初中数学“勾股定理”几何培优16讲

初中数学勾股定理

专题01 用勾股定理解三角形

一、单选题

1．如图，在中，，，，、分别是、的中点，则的长是（）

A．B．C．D．

【答案】B

【分析】

根据勾股定理可先求出BC，然后结合中位线定理得出结论．

【解析】

由勾股定理得：，

∵、分别是、的中点，

∴是的中位线，

则，

故选：B．

【小结】

本题考主要考查三角形的中位线定理，熟记并灵活运用基本定理是解题关键．

2．直角三角形的直角边长分别为3，4，则直角三角形的周长为（）

A．5B．12C．12或D．

【答案】B

【分析】

先根据勾股定理求出直角三角形的斜边，继而即可求出三角形的周长．

【解析】

根据勾股定理可知：斜边==5，

∴三角形周长=3+4+5=12，

故选：B．

【小结】

本题考查的是勾股定理的应用，难度适中，解题关键是根据勾股定理求出斜边的长．

3．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是高，∠A=30°，AB=4，则下列结论中不正确的是（　　　）

A．BC=2B．BD=1C．AD=3D．CD=2

【答案】D

【分析】

根据含30°角的直角三角形的性质及勾股定理求出各线段的长度，即可判断．

【解析】

∵∠ACB=90°，∠A=30°，

∴BC=AB=2，∠B=60°，

∵CD⊥AB，

∴∠CDB=∠CDA=90°，∠BCD=30°，

∴BD=BC=1，

∴AD=AB-BD=4-1=3，CD=，

∴不正确的是D．

故选：D．

【小结】

本题考查的是直角三角形的性质，勾股定理，掌握直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键．

4．如图是2002年8月在北京召开的国际数学大会的会标，它是由四个相同的直角三角形与中间一个小正方形拼成的一个大正方形，若大正方形的边长是13cm，每个直角三角形较短的一条直角边的长是5cm，则

小正方形的边长为（）

A．4cmB．5cmC．6cmD．7cm

【答案】D

【分析】

先设直角三角形的两直角边分别是a cm、b cm（a＞b），斜边是c cm，于是有a²+b²=c²，即a²+5²=13²，易得a=12 cm，a-b即可得小正方形的边长．

【解析】

设大直角三角形的两直角边分别是a cm、b cm（a＞b），斜边是c cm，那么有a²+b²=c²，

∵大正方形的边长是13cm，每个直角三角形较短的一条直角边的长是5cm，

∴a²+5²=13²，

解得a=12（舍去负值），即a=12 cm，

∴小正方形的边长为：a-b=12-5=7 cm．

故选：D．

【小结】

本题考查了勾股定理，解题的关键是知道小正方形的边长等于直角三角形较长直角边减去较小直角边．

5．已知一个直角三角形三边的平方和为800，则这个直角三角形的斜边长为（　　　）

A．20B．40C．80D．100

【答案】A

【分析】

直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方，已知三边的平方和可以求出斜边的平方，根据斜边的平方可以求出斜边长．

【解析】

∵在直角三角形中斜边的平方等于两直角边的平方和，

又∵已知三边的平方和为800，则斜边的平方为三边平方和的一半，

即斜边的平方为，800÷2=400，

专题02 已知两点坐标用勾股定理求两点距离

一、单选题

1．在平面直角坐标系中，点P (3，4)到原点的距离是（）

A．3 B．4 C．5D．7

【答案】C

【分析】

根据勾股定理求解即可

【解析】

∵P (3，4) ，

∴点P到原点的距离=

故选：C．

【小结】

本题考查勾股定理，掌握勾股定理准确计算是解题关键．

2．如图，以数轴的单位长度线段为边作一个正方形，以表示数0的点为圆心，正方形对角线长为半径画弧，交数轴于点A，则点A表示的数是（　　）

A．B．C．D．

【答案】C

【分析】

根据勾股定理的公式算出正方形的对角线长，即可得到答案．

【解析】

数轴上正方形的边长为1，

则正方形的对角线长为：，

∴OA=OB=．

∴A表示的数是．

故选：C．

【小结】

本题考查勾股定理及两点间距离公式，圆的性质，熟记勾股定理的公式是解题的关键．

3．如图，在矩形OABC中，点B的坐标是（1，3），则A、C两点间的距离是（　　）

A．4B．C．D．2

【答案】C

【分析】

根据矩形的性质即可求出答案．

【解析】

在矩形OABC中，

OB＝AC，

∵B（1，3），

∴，

故选：C．

【小结】

本题考查矩形的性质，解题的关键是熟练运用矩形的性质以及勾股定理．

4．在平面直角坐标系中，点P（﹣x，2x）到原点O的距离等于5，则x的值是（　　）

A．±1B．1C．D．±

【答案】D

【分析】

根据两点间的距离公式列出关于x的方程，求出x的值即可．

【解析】

∵点P（﹣x，2x）到原点O的距离等于5，

∴x²+4x²=25，解得x=±．

故选：D．

【点评】

本题考查的是两点间的距离公式，熟记两点间的距离公式是解答此题的关键．

5．已知点，，则，两点间的距离是（）

A．个单位长度B．个单位长度C．个单位长度D．个单位长度

【答案】B

【分析】

根据题意画出图形即可由图直接求出A、B两点之间的距离．

【解析】

如图，可知A、B间的距离为3个单位长度．

故选：B．

【小结】

本题考查了坐标与图形的性质，根据题意画出图形，利用数形结合是解题的关键．

6．在平面直角坐标系中，若点到原点的距离小于或等于，则的取值范围是（）

A．B．C．D．

【答案】D

【分析】

利用勾股定理列出不等式求解即可得．

【解析】

由题意得：

解得

故选：D．

【小结】

本题考查了利用勾股定理求两点之间的距离，掌握勾股定理是解题关键．

7．如图，四边形为平行四边形，A，C两点的坐标分别是，，则平行四边形的周长等于（）

A．B．C．D．

【答案】D

【分析】

先根据点A、C的坐标可得OA、OC的长，再根据平行四边形的性质可得BC、AB长，由此即可得出答案．

【解析】

四边形为平行四边形

则平行四边形的周长为

故选：D．

【小结】

本题考查了平行四边形的性质、两点之间的距离公式等知识点，熟记平行四边形的性质是解题关键．

8．在平面直角坐标系中，点的坐标，点的坐标为为实数)，当长取得最小值时，的值为（）

A．B．C．D．

【答案】A

【分析】

由两点间的距离公式可得出PQ²关于t的二次函数关系式，利用配方法结合二次函数的性质即可得出当PQ取最小值时t的值．

【解析】

由两点间的距离公式可知：PQ²=（t-1）²+（t--2）²=（t+）²+16，

∵＞0，

∴当t=时，PQ²最小．

故选：A．

【小结】

本题考查了两点间的距离公式以及二次函数的性质，解题的关键是找出PQ²关于t的二次函数关系式．

9．如果点与点间的距离为5，那么的值是（）

A．4或B．0

C．8D．0或8

【答案】D

【分析】

根据两点间的距离公式得到，两边平方后整理得，（k-4）²=25-9=16，求解即可.

【解析】

根据题意得，

（k-4）²=25-9=16

解得，k₁=0,k₂=8

故选D.

【小结】

本题考查了两点间的距离公式：在平面坐标系中，若点A的坐标为（x₁,y₁）,点B的坐标为（x₂,y₂）则AB的距离为.

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