第三章 习题（2）

我们继续！

分析：容易观察到感觉这三条边都是平行且相等的，所以比如连一连  和 ，会发现要证明这三个圆的半径相等。

主要是这件事情有一些不同的解法。

第一种想法是直接利用 正弦定理 进行计算，得到外接圆半径；

第二种想法就是观察出  和原来的外心  的关系，进行处理；

第三种想法就是画出垂足来直接证明全等；

最后第四种想法是直接通过证明两组边平行来证明平行四边形。

证明：

【法一】：

一方面，利用 正弦定理，

其中  为  的外接圆半径。

所以同理 。

另一方面，

所以

因此四边形  为平行四边形。

所以

同理另外几条边也都是相等的。

所以

证毕。

【法二】：

做出  的外心 ，那么熟知  关于  的对称点  在  上。

也就是说， 是  的外接圆。

而  和  关于  对称，所以如果记  为  关于  的对称点，那么 （半径与  相等）就是  的外接圆！

所以说，，， 就是  分别关于  三条边的对称点！

那么记三边中点为 ，，，则

同理另外两边也对应相等！

证毕。

【法三】：

易知  和  的交点为  和  的中点，另外两个也同理。

所以

同理另外两边也相等，证毕。

【法四】：

由于

而

所以

而用 【法一】 的方法易知

所以四边形  为平行四边形。

因此

同理另外两边也相等。

证毕。

分析：这个 塞瓦中点模型 是不是很明显？

所以提前熟悉一些结论是比较有帮助的，有时也可以把思路导到正轨上。

证明：由 塞瓦定理 易知

证毕。

证明：记 ，， 的半径分别为 ，，。

由 梅涅劳斯定理，只需证

而由相似易得

所以

证毕！

分析：这里肯定要用 塞瓦定理。

不过我们可以发现，用边元的形式很难处理最后的三点共线，因此最后的三点共线应该使用角元的形式来证明。

那么如果要使用角元形式的话，我们就需要分角的正弦之比，而这个我们可以发现和之前的 “共边模型” 有很大的关系。

结合这两点我们就可以轻松做出这道题目了。

证明：即证

而由 “共边模型” 可得

所以

但是，由 塞瓦定理，上面两组括号里面的乘积都等于 ！

所以那组正弦之比的乘积也等于 ！

分析：

这道题目其实并不难，但是就是容易误入歧途导致做很久。

首先我们要先注意到一点，也就是这个“外接圆”其实是没有用的！

为什么这么说？因为我们要想想，这个点  其实说白了就是等腰梯形的第四个顶点，也就是“ 关于  中垂线的对称点”！

有了这个对称的刻画之后，我们就可以把圆去掉了，然后把它当一个等腰梯形看待，获得了下图：

我们同时也把这个对称轴画出来了，这还利用到了  中点 ，那么我们就肯定得再把  这条线连上。

接下来其实就容易多了，因为我们其实可以看到一个类似于“沙漏”的相似。

而已经有了  之后只需要再证明  即可，而这个由对称性显然！

所以我们会发现这道题的关键就是一定要去掉圆的影响，发现其实对称性的刻画是更好的，循着这条思路进行思考。

当然，如果化成上述那个图之后，直接建系无脑计算也很好做，因为重心的坐标公式是五心里面最简单的一个！

证明：

【法一】：

所以由题可知四边形  为等腰梯形。

因此做出双高之后两个垂足  和  应该关于  中点  对称！

此即

而

所以

因此

再结合 ，， 三点共线可知 ，， 也三点共线！

【法二】：

直接以  为  轴， 中垂线为  轴建系！

设

那么我们会得到

因此

所以

此即 ，， 三点共线！

证明：设这四个反射点为 ，，，，，，， 与四条边的交点分别为 ，，，。

那么  就是  的中点，同理另外三个也是。

而由于

所以

因此

同理也有

所以

同理

因此

所以（由两个中位线平行易得）

所以也有

证毕！