【初中数学】最值系列之“阿氏圆”问题

先复习两个定理

（1）角平分线定理：如图，在△ABC中，AD是∠BAC的角平分线，则AB:AC=DB:DC．

证明：利用等积法

，

即AB:AC=DB:DC

（2）外角平分线定理：如图，在△ABC中，外角CAE的角平分线AD交BC的延长线于点D，则AB:AC=DB:DC．

不妨将点A、B两点置于x轴上且关于原点对称，设A（-m，0），则B（m，0），设P（x，y），PA=kPB，即：

解析式满足圆的一般方程，故P点所构成的图形是圆，且圆心与AB共线．

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，以点C为圆心，2为半径作圆C，分别交AC、BC于D、E两点，点P是圆C上一个动点，则1/2PA+PB的最小值为______．

【分析】这个问题最大的难点在于转化1/2PA，此处P点轨迹是圆，故转化方法与之前有所不同，如下，提供两种思路．

法一：构造相似三角形

注意到圆C半径为2，CA=4，连接CP，构造包含线段AP的△CPA，在CA边上取点M使得CM=2，连接PM，可得△CPA∽△CMP，故PA：PM=2:1，即PM=1/2PA．

问题转化为PM+PB最小值，直接连BM即可．

对比一下这个题目的条件，P点轨迹是圆，A是定点，我们需要找出另一个定点M使得PM:PA=1:2，这不就是把“阿氏圆”的条件与结论互换了一下嘛！

而且这种问题里，给定的圆的位置、定点A的位置、线段的比例等，往往都是搭配好的！

P点轨迹圆的圆心C点和A点在直线AC上，故所求M点在AC边上，考虑到PM：PA=1:2，不妨让P点与D点重合，此时DM=1/2DA=1，即可确定M点位置．

如果对这个结果不是很放心，不妨再取个特殊的位置检验一下，如下图，此时PM=3，PA=6，亦满足PM:PA=1:2．

【小结】法二其实是开了上帝视角，在已知其是阿氏圆的前提下，通过特殊点找出所求M点位置，虽不够严谨，却很实用．

如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC=12，AC=9，以点C为圆心，6为半径的圆上有一个动点D．连接AD、BD、CD，则2AD+3BD的最小值是______．

【分析】首先对问题作变式2AD+3BD=3（2/3AD+BD），故求2/3AD+BD最小值即可．

考虑到D点轨迹是圆，A是定点，且要求构造2/3AD，条件已经足够明显．

当D点运动到AC边时，DA=3，此时在线段CD上取点M使得DM=2，则在点D运动过程中，始终存在DM=2/3DA．

问题转化为DM+DB的最小值，直接连接BM，BM长度的3倍即为本题答案．