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高中数学:集合、映射与函数(备战高考)
高中数学：地基不牢，楼层白搭；地基一稳，分数自来
高中数学中最容易被低估的部分，是集合、映射与函数。集合、映射和函数是数学大厦的基石，也是高考命题的核心板块。集合作为一种语言工具，贯穿于代数、几何与概率之中；
它们看似抽象，实则是后续所有内容的基础：导数、数列、不等式、解析几何，最终都要回归到“一个x对应一个y”这一核心概念。
熟练掌握这一层后，分数并非通过大量刷题堆砌而来，而是看到题目便能明确从何处入手。
背的顺序：先记定义，再记判定，最后记变形结论。每条公式都要能回答一句“它解决什么问题”，否则考场想不起来。
集合与逻辑：先把家底清点清楚
集合只有三个规矩：元素确定、互不相同、没有顺序。
运算也只有三个动作：交集取共同的，并集取全部，补集取剩下的。
两个公式值得记牢。子集个数是2 的 n 次方，别忘了空集。元素个数用容斥：A∪B 的元素数，等于 A 的加 B 的，再减去交集的。
逻辑的关键，其实就一句话：p 能推出 q，p 是 q 的充分条件，q 是 p 的必要条件。
用范围理解最省事：小范围推得出大范围，大范围推不出小范围。所以“x 大于 3”，是“x 大于 0”的充分不必要条件。
量词否定是白送的分：任意变存在，存在变任意，结论取反。“对任意 x 都成立”的否定，是“存在一个 x 不成立”。
以下图片：集合与逻辑核心公式速查表
集合：三运算、两公式、一条铁律
逻辑：四个词定生死
映射与函数：对上号才算数
映射的要求只有一句：每个原象都有象，一个原象不能有两个象。可以多对一，不能一对多。
函数，就是数集之间的映射。三要素是定义域、对应法则、值域。
判两个函数是不是同一个，只看两样：定义域是否相同，法则是否相同。字母叫什么，不算数。
所有函数题的第一行，都该先写定义域。分母不为零，偶次根号下非负，对数的真数大于零——这是最常踩的三个坑。
求解析式两条路：换元、配凑。已知f(x) 求 f(-x)，把 x 换成 -x 就行。分段函数分段看，别硬凑成一条式子。
以下图片：映射与函数核心公式速查表
函数的基本性质：四个词看穿一道题
单调性：在区间上任意取x₁ 小于 x₂，都有 f(x₁) 小于 f(x₂)，才叫增函数。关键词是“任意取”，拿两个特殊值试一下，不算证明。
奇偶性：先看定义域是否关于原点对称。f(-x) 等于 -f(x) 是奇函数，图像关于原点对称；f(-x) 等于 f(x) 是偶函数，图像关于 y 轴对称。
周期性：f(x+T) 等于 f(x)。它常和对称一起考：图像关于两条直线对称，周期就是这两条线距离的两倍。
图像变换：左加右减，上加下减；带绝对值，先翻折。
最值不一定要求导：单调区间上，端点就是最值。
以下图片：函数基本性质核心公式速查表
函数基本性质：定义+ 六组结论
单调性：在区间D 上任意取 x₁<x₂，若恒有 f(x₁)<f(x₂)，则 f(x) 在 D 上单调递增；若恒有 f(x₁)>f(x₂)，则单调递减。关键词是“任意取”。
复合函数单调性：内外层同增或同减，整体递增；一增一减，整体递减——同增异减。前提是内层的值域落在外层的定义域内。
学习方法：三件小事，比多刷十套题管用
第一，公式别只背结论，要背“它解决什么问题”。容斥公式解决的是数人数，子集公式解决的是有多少种选法。想清楚用途，考场上才想得起来。
第二，每学完一个函数，画一张草图：定义域、奇偶性、单调区间、极值点、两端的走向。图一出来，选择题常常三秒就能落笔。
第三，错题本只记错因，不抄原题。“定义域忘了”“充分必要看反了”“任意取写成了存在”，这些才是分数的漏洞。
第四，把逻辑翻译成人话。充分条件问“有了它够不够”，必要条件问“没有它行不行”。两句话一问，绕人的题就散了。
地基本来就不好看，可所有楼层都压在它上面。
不必一次把函数吃透。今晚可以先做一件小事：随便挑一个函数，把它的定义域、奇偶性、单调区间画在一张纸上。
画着画着，那些抽象的符号，会慢慢长出自己的形状。
学习后总结：三类题、三个动作
一、单调函数：最值一定在端点，直接代进去算。
二、二次函数在闭区间[m,n] 上：先看对称轴 x＝−b/2a。轴在区间左侧，最小值在左端点；轴在右侧，最小值在右端点；轴落在区间内，最小值在顶点处，最大值再比较两个端点的函数值。
三、抽象函数或含参问题：先判断单调性，再用单调性脱掉f，把 f(x₁)＜f(x₂) 化成自变量的不等式——别忘了定义域这个隐形条件。
三处最常丢分：①讨论 A⊆B 时漏掉 A＝∅；②换元求解析式或值域，忘写 t 的取值范围；③用单调性解抽象不等式，忘记定义域。
开头点明：集合、映射与函数是后面所有内容的地基，导数、数列、不等式都要落到“一个 x 对应一个 y”。
核心公式总结：
集合、映射与函数是后面所有内容的地基，导数、数列、不等式都要落到“一个 x 对应一个 y”。
集合与逻辑：三条基本规定、三种运算；子集个数2ⁿ、容斥公式；充分必要条件用 “小范围推得出大范围” 来讲；量词否定怎么写才算对。
映射与函数：可以多对一，不能一对多；三要素；判同一个函数只看定义域和法则；分母、偶次根号、对数真数这三个常见的易错点；求解析式的换元和配凑。
函数基本性质：单调性里的“任意取”、奇偶性先看定义域是否对称、周期与对称的关系、图像 “左加右减、上加下减”。
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