ARTICLE · 1318458
中考复习第12讲 | 反比例函数:定义+图象性质+k 的几何意义+综合应用(12题精练)
中考复习第12讲 | 反比例函数：定义+图象性质+k 的几何意义+综合应用（12题精练）
初中数学 · 中考一轮复习 · 第 12 讲
🎁 文末有礼｜读到文末，关注后私信「初中数学学霸笔记」即可领取完整笔记
📌 本讲导读
上一讲的一次函数是"一条直线"，这一讲换成两支曲线——同一个 k，一片在原点左边，一片在右边，性质却各说各话。
中考在这里最爱考三件事：判断与求 k、k 的几何意义（面积）、与一次函数的交点。这三件练透，反比例就从"容易混"变成"稳拿分"。12 题按这三条主线排好，最后一题是标准压轴款。
一、知识清单
① 定义：三种写法，一个前提
形如 y=k/x（k 为常数，k≠0）的函数叫反比例函数。同一种关系的三种写法：
y=k/x ⇔ xy=k ⇔ y=kx⁻¹
判断"是不是反比例函数"过三关：右边是分式、k≠0、分母里只有 x 且次数为 1。
y=1/(x+1)、y=1/x²、y=(x+1)/x 都不是反比例函数。
② 图象与性质：双曲线，两支分开说
图象是双曲线，由两支组成，与坐标轴永不相交。
· k＞0：两支在第一、三象限，在每一个象限内 y 随 x 增大而减小；
· k＜0：两支在第二、四象限，在每一个象限内 y 随 x 增大而增大。
"每一个象限内"这五个字不能丢。k＞0 时若说"y 随 x 增大而减小"就是错的——跨支比较会翻车。
③ 对称性：记住"一个中心、两条轴"
双曲线关于原点成中心对称，也关于直线 y=x 和 y=−x 成轴对称。
实用推论：若点 (a，b) 在图象上，则 (−a，−b) 也在图象上（这是"两点和原点"类面积题的地基）。
④ k 的几何意义：面积题的总开关
设 P(x₀，y₀) 在 y=k/x 上，过 P 向两坐标轴作垂线，垂足为 A、B：
· 矩形 PAOB 的面积 = |k|；
· △POA（一条垂线 + 原点）的面积 = |k|/2；
· 若 A、B 是图象上两点，则 S△OAB=½|x₁y₂−x₂y₁|，配合"两点和原点"变形使用。
面积只和 |k| 有关，与点的位置无关——这是命题人最爱的"动点不变"。
⑤ 求解析式与比较大小
求解析式：只需一个点。设 y=k/x，代入求 k，写完回代验一次。
比较大小：
· 同一支上 → 直接用增减性；
· 不同支上 → 先看符号（正的一支 > 负的一支），或直接算出函数值比。
拿不准就代值，三个数一算，比背结论稳。
⑥ 与一次函数综合 + 实际应用
联立 y=k/x 与 y=ax+b ⇒ 消 y 得 ax²+bx−k=0，两根就是交点的横坐标。
图象法读不等式 k/x > ax+b：看双曲线在直线上方的那几段（注意 x≠0 是断点）。
实际应用三类：物理（I=U/R、p=F/S、杠杆 F₁L₁=F₂L₂）、工程（工作总量=效率×时间）、行程（路程=速度×时间）——先写"乘积为定值"再下结论。
二、题型精讲
题型一判断与求 k
若 y=(m−2)x^(m²−5) 是反比例函数，求 m 的值。
思路：两条件——指数为 −1、系数不为 0。
m²−5=−1 ⇒ m²=4 ⇒ m=±2；又 m−2≠0 ⇒ m≠2 ⇒ m=−2。
只写 m=±2 是最常见的丢分点。
题型二由性质反求参数范围
反比例函数 y=(k−1)/x 的图象，在每一个象限内 y 随 x 增大而减小，求 k 的取值范围。
思路："每支递减" ⇔ 图象在一、三象限 ⇔ k−1＞0 ⇒ k＞1。
反过来若说"每支递增"，就取 k−1＜0。
题型三k 的几何意义（面积）
点 P 是反比例函数 y=k/x（k＞0）图象上一点，PA⊥x 轴于 A。若 △POA 的面积为 3，求 k。
思路：S△POA=|k|/2=3 ⇒ |k|=6；又 k＞0 ⇒ k=6。
若条件改成"矩形面积 3"，则 |k|=3，不用除 2。
题型四与一次函数的交点
一次函数 y=x+2 与反比例函数 y=k/x 的图象交于点 A(1，3) 和点 B，求 k 与点 B 的坐标。
思路：先定 k：A 在双曲线上 ⇒ k=1×3=3。
再联立 x+2=3/x ⇒ x²+2x−3=0 ⇒ (x−1)(x+3)=0 ⇒ x=1 或 −3。
x=−3 时 y=−1 ⇒ B(−3，−1)。验：xy=(−3)(−1)=3 ✓。
题型五实际应用：先看"乘积是否为定值"
压力 F=500 N 一定时，压强 p（Pa）与受力面积 S（m²）满足 p=500/S。当 S=0.5 m² 时，求 p。
思路：F 一定 ⇒ pS=500 为定值 ⇒ 反比例。代 S=0.5 ⇒ p=1000 Pa。
判断类问题一律先问一句："两个量的乘积是定值吗？"是则为反比例。
三、考点速查表
四、巩固练习（12 题）
下列函数：①y=2/x；②y=−3/x；③xy=5；④y=1/x²；⑤y=x/2。其中 y 是 x 的反比例函数的是 ______（填序号）。 反比例函数 y=k/x 的图象经过点 (−2，3)，求 k 的值与函数解析式。 若 y=(m−2)x^(m²−5) 是反比例函数，求 m 的值。 反比例函数 y=(k−1)/x 的图象，在每一个象限内 y 随 x 增大而减小，求 k 的取值范围。 反比例函数 y=−4/x 的图象位于第 ______ 象限，在每一个象限内 y 随 x 增大而 ______；点 A(−1，4)、B(2，2) 中，在图象上的是 ______。 点 A(−3，y₁)、B(−1，y₂)、C(2，y₃) 都在反比例函数 y=6/x 的图象上，比较 y₁、y₂、y₃ 的大小。 点 P 是反比例函数 y=k/x（k＞0）图象上一点，PA⊥x 轴于点 A，△POA 的面积为 3，求 k。 点 P 在反比例函数 y=−5/x 的图象上，过 P 分别作 x 轴、y 轴的垂线，围成的矩形面积是多少？ 一次函数 y=x+2 与反比例函数 y=k/x 的图象交于 A(1，3)、B 两点，求 k 与点 B 的坐标。 承上题，直接写出不等式 x+2＞3/x 的解集。 压力 F=500 N 一定时，压强 p（Pa）与受力面积 S（m²）满足 p=F/S。当 S=0.5 m² 时，求 p；并说明 p 与 S 是什么函数关系。 一次函数 y=−x+4 的图象与反比例函数 y=k/x（x＞0）的图象交于 A(1，m)、B(n，1) 两点。（1）求 k、m、n；（2）求 △AOB 的面积。
五、逐题解析
- ①②③
。①②是 y=k/x 型（k 分别为 2、−3）；③化简为 y=5/x，是；④分母次数为 2，不是；⑤是正比例函数。 - k=−6；y=−6/x
。xy=k ⇒ k=(−2)×3=−6；回代：x=−2 时 y=3 ✓。 - m=−2
。指数 m²−5=−1 ⇒ m=±2；系数 m−2≠0 ⇒ m≠2 ⇒ m=−2。 - k＞1
。"每支内递减" ⇒ 图象在一、三象限 ⇒ k−1＞0 ⇒ k＞1。 - 二、四；增大；A
。k=−4＜0 ⇒ 二、四象限，每支内递增；A：−4/(−1)=4 ✓，B：−4/2=−2≠2 ✗。 - y₂＜y₁＜y₃
。代值：y₁=−2，y₂=−6，y₃=3。也可用符号判：B、A 在负支，C 在正支。 - k=6
。S△POA=|k|/2=3 ⇒ |k|=6；k＞0 ⇒ k=6。 - 5
。矩形面积 = |k| = |−5| = 5。 - k=3；B(−3，−1)
。A 在双曲线上 ⇒ k=1×3=3；联立 x+2=3/x ⇒ x²+2x−3=0 ⇒ x=1 或 −3；x=−3 时 y=−1。 - −3＜x＜0 或 x＞1
。看图象：双曲线在直线上方的两段——注意 x=0 是断点，所以左边那段只能写到 0 为止（不含 0）。 - p=1000 Pa；p 与 S 成反比例函数关系
。pS=F=500 为定值 ⇒ 反比例；S=0.5 ⇒ p=500/0.5=1000（Pa）。 - （1）m=3，k=3，n=3；（2）S△AOB=4
。A(1，m) 在直线上 ⇒ m=−1+4=3；k=1×3=3。
B(n，1) 在直线上 ⇒ 1=−n+4 ⇒ n=3；验：k/n=3/3=1 ✓，故 B(3，1)。
直线与 y 轴交于 (0，4)，把 △AOB 沿 y 轴切成两块：S=½×4×(3−1)=4。
🧠 方法速记卡
① 判断三关：右边是分式、k≠0、分母只含 x 且次数为 1；
② k 定象限与升降：k＞0 一三、每支递减；k＜0 二四、每支递增——"每支内"三个字是命门；
③ 求 k 只需一点：k=xy，代完回代验；含 x 系数的定义题，指数与系数两个条件都要用；
④ 面积口诀：矩形 |k|、三角形 |k|/2；见"动点在双曲线上"，先想面积不变；
⑤ 比大小：同支用增减，跨支先看符号，拿不准就代值；
⑥ 与一次函数：联立解方程找交点，读不等式看"谁在上面"，x=0 永远是断点。
资料领取 关注 + 私信，领《初中数学学霸笔记》
① 点击标题下方蓝字，关注本号；
② 关注后，在公众号对话框私信回复「初中数学学霸笔记」；
③ 按回复提示即可领取初中数学学霸笔记。
后续预告 不只这一讲，后面还有一整套
📘 专项习题册：按知识点分册，与本篇 12 题同源同梯度，另附易错题加练，正在编排中；
💻 线上辅导：小班精讲 + 一对一答疑，专攻"听懂了却做不对"的那几步；
📝 专题讲义：跟着复习节奏走，九上到中考冲刺逐章更新。
关注本号，新内容上线第一时间推送，别错过。
初数轻松学 · 中考一轮复习 第 12 讲 · 关注后私信「初中数学学霸笔记」领笔记
