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第一部分 专题二 微专题2
A 组·基础练
1.(2024·辽宁卷)如图，高度h＝0.8 m 的水平桌面上放置两个相同物块A、B，
质量mA＝mB＝0.1 kg。A、B 间夹一压缩量Δx＝0.1 m 的轻弹簧，弹簧与A、B 不拴
接。同时由静止释放A、B，弹簧恢复原长时A 恰好从桌面左端沿水平方向飞出，
水平射程xA＝0.4 m；B 脱离弹簧后沿桌面滑行一段距离xB＝0.25 m 后停止。A、B
均视为质点，取重力加速度g＝10 m/s2。求：
(1)脱离弹簧时A、B 的速度大小vA和vB；
(2)物块与桌面间的动摩擦因数μ；
(3)整个过程中，弹簧释放的弹性势能ΔEp。
【答案】 (1)1 m/s,1 m/s (2)0.2 (3)0.12 J
【解析】 (1)对A 物
由平抛运
知
得
块
动
识
h＝gt2
xA＝vAt
代入数据解得，脱离
簧
弹
时A 的速度大小为vA＝1 m/s
AB 物
量相等，同
受到大小相等方向相反的
簧
力及大小相等方向相
块质
时
弹
弹
反的摩擦力，则AB 物
整体
量守恒，
块
动
则mAvA＝mBvB
解得脱离
簧
弹
时B 的速度大小为vB＝1 m/s。
(2)
物
对
块B 脱离
簧后的运
由
能定理－
弹
动
动
μmBgxB＝0－mBv
代入数据解得，物
与桌面的
摩擦因数
块
动
为μ＝0.2。
(3)
簧的
性
能
化
弹
弹
势
转
为AB 物
的
能及
个
程中克服摩擦力所
生的
块
动
这
过
产
内能，即ΔEp＝mAv＋mBv＋μmAgΔxA＋μmBgΔxB
其中mA＝mB，Δx＝ΔxA＋ΔxB
解得整个
程中，
簧
放的
性
能
过
弹
释
弹
势
ΔEp＝0.12 J。
B 组·综合练
2.(2024·山东卷)如图甲所示，质量为M 的轨道静止在光滑水平面上，轨道水平
部分的上表面粗糙，竖直半圆形部分的表面光滑，两部分在P 点平滑连接，Q 为轨
道的最高点。质量为m 的小物块静置在轨道水平部分上，与水平轨道间的动摩擦
因数为μ，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。已知轨道半圆形部分的半径R＝0.4 m，
重力加速度大小g＝10 m/s2。
(1)若轨道固定，小物块以一定的初速度沿轨道运动到Q 点时，受到轨道的弹
力大小等于3mg，求小物块在Q 点的速度大小v；
(2)若轨道不固定，给轨道施加水平向左的推力F，小物块处在轨道水平部分时
轨道加速度a 与F 对应关系如图乙所示。
①求μ 和m；
②初始时，小物块静置在轨道最左端，给轨道施加水平向左的推力F＝8 N，当
小物块到P 点时撤去F，小物块从Q 点离开轨道时相对地的速度大小为7 m/s。求
轨道水平部分的长度L。
【答案】 (1)v＝4 m/s (2)①m＝1 kg，μ＝0.2 ②4.5 m
【解析】 (1)根据
意可知小物
在
题
块
Q 点由合力提供向心力有mg＋3mg＝m
代入数据解得v＝4 m/s。
(2)①根据
意可知当
题
F≤4 N
，小物
与
道是一起向左加速，根据牛
第
时
块
轨
顿
二定律可知F＝(M＋m)a
根据
乙有
图
k＝＝0.5 kg－1
当外力F>4 N
，
道与小物
有相
滑
，
道有
时
轨
块
对
动
则对轨
F－μmg＝Ma
合
乙有
结
题图
a＝F－
可知k＝＝1 kg－1
截距b＝－＝－2 m/s2
立以上各式可得
联
M＝1 kg，m＝1 kg，μ＝0.2。
②由
乙可知，当
图
F＝8 N
，道的加速度
时轨
为6 m/s2，小物
的加速度
块
为a2＝
μg＝2 m/s2
当小物
运
到
块
动
P 点
，
时
经过t0
，
道有
时间
则轨
v1＝a1t0
小物
有
块
v2＝a2t0
在
个
程中系
机械能守恒有
这
过
统
Mv＋mv＝Mv＋mv＋2mgR
水平方向
量守恒，以水平向左的正方向，
有
动
则
Mv1＋mv2＝Mv3＋mv4
立解得
联
t0＝1.5 s
根据运
学公式有
动
L＝a1t－a2t
代入数据解得L＝4.5 m。
3.(2024·湖北卷)如图所示，水平传送带以5 m/s 的速度顺时针匀速转动，传送
带左右两端的距离为3.6 m。传送带右端的正上方有一悬点O，用长为0.3 m、不可
伸长的轻绳悬挂一质量为0.2 kg 的小球，小球与传送带上表面平齐但不接触。在O
点右侧的P 点固定一钉子，P 点与O 点等高。将质量为0.1 kg 的小物块无初速轻
放在传送带左端，小物块运动到右端与小球正碰，碰撞时间极短，碰后瞬间小物块
的速度大小为1 m/s、方向水平向左。小球碰后绕O 点做圆周运动，当轻绳被钉子
挡住后，小球继续绕P 点向上运动。已知小物块与传送带间的动摩擦因数为0.5，
重力加速度大小g＝10 m/s2。
(1)求小物块与小球碰撞前瞬间，小物块的速度大小；
(2)求小物块与小球碰撞过程中，两者构成的系统损失的总动能；
(3)若小球运动到P 点正上方，绳子不松弛，求P 点到O 点的最小距离。
【答案】 (1)5 m/s (2)0.3 J (3)0.2 m
【解析】 (1)根据
意，小物
在
送
上，由牛
第二定律有
题
块
传
带
顿
μm 物g＝m 物a
解得a＝5 m/s2
由运
学公式可得，小物
与
送
共速
运
的距离
动
块
传
带
时
动
为x＝＝2.5 m<L 传＝
3.6 m
可知，小物
运
到
送
右端前与
送
共速，即小物
与小球碰撞前瞬
块
动
传
带
传
带
块
，小物
的速度大小等于
送
的速度大小
间
块
传
带
5 m/s。
(2)小物
运
到右端与小球正碰，碰撞
极短，小物
与小球
成的系
块
动
时间
块
组
统
量守恒，以向右
正方向，由
量守恒定律有
动
为
动
m 物v＝m 物v1＋m 球v2
其中v＝5 m/s，v1＝－1 m/s
解得v2＝3 m/s
小物
与小球碰撞
程中，两者构成的系
失的
能
块
过
统损
总动
为ΔEk＝m 物v2－m 物
v－m 球v
解得ΔEk＝0.3 J。
(3)若小球运
到
动
P 点正上方，
子恰好不松弛，
此
绳
设
时P 点到O 点的距离为
d，小球在P 点正上方的速度为v3，在P 点正上方，由牛
第二定律有
顿
m 球g＝m 球
小球从O 点正下方到P 点正上方
程中，由机械能守恒定律有
过
m 球v＝m 球v＋
m 球g(2L 绳－d)
立解得
联
d＝0.2 m
即P 点到O 点的最小距离为0.2 m。
4.(2024·浙江卷)某固定装置的竖直截面如图所示，由倾角θ＝37°的直轨道
AB，半径R＝1 m 的圆弧轨道BCD，长度L＝1.25 m、倾角为θ 的直轨道DE，半径
为R、圆心角为θ 的圆弧管道EF 组成，轨道间平滑连接。在轨道末端F 的右侧光
滑水平面上紧靠着质量m＝0.5 kg 的滑块b，其上表面与轨道末端F 所在的水平面
平齐。质量m＝0.5 kg 的小物块a 从轨道AB 上高度为h 处静止释放，经圆弧轨道
BCD 滑上轨道DE，轨道DE 由特殊材料制成，小物块a 向上运动时动摩擦因数μ1
＝0.25，向下运动时动摩擦因数μ2＝0.5，且最大静摩擦力等于滑动摩擦力。当小物
块a 在滑块b 上滑动时动摩擦因数恒为μ1，小物块a 动到滑块右侧的竖直挡板能
发生完全弹性碰撞。(其他轨道均光滑，小物块视为质点，不计空气阻力，sin 37°＝
0.6，cos 37°＝0.8)
(1)若h＝0.8 m，求小物块
①第一次经过C 点的向心加速度大小；
②在DE 上经过的总路程；
③在DE 上向上运动时间t 上和向下运动时间t 下之比。
(2)若h＝1.6 m，滑块至少多长才能使小物块不脱离滑块。
【答案】 (1)①16 m/s2 ②2 m ③1∶2
(2)0.2 m
【解析】 (1)①
小物
对
块a 从A 到第一次经过C 的
程，根据机械能守恒定律
过
有mgh＝mv
第一次经过C 点的向心加速度大小为a＝＝＝16 m/s2。
②小物块a 在DE 上
，因
时
为μ2mgcos θ<mgsin θ
所以小物块a 每次在DE 上升至最高点后一定会下滑，之后
若干次在
经过
DE
上的滑
使机械能
失，最
小物
动
损
终
块a 将在B、D
往复运
，且易知小物
每次
间
动
块
在DE 上向上运
和向下运
的距离相等，
其在
动
动
设
DE 上
的
路程
经过
总
为s，根据
功能关系有mg[h－R(1－cos θ)]＝(μ1mgcos θ＋μ2mgcos θ)
解得s＝2 m。
③根据牛
第二定律可知小物
顿
块a 在DE 上向上运
和向下运
的加速度大
动
动
小分别为a 上＝gsin θ＋μ1gcos θ＝8 m/s2
a 下＝gsin θ－μ2gcos θ＝2 m/s2
将小物块a 在DE 上的若干次运
等效看作是一次完整的上滑和下滑，根据
动
则
运
学公式有
动
a 上t＝a 下t
解得＝。
(2)
小物
对
块a 从A 到F 的
程，根据
能定理有
过
动
mg[h－Lsin θ－2R(1－cos θ)]－μ1mgLcos θ＝mv－0
解得vF＝2 m/s
滑
度
设
块长
为l
，小物
恰好不脱离滑
，且此
二者达到共同速度
时
块
块
时
v，根据
量守恒定律和能量守恒定律有
动
mvF＝2mv
mv＝·2mv2＋2μ1mgl
解得l＝0.2 m。
