2026北师大版初中数学八年级上册学生AI智能体深度理解16法：第15篇｜第四章 一次函数·2 认识一次函数——深度理解16法之「时间距离」

北师大版义务教育教科书 · 数学 八年级上册 · 第四章 一次函数·2 认识一次函数

🏫 学校：dxyc2360      👨‍🏫 指导教师：张元方

📖 一、开篇引言

教材第79页是一张照片，一个没拧紧的水龙头，正往下滴。旁边一句话：一个滴漏的水龙头一年的漏水量大约有多少？够一个人一年使用吗？先猜一猜，再设计一个方案具体估算一下。

这一页的右上角还有一个云朵框，写着2020年我国人均生活用水量：城镇也就是含公共用水的地方是207 L/d，农村是100 L/d。很多孩子看到这个数字，第一反应是拿207去乘365，算出七万多升，然后说“够”。这个反应不算错，可惜跳过了教材真正要孩子干的那件事。

教材要孩子干的事，是把“滴水”这件事写成一个式子。第80页小明的实验数据摆在那里：1分钟5.5 mL，2分钟11.0 mL，3分钟16.5 mL。孩子把这两行数字一看，会发现时间每往前走一格，水量就多出5.5 mL，多出来的这个数一次也没变。这个“改变量不变”才是本节真正的根，它比答案重要得多。

孩子在这一节会撞上三堵墙。头一堵墙是“均匀”两个字。小学里算路程用“速度×时间”，算式是背下来的，孩子从来没问过为什么可以乘。这一节要他自己从一堆数据里把“均匀”认出来，还要说出为什么能乘。第二堵墙是y=kx+b里的k和b。定义孩子能一字不差地背，你问他第82页刹车题里k=-35是什么意思，他多半答不上来，更说不出b=120为什么是刹车开始时的速度。第三堵墙在第83页的分档水费：第二档的单价4.83元，能不能直接乘全部用水量？不能。前220 m³已经按3.45元付过钱了，这笔钱不能丢。

这三堵墙有个共同的病根。孩子把这节课的新式子，硬塞进小学那套“乘一乘就完事”的经验里，塞不进去就死记硬背，背下来的东西一碰变形题就散。这一篇用「时间距离」这一法来读：让孩子站在小学的“均匀”和八年级的“均匀”之间，看清那段距离里到底多了什么、变了什么、反了什么方向。

下面的拆解全部落到纸上：第79页的水龙头实验，第80页的驱蚊线香，第81页的定义与例1，第82页的紧急刹车，第83页的租车比较与分档水费，第84页的天然气，第85页的漏刻计时，第86到88页的习题4.2共13道题。题目一道不漏，题号照教材原样，家长拿着这一篇对着书翻就行。

📊 二、思维导图

本节知识一张图：从“均匀变化”到y=kx+b，再到分档计费

这张图从左上角往右下角走，一共六条大枝。第一条是“均匀”的意思，落点是教材第80页那句话：一个变量增加固定的数值时，另一个变量的改变量相同。第二条是从表格到关系式的路，水龙头、线香、弹簧、油箱四个情境都走这条路。第三条是定义本身，y=kx+b，k不能等于0。第四条是正比例函数，它是b=0时的特例，不是另起一家。第五条是k与b的实际意义，配例1与例2。第六条是分档计费，配例3与两道随堂练习。孩子复习时先看枝，再看叶，哪片叶子说不出内容，就回去翻对应页码。

🔑 三、深度理解16法之「时间距离」

伽达默尔在《真理与方法》里讲诠释学经验，提出过一个说法叫“时间距离”。人们平常把时间距离当成理解的障碍：隔得越远，越读不懂。伽达默尔把话说反了。他说时间距离不是一道必须填平的深渊，它是理解得以发生的积极条件。一段文本离我们远一点，我们身上那些当下的偏见才有机会沉淀下去，什么该留、什么该丢，才看得清楚。

这条道理搬到教材上，出奇地好用。八年级的孩子读一次函数，跟自己的小学经验之间正好隔着一段距离。这段距离不是要抹掉的，是要走进去、看清楚里面有什么。硬抹掉会出两种毛病：一种是把新东西硬说成旧的，“不就是速度乘时间嘛”，于是例2的刹车题立刻翻车，因为方向反了；另一种是干脆把旧的扔掉，从定义开始死背，于是第83页的分档水费一算就错，因为他不知道“乘”这个动作从哪儿来。

第一步，把小学的“均匀”摆到桌面上。让孩子自己讲：速度不变的时候，路程为什么可以拿速度乘时间。多数孩子会讲成“因为有公式”。这句话是空的。真正的理由是：每过1小时都多走60 km，多出来的量一样，所以3小时就是3个60。第81页例1第(1)小题那个y=60x，考的就是这个理由。

第二步，站在八年级的门口问一句：哪里不一样了。第80页的线香就是一个漂亮的反例。香点着了，长度不是越变越长，是每过1分钟少0.5 cm。乘法还在，方向翻了：22.4、21.9、21.4，一路往下走。孩子在这里必须换一次脑子，从“增加”换成“减少”，从正号换成负号。第82页的刹车题也是同一个翻转，速度每秒减35 km/h，k写成-35，b是刹车那一刻的120。

第三步，回头看，把式子和经验对上号。孩子写出的每一个k和b，都要能翻译成一句人话。y=3+0.5x里，3是弹簧不挂东西时的长度，0.5是每挂1 kg长出来的0.5 cm。z=40-0.08x里，40是油箱原来的40 L，0.08是每千米烧掉的油。翻译得出来，时间距离就闭合了；翻译不出来，说明他还停在背定义的位置。

家长用这一法，有个很省力的动作：不急着讲公式，先让孩子讲他那点旧经验，再问“现在哪里不一样”。孩子讲得越具体，新旧之间的那道缝就越清楚。缝清楚了，新知识才有地方落。

📝 四、核心概念与公式

知识点一 · 函数的对应关系先要认准两个变量

这一节的每一道题，开头都得先认两个量：谁是自变量，谁是因变量。第79页是时间t和漏水量V，第80页是燃烧时间t和剩下的长度l，第82页是刹车后的时间t和速度y。认错一次，式子就全错。判断的土办法：先变的是自变量，跟着变的那个才是函数。水在滴，是时间在往前走；速度在降，是时间在往前走。教材第79页第(3)问“你能帮他写出漏水量V与时间t之间的关系式吗”，把V写在前面，说的是V随t变。

知识点二 · 一次函数的定义：y=kx+b，k不能等于0

教材第81页黑体字写得很干脆：如果两个变量x，y之间的对应关系可以表示成y=kx+b（k，b为常数，k≠0）的形式，那么称y是x的一次函数。这里有两个硬条件。一个是k≠0，没有这一条，式子退化成y=b，x怎么变y都不动，就不叫“一次”了。另一个是x的次数必须是1，x出现在分母上、出现在平方上、出现在根号里，都不是一次函数。第81页例1第(2)小题的圆面积y=πx²，就是被这一条挡在门外的。注意b可以是0，也可以是负数，这一点常被孩子误判成“不符合定义”。

知识点三 · 正比例函数是b=0的那种一次函数

教材第81页紧跟一句：特别地，当b=0时，称y是x的正比例函数。这句话定下了两者的关系：正比例函数是一次函数的一部分，不是并列的两家。所以判断题的答法有固定套路：“是x的一次函数”与“是x的正比例函数”这两问，第二问成立时第一问必然成立；第一问成立时第二问不一定。y=60x两个都是；y=15+5x只是前者；y=0.08x两个都是；y=40-0.08x只是前者。

知识点四 · k与b各自管一件事

k管变化的快慢和方向。教材第81页右侧的蓝框说得很清楚：对一次函数而言，自变量每增加1，函数值就增加k，函数值的变化是“均匀”的。k是正数，函数值往上走；k是负数，函数值往下掉；k的绝对值越大，动得越快。b管起点，也就是自变量为0时函数值落在哪儿。第82页例2把这个分工讲得最直白：k=-35表示每秒汽车速度的变化量，b=120表示刹车开始时汽车的速度。孩子只要能把k、b各翻译成一句带单位的话，这两个字母就活了。

知识点五 · 根据条件求表达式：先设y=kx+b，再代数值

本节后半段大量出现“由已知的一对数值反求式子”的题，第83页例3第(3)问、第84页随堂练习第1题第(3)问、第88页习题4.2第11题第(3)问都是这一路。做法固定成三步：先按题意设出y=kx+b（正比例就设y=kx），再把题目给的一组x、y代进去，把k、b当未知数解出来；已知两组数值就联立两个方程，已知一组又知道b，就直接代。第84页天然气第(3)问给的1311元，就是先判断落在第二档，再把1311代进第二档的式子解出x=450。

本节公式与常用算式（全部核对过）

水龙头（小明数据）：V=5.5t；一天1440 min，漏7920 mL即7.92 L；一年365天约2890.8 L，不到3 m³。

线香：l=22.9-0.5t；t=10时l=17.9 cm；烧完时l=0，t=45.8 min。

弹簧：y=3+0.5x（x≥0，且在弹性限度内）。

油箱：耗油量y=0.08x；剩余油量z=40-0.08x。

例1：y=60x（一次函数，也是正比例函数）；y=πx²（都不是）；y=15+5x（是一次函数，不是正比例函数）。

例2：y=-35t+120；停止时y=0，t=24/7≈3.43 s。

随堂练习（大米）：y=7.6x，是正比例函数。

随堂练习（动车）：y=500+350x；x=0.5时y=675 km。

租车：甲公司15x，乙公司10x+200；30 km时450元对500元；52 km时780元对720元；两家收费一样时x=40 km。

例3：220<x≤300时y=4.83x-303.6；x=250时y=903.9元；水费1000.5元对应x=270 m³；x>300时y=5.83x-603.6。

随堂练习（天然气）：300<x≤600时y=3.28x-165；x=400时y=1147元；燃气费1311元对应x=450 m³。

习题4.2第2题：x=30n，y=16n，y=8/15·x。

习题4.2第8题：y=5.5x+36 000；x=8000时y=80 000元。

习题4.2第10题：峰谷电费y=0.56x+0.36(2400-x)=0.2x+864；不分时电费2400×0.53=1272元；两者相等时x=2040 kW·h。

习题4.2第11题：2760<x≤4800时y=0.58x-138；x=4000时y=2182元；电费1834元对应x=3400 kW·h。

📜 五、教材原文

教材原文

略

教材第79至88页的完整原文，涉及北师大版义务教育教科书数学八年级上册的版权内容，这里不整段转录。本节的引文只取关键的定义句、表格数据与题目要求，分散写在下文各节；每一道题的原题要点、栏目位置、页码，都在第八节逐条对应。家长若要核对原文，翻书第79页至第88页即可一一对上。

🧩 六、重点难点分析

难点一 · “均匀”不是“平均”，是每走一格改变量相同

孩子最容易把“均匀”理解成“差不多”“平平稳稳”。教材第80页右侧那个提示框给的是一句可操作的话：一个变量增加固定的数值时，另一个变量的改变量是相同的。这句话要拆成三个动作去用：先算相邻两格的差，再看这些差是不是同一个数，末了才敢说“均匀”。第80页线香的数据，22.4、21.9、21.4、20.9、20.4，一减下去每次都是0.5，方向是往下的，这也叫均匀。孩子往往只认往上加的那种，一碰往下减的就犹豫。破法很土：拿笔在表格每两个数之间写一次差，差都相等就画个记号，五个差全是同一个数，结论自然出来。

难点二 · k≠0这条限制，孩子背得出却用不上

定义里“k≠0”三个字符，孩子念得比谁都顺，一到判断题就漏。第81页例1第(2)小题y=πx²，有孩子看见π就当常数，认定这是一次函数；错的根子不在π，在x的指数是2。第86页习题4.2第1题第(2)小题同样是这个坑：长方形周长10 cm，一边长x，另一边是5-x，面积y=x(5-x)=5x-x²，乘开以后冒出x²，立刻不是一次函数。还有一个反向的坑：y=3（k=0）孩子反而会说“这是一次函数，只是k等于0”，正好把定义读反了。破法是把定义抄成两行字贴在书页边上：次数是1、k不等于0，两条件都不缺。

难点三 · 正比例函数与一次函数是包含关系，不是兄弟关系

作业里常见这样的答法：“y=15+5x是一次函数，也是正比例函数”，或者反过来把y=60x只答成一次函数。这类错不算粗心，是概念没搭起层次。教材第81页的原话是“特别地，当b=0时”，四个字“特别地”就说明了包含关系：正比例函数在一次函数里面，范围更小。第82页随堂练习第1题大米单价7.6元一千克，y=7.6x，两问的答案都是“是”。第81页例1第(3)小题水池原有15 m³，y=15+5x，第二问必须答“不是”，因为b=15。破法是让孩子画两个圈，大圈写一次函数，小圈写正比例函数，每写一个式子就往圈里丢一次。

难点四 · k与b的实际意义，答不出单位就是没懂

第82页思考·交流第(1)问问得狠：例1里两个一次函数的k和b分别是多少，它们的实际意义是什么。多数孩子能报出k=5、b=15，卡在“实际意义”四个字上。合格的答法要带单位：k=5表示每小时进水5 m³，b=15表示开始进水时池里原有15 m³水。第82页例2把这个要求推到极致：k=-35表示每秒汽车速度减少35 km/h，b=120表示刹车开始那一瞬间的速度是120 km/h。负号不能丢，丢了就把“减速”说成了“加速”。破法是每写一个式子，就在旁边写两句话：k说的是“每变一个单位，跟着变多少”，b说的是“一开始是多少”。

难点五 · 分档计费的式子，前一段的钱不能重新按新单价算

第83页例3是本节的硬骨头。第二档220<x≤300，单价4.83元，最诱人的错法是y=4.83x。这个式子意味着前220 m³也按4.83元收，比实际多收了钱。教材的解法是把水费拆成两段相加：前220 m³按3.45元付3.45×220=759元，超出220的部分是(x-220)立方米，按4.83元付4.83(x-220)，合起来y=3.45×220+4.83(x-220)=4.83x-303.6。这个-303.6是补偿项，它的来历必须讲清：759-4.83×220=759-1062.6=-303.6。孩子自己把这一步算一遍，式子就记住了，比背结论牢。

难点六 · 由式子反求用水量，要先判断落在哪一档

第83页例3第(3)问给水费1000.5元反求用水量，第84页随堂练习第1题第(3)问给燃气费1311元反求用气量，第88页习题4.2第11题第(3)问给电费1834元反求用电量，三道题一个套路。孩子上来就设方程，把1000.5代进第二档的式子，答案凑巧对，过程却悬着：万一给的钱落在第一档或第三档，代错档位就全盘皆错。教材示范了正确的顺序：先算出两个档位交界处的钱数，3.45×220=759元、4.83×300-303.6=1145.4元，再看1000.5夹在759和1145.4之间，确定属第二档，然后才设方程解出270。这个“先定位、再解方程”的顺序，比答案本身值钱。

❓ 七、常考易考题与易错题

题型一 · 判断是不是一次函数、是不是正比例函数

例题：下列式子中，y是x的一次函数吗？是正比例函数吗？(1) y=4x-7；(2) y=6/x；(3) y=x²+2；(4) y=0.5x。答：(1) 是一次函数，不是正比例函数（b=-7）；(2) 都不是，x在分母上；(3) 都不是，次数是2；(4) 两个都是。易错：把(2)的6/x看成6乘x。错因：分数形式里的x位置没看清。纠法：把每个式子都改写成y=kx+b的样子试一遍，写不成的就不是。

题型二 · 由实际情境写关系式并指出k、b

例题：某出租车起步价8元，超过3 km后每千米2.4元，写出3 km以上车费y（元）与里程x（km）的关系式。答：y=8+2.4(x-3)，即y=2.4x+0.8，k=2.4表示每多走1 km多花2.4元，b=0.8表示把起步价摊到全程后的起点值。易错：直接写y=2.4x+8。错因：起步价的8元被重复收了一次。纠法：先算3 km处的车费是8元，再把式子写成8+2.4(x-3)，与第83页例3的拆法完全一样。

题型三 · 用表格数据判断“均匀”并写关系式

例题：某弹簧长度y与所挂质量x的数据为x=0时y=3.0，x=1时y=3.5，x=2时y=4.0，问是否均匀，并写关系式。答：相邻两格的差都是0.5，均匀；y=3+0.5x。易错：写成y=0.5x。错因：漏了不挂物体时已有的3.0 cm。纠法：回表格看x=0那一格，那一格的y值就是b。

题型四 · 由一组或两组数值反求表达式

例题：已知一次函数过x=2时y=7，x=4时y=11，求表达式。答：设y=kx+b，代入得2k+b=7、4k+b=11，两式相减得2k=4，k=2，回代得b=3，所以y=2x+3。易错：把两组数值分别当k和b。错因：没意识到k、b是待定系数。纠法：把“设y=kx+b”这五个字先写在草稿纸第一行，再动手代。

题型五 · 分档计费写第二档式子

例题：某市电费第一档0<x≤2760单价0.53元，第二档2760<x≤4800单价0.58元，写第二档电费y与用电量x的关系式。答：y=0.53×2760+0.58(x-2760)=0.58x-138。易错：y=0.58x。错因：把第一档的钱也按0.58算了。纠法：先算2760度那一点的电费1462.8元，用y=0.58(x-2760)+1462.8核对，两式必须一致。

题型六 · 由总费用反求用量

例题：某户去年电费1834元，按上题标准，求用电量。答：先算第二档上限4 800度的电费0.58×4800-138=2646元，1834夹在1462.8与2646之间，属第二档；解0.58x-138=1834得x=3400，所以用电3400 kW·h。易错：直接拿1834除以0.58。错因：跳过档位判断，也漏了那个-138。纠法：每次反求用量前，先在草稿上写出两个交界处费用。

题型七 · 用一次函数比较两种收费方案

例题：甲方案每千米15元，乙方案每千米10元另加服务费200元，问里程多少时收费相同。答：15x=10x+200，解得x=40，即40 km时相同；少于40 km选甲，多于40 km选乙。易错：把200元写成每年、每次之外的别的东西，或者直接比较单价。错因：没把两个式子摆在同一张纸上比。纠法：两个式子都写成y=kx+b，再让y相等，这是第83页租车题的原地做法。

📄 八、教材内容逐点拆解

这一节的顺序就是教材第79到88页的顺序。每个栏目先讲清它要孩子干什么，再把栏目里的每一道题单独拆开。拆法固定成六件套：题目原文要点、考查什么、思路、分步过程、易错、验算，末了加一段“带这一题”，说的是家长坐在孩子旁边时怎么开口。

节首情境 · 一个滴漏的水龙头（印刷第79页）

这一页的上半部分是引入。一个没拧紧的水龙头正往下滴水，旁边的问句是：一个滴漏的水龙头一年的漏水量大约有多少？够一个人一年使用吗？先猜一猜，再设计一个方案具体估算一下，并与同伴进行交流。右上角的云朵框给了两个参照数字：2020年我国人均生活用水量，城镇含公共用水207 L/d，农村100 L/d。

这两个数字的用处，是让孩子把“一年漏多少”换算成人能喝多少、用多少。一天7.92 L的漏水量，放在农村100 L/d的尺度上，大概是十三分之一。孩子算出这个比例，才会对“滴答滴答”有真实的量感。这一页的教学价值不在答案，在“先猜后估”这四个字：先猜一个数，再用实验数据去校，猜错了也要说出错在哪。

栏目「操作·思考」第79页 · 水龙头漏水的四个问题

这个栏目安排了一次真实验：把水龙头拧到适当位置造成滴漏，下面放量杯，每隔1 min记录一次水量，填进表1，在坐标纸上描出（t，V）对应的点。表1是两行十二列，时间从1 min排到10 min再加省略号，漏水量那一行全空，留给孩子自己填。

第(2)问换成小明的实验数据，表2的数据是：1 min对应5.5 mL，2 min对应11.0 mL，3 min对应16.5 mL，4 min对应22.0 mL，5 min对应27.5 mL，6 min对应33.0 mL，7 min对应38.5 mL，8 min对应44.0 mL，9 min对应49.5 mL，10 min对应55.0 mL。这一行数据是本节的骨架，后面所有的推理都从它出发。

第(3)问要求写关系式，答案是V=5.5t，t的单位是min，V的单位是mL。第(4)问比较自己和小明的实验结果，答案不唯一，要点是找出不同之处落在哪儿：滴得快慢不同，所以每分钟漏的量不同，但各自的表都“均匀”。第(1)问里那句“在坐标纸上描点”，是为下一节图象埋的伏笔，描出来是一条过原点的直线。

栏目「思考·交流」第79–80页 · 三问说清“一样”与“不一样”

第(1)问比较各组的数据与结果，共同之处是每一组自己的数据都均匀，不同之处是每分钟漏的量各家不同。第(2)问追一句：引起各组数据不一致的因素有哪些，这些差别对表格、图象和关系式的影响分别体现在哪些方面。答法是三处一起说：表格里是每次增加的毫升数不同，图象里是直线的陡缓不同，关系式里是k的大小不同。这一问把“表格、图象、关系式”三种表示串在了一起，孩子答得出，等于把本节和下一节接上了。

第(3)问是个漂亮的追问：假如水龙头漏水严重一些，表格、图象和关系式可能会发生什么变化，为什么。答案要落在k上：表格里每次多出来的毫升数变大，图象里直线变得更陡，关系式里k从5.5变成更大的数，b仍然是0。这个问题问的是“参数变了，式子怎么变”，是初中学函数时最该养成的视角。

栏目「操作·思考」第80页 · 驱蚊线香（第(1)至(4)问）

题目原文要点：为了估计一根驱蚊线香可燃烧的时间，小颖点燃一根香，每隔1 min测量一次香可燃烧部分的长度。表格是两行六列：燃烧时间t/min依次为1、2、3、4、5与省略号；香可燃烧部分的长度l/cm依次为22.4、21.9、21.4、20.9、20.4与省略号。四个小问依次是描点、估10 min后的长度、估燃烧时间、写关系式。

考查什么：考查在“减少”的方向上认“均匀”，考查用关系式做预测（内插与外推），还考查把“烧完”翻译成l=0。

思路：先把相邻两格的差算出来，看是不是同一个数。差都是-0.5，方向朝下。差固定了，就能写成l=开始长度+每分改变量×t。开始长度要由第一格往回推一格得到。

分步过程：t=1时l=22.4，t=0时就是22.4+0.5=22.9。所以l=22.9-0.5t。t=10时l=22.9-5=17.9，即燃烧10 min后可燃烧部分还剩17.9 cm。烧完即l=0，解22.9-0.5t=0，得t=45.8，约45.8 min，取整说“约46分钟”。

易错：写成l=22.4-0.5t，把t=1时的长度当成了起点；或者写成l=22.9+0.5t，符号搞反；还有孩子答“烧完要22.9分钟”，拿长度除以1分钟。

验算：把t=3代回l=22.9-0.5t，得21.4，与表格第三格21.4一致；把t=5代入得20.4，与第五格一致。两格对上，式子就可靠。

带这一题：线香这一题是本节最好的“方向翻转”教具。孩子前一题刚在往上加，这一题立刻往下减，中间只隔了几行字。家长带孩子做时，别急着让他写式子，先让他把五个长度念一遍，问一句“这些数是越来越大还是越来越小”。他说小，再问“每次小多少”。两个问题答完，式子自己就出来了。第(3)问那句“说明理由”，是让孩子说出“因为每分少0.5 cm，所以要少到0需要45.8 min”，把除法讲成人话。

栏目「思考·交流」第80页 · 什么叫“均匀”

题目原文要点：原文说：在小颖的实验中，燃烧时间每增加1 min，香可燃烧部分的长度就减少0.5 cm，也就是说随着时间的增加，香可燃烧部分的长度在“均匀”地减少。为什么香的燃烧会有这样的“均匀”变化呢？与同伴进行交流。右侧提示框给出定义：所谓“均匀”变化是指，一个变量增加固定的数值时，另一个变量的改变量是相同的。

考查什么：考查对“均匀”这个概念的定义性理解，以及把数学上的均匀和现实中的原因对应起来。

思路：数学上先认“改变量相同”，现实上再找原因。香烧得均匀，是因为香的粗细、松紧在同一根上基本一致，每厘米的用料差不多，烧掉一厘米用的时间就差不多。

分步过程：先说数学侧：取任意相邻两格，差都是0.5，改变量相同，所以是均匀减少。再说现实侧：同一根香各部分密度接近，燃烧速度接近，所以每分烧掉的长度接近。两侧对上，这段话才算读懂。

易错：把“均匀”说成“速度不变”。长度在变，速度在这里指“每分烧掉多少厘米”，说的是同一个意思，但孩子口头容易说成“长度不变”，那是另一回事。

验算：拿表格任意两格验：从t=2的21.9到t=4的20.9，中间跨了两格，少了1.0 cm，平均每格0.5 cm，与相邻差一致。

带这一题：这个问题看着虚，其实最见功夫。孩子答“因为香是均匀的”，等于没说。家长可以追一句：“香哪里均匀？”孩子要能说出粗细、松紧这些具体的东西，才算把数学和现实接上了。这一问练的是“给现象找原因”的习惯，往后学一次函数的应用，处处要用。

随堂练习 第1题（印刷第80页）· 生活中的“均匀”变化

原题只有一句：生活中还有哪些“均匀”变化的现象？试举两例。答案开放，合格的例子要能说出“每增加多少，另一个量就变多少”。比如：超市里同一种苹果每千克8元，买得越多总价越高，每多买1 kg多花8元；汽车在高速上定速巡航，每小时走100 km，每多走1 h多走100 km。

不合格的例子是那种只说了“变大”“变小”却没给出固定改变量的：比如“身高随着年龄增长”，每年长的厘米数差别很大，不是均匀。这一题看似送分，实际在筛“有没有真懂定义”。孩子举完例子，家长可以追问一句“每多一个单位，多多少”，答得干脆，就是真懂。

随堂练习 第2题（印刷第80–81页）· 弹簧长度与所挂质量

题目原文要点：在弹性限度内，某弹簧的长度y（单位：cm）与所挂物体的质量x（单位：kg）的关系见下表：x为0、1、2、3、4、5时，y依次为3.0、3.5、4.0、4.5、5.0、5.5。两问：(1) 随着所挂物体质量x的增加，弹簧长度y的变化是“均匀”的吗？(2) 写出y与x之间的关系式，并说明理由。

考查什么：考查从表格读“均匀”，以及从表格里把b（不挂物体时的长度）读出来。这道题是本节第一次出现b≠0的情境。

思路：先算相邻差，都是0.5，均匀。再找起点：x=0时y=3.0，这个3.0就是常数项。斜率是0.5，所以y=3+0.5x。

分步过程：差：3.5-3.0=0.5，4.0-3.5=0.5，一路到5.5-5.0=0.5，六个数据五个差，全是0.5，所以是均匀的。式子：每挂1 kg长0.5 cm，x kg长0.5x cm，再加上不挂时的3.0 cm，得y=3+0.5x。理由就是这两句：均匀变化对应一次函数，起点是x=0时的3.0。

易错：只写y=0.5x，漏掉3.0；或者把0.5写成5，把3.0看成30；还有孩子答“不均匀”因为“弹簧会越拉越长”，把弹性限度外的现象混进来了。

验算：x=4代入y=3+0.5×4=5.0，与表中x=4时的5.0一致；x=0代入得3.0，与第一格一致。

带这一题：这道题是本节的分水岭。前面水龙头和线香，b都是0（水龙头从0开始漏，线香从22.9开始但问的是“还剩多少”，起点藏在减法里）。弹簧这里b=3.0摆在明处，孩子第一次看见“y=kx+b里的b是真实存在的一截”。带这一题时，指一指表格x=0那一格，说一句“这一格就是b”，比讲十遍定义管用。

栏目「尝试·思考」第81页 · 汽车油箱的耗油与余油

题目原文要点：某辆汽车油箱中原有汽油40 L，汽车每行驶50 km耗油4 L。三个小问：(1) 请完成下表，表头行驶路程x/km依次为0、50、100、150、200、250、300，耗油量y/L一行为空；(2) 写出耗油量y与汽车行驶路程x之间的关系式；(3) 写出油箱剩余油量z（单位：L）与汽车行驶路程x之间的关系式。

考查什么：考查同一情境里两个不同函数：耗油量是正比例，剩余油量是一次函数且k为负。这是本节唯一一题在同一张纸上放两个式子。

思路：先求每千米耗油量：50 km烧4 L，1 km烧4÷50=0.08 L。耗油量就是0.08乘路程。剩余油量用总量减耗油量。

分步过程：填表：0 km为0 L，50 km为4 L，100 km为8 L，150 km为12 L，200 km为16 L，250 km为20 L，300 km为24 L。第(2)问y=0.08x。第(3)问z=40-0.08x，也可写成z=-0.08x+40。

易错：把4÷50算成0.8或者8；第(3)问写成z=40+0.08x，符号错了，油会越用越多；还有孩子把z和y弄反，答成“剩余40.08x”。

验算：x=300代入y=0.08x得24，与填表的24一致；代入z=40-0.08x得40-24=16，说明跑300 km后还剩16 L，40 L的油能跑500 km，与0.08×500=40吻合。

带这一题：这一题的关键动作是“一个情境写两个式子”。孩子写第一个式子y=0.08x时很顺，写第二个就犯难，因为小学里只有“总价=单价×数量”这种单向的乘法，没有“原来的减去用掉的”。家长可以拿一个真水杯倒水演示：杯里40 mL，每口喝0.08 mL，喝x口剩多少。看得见的减法，比式子好懂。

栏目「观察·思考」第81页 · 三个式子长得像

这个栏目只有两问。第(1)问把前面得到的三条式子摆在一起：y=3+0.5x，y=0.08x，z=40-0.08x，问它们有什么共同的特征。第(2)问请孩子自己写一个具有这种特点的关系式。教材在这个栏目下面给出了黑体定义：如果两个变量x，y之间的对应关系可以表示成y=kx+b（k，b为常数，k≠0）的形式，那么称y是x的一次函数。特别地，当b=0时，称y是x的正比例函数。

第(1)问的共同特征，孩子要能自己说出来：都是一个常数乘x，再加一个常数。三条式子拆开看是3+0.5x、0+0.08x、40-0.08x，形式一模一样，只是k和b取了不同的值。这个“长得像”的发现，就是抽象的过程：从三个具体情境里把共同结构拎出来，给它起个名字叫一次函数。第(2)问是随手练习，写y=2x+1、y=-3x、y=0.5x-4都算对，写y=x²就不算了。

页面右侧还有一个蓝框旁注，说的话比定义更实用：对一次函数而言，自变量每增加1，函数值就增加k，函数值的变化是“均匀”的。这句话把定义里的k和前面几页的“均匀”缝在了一起。孩子读定义时容易只看形式，看了这个旁注才知道形式背后的意思是“均匀”。家长可以让孩子拿y=3+0.5x验一遍这句话：x从1变到2，y从3.5变到4，确实加了0.5。

例1（印刷第81–82页）· 三小题判断一次函数与正比例函数

题目原文要点：写出下列各题中y与x之间的关系式，并判断：y是否为x的一次函数？是否为正比例函数？(1) 汽车以60 km/h的速度匀速行驶，行驶路程y（单位：km）与行驶时间x（单位：h）之间的关系；(2) 圆的面积y（单位：cm²）与它的半径x（单位：cm）之间的关系；(3) 某水池有水15 m³，现打开进水管进水，进水速度为5 m³/h，经过x h这个水池内有水y m³。

考查什么：考查“先写式子、再按定义判断”这个固定流程，还考查两种判否的情形：次数不是1、常数项不为0。

思路：每题先找出数量关系，写成含x的式子，再把式子与y=kx+b对表：能对上且有k≠0，就是一次函数；对上了而且b=0，还是正比例函数；对不上就不是。

分步过程：(1) 路程=速度×时间，y=60x，k=60、b=0，是一次函数，也是正比例函数。(2) 圆面积公式y=πx²，x的次数是2，不是一次函数，也不是正比例函数。(3) 每小时多5 m³，x小时多5x m³，再加上原有的15 m³，y=15+5x，是一次函数，b=15不为0，不是正比例函数。

易错：第(2)问有孩子把π当未知数，说“这是正比例函数，k是π”；第(3)问有孩子写成y=5x，忘掉原有的15；还有孩子把第(1)问答成“只是正比例函数，不是一次函数”。

验算：第(3)问用x=0检验：y=15，与“原有15 m³”一致；x=1时y=20，一小时进5 m³，也对。第(1)问x=2时y=120，两小时跑120 km，合理。

带这一题：例1是本节的样板题，三个小问刚好三种结果：两个都是、都不是、只是前者。教材把答案写得很整齐，家长带孩子复盘时，可以让他把三个答案排成一行看规律：只要b=0，第二问就是“是”；只要次数不是1或者k=0，两问都是“不是”。这个规律比三道题的答案更有用。

栏目「思考·交流」第82页 · k与b到底管什么

第(1)问针对例1：两个一次函数的一次项系数k和常数项b分别是多少，它们的实际意义是什么。第(2)问放大到一般情形：k，b对一次函数y=kx+b有怎样的影响，与同伴进行交流。这两问是把定义从“形式”拉到“意义”的关键一步。

第(1)问的答案要带单位。例1第(1)小题k=60，表示每小时走60 km；b=0，表示出发时路程为0。第(3)小题k=5，表示每小时进水5 m³；b=15，表示开始进水时池里已有15 m³。第(2)问的答案分两条：k决定增减与快慢，k>0时x变大y也变大，k<0时x变大y变小，k的绝对值越大直线越陡；b决定起点，也就是x=0时y落在哪儿，b变了整条直线上下平移，陡缓不变。

这两问合起来，等于把式子的“读法”教给了孩子：看见一个一次函数，先看k判断走向，再看b判断起点。第82页例2马上要用这套读法，去解释k=-35和b=120。孩子在这里没读顺，例2就只能背答案。

例2（印刷第82页）· 汽车紧急刹车

题目原文要点：在一次测试中，某汽车紧急刹车后，每过1 s其速度减少35 km/h。(1) 假设该汽车以120 km/h的速度行驶，试写出该汽车刹车后的速度y（单位：km/h）与刹车后所经过的时间t（单位：s）之间的关系式y=kt+b，并说明k和b的实际意义；(2) 求出(1)中汽车从刹车到停止所需的时间，结果精确到0.01 s。

考查什么：考查k为负数的一次函数，考查k、b的实际意义，还考查把“停止”翻译成y=0并解一元一次方程。

思路：起点速度是120，每秒减35，减了t秒就减掉35t。写成式子就是y=120-35t，再按y=kt+b的样子排成y=-35t+120。停止就是速度为0，令y=0解t。

分步过程：(1) y=-35t+120。k=-35表示每秒汽车速度的变化量，负号说明在减少；b=120表示刹车开始时汽车的速度。(2) 令y=0，得0=-35t+120，即35t=120，t=120/35=24/7≈3.43，所以从刹车到停止约需3.43 s。

易错：写成y=35t+120，把减速写成加速；把k说成“每秒减少35”，漏掉负号，其实k本身就是-35；第(2)问解方程时算成120÷35=3.4就交卷，没按要求精确到0.01；还有孩子把单位混掉，用km/h去除以s。

验算：t=3代入y=-35×3+120=15，说明刹车3 s后速度还有15 km/h，尚未停，与t≈3.43才停吻合。t=0代入得120，起点正确。

带这一题：这一题值得让孩子多停两分钟。它的式子结构和y=60x几乎一样，只是k带了负号，可这一负号把“越走越远”变成了“越走越慢”。家长可以问一句：“如果k是正的，这辆车在干什么？”孩子答“越刹越快”，自己都会笑。笑过之后，k的正负对应增减这件事，就记住了。第(2)问那句精确到0.01，是提醒孩子24/7除不尽，要用约等号。

随堂练习 第1题（印刷第82页）· 买大米的钱

题目原文要点：某种大米的单价是7.6元/kg，当购买x kg大米时，需要花费y元。y是x的一次函数吗？是正比例函数吗？

考查什么：考查最简单的一次函数判断，b=0的情形。

思路：总价=单价×数量，y=7.6x，b=0，两问都答“是”。

分步过程：由单价7.6元/kg，买x kg付7.6x元，得y=7.6x。对照y=kx+b，k=7.6≠0，b=0，所以y是x的一次函数，也是x的正比例函数。

易错：只答“是一次函数”，漏掉“也是正比例函数”；或者把7.6与x的位置写反成y=7.6/x。

验算：x=10时y=76元，10 kg大米76元，与单价7.6元/kg对得上；x=0时y=0，不买不花钱，符合b=0。

带这一题：这道题一分钟就能做完，作用是给正比例函数补一个生活例子。孩子答完，家长可以顺手加一句“如果再加2元包装费呢”，式子变成y=7.6x+2，第二问的答案立刻变成“不是”。同一个情境改一个条件，答案就翻，这种小改动最能检验概念是否牢。

随堂练习 第2题（印刷第83页）· 复兴号动车与甲地的距离

题目原文要点：如图，甲、乙两地相距500 km，一列复兴号动车组列车从乙地出发，以350 km/h的速度向丙地行驶。设x（单位：h）表示列车行驶的时间，y（单位：km）表示列车与甲地之间的距离。(1) 写出y与x之间的关系式，并判断y是否为x的一次函数；(2) 当x=0.5时，求y的值。图上标注v=350 km/h，箭头由乙指向丙，甲、乙、丙三点在一串线上，图下注（第2题）。

考查什么：考查带“初始距离”的一次函数，考查从图上读出起点，还考查代入求值。

思路：列车从乙出发，乙到甲本来就有500 km。列车每开1 h，与甲的距离增加350 km。所以y=500+350x。

分步过程：(1) 出发时x=0，列车在乙地，与甲相距500 km，b=500；每小时增加350 km，k=350；得y=500+350x。k=350≠0，所以y是x的一次函数；b=500≠0，不是正比例函数。(2) x=0.5代入，y=500+350×0.5=500+175=675，即0.5 h后列车与甲地相距675 km。

易错：写成y=350x，把500漏掉，等于说列车从甲地出发；写成y=500-350x，方向搞反，以为在靠近甲；第(2)问答成175，只算了走过的路。

验算：x=0代入得500，与“甲、乙相距500 km”一致；x=1代入得850，一小时走350 km，与速度一致。列车到丙地时若y=500+350x，距离只增不减，符合“向丙地行驶”的方向。

带这一题：这道题的图上那三点一线很要紧。孩子看不懂图，就会把“与甲地的距离”当成“走过的路程”。家长可以让孩子用手指在图上走一遍：从乙出发，往右走，离甲越来越远。手走一遍，那个500就不会漏。这类“起点不在零点”的题，往后在第95页一次函数的应用里还会成批出现。

随堂练习（第83页，第2题之后的一道租车比较题，教材原页主题干前未印题号）

题目原文要点：某单位需租一辆45座大客车，咨询了甲、乙两家出租车公司。甲公司的计费标准：直接按里程计费，每千米15元。乙公司的计费标准：除了每千米10元的里程费外，另有服务费200元（不足1 km按1 km计算）。(1) 假设该单位用车里程为30 km，你建议租用哪家公司的客车？(2) 假设该单位用车里程为52 km，你建议租用哪家公司的客车？(3) 用车里程为多少千米时，两家出租车公司的收费相同？

考查什么：考查把两种收费各写成一个一次函数，再比较大小、求相等点。这是本节第一次出现“两个一次函数比大小”。

思路：甲公司的收费只跟里程有关，y甲=15x。乙公司有起步的服务费，y乙=10x+200。比较就是比这两个式子的值，相等就让两个式子相等。

分步过程：(1) x=30：y甲=15×30=450元，y乙=10×30+200=500元，450<500，建议租甲公司。(2) x=52：y甲=15×52=780元，y乙=10×52+200=720元，720<780，建议租乙公司。(3) 令15x=10x+200，移项得5x=200，x=40，即用车里程40 km时两家收费相同，都是600元。

易错：把乙公司的200元漏掉，写成y乙=10x，于是永远推荐乙公司；第(3)问解方程时移项符号出错，得x=-40；还有孩子答“里程越短越该选甲”，却说不出临界点在哪。

验算：x=40代入两个式子，y甲=600、y乙=400+200=600，相等。取x=39，y甲=585、y乙=590，甲便宜；取x=41，y甲=615、y乙=610，乙便宜，临界点确实是40。

带这一题：这道题在本节里位置特殊：教材原页没有给它印题号，紧接在第2题后面。带孩子做的时候不用纠结编号，重点在两件事。一件是两个式子必须并排写在同一张纸上，才能比出大小；另一件是“收费相同”这个说法对应的动作是让两个y相等，解出来的40 km就是分界线。家长可以顺势问一句：“如果单位只用车20 km，选哪家？”孩子答甲，再问“为什么乙公司便宜的单价值不上”，他就会说“因为那200元服务费摊不开”。

例3（印刷第83–84页）· 分档计费的水费

题目原文要点：为了鼓励市民节约用水，某市采用分档计费的方式计算水费。表格四行三列：第一档0300，单价5.83元/m³。三问：(1) 当220<x≤300时，写出水费y（单位：元）与x之间的关系式；(2) 某户一年用水量是250 m³，求该户这一年的水费；(3) 某户去年一年的水费是1000.5元，求该户去年一年的用水量。

考查什么：考查分段计费里的一段一次函数，考查“前一段的钱要加上去”，还考查先定位档位再解方程。

思路：第二档的水费由两截组成：前220 m³按3.45元，超出的(x-220)立方米按4.83元。先把两截加起来，再整理成y=kx+b的样子。

分步过程：(1) y=3.45×220+4.83×(x-220)=759+4.83x-1062.6=4.83x-303.6。(2) x=250代入，y=4.83×250-303.6=1207.5-303.6=903.9元。(3) 先算两个交界：3.45×220=759元，4.83×300-303.6=1449-303.6=1145.4元；759<1000.5<1145.4，该户用水属第二档。设用水量x m³，则1000.5=4.83x-303.6，解得4.83x=1304.1，x=270，所以去年用水270 m³。

易错：第(1)问写成y=4.83x，把前220 m³也按4.83收，多收了303.6元；第(3)问不判断档位直接把1000.5代进第三档式子；还有孩子在(3)里除以4.83后忘记加上那个303.6。

验算：x=300代入y=4.83x-303.6，得1145.4元，与交界处的钱数一致，说明式子在区间右端点接得上；x=220代入得4.83×220-303.6=1062.6-303.6=759，与第一档末端的钱一致。两端都对，式子就站得住。

带这一题：例3是本节的最高点，也是往后第95页一次函数应用的地基。带这一题有个笨办法特别有效：让孩子先只算“前220 m³多少钱”，写在纸角；再算“多出来的那部分多少钱”，写在下面一行；两行一加，孩子自己就看出为什么会出现一个减项。那个-303.6看着神秘，其实就是759-1062.6，是“前一段已经按便宜的价付过”的补偿。孩子把这一笔账算清，以后遇到电费、燃气费、停车费，都是同一个动作。

栏目「尝试·思考」第84页 · 往上一档，式子怎么写

第(1)问接着例3问：当x>300时，水费y与用水量x之间的关系式怎么写。第(2)问跳出来问意义：像例3这样计费有什么意义，设计计费规则时要注意什么，生活中还有哪些情况用到类似的计费方法。

第(1)问的答法是照第二档的拆法再来一遍。第三档要把前两档的钱全部付满：0到220按3.45元，220到300按4.83元，超过300的部分按5.83元。所以y=3.45×220+4.83×(300-220)+5.83×(x-300)=759+386.4+5.83x-1749=5.83x-603.6。验一下端点：x=300时y=1749-603.6=1145.4，与第二档在300处的值相同，接得严丝合缝。

第(2)问的答案落在“鼓励节约”四个字上：用得越多单价越高，用得少的人不吃亏。设计规则要注意两条，一条是档与档的边界不能重复也不能漏，另一条是每一档都要把前一档的钱加进来。生活里的同类例子很多：电费分档、燃气费分档、停车按时长加价、快递按重量加价。孩子能举出两个，这一问就算过关。

随堂练习 第1题（印刷第84页）· 管道天然气的分档计费

题目原文要点：某市采用分档计费的方式计算居民的管道天然气费用。表格四行三列：第一档0600，单价3.82元/m³。三问：(1) 当300<x≤600时，写出燃气费y（单位：元）与x之间的关系式；(2) 某户一年用气量是400 m³，求该户这一年的燃气费；(3) 某户去年一年的燃气费是1311元，求该户去年一年的用气量。

考查什么：考查例3的迁移：同一套拆法换一组数据。还考查反求用量时的档位定位。

思路：第二档的前300 m³按2.73元，超出的(x-300)立方米按3.28元。第(3)问先算第二档两个端点的钱，看1311落在哪一段。

分步过程：(1) y=2.73×300+3.28×(x-300)=819+3.28x-984=3.28x-165。(2) x=400代入，y=3.28×400-165=1312-165=1147元。(3) 端点：x=300时y=819元；x=600时y=3.28×600-165=1968-165=1803元。819<1311<1803，属第二档。设用气量x m³，1311=3.28x-165，3.28x=1476，x=450，所以去年用气450 m³。

易错：第(1)问漏掉819，写成y=3.28x；第(2)问把400×3.28=1312当成答案，忘了减165；第(3)问不判断档位，直接把1311代进第一档的2.73x，得480.2就交卷。

验算：x=300代入得3.28×300-165=984-165=819，与第一档末端的819元一致；x=600代入得1803元，与端点值一致；x=450代入得3.28×450-165=1476-165=1311，正好是题目给的钱。

带这一题：这道题与例3是同一道题的两次出现，数据全换，解法不动。孩子如果例3是照抄答案过的，这里就会露馅。带这一题最好的方式是让孩子先不看例3，自己从“前300 m³多少钱”算起，算完再翻回例3对一眼。能独立走通，说明拆法真的进脑子了。第(3)问算出的450 m³比300大、比600小，落在第二档里，这个自检也要教给孩子。

栏目「阅读·思考」第85页 · 漏刻计时

这一页的栏目名逐字是“阅读·思考”，文章名是“漏刻计时”。开头一句：在现代钟表发明之前，你知道古人是如何计时的吗？接着介绍：香的焚烧和水的滴漏都可以用来计时，我国古代许多地方使用水钟计时。水钟在古代叫“漏刻”或“漏壶”。

文章的骨干是一个式子。图4-3是一种原始漏刻的示意图：水从上面的贮水壶慢慢漏入下方的受水壶，受水壶里的浮子上竖直放一根标尺叫“漏箭”。假设漏水量是均匀的，浮子就会均匀升高，浮子升高的高度h与所经历的时间t之间的关系是h=kt（k为常数）。在漏箭上标上适当刻度，就可以计时了，我国古代天文学家通常把一昼夜分成100刻。

后面两段讲的是“为什么不那么均匀”。贮水壶里的水越少，漏水速度越慢，浮子升高的速度跟着变慢，计时就不准了。古人想出的办法是设多个贮水壶，也就是“补偿壶”，让水逐级往下漏，保证流入受水壶的水流均匀，图4-4就是唐代制造的一种四级漏刻的示意图，图内竖排标注有“水海、渴乌、万分壶、平壶、日天池、夜天池”。四季温度变化也会影响水流速度，古人设计漏刻时常常根据实际情况采取措施，保证水流的均匀性和计时的准确性。

这一页不是装饰。它把本节的两个关键词放在一起给了一次复习：一个是h=kt这个正比例函数，一个是“均匀”这个前提。家长可以让孩子读完回答一句：“如果漏水越来越慢，计时会变快还是变慢？”孩子答“变慢”并能说出理由，就说明他真懂h=kt里k必须是个常数。

习题4.2（印刷第86–88页）· 版面与栏目

这一节的习题标题栏逐字是“习题4.2”，排在印刷第86页顶部。整道大题分成四个栏目：知识技能（第1、2题）、数学理解（第3、4、5题）、问题解决（第6到12题）、联系拓广（第13题）。带星号的题目是四道：第2题的第(4)小题，第5题的第(2)小题，第6题的第(2)小题，第8题的第(3)小题，以及整题带星号的第9题和第13题。家长辅导时按栏目走，别跳着做，同一栏目里的题是一个层次的。

知识技能 第1题 · 小球滚下斜坡与长方形的面积

题目原文要点：写出下列各题中y与x之间的关系式，并判断：y是否为x的一次函数？是否为正比例函数？(1) 一个在斜坡上由静止开始向下滚动的小球，其速度每秒增加3 m/s，小球的速度y（单位：m/s）与时间x（单位：s）之间的关系；(2) 周长为10 cm的长方形，其面积y（单位：cm²）与该长方形的一边长x（单位：cm）之间的关系。

考查什么：考查与例1同型的判断，第(2)小题专门考“乘开后会冒出x²”的坑。

思路：第(1)问每秒加3，x秒加3x，起点速度为0。第(2)问先用周长求另一边：一边x，另一边是(10-2x)/2=5-x，再用长乘宽。

分步过程：(1) y=3x，k=3、b=0，是一次函数，也是正比例函数。(2) 另一边长5-x，面积y=x(5-x)=5x-x²，含x²，不是一次函数，也不是正比例函数。

易错：第(2)问直接写y=5x，把长方形当成两条边都随x变；或者把周长10当成两边之和，写成另一边10-x。

验算：第(2)问取x=2，另一边3，面积6；代y=5x-x²得10-4=6，一致。再取x=1，面积4，代得5-1=4，也对。

带这一题：第(2)小题是本节最容易被判错的一题，因为它在“写式子”这一步看着很正常，乘开才露馅。带孩子做时，先让他把x=1、2、3三种情形各算一次面积：4、6、6，发现x从2变到3面积反而变小，孩子自己就会怀疑“这不是均匀的”。怀疑起来，比讲一遍定义有效。

知识技能 第2题 · 楼梯的台阶数与竖直高度、侧面宽度

题目原文要点：如图，一个楼梯有n级台阶，每级台阶宽30 cm、高16 cm。设这个楼梯的竖直高度为y cm，侧面宽度为x cm。(1) 写出x与n之间的关系式；(2) 写出y与n之间的关系式；(3) 写出y与x之间的关系式；（题号前带星号）(4) 你能借助楼梯估计一幢高楼的高度吗？说说你的想法。图上标注台阶宽30、高16，图中标有x、y与省略号。

考查什么：考查两个正比例量之间的第三种关系，也就是消去中间量n；还考查把式子用到实际估算上。

思路：先各写一条：宽度是n个30，高度是n个16。第(3)问要把n消掉，用x把n表示出来代进y的式子。

分步过程：(1) x=30n。(2) y=16n。(3) 由x=30n得n=x/30，代入y=16n得y=16×x/30=8/15·x，是一次函数，b=0，也是正比例函数。(4) 数出一层楼的台阶数n，用y=16n算出一层的竖直高度，再乘层数；也可以量出一层楼梯的侧面宽度x，用y=8/15·x算出高度，再乘层数。

易错：第(3)问写y=16x，把两个比例混在一起；第(4)问把楼梯的水平宽度当成楼宽，算出来的高度偏小。

验算：取n=10，则x=300、y=160；代y=8/15·x得8/15×300=160，一致。

带这一题：第(3)问是整道题的关节，练的是“两个量都跟第三个量成正比，它们之间也成正比”。家长可以让孩子先说一句“台阶越多，越宽也越高”，再说“所以宽和高之间也能直接换算”。第(4)问带星号，是选做，孩子说得出“数台阶再乘层数”就该表扬，别追着要精确答案。

数学理解 第3题 · 量筒里投围棋子

原题：在量筒中倒入一定量的水，然后向量筒中投入同一种围棋子，随着投入围棋子数量的增加（投入的围棋子均能被水淹没且水未溢出），量筒中水面会升高。(1) 不做实验，你认为这样的升高是“均匀”的吗？说说你的理由。(2) 实际做一做实验，验证你的想法。答案：均匀。理由是三件事都成立——每枚棋子体积相同、都能被水完全淹没、量筒的粗细上下一致，所以每投一枚排开的水一样多，水面每次升高的高度相同，这正是“改变量相同”。易错：只说“因为棋子一样大”，漏掉“量筒粗细一致”和“完全淹没”这两条。纠法：把三条理由写在纸上，缺哪条就举个例子说明少了它会怎样，比如量筒上粗下细，同样一枚棋子在不同高度升得就不一样。

数学理解 第4题 · 投小石子怎样才能均匀升高

原题：在量筒中倒入一定量的水，然后向量筒中投入小石子，随着投入石子数量的增加（投入的小石子均能被水淹没且水未溢出），量筒中水面会升高。为了保证水面均匀升高，你认为对石子应该有什么要求？答案：石子的大小要一样，也就是每颗体积相同；每颗都要能完全沉底淹没，不能浮在水面；石子不能吸水；投放的数量不能让水溢出。易错：只答“石子要小”，小而不一样照样不均匀。纠法：把第3题的理由反过来用，第3题是“同一种围棋子”，这一题要孩子自己补出“同一种”这三个字。

数学理解 第5题 · 自己写两个一次函数（第(2)小题题号前带星号）

原题：(1) 写出两个一次函数的表达式，其中有一个是正比例函数；（题号前带星号）(2) 尝试给出(1)中两个一次函数的实际背景。答案举例：y=3x，正比例函数，背景是某种蔬菜每千克3元，买x kg花y元；y=2x+5，一次函数，背景是出租车起步价5元、每千米2元，走x km付y元。易错：两个都写成b=0，或者两个都带b，不满足“其中有一个是正比例函数”。纠法：先写y=kx+b，再把其中一个的b改成0，这样一定合格。第(2)问是难点，孩子要能说出b在情境里对应什么，比如起步价、底水、原有存量。

问题解决 第6题 · 线香能烧多久（第(2)小题题号前带星号）

题目原文要点：(1) 如何估计一根驱蚊线香可燃烧的最长时间？说明你的估计过程与结论。（题号前带星号）(2) 在没有计时工具的情况下，你能利用(1)中的香的燃烧来计时吗？说说你的想法。

考查什么：考查把第80页的实验推广到整根香，考查用一次函数做外推，还考查“均匀”这个前提的实际用途。

思路：先测一小段：点燃后隔1 min量一次剩余长度，算出每分钟烧掉多少。再用“总长÷每分钟烧掉的长度”得总时间。计时就反过来：把长度刻度换成时间刻度。

分步过程：取第80页小颖的数据，每分烧0.5 cm，t=0时长度22.9 cm（由t=1时的22.4 cm加上0.5得到）。烧完即长度为0，22.9÷0.5=45.8，所以整根约烧45.8 min。计时做法：因为每2 min烧掉1 cm，就在香上每隔1 cm画一道刻度，一道代表2 min，点着后看烧到第几道，就知道过了多长时间。

易错：拿整根长度乘每分钟烧的长度，单位搞错；或者不做实验直接用眼睛估；第(2)问答“可以”，却说不出刻度怎么画。

验算：用l=22.9-0.5t检验：t=0得22.9，t=45.8得0，中间t=20得12.9，与“每分少0.5”吻合。

带这一题：这一题与第85页的漏刻计时是一对。线香就是古人手里的“漏箭”，刻度就是时间。家长带孩子做第(2)问，可以真点一根香，用尺子量，画上刻度，等它烧到第一道时看表，误差多半在1分钟以内。孩子亲眼看过一次，“均匀变化能用来计时”这句话就有了分量。

问题解决 第7题 · 估测自己的步行速度

原题：(1) 你知道自己的步行速度吗？设计一个方案，估测出你的步行速度。(2) 在(1)中方案执行过程中，哪些因素可能引起结果的变化和波动，你采取了哪些措施？答案要点：(1) 在操场跑道或人行道上量出100 m，用秒表计时走完这段路所用的时间t秒，速度v=100/t（m/s），重复三次取平均。(2) 引起波动的因素有起步和收尾时的加速减速、步幅忽大忽小、路面是否平坦、风向、计时按早按晚。措施是选平直路段、先走几步再开始计时、每次都用正常速度、多次测量取平均。易错：只测一次就下结论；把总路程除以总时间却把起步那段加速也算进去。纠法：让孩子意识到速度在变，只有“匀速走”的那一段才近似均匀，这与本节“均匀”的前提是同一个道理。

问题解决 第8题 · 出书的成本（第(3)小题题号前带星号）

题目原文要点：出版社出版一种书的投入成本大致可以分为两部分：一部分与印刷数量有关，如纸张费用；另一部分与印刷数量无关，如编校、排版费用。某出版社出版某种科普读物，当印刷数量不超过20 000册时，投入成本y（单位：元）与印刷数量x（单位：册）之间的关系可以近似地表示为y=5.5x+36 000。(1) 当印刷数量为8000册时，投入成本是多少？(2) 表达式中的5.5的实际意义是什么？（题号前带星号）(3) 投入成本与印刷数量之间的关系，为什么可以近似地表示为一次函数？

考查什么：考查k与b的实际意义，考查代入求值，还考查“为什么现实问题能近似成一次函数”这个建模层面的问题。

思路：式子里5.5跟着x走，是每册的变动成本；36 000不跟x走，是不管印多少都要花的固定成本。第(3)问要把这两个部分各自的性质说清。

分步过程：(1) x=8000代入，y=5.5×8000+36 000=44 000+36 000=80 000元。(2) 5.5表示每多印1册，成本约增加5.5元，也就是每册的纸张等可变成本；36 000表示不印也要花的编校、排版费用。(3) 因为成本恰好由两块组成：一块固定，与印数无关；另一块与印数近似成正比，每册用料差不多。固定的一块对应b，成正比的一块对应kx，合起来就是y=kx+b。

易错：第(1)问只算5.5×8000=44 000，忘加36 000；第(2)问把5.5说成“总成本”；第(3)问答“因为题目说了可以近似”，等于没答。

验算：x=0代入得y=36 000，正好是不印也要花的钱；x=20 000代入得110 000+36 000=146 000元，与“20 000册以内”这个范围的上界对应。

带这一题：第(3)问带星号，问的其实是“模型为什么能用”。家长可以拿家里印名片举例：开机费固定，每盒的纸钱按盒数算。孩子一听就懂，固定的一块就是b，按盒算的一块就是kx。这一问练的是把现实翻译成式子的方向感，往后学建模全靠它。

问题解决 第9题 · 水银温度计（题号前带星号）

原题：很多液体的体积会随着温度的升高而增大，利用这一原理，人们制成了液体温度计。观察一个水银温度计，思考：温度计内部水银的体积与温度之间的关系是不是一次函数？说说你的理由。答案：在通常的温度范围内可以看成一次函数。理由是水银的体积随温度近似均匀增大，每升高1 ℃，体积增加的量基本相同，符合“自变量每增加1，函数值增加k”的特征；写成式子就是V=V₀(1+βt)，也就是V=βV₀t+V₀，k和b都是常数。严格说温度变化范围很大时会偏离直线，所以温度计的刻度要经过标定。易错：答“是正比例函数”，因为温度降到很低时水银体积不为0，b不为0。纠法：让孩子想0 ℃时水银还在，体积不是0，所以只能是b≠0的一次函数。

问题解决 第10题 · 峰谷分时电费与不分时的比较

题目原文要点：某市推行峰谷分时计费。在户年用电量不超过2 760 kW·h的情况下，选择峰谷分时的用户，峰段（8:00至22:00）单价0.56元/（kW·h），谷段（22:00至次日8:00）单价0.36元/（kW·h）；不选择峰谷分时的用户，单价0.53元/（kW·h）。已知某户一年用电量为2400 kW·h。(1) 假设峰段用电量为1500 kW·h，选择哪种计费方式电费较少？(2) 假设峰段用电量为2200 kW·h，选择哪种计费方式电费较少？(3) 一年中峰段用电量为多少时，两种计费方式的电费相同？

考查什么：考查两个一次函数的比较，考查用同一个总量把谷段用量表示出来，还考查解一元一次方程找相等点。

思路：总量2400固定，设峰段为x，谷段就是2400-x。峰谷电费=0.56x+0.36(2400-x)，化简成kx+b。不分时的电费是2400×0.53，是个常数。两者一比，就看x落在哪儿。

分步过程：峰谷电费=0.56x+0.36×2400-0.36x=0.2x+864。不分时电费=2400×0.53=1272元。(1) x=1500时峰谷电费=300+864=1164元，1164<1272，选峰谷分时省108元。(2) x=2200时峰谷电费=440+864=1304元，1304>1272，不选峰谷分时省32元。(3) 令0.2x+864=1272，0.2x=408，x=2040，即峰段用电2040 kW·h时两种方式电费相同，都是1272元。

易错：把谷段用量也写成x，两段都乘0.56；第(3)问解出2040后忘了核对它是否小于2400，其实2040小于2400，落在合理范围内；还有孩子把“不超过2760”这个前提丢掉，直接用0.56和0.36算。

验算：x=2040代入峰谷式子得0.2×2040+864=408+864=1272，与不分时的1272相等。取x=2000，峰谷得1264，比1272少8元，说明峰段少用一点就更划算，临界点方向正确。

带这一题：这一题有个特别值得讲的点：峰谷电费化简成0.2x+864以后，0.2就是“峰段每多用1度，比谷段贵0.2元”的差价。孩子看懂这个0.2，就知道该把用电挪到晚上。家长可以让孩子算算自家的峰谷比例，再和2040这个临界点比一比。数学题变成了家里的省电账，孩子会认真得多。

问题解决 第11题 · 分档电费

题目原文要点：某市采用分档计费的方式计费。表格四行三列：第一档04 800，单价0.83元/（kW·h）。(1) 当2 760

考查什么：考查例3的第二次迁移，数据换成电费，档位上界更大，考查大数运算与反求用量。

思路：第二档的前2760度按0.53元，超出的(x-2760)度按0.58元。第(3)问先算第二档两端的钱。

分步过程：(1) y=0.53×2760+0.58×(x-2760)=1462.8+0.58x-1600.8=0.58x-138。(2) x=4000代入，y=0.58×4000-138=2320-138=2182元。(3) 端点：x=2760时y=1462.8元；x=4800时y=0.58×4800-138=2784-138=2646元。1462.8<1834<2646，属第二档。设用电量x kW·h，1834=0.58x-138，0.58x=1972，x=3400，所以去年用电3400 kW·h。

易错：第(1)问写成y=0.58x；第(2)问把4000×0.58=2320直接当答案，漏掉减138；第(3)问不解方程，直接拿1834除以0.58得3162就交卷，那个数既没减138，也没判档位。

验算：x=2760代入得0.58×2760-138=1600.8-138=1462.8，与第一档末端的钱一致；x=3400代入得1972-138=1834，正好是题目给的电费。

带这一题：三道分档题（例3水费、随堂练习燃气费、这里电费）连着做，孩子应该已经能背出套路了：先算前一段的钱，再算这一段超出的部分，两段相加，整理成kx+b。家长不妨让孩子把三道题的式子并排写一行，看看常数项都是负数，问问为什么。答得出“因为前一段的单价便宜，把它按新单价算多算了钱，要减回去”，这一节的分档计费就彻底通了。

问题解决 第12题 · 停车场的收费问题

原题：在日常生活中，很多停车场都根据停车时长的不同采用不同的收费标准。请你选择一个这样的停车场，根据它的收费标准提出若干数学问题，并尝试解决。答案示例：某停车场前2小时每小时5元，超过2小时的部分每小时3元，不足1小时按1小时算。可以提出的问题有三个：停4小时多少钱；停x小时（x>2）多少钱；停多久收费26元。解答：停4小时付5×2+3×2=16元；x>2时y=10+3(x-2)=3x+4；26=3x+4得x=7.33，按不足1小时算1小时，实收8小时的费用。易错：把前2小时也按3元算，与例3犯的是同一个错。纠法：先算前2小时的钱10元，再用“10+3×(x-2)”写式子，写完整理成kx+b。

联系拓广 第13题 · 写小短文（题号前带星号）

原题：撰写小短文，谈谈你参与本节学习活动的感受。这道题不判对错，只看有没有具体内容。合格的小短文里应该出现三样东西：一个具体的实验或情境，比如滴漏的水龙头或者燃烧的线香；一个自己算出来的数，比如7.92 L或者45.8 min；一句关于“均匀”的体会，比如“原来均匀不是说差不多，是说每次改变的量一样”。不合格的写法是通篇“我学到了很多”“我懂得了数学的重要性”。家长可以让孩子先说后写，说的时候追问一句“哪一步最意外”，孩子答得出来，短文就有骨架了。

🛠 九、五步学习法

第一步：每天锻炼一个小时

这一节的内容全是“变化”，变化这件事得靠身体去体会一次才牢。孩子做第80页的线香实验，坐在椅子上看数据，和亲手点一根香、隔一分钟量一次，脑子里的东西不一样。锻炼这件事放在这里，不是要家长额外加任务，是提醒一句：每天一小时的体育活动，正好是训练“节奏感”的地方。跑步机上跑，每多一分钟多跑多少米，这是均匀；跳绳，每分钟跳多少个，这也是均匀；打球时球落地再弹起，每次弹的高度越来越低，这是均匀地减少，跟线香一个样。

具体怎么落到本节：让孩子在跑步时记两个数，跑第1分钟结束时看了多少米，第2分钟结束时看了多少米，回家把两行数一减。差一样，他就在自己身上验了一次“均匀变化”；差不一样，他就明白为什么水龙头那个实验里，各组数据会不一样。身体的记忆比纸上的记忆结实，八年级的函数刚开始抽象，多用身体垫一垫，不吃亏。

第二步：扎实掌握第一个知识点

这一节的第一个知识点，就是第80页那个提示框里的话：一个变量增加固定的数值时，另一个变量的改变量是相同的。这句话是全节的根，往后十几个式子都从它长出来。孩子如果这一句含含糊糊，后面y=kx+b就只剩背。

怎么算掌握？拿三道题检验。第一道，第80页线香的数据，孩子要能指着表格说“每过1分钟少0.5 cm，改变量一样，所以均匀”。第二道，第80至81页弹簧的数据，孩子要能说“每挂1 kg长0.5 cm，也一样”。第三道，第82页的刹车，孩子要能说“每秒少35 km/h，方向朝下，但改变量一样，还是均匀”。三道都能说清，这个知识点就算落地。说的时候要求带数字、带单位，不许说“差不多”“基本上”。

家长可以设一个反面检验：问一句“身高随年龄增长算不算均匀”。孩子若答“算，因为都在长”，说明他还停在“变大”这一层；答“不算，每年长的厘米数不一样”，说明他抓到了“改变量相同”这个关键。这一步扎实了，第81页的定义几乎不用讲。

第三步：能积微者速成

这一节的题量不小，第79到88页光习题就有十三道，还带四个栏目。一晚上全推完，孩子会和稀泥。积微的办法是每天只啃一小块，但每块都啃到底。

可以这样切：第一天只做第79页水龙头那四问，把V=5.5t写熟，把7.92 L这个数算出来；第二天做第80页线香四问，重点是符号翻转，把l=22.9-0.5t写熟；第三天做第81页定义与例1，三小题的判断各写一遍理由；第四天做第82页的例2与随堂练习，把k=-35和b=120各翻译成一句人话；第五天做第83页的租车题与例3，只做第(1)问的拆法，把4.83x-303.6的来历写清；第六天做第84页天然气与第85页漏刻；第七天再回头碰习题4.2。七天听着长，每天二十分钟，比一晚上两小时管用。

积微的关键在“回头”。第84页那道天然气题，孩子做完隔两天再做一遍，还能独立写出3.28x-165，才算真会。一次做对不算数，隔天还能做对才算数。

第四步：运用对标思维突破学习困境

这一节最典型的困境是“能听懂，一做就错”。孩子听完家长讲例3，点头如捣蒜，自己一动笔就写y=4.83x。这不是笨，是缺一个可对照的样板。

对标的做法是找一道已经过关的同型题，摆在旁边当尺子。学第84页天然气题时，把第83页例3的解法摆在左手边，一步一步比：例3是先算759元，我这一步算了819元没有；例3是把(x-220)乘4.83，我是不是写成了x乘3.28；例3的答案整理成了4.83x-303.6，我的常数项是负的165吗。三步对完，错在哪一步一清二楚。

再往上一层，可以对标自己的错题。孩子把第88页第11题的(1)写错过一次，隔一周再做同型题，先翻出那道错题看一眼：当时错在漏了0.53×2760这一段。这一眼，比家长提醒十句管用。对标不是抄，是拿一把已经校准的尺子去量新活。

第五步：运用杠铃法则缓解学习疲劳

杠铃法则说的是两头重、中间轻：一头放最硬的活，一头放最轻的活，中间那些不痛不痒的批量练习压缩掉。这一节正好能这么排。

重的那一头，只放两件事。一件是第83页例3的拆法，把4.83x-303.6的每一步算清；另一件是第82页例2的符号，把k=-35讲成人话。这两件事吃透了，本节八成的题都有根。轻的那一头，放那些一眼能答的：第80页随堂练习第1题举两个均匀变化的例子，第86页第3、4题关于量筒的判断，第82页随堂练习第1题大米单价，第87页第5题自己写两个式子。这些题各花三五分钟，攒起来是信心。

中间那一段最容易被塞满的是重复抄写和成套刷题。同一类分档计费连着做十道，第五道以后基本是手在动、脑子停了。把这些时间省下来，去做第85页漏刻那篇文章的思考，或者让孩子自己设计一个计费规则，收获大得多。累的时候不是不能学，是要换一种学法。

💡 十、费曼技巧应用

自问一 · 什么叫“均匀”变化？能不能不用书上的话讲一遍？

能答出来说明什么：说明孩子抓到了本节的核心，而不是背了句子。参考答案：一个量每往前走一格，另一个量就变同样多，一格一格都一样，这就叫均匀。水龙头每分钟多5.5 mL，线香每分钟少0.5 cm，弹簧每挂1 kg长0.5 cm，三个都是。答不出怎么办：回到第80页右侧的提示框，把原话读三遍，再用第80页线香的表格自己算一遍差，五个差都写出来。

自问二 · y=kx+b里，k和b各管什么？拿例2说给我听。

能答出来说明什么：说明定义从形式落到了意义。参考答案：k管每变一个单位跟着变多少，还管方向；b管一开始是多少。第82页例2的k=-35，意思是每过1秒速度少35 km/h，负号就是在减速；b=120，意思是刹车那一瞬间车速是120 km/h。答不出怎么办：让孩子把第81页例1第(3)小题的y=15+5x也翻译一遍，k=5是每小时进水5 m³，b=15是池里原有15 m³，两道题对着说。

自问三 · 正比例函数和一次函数是什么关系？

能答出来说明什么：说明概念的层次搭起来了。参考答案：正比例函数是一次函数里b=0的那一部分，范围更小，是包含关系。y=60x两个都是，y=15+5x只是一次函数，y=πx²两个都不是。答不出怎么办：画两个圈，大圈写一次函数，小圈写正比例函数，把第81页例1的三个式子和第82页随堂练习第1题的y=7.6x挨个往圈里丢。

自问四 · 分档计费的第二档，为什么不能直接用新单价乘全部用量？

能答出来说明什么：说明他理解了分段计费的补偿项。参考答案：前220 m³已经按3.45元付过钱了，若按4.83元乘全部，等于把前220 m³每立方米多收1.38元，共多收303.6元，所以要减掉。第83页例3的y=4.83x-303.6就是这么来的。答不出怎么办：让孩子只算前220 m³的水费759元，再算300 m³按第二档该付多少，用1145.4减759得386.4，看看386.4是否等于4.83×80。

自问五 · 给你一组表格数据，你怎么判断能不能写成一次函数？

能答出来说明什么：说明他有了可操作的判断程序。参考答案：先算相邻两格y的差，差都相等，就能写成y=kx+b，差就是k；再看x=0时y是多少，那就是b；x=0那一格若没有，就由已知格往回推。第80至81页弹簧那道题，差都是0.5，x=0时y=3.0，所以是y=3+0.5x。答不出怎么办：拿第79页小明的表格和弹簧的表格各算一次差，算完再说结论。

🎯 十一、方法总结与知识脉络

这一节说到底就干了一件事：让孩子把“均匀变化”这四个字，从一句感觉变成一条式子。水龙头每分钟5.5 mL，写成V=5.5t；线香每分钟少0.5 cm，写成l=22.9-0.5t；弹簧每挂1 kg长0.5 cm，写成y=3+0.5x；油箱每千米烧0.08 L，写成z=40-0.08x。这些式子的样子都是y=kx+b，k管快慢和方向，b管起点。k不能等于0，b可以是0，b=0的时候它就叫正比例函数。

往前看，这一节接的是七年级下册的“变量之间的关系”和本章第一节的“函数”。那时候孩子认的是“两个量一起变”，会看表格、会看图象，还不会写式子。这一节补的就是写式子这一步。往后看，第89页起是“一次函数的图象”，要把这些式子画成直线，看k的正负怎么决定直线的走向；再往后第95页是“一次函数的应用”，分段计费、行程问题、方案比较都会成批出现；第五章还要拿一次函数的图象去解二元一次方程组。这一节不牢，后面全悬。

给家长一句实在话：这一节最值得花时间的地方，不是把十三道习题做完，是让孩子在第83页例3那里停一停，把303.6这个数亲手算出来。算出来了，孩子就懂了什么叫“前一段的钱不能丢”；算不出来，他会一直以为分档计费就是换个单价乘一乘，往后遇到电费、燃气费、停车费，一路错下去。

再补一句：孩子做题时若说出“这个跟小学的路程问题一样”，别急着纠正。让他说完，再问一句“那线香为什么是减”，他自己就会发现距离在哪儿。旧经验不是障碍，是台阶，踩上去才能看见新的那层。

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