根据
可得
若忘记加摆球的半径，则
表达式变为
则图像斜率不变且在纵轴正方向上有截距，故选B。
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