AI聊数学:第2章08习题2-2(中国台湾翰林版高中第一册)

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习题2-2是常用对数的综合练习，10道题从定义到应用，覆盖了对数的基本概念、对数值判断、倍数关系、位数估计和实际应用。

常用对数的题，核心就是抓住定义——10的log a次方等于a，以及log a的整数部分决定a的量级。这10道题就是围绕这两个核心展开的。

第1题：对数定义填空

第1题3个空格。10的几次方等于42？17等于10的log多少？10的log345次方等于多少？

全是对数定义的直接应用。10的log42次方等于42，所以第一个空填log42。17等于10的log17次方，所以第二个空填17。10的log345次方等于345。核心就一句话——10的log某数，结果就是某数本身。

解题要点：对数定义的核心恒等式——10^(log a) = a，和它等价的形式：a = 10^(log a)。这两个转化要能灵活切换。

第2题：求对数值

第2题求对数值。log1000、log0.000001、还有log1加log10加log100。

log1000，因为1000等于10的3次方，所以等于3。log0.000001，0.000001等于10的负6次方，所以等于负6。log1等于0、log10等于1、log100等于2，加起来等于3。

解题要点：求一个数的常用对数，就是看这个数是10的几次方。10的正整数次幂的对数是正整数，负整数次幂的对数是负整数。

第3题：表格转换

第3题给出对数值求原始值。p的log是2.2，q是2.4，r是2.6，s是2.8。

由定义，p等于10的2.2次方，q等于10的2.4次方，r等于10的2.6次方，s等于10的2.8次方。对数值每增加0.2，原始值就乘以10的0.2次方——这就是对数值变化与原始值倍数之间的对应关系。

第4题：负对数值

第4题反过来——已知原始值求对数值。0.001、0.01、0.1、1。

0.001等于10的负3次方，log是负3。0.01等于10的负2次方，log是负2。0.1等于10的负1次方，log是负1。1等于10的0次方，log是0。

解题要点：小于1的正数的对数值是负数。数越小，对数值的负数绝对值越大。

第5题：对数值与倍数

第5题，甲数的log是3.84。乙数是甲数的100倍，求乙的log。丙数是甲数的10分之1倍，求丙的log。

甲等于10的3.84次方。乙是100倍，所以乙等于10的2次方乘10的3.84次方等于10的5.84次方，log乙等于5.84。丙是10分之1，所以丙等于10的负1次方乘10的3.84次方等于10的2.84次方，log丙等于2.84。规律：乘以10的k次方，对数值就加k。

解题要点：一个数乘以10的k次方，它的对数值就增加k。乘以100（10²）对数值加2，除以10（10⁻¹）对数值减1。

第6题：位数与对数值

第6题，一个六位数——第一个星号不是0，它的log在什么范围？还有一个0.000星号——第一个星号不是0，log在什么范围？

六位数最小是100000等于10的5次方，最大是999999小于10的6次方。所以log在5和6之间。0.000星号最小是0.0001等于10的负4次方，最大是0.000999小于0.001等于10的负3次方。所以log在负4和负3之间。

解题要点： n位数的对数值在n-1和n之间。小数点后第k位开始出现非零数字，对数值在负k-1和负k之间。

第7题：判断题

第7题5个选项。答案选B、D、E。

A错——10的log2等于2，10的log3等于3，2小于3。B对——每个正数a都可以写成10的log a次方。C错——比如a等于0.1等于10的负1次方，指数为负。D对——10的2倍log a次方等于括号10的log a次方的平方，等于a的平方。E对——a分之1等于a的负1次方，等于括号10的log a次方的负1次方，等于10的负log a次方。

解题要点：判断题要逐项用对数定义验证。特别注意负数的指数和负的对数值——正数a在0到1之间时log a是负数。

第8题：log a=4.5

第8题，log a等于4.5，问a最接近哪个数？选项从90000到10000。

a等于10的4.5次方，等于10的0.5次方乘10的4次方。10的0.5次方就是根号10，约3.16。所以a约等于3.16乘10的4次方，即31600，在30000和40000之间。选D——30000。

解题要点： 10的4.5次方要拆成10的0.5次方和10的4次方。10的0.5次方就是根号10≈3.16，这是很常用的估算值。

第9题：连续取两次对数

第9题，对一个数连续取两次log等于3，问这个数是几位数。

设这个数为a，则log(log a)等于3。所以log a等于10的3次方等于1000。那么a等于10的1000次方。10的1000次方就是1后面跟1000个0，所以是1001位数。

解题要点：连续取对数要一层一层"剥开"——先由最外层的log等于3得到内部的值为10³=1000，再由内层log等于1000得到真数a=10¹⁰⁰⁰。

第10题：pH值

第10题，胃酸氢离子浓度是10的负1.2次方莫耳每升，pH值等于负log a。求胃酸的pH值。

氢离子浓度a等于10的负1.2次方。pH等于负log a，等于负的log括号10的负1.2次方，等于负的负1.2，等于1.2。所以胃酸的pH值是1.2——酸性很强。pH值就是通过对数把微小的氢离子浓度转换成0到14之间便于理解的数值。

解题要点： pH值的计算就是负对数的直接应用。先把浓度写成10的某次方，负log就直接等于那次方的相反数。

梳理一下核心要点：

好，全部10道题讲完了。按题型梳理一下方法：

第一，对数定义的应用——第1、2、3、4、7题。核心恒等式10^(log a)=a，以及它的逆用a=10^(log a)。这些是基本功，必须熟练掌握。

第二，对数值与真数的倍数关系——第5、8题。真数乘以10的k次方，对数值增加k。反之，知道对数值就能反推真数的量级。

第三，位数与对数值的关系——第6、9题。n位数的对数值在n-1到n之间。如果对数值本身很大（比如1000），那么真数的位数就是对数值加1（1001位）。

第四，对数的实际应用——第10题。pH值、地震规模等科学量都是用对数来定义的，因为它们能把大范围变化的量压缩成便于比较的数值。

习题2-2是常用对数的收官之练。从简单的定义填空到连续取对数的思考题，再到pH值的实际应用——十道题走下来，对常用对数的理解就从"知道定义"升级到了"会用对数"。这也是第二章从指数到对数的完美收尾！