专题01 集合、逻辑用语与复数
考点
三年考情（2023-2025）
命题趋势
考点1 集合
集合的交、并、补运算（如 2023 年全国
新高考卷、2024 年全国甲卷、2025 年天
津卷）14；元素与集合的关系（如 2024
年上海卷、2025 年全国二卷）14；集合与
不等式的结合（如 2024 年新高考一卷、
2025 年全国一卷）
这一部分知识属于基础题型，
必考题。往往以送分题的形式
出现，通常出现在选择题或填
空题的前几题，属于基础题。
以其他数学知识为背景进行考
查，如函数、数列、不等式
等。
考点2 常用
逻辑用语
通查结合其他知识点进行考察
考点3 复数
2023 年：全国甲卷、全国乙卷、全国新
Ⅰ 卷、全国新 Ⅱ 卷、北京卷都有考查，
各考 1 次。
2024 年：全国甲卷考 2 次，全国新 Ⅰ
卷、全国新 Ⅱ 卷各考 1 次。
2025 年：全国一卷考 1 次，在一些省份
的适应性演练中也有出现。
考点01 集合
一、单选题
1．（2025·全国二卷·高考真题）已知集合A ={−4,0,1,2,8},B ={x∣x
3= x},则A ∩B =（ ）
A．{0,1,2}
B．{1,2,8}
C．{2,8}
D．{0,1}
【答案】D
【分析】求出集合B后结合交集的定义可求A ∩B.
1
【详解】B ={x| x
3= x}= {0,−1,1}，故A ∩B = {0,1}，
故选：D.
2．（2025·全国一卷·高考真题）设全集U ={x ¿，集合A ={1,3,5}，则∁U A中元素个数为（ ）
A．0
B．3
C．5
D．8
【答案】C
【分析】根据补集的定义即可求出．
【详解】因为U = {1,2,3,4,5,6,7,8}，所以∁U A = {2,4,6,7,8}， ∁U A中的元素个数为5，
故选：C．
3．（2025·北京·高考真题）已知集合M ={x∣2 x−1>5}, N ={1,2,3}，则M ∩N =（ ）
A．{1,2,3}
B．{2,3}
C．{3}
D．∅
【答案】D
【分析】先求出集合M，再根据集合的交集运算即可解出.
【详解】因为M = {x|2 x−1>5}= {x| x>3}，所以M ∩N =∅，
故选：D.
4．（2025·天津·高考真题）已知集合U = {1,2,3,4,5}, A = {1,3},B = {2,3,5}，则∁U ( A ∪B)=（ ）
A．{1,2,3,4}
B．{2,3,4}
C．{2,4}
D．{4}
【答案】D
【分析】由集合的并集、补集的运算即可求解.
【详解】由A = {1,3},B = {2,3,5}，则A ∪B = {1,2,3,5}，
集合U = {1,2,3,4,5}，
故∁U ( A ∪B)= {4}
故选：D.
5．（2024·北京·高考真题）已知M ={(x , y)| y = x +t (x
2−x),1≤x ≤2,0≤t ≤1}是平面直角坐标系中的点
集.设d是M中两点间距离的最大值，S是M表示的图形的面积，则（ ）
A．d =3，S<1
B．d =3，S>1
C．d =√10，S<1
D．d =√10，S>1
【答案】C
【分析】先以t 为变量，分析可知所求集合表示的图形即为平面区域¿，结合图形分析求解即可.
【详解】对任意给定x∈[1,2]，则x
2−x = x (x−1)≥0，且t ∈[0,1]，
可知x ≤x +t (x
2−x)≤x + x
2−x = x
2，即x ≤y ≤x
2，
再结合x 的任意性，所以所求集合表示的图形即为平面区域¿，
如图阴影部分所示，其中A (1,1),B (2,2),C (2,4)，
2
可知任意两点间距离最大值d =|AC|=√(1−2)
2+(1−4)
2=√10，
阴影部分面积S<S△ABC = 1
2 ×1×2=1.
故选：C.
【点睛】方法点睛：数形结合的重点是“以形助数”，在解题时要注意培养这种思想意识，做到心中有图，
见数想图，以开拓自己的思维．使用数形结合法的前提是题目中的条件有明确的几何意义，解题时要准确
把握条件、结论与几何图形的对应关系，准确利用几何图形中的相关结论求解．
6．（2024·北京·高考真题）已知集合M ={x|−3< x<1}，N ={x|−1≤x<4}，则M ∪N =（ ）
A．¿
B．¿
C．{x|−3< x<4}
D．¿
【答案】C
【分析】直接根据并集含义即可得到答案.
【详解】由题意得M ∪N = {x|−3< x<4}.
故选：C.
7．（2024·全国甲卷·高考真题）若集合A = {1,2,3,4,5,9}，B =¿，则A ∩B =（ ）
A．{1,2,3}
B．{3,4,9}
C．{1,2,3,4}
D．{2,3,4,5}
【答案】C
【分析】根据集合B的定义先算出具体含有的元素，然后根据交集的定义计算.
【详解】依题意得，对于集合B中的元素x，满足x +1=1,2,3,4,5,9，
则x可能的取值为0,1,2,3,4,8，即B ={0,1,2,3,4,8}，
于是A ∩B ={1,2,3,4}.
故选：C
8．（2024·全国甲卷·高考真题）已知集合A = {1,2,3,4,5,9},B =¿，则∁A ( A ∩B)=（ ）
A．{1,4,9}
B．{3,4,9}
C．{1,2,3}
D．{2,3,5}
【答案】D
【分析】由集合B的定义求出B，结合交集与补集运算即可求解.
【详解】因为A = {1,2,3,4,5,9},B =¿，所以B = {1,4,9,16,25,81}，
则A ∩B = {1,4,9}，∁A ( A ∩B)= {2,3,5}
3
故选：D
9．（2024·天津·高考真题）集合A = {1,2,3,4}，B = {2,3,4,5}，则A ∩B =（ ）
A．{1,2,3,4}
B．{2,3,4}
C．{2,4}
D．{1}
【答案】B
【分析】根据集合交集的概念直接求解即可.
【详解】因为集合A = {1,2,3,4}，B = {2,3,4,5}，
所以A ∩B = {2,3,4}，
故选：B
10．（2024·广东江苏·高考真题）已知集合A ={x∣−5< x
3<5},B ={−3,−1,0,2,3}，则A ∩B =（ ）
A．{−1,0}
B．{2,3}
C．{−3,−1,0}
D．{−1,0,2}
【答案】A
【分析】化简集合A，由交集的概念即可得解.
【详解】因为A ={x|−
3√5< x<
3√5},B = {−3,−1,0,2,3}，且注意到1<
3√5<2，
从而A ∩B = {−1,0}.
故选：A.
11．（2023·北京·高考真题）已知集合M ={x∣x +2≥0}, N ={x∣x−1<0}，则M ∩N =（ ）
A．{x∣−2≤x<1}
B．{x∣−2< x ≤1}
C．{x∣x ≥−2}
D．{x∣x<1}
【答案】A
【分析】先化简集合M , N，然后根据交集的定义计算.
【详解】由题意，M ={x∣x +2≥0}={x| x ≥−2}，N ={x∣x−1<0}={x| x<1}，
根据交集的运算可知，M ∩N ={x|−2≤x<1}.
故选：A
12．（2023·全国乙卷·高考真题）设全集U = {0,1,2,4,6,8}，集合M = {0,4,6}, N = {0,1,6}，则M ∪∁U N =
（ ）
A．{0,2,4,6,8}
B．{0,1,4,6,8}
C．{1,2,4,6,8}
D．U
【答案】A
【分析】由题意可得∁U N的值，然后计算M ∪∁U N即可.
【详解】由题意可得∁U N = {2,4,8}，则M ∪∁U N = {0,2,4,6,8}.
故选：A.
13．（2023·全国甲卷·高考真题）设全集U = {1,2,3,4,5}，集合M = {1,4}, N = {2,5}，则N ∪∁U M =
（ ）
A．{2,3,5}
B．{1,3,4}
C．{1,2,4,5}
D．{2,3,4,5}
4
【答案】A
【分析】利用集合的交并补运算即可得解.
【详解】因为全集U ={1,2,3,4,5}，集合M ={1,4 }，所以∁U M = {2,3,5}，
又N ={2,5}，所以N ∪∁U M ={2,3,5}，
故选：A.
14．（2023·全国甲卷·高考真题）设全集U =Z,集合
M ={x∣x =3k +1,k ∈Z }, N ={x∣x =3k +2,k ∈Z }，∁U( M ∪N )=（ ）
A．{x| x =3k ,k ∈Z }
B．{x∣x =3k −1,k ∈Z }
C．{x∣x =3k −2,k ∈Z }
D．∅
【答案】A
【分析】根据整数集的分类，以及补集的运算即可解出．
【详解】因为整数集Z = {x| x =3k ,k ∈Z }∪{x| x =3k +1,k ∈Z }∪{x| x =3k +2,k ∈Z }，U = Z，
所以，∁U (M ∪N )= {x| x =3k ,k ∈Z }．
故选：A．
15．（2023·全国乙卷·高考真题）设集合U = R，集合M ={x|x<1}，N ={x|−1< x<2}，则{x|x ≥2}=
（ ）
A．∁U (M ∪N )
B．N ∪∁U M
C．∁U (M ∩N )
D．M ∪∁U N
【答案】A
【分析】由题意逐一考查所给的选项运算结果是否为{x| x ≥2}即可.
【详解】由题意可得M ∪N = {x| x<2}，则∁U (M ∪N )= {x| x ≥2}，选项A 正确；
∁U M = {x| x ≥1}，则N ∪∁U M = {x| x>−1}，选项B 错误；
M ∩N = {x|−1< x<1}，则∁U (M ∩N )=¿或x ≥1}，选项C 错误；
∁U N =¿或x ≥2}，则M ∪∁U N = ¿或x ≥2}，选项D 错误；
故选：A.
16．（2023·天津·高考真题）已知集合U = {1,2,3,4,5}, A = {1,3},B = {1,2,4}，则∁U B∪A =（ ）
A．{1,3,5}
B．{1,3}
C．{1,2,4}
D．{1,2,4,5}
【答案】A
【分析】对集合B 求补集，应用集合的并运算求结果；
【详解】由∁U B ={3,5}，而A ={1,3}，
所以∁U B∪A ={1,3,5}.
5
故选：A
17．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知集合M = {−2,−1,0,1,2}，N =¿，则M ∩N =（ ）
A．{−2,−1,0,1} B．{0,1,2}
C．{−2}
D．{2}
【答案】C
【分析】方法一：由一元二次不等式的解法求出集合N，即可根据交集的运算解出．
方法二：将集合M中的元素逐个代入不等式验证，即可解出．
【详解】方法一：因为N =¿，而M = {−2,−1,0,1,2}，
所以M ∩N = {−2}．
故选：C．
方法二：因为M = {−2,−1,0,1,2}，将−2,−1,0,1,2代入不等式x
2−x−6≥0，只有−2使不等式成立，所
以M ∩N = {−2}．
故选：C．
18．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）设集合A = {0,−a}，B = {1,a−2,2a−2}，若A ⊆B，则a=（ ）．
A．2
B．1
C．2
3
D．−1
【答案】B
【分析】根据包含关系分a−2=0和2a−2=0两种情况讨论，运算求解即可.
【详解】因为A ⊆B，则有：
若a−2=0，解得a=2，此时A = {0,−2}，B = {1,0,2}，不符合题意；
若2a−2=0，解得a=1，此时A = {0,−1}，B = {1,−1,0}，符合题意；
综上所述：a=1.
故选：B.
二、填空题
19．（2025·上海·高考真题）已知全集U ={x∣2≤x ≤5, x∈R}，集合A ={x∣2≤x<4 , x∈R}，则
A = ．
【答案】{x|4≤x ≤5, x∈R}/[4,5]
【分析】根据补集的含义即可得到答案.
【详解】根据补集的含义知A = {x|4≤x ≤5, x∈R}.
故答案为：{x|4≤x ≤5, x∈R}.
20．（2006·上海·高考真题）已知集合A = {−1,3,2m−1}，集合B ={3,m
2}.若B⊆A，则实数m= .
【答案】1
6
【分析】根据集合子集的概念求解.
【详解】因为B⊆A，
所以m
2=2m−1，即(m−1)
2=0，
所以m=1，
此时A ={−1,3,1},B ={3,1}，满足题意.
故答案为：1
三、解答题
21．（2025·北京·高考真题）已知集合A = {1,2,3,4,5,6,7,8}, M ={(x , y)∣x∈A , y ∈A}，从M 中选取n
个不同的元素组成一个序列：(x1, y1),(x2, y2),…,(xn, yn)，其中(xi, yi)称为该序列的第i 项
(i=1,2,…,n)，若该序列的相邻项(xi, yi),(xi+1, yi+1)满足：¿或¿，则称该序列为K 列．
(1)对于第1 项为(3,3)的K 列，写出它的第2 项．
(2)设Γ为K 列，且Γ中的项(xi, yi)(i=1,2,…,n)满足：当i 为奇数时，xi∈{1,2,7,8}：当i 为偶数时，
xi∈{3,4,5,6}.判断(3,2)，(4,4)能否同时为Γ中的项，并说明理由；
(3)证明：由M 的全部元素组成的序列都不是K 列．
【答案】(1)(6,7)或(7,6)
(2)不能，理由见解析
(3)证明过程见解析
【分析】（1）根据新定义即可得解；
（2）假设(3,2)与(4,4)能同时在Γ中，导出矛盾，从而得出(3,2)与(4,4)不能同时在Γ中的结论；
（3）假设全体元素构成一个K 列，通过构造导出矛盾，从而得到要证明的结论.
【详解】（1）根据题目定义可知，¿或¿，
若第一项为(3,3)，显然x2=0或−1不符合题意（不在集合A中），所以下一项是(6,7)或(7,6)；
（2）假设二者同时出现在Γ中，由于K 列取反序后仍是K 列，故不妨设(3,2)在(4,4)之前.
显然，在K 列中，相邻两项的横纵坐标之和的奇偶性总是相反的，所以从(3,2)到(4,4)必定要向下一项走
奇数次.
但又根据题目条件，这两个点的横坐标均在中，所以从(3,2)到(4,4)必定要向下一项走偶数次.
这导致矛盾，所以二者不能同时出现在Γ中.
（3）法1：若M中的所有元素构成K 列，考虑K 列中形如(xi, yi)(xi, yi∈{1,2,7,8})的项，
这样的项共有16个，由题知其下一项为(xi+1, yi+1), xi+1, yi+1∈{3,4,5,6}，共计16 个，
而(xi+1, yi+1)≠(3,3),(6,3),(3,6),(6,3)，因为只能6 由2 来，3 只能由7 来，
横、纵坐标不能同时相差4，这样下一项只能有12 个点，
即对于16 个(xi, yi)，有12 个(xi+1, yi+1)与之相对应，矛盾．
综上，由M 的全部元素组成的序列都不是K 列．
7
法2：假设全体元素构成一个K 列，则n=64.
设T 1={(x , y)|x ∈{1,2,7,8}, y ∈{1,2,3,4,5,6,7,8}}，T 2={(x , y)|x ∈{3,4,5,6}, y ∈{1,2,3,4,5,6,7,8}}.
则T 1和T 2都包含32个元素，且T 1中元素的相邻项必定在T 2中.
如果存在至少两对相邻的项属于T 2，那么属于T 2的项的数目一定多于属于T 1的项的数目，
所以至多存在一对相邻的项属于T 2.
如果存在，则这对相邻的项的序号必定形如2m和2m+1，
否则将导致属于T 2的项的个数比属于T 1的项的个数多2，此时m=1,2,3,⋯,31.
从而这个序列的前2m项中，第奇数项属于T 1，第偶数项属于T 2；
这个序列的后64−2m项中，第奇数项属于T 2，第偶数项属于T 1.
如果不存在相邻的属于T 2的项，那么也可以看作上述表示在m=0或m=32的特殊情况.
这意味着必定存在m∈{0,1,2,...,32}，使得¿.
由于相邻两项的横纵坐标之和的奇偶性必定相反，故T 1中横纵坐标之和为奇数的点和横纵坐标之和为偶数
的点的数量一定分别是m和32−m（不一定对应）.
但容易验证，T 1和T 2都包含16个横纵坐标之和为奇数的点和16个横纵坐标之和为偶数的点，所以
m=32−m=16，得m=16.
从而有¿.
这就得到T 1={(xk , yk)|k =1,3,5,...,29,31,34,36,...,62,64}.
再设T 3={(x , y)|x ∈{1,2,3,4,5,6,7,8}, y ∈{1,2,7,8}}，
T 4={(x , y)|x∈{1,2,3,4,5,6,7,8}, y ∈{3,4,5,6}}.
则同理有¿.
这意味着T 3={(xk , yk)|k =1,3,5,...,29,31,34,36,...,62,64}.
从而得到T 3=T 1，但显然它们是不同的集合，矛盾.
所以由M 的全部元素组成的序列都不是K 列．
22．（2025·上海·高考真题）已知函数y = f ( x)的定义域为R．对于正实数a，定义集合
M a={x∣f ( x +a)= f ( x)}．
(1)若f ( x)=sin x，判断π
3 是否是M π中的元素，请说明理由；
(2)若f ( x)=¿，求a 的取值范围；
(3)若y = f ( x)是偶函数，当x∈(0,1]时，f ( x)=1−x，且对任意a∈(0,2)，均有M a⊆M 2．写出
y = f ( x)，x∈(1,2)解析式，并证明：对任意实数c，函数y = f ( x)−c在[−3,3]上至多有9 个零点．
【答案】(1)不是；
(2)[
7
4 ,4)；
8
(3)证明见解析.
【分析】（1）直接代入计算f(
π
3)和f(
π
3 + π)即可；
（2）法一：转化为在实数x0使得f ( x0+a)= f ( x0)，分析得x0+2=√x0+a，再计算得a=(x0+ 3
2)
2
+ 7
4 ，
最后根据x0的范围即可得到答案；法二：画出函数图象，转化为直线y =t与该函数有两个交点，将a用t表
示，最后利用二次函数函数性质即可得到答案；
（3）利用函数奇偶性和集合新定义即可求出x∈(1,2)时解析式，再分析出f (−3)∉(0,1)，最后对c的范
围进行分类讨论即可.
【详解】（1）（1）f(
π
3)=sin π
3 = √3
2 ，f(
π
3 + π)=−sin π
3 =−√3
2 ，则π
3 不是M π中的元素.
（2）法一：因为M a≠∅，则存在实数x0使得f ( x0+a)= f ( x0)，且a>0，
当x<0时，f (x)= x +2，其在(−∞，0)上严格单调递增，
当x ≥0时，f (x)=√x，其在[0,+∞)上也严格单调递增，
则x0<0≤x0+a，则x0+2=√x0+a，
令x +2=0，解得x =−2，则−2≤x0<0，
则a=(√x0+a)
2−x0=(x0+2)
2−x0=(x0+ 3
2)
2
+ 7
4 ∈[
7
4 ,4).
法二：作出该函数图象，则由题意知直线y =t与该函数有两个交点，
由图知0≤t <2，假设交点分别为A (m,t )，B (n,t )，
联立方程组¿得a=| AB|=m−n=t
2−(t −2)=(t −1
2)
2
+ 7
4 ∈[
7
4 ,4)
（3）（3）对任意x0∈(1,2), x0−2∈(−1,0)，因为其是偶函数，
则f (x0−2)= f (2−x0)，而2−x0−(x0−2)= 4−2 x0∈(0,2)，
所以x0−2∈M 4−2 x0⊆M 2，
所以f (x0)= f (x0−2)= f (2−x0)，因为x0∈(1,2)，则2−x0∈(0,1)，
所以f (x0)= f (2−x0)=1−(2−x0)= x0−1，所以f ( x)= x−1, x∈(1,2)，
所以当s∈(0,1)时，1−s∈(0,1)，1+ s∈(1,2)，则f (1−s)=1−(1−s)= s，
f (1+ s)=(1+ s)−1= s，则f (1−s)= f (1+ s)，
而1+ s−(1−s)=2s，(3−s)−(1−s)=2，
9
则1−s∈M 2s⊆M 2，则f (1−s)= f (3−s)，
所以当x∈(2,3)时，f ( x)= f ( x−2)=1−( x−2)=3−x，而f ( x)为偶函数，画出函数图象如下：
其中f (−3)= f (3),f (−2)= f (2),f (0)，但其对应的y值均未知.
首先说明f (−3)=n∉(0,1)，
若f (−3)=n∈(0,1)，则−3+n∈(−3,−2)，易知此时f (x)= x +3, x∈(−3,−2)，
则f (−3+n)=n，所以f (−3)∈M n⊆M 2，而x∈[−1,0)时，f (x)= x +1，
所以f (−3)= f (−1)=0，与f (−3)=n矛盾，所以f (−3)∉(0,1)，即f (−3)= f (3)∉(0,1)，
令y = f ( x)−c =0，则y = f ( x)=c，
当c =0时，即使让f (−3)= f (3)= f (−2)= f (2)= f (0)=0，此时最多7 个零点，
当c≥1时，若f (−2)= f (2)= f (0)= f (−3)= f (3)=c，此时有5 个零点，
故此时最多5 个零点；
当c<0时，若f (−2)= f (2)= f (0)= f (−3)= f (3)=c，此时有5 个零点，
故此时最多5 个零点；
当0<c<1时，若f (−2)= f (2)= f (0)=c，此时有3 个零点，
若f (−3)=c∈(0,1)，则−3+c∈(−3，−2)，易知此时f (x)= x +3，
则f (−3+c)=c，所以f (−3)∈M c⊆M 2，而x∈[−1,0)时，f (x)= x +1，
所以f (−3)= f (−1)=0，与f (−3)= p矛盾，所以f (−3)∉(0,1)，
则最多在(−3,−2),(−2,−1),(−1,0),(0,1),(1,2),(2,3)之间取得6 个零点，
以及在x =−2,0,2处成为零点，故不超过9 个零点.
10
综上，零点不超过9 个.
考点02 常用逻辑用语
一、单选题
1．（2025·北京·高考真题）已知函数f ( x)的定义域为D，则“f ( x)的值域为R”是“对任意M ∈R，存
在x0∈D，使得|f (x0)|> M”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．
既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】由函数值域的概念结合特例，再根据充分条件、必要条件的概念即可求解.
【详解】若函数f ( x)的值域为R，则对任意M ∈R，一定存在x1∈D，使得f (x1)=|M|+1，
取x0= x1，则|f (x0)|=|M|+1> M，充分性成立；
取f ( x)=2
x，D =R，则对任意M ∈R，一定存在x1∈D，使得f (x1)=|M|+1，
取x0= x1，则|f (x0)|=|M|+1> M，但此时函数f ( x)的值域为(0,+∞)，必要性不成立；
所以“f ( x)的值域为R”是“对任意M ∈R，存在x0∈D，使得|f (x0)|> M”的充分不必要条件.
故选：A.
2．（2025·天津·高考真题）设x∈R，则“x =0”是“sin 2 x =0”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】通过判断是否能相互推出，由充分条件与必要条件的定义可得.
【详解】由x =0⇒sin2 x =sin 0=0，则“x =0”是“sin2 x =0”的充分条件；
又当x =π时，sin 2 x =sin 2π=0，可知sin 2 x =0⇒x =0，
故“x =0”不是“sin2 x =0”的必要条件，
综上可知，“x =0”是“sin 2 x =0”的充分不必要条件.
故选：A.
3．（2024·北京·高考真题）设 ⃗a，⃗b是向量，则“(⃗a+⃗b)·(⃗a−⃗b)=0”是“⃗a=−⃗b或⃗a=⃗b”的（ ）．
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】B
11
【分析】根据向量数量积分析可知(⃗a+⃗b)⋅(⃗a−⃗b)=0等价于|⃗a|=|⃗b|，结合充分、必要条件分析判断.
【详解】因为(⃗a+⃗b)⋅(⃗a−⃗b)=⃗a
2−⃗b
2=0，可得⃗a
2=⃗b
2，即|⃗a|=|⃗b|，
可知(⃗a+⃗b)⋅(⃗a−⃗b)=0等价于|⃗a|=|⃗b|，
若⃗a=⃗b或⃗a=−⃗b，可得|⃗a|=|⃗b|，即(⃗a+⃗b)⋅(⃗a−⃗b)=0，可知必要性成立；
若(⃗a+⃗b)⋅(⃗a−⃗b)=0，即|⃗a|=|⃗b|，无法得出⃗a=⃗b或⃗a=−⃗b，
例如⃗a=(1,0),⃗b=(0,1)，满足|⃗a|=|⃗b|，但⃗a≠⃗b且⃗a≠−⃗b，可知充分性不成立；
综上所述，“(⃗a+⃗b)⋅(⃗a−⃗b)=0”是“⃗a=−⃗b或⃗a=⃗b”的必要不充分条件.
故选：B.
4．（2024·全国甲卷·高考真题）设向量⃗a=(x +1, x),⃗b=(x ,2)，则（ ）
A．“x =−3”是“⃗a⊥⃗b”的必要条件
B．“x =1+√3”是“⃗a//⃗b”的必要条件
C．“x =0”是“⃗a⊥⃗b”的充分条件
D．“x =−1+√3”是“⃗a//⃗b”的充分条件
【答案】C
【分析】根据向量垂直和平行的坐标表示即可得到方程，解出即可.
【详解】对A，当⃗a⊥⃗b时，则⃗a⋅⃗b=0，
所以x⋅( x +1)+2 x =0，解得x =0或−3，即必要性不成立，故A 错误；
对C，当x =0时，⃗a=(1,0),⃗b=(0,2)，故⃗a⋅⃗b=0，
所以⃗a⊥⃗b，即充分性成立，故C 正确；
对B，当⃗a//⃗b时，则2( x +1)= x
2，解得x =1±√3，即必要性不成立，故B 错误；
对D，当x =−1+√3时，不满足2( x +1)= x
2，所以⃗a//⃗b不成立，即充分性不立，故D 错误.
故选：C.
5．（2024·天津·高考真题）已知a,b∈R，则“a
3=b
3”是“3
a=3
b”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】说明二者与同一个命题等价，再得到二者等价，即是充分必要条件.
【详解】根据立方的性质和指数函数的性质，a
3=b
3和3
a=3
b都当且仅当a=b，所以二者互为充要条件.
故选：C.
6．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知命题p：∀x∈R，| x +1|>1；命题q：∃x>0，x
3= x，则
（ ）
A．p 和q 都是真命题
B．¬ p和q 都是真命题
C．p 和¬q都是真命题
D．¬ p和¬q都是真命题
【答案】B
【分析】对于两个命题而言，可分别取x =−1、x =1，再结合命题及其否定的真假性相反即可得解.
12
【详解】对于p而言，取x =−1，则有|x +1|=0<1，故p是假命题，¬ p是真命题，
对于q而言，取x =1，则有x
3=1
3=1= x，故q是真命题，¬q是假命题，
综上，¬ p和q都是真命题.
故选：B.
7．（2023·北京·高考真题）若xy ≠0，则“x + y =0”是“ y
x + x
y =−2”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】解法一：由x
y + y
x =−2化简得到x + y =0即可判断；解法二：证明充分性可由x + y =0得到
x =−y，代入x
y + y
x 化简即可，证明必要性可由x
y + y
x =−2去分母，再用完全平方公式即可；解法三：证
明充分性可由x
y + y
x 通分后用配凑法得到完全平方公式，再把x + y =0代入即可，证明必要性可由x
y + y
x 通
分后用配凑法得到完全平方公式，再把x + y =0代入，解方程即可.
【详解】解法一：
因为xy ≠0，且x
y + y
x =−2，
所以x
2+ y
2=−2 xy，即x
2+ y
2+2 xy =0，即(x + y)
2=0，所以x + y =0.
所以“x + y =0”是“ x
y + y
x =−2”的充要条件.
解法二：
充分性：因为xy ≠0，且x + y =0，所以x =−y，
所以x
y + y
x = −y
y + y
−y =−1−1=−2，
所以充分性成立；
必要性：因为xy ≠0，且x
y + y
x =−2，
所以x
2+ y
2=−2 xy，即x
2+ y
2+2 xy =0，即(x + y)
2=0，所以x + y =0.
所以必要性成立.
所以“x + y =0”是“ x
y + y
x =−2”的充要条件.
解法三：
充分性：因为xy ≠0，且x + y =0，
所以x
y + y
x = x
2+ y
2
xy
= x
2+ y
2+2 xy −2 xy
xy
= (x + y)
2−2 xy
xy
= −2 xy
xy
=−2，
所以充分性成立；
13
必要性：因为xy ≠0，且x
y + y
x =−2，
所以x
y + y
x = x
2+ y
2
xy
= x
2+ y
2+2 xy −2 xy
xy
= (x + y)
2−2 xy
xy
= (x + y)
2
xy
−2=−2，
所以(x + y)
2
xy
=0，所以(x + y)
2=0，所以x + y =0，
所以必要性成立.
所以“x + y =0”是“ x
y + y
x =−2”的充要条件.
故选：C
8．（2023·全国甲卷·高考真题）设甲：sin
2α +sin
2 β =1，乙：sin α +cos β =0，则（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
【答案】B
【分析】根据充分条件、必要条件的概念及同角三角函数的基本关系得解.
【详解】当sin
2α +sin
2 β =1时，例如α =π
2 , β =0但sin α +cos β ≠0，
即sin
2α +sin
2 β =1推不出sin α +cos β =0；
当sin α +cos β =0时，sin
2α +sin
2 β =(−cos β)
2+sin
2 β =1，
即sin α +cos β =0能推出sin
2α +sin
2 β =1.
综上可知，甲是乙的必要不充分条件.
故选：B
9．（2023·天津·高考真题）已知a,b∈R，“a
2=b
2”是“a
2+b
2=2ab”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分又不必要条件
【答案】B
【分析】根据充分、必要性定义判断条件的推出关系，即可得答案.
【详解】由a
2=b
2，则a=±b，当a=−b≠0时a
2+b
2=2ab不成立，充分性不成立；
由a
2+b
2=2ab，则(a−b)
2=0，即a=b，显然a
2=b
2成立，必要性成立；
所以a
2=b
2是a
2+b
2=2ab的必要不充分条件.
故选：B
10．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）记Sn为数列{an}的前n项和，设甲：{an}为等差数列；乙：{ Sn
n }为等差
14
数列，则（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
【答案】C
【分析】利用充分条件、必要条件的定义及等差数列的定义，再结合数列前n 项和与第n 项的关系推理判
断作答.，
【详解】方法1，甲：{an}为等差数列，设其首项为a1，公差为d，
则Sn=na1+ n(n−1)
2
d , Sn
n =a1+ n−1
2
d = d
2 n+a1−d
2 , Sn+1
n+1 −Sn
n = d
2 ，
因此{ Sn
n }为等差数列，则甲是乙的充分条件；
反之，乙：{ Sn
n }为等差数列，即Sn+1
n+1 −Sn
n = n Sn+1−(n+1)Sn
n(n+1)
= nan+1−Sn
n(n+1) 为常数，设为t，
即nan+1−Sn
n(n+1) =t，则Sn=nan+1−t ⋅n(n+1)，有Sn−1=(n−1)an−t ⋅n(n−1),n≥2，
两式相减得：an=nan+1−(n−1)an−2tn，即an+1−an=2t，对n=1也成立，
因此{an}为等差数列，则甲是乙的必要条件，
所以甲是乙的充要条件，C 正确.
方法2，甲：{an}为等差数列，设数列{an}的首项a1，公差为d，即Sn=na1+ n(n−1)
2
d，
则Sn
n =a1+ (n−1)
2
d = d
2 n+a1−d
2 ，因此{ Sn
n }为等差数列，即甲是乙的充分条件；
反之，乙：{ Sn
n }为等差数列，即Sn+1
n+1 −Sn
n = D , Sn
n = S1+(n−1)D，
即Sn=n S1+n(n−1)D，Sn−1=(n−1)S1+(n−1)(n−2)D，
当n≥2时，上两式相减得：Sn−Sn−1= S1+2(n−1)D，当n=1时，上式成立，
于是an=a1+2(n−1)D，又an+1−an=a1+2nD−[a1+2(n−1)D ]=2 D为常数，
因此{an}为等差数列，则甲是乙的必要条件，
所以甲是乙的充要条件.
故选：C
考点03 复数
15
1．（2025·全国一卷·高考真题）(1+5i)i的虚部为（ ）
A．−1
B．0
C．1
D．6
【答案】C
【分析】根据复数代数形式的运算法则以及虚部的定义即可求出.
【详解】因为(1+5i)i=i+5i
2=−5+i，所以其虚部为1，
故选：C.
2．（2025·全国二卷·高考真题）已知z =1+i，则1
z−1 =（ ）
A．−i
B．i
C．−1
D．1
【答案】A
【分析】由复数除法即可求解.
【详解】因为z =1+i，所以1
z−1 =
1
1+i−1 = 1
i =i
i
2 =−i.
故选：A.
3．（2025·北京·高考真题）已知复数z 满足i⋅z +2=2i，则| z|=（ ）
A．√2
B．2√2
C．4
D．8
【答案】B
【分析】先求出复数z，再根据复数模的公式即可求出．
【详解】由i⋅z +2=2i可得，z = −2+2i
i
=2+2i，所以|z|=√2
2+2
2=2√2，
故选：B.
4．（2024·北京·高考真题）已知z
i =−1−i，则z =（ ）．
A．−1−i
B．−1+i
C．1−i
D．1+i
【答案】C
【分析】直接根据复数乘法即可得到答案.
【详解】由题意得z =i(−1−i)=1−i.
故选：C.
5．（2024·全国甲卷·高考真题）设z =√2i，则z⋅z =（ ）
A．−2
B．√2
C．−√2
D．2
【答案】D
【分析】先根据共轭复数的定义写出z，然后根据复数的乘法计算.
【详解】依题意得，z =−√2i，故z z =−2i
2=2.
故选：D
6．（2024·全国甲卷·高考真题）若z =5+i，则i(z + z)=（ ）
16
A．10i
B．2i
C．10
D．2
【答案】A
【分析】结合共轭复数与复数的基本运算直接求解.
【详解】由z =5+i⇒z =5−i,z+ z =10，则i(z + z)=10i.
故选：A
7．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知z =−1−i，则|z|=（ ）
A．0
B．1
C．√2
D．2
【答案】C
【分析】由复数模的计算公式直接计算即可.
【详解】若z =−1−i，则|z|=√(−1)
2+(−1)
2=√2.
故选：C.
8．（2024·广东江苏·高考真题）若
z
z−1 =1+i，则z =（ ）
A．−1−i
B．−1+i
C．1−i
D．1+i
【答案】C
【分析】由复数四则运算法则直接运算即可求解.
【详解】因为
z
z−1 = z−1+1
z−1
=1+
1
z−1 =1+i，所以z =1+ 1
i =1−i.
故选：C.
9．（2023·北京·高考真题）在复平面内，复数z对应的点的坐标是(−1,√3)，则z的共轭复数z =（ ）
A．1+√3i
B．1−√3i
C．−1+√3i
D．−1−√3i
【答案】D
【分析】根据复数的几何意义先求出复数z，然后利用共轭复数的定义计算.
【详解】z在复平面对应的点是(−1,√3)，根据复数的几何意义，z =−1+√3i，
由共轭复数的定义可知，z =−1−√3i.
故选：D
10．（2023·全国乙卷·高考真题）|2+i
2+2i
3|=（ ）
A．1
B．2
C．√5
D．5
【答案】C
【分析】由题意首先化简2+i
2+2i
3，然后计算其模即可.
【详解】由题意可得2+i
2+2i
3=2−1−2i=1−2i，
则|2+i
2+2i
3|=|1−2i|=√1
2+(−2)
2=√5.
故选：C.
17
11．（2023·全国甲卷·高考真题）
5(1+i
3)
(2+i)(2−i) =（ ）
A．−1
B．1
C．1−i
D．1+i
【答案】C
【分析】利用复数的四则运算求解即可.
【详解】
5(1+i
3)
(2+i)(2−i) = 5(1−i)
5
=1−i
故选：C.
12．（2023·全国甲卷·高考真题）设a∈R,(a+i)(1−ai)=2,，则a=（ ）
A．-1
B．0
C．1
D．2
【答案】C
【分析】根据复数的代数运算以及复数相等即可解出．
【详解】因为(a+i)(1−ai)=a−a
2i+i+a=2a+(1−a
2)i=2，
所以¿，解得：a=1．
故选：C.
13．（2023·全国乙卷·高考真题）设z =
2+i
1+i
2+i
5，则z =（ ）
A．1−2i
B．1+2i
C．2−i
D．2+i
【答案】B
【分析】由题意首先计算复数z的值，然后利用共轭复数的定义确定其共轭复数即可.
【详解】由题意可得z =
2+i
1+i
2+i
5 =
2+i
1−1+i =i(2+i)
i
2
= 2i−1
−1
=1−2i，
则z =1+2i.
故选：B.
14．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知z = 1−i
2+2i，则z−z =（ ）
A．−i
B．i
C．0
D．1
【答案】A
【分析】根据复数的除法运算求出z，再由共轭复数的概念得到z，从而解出．
【详解】因为z = 1−i
2+2i = (1−i)(1−i)
2(1+i)(1−i) = −2i
4
=−1
2 i，所以z = 1
2 i，即z−z =−i．
故选：A．
18
15．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）在复平面内，(1+3i)(3−i)对应的点位于（ ）．
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【答案】A
【分析】根据复数的乘法结合复数的几何意义分析判断.
【详解】因为(1+3i)(3−i)=3+8i−3i
2=6+8i，
则所求复数对应的点为(6,8)，位于第一象限.
故选：A.
二、填空题
16．（2025·天津·高考真题）已知i 是虚数单位，则|
3+i
i |= ．
【答案】√10
【分析】先由复数除法运算化简3+i
i
，再由复数模长公式即可计算求解.
【详解】先由题得3+i
i
=−i(3+i)=1−3i，所以|
3+i
i
|=√1
2+(−3)
2=√10.
故答案为：√10
17．（2025·上海·高考真题）已知复数z 满足z
2=( z)
2,| z|≤1，则| z−2−3i|的最小值是 ．
【答案】2√2
【分析】先设z =a+bi，利用复数的乘方运算及概念确定ab=0，再根据复数的几何意义数形结合计算即
可.
【详解】设z =a+bi(a,b∈R),∴z =a−bi，
由题意可知z
2=a
2+2abi−b
2= z
2=a
2−2abi−b
2，则ab=0，
又|z|=√a
2+b
2≤1，由复数的几何意义知z在复平面内对应的点Z (a,b)在单位圆内部（含边界）的坐标轴
上运动，如图所示即线段AB ,CD上运动，
设E (2,3)，则|z−2−3i|=|ZE|，由图象可知|BE|=√10>|CE|=2√2，
所以|ZE|min=2√2.
故答案为：2√2
19
18．（2024·天津·高考真题）i是虚数单位，复数(√5+i)⋅(√5−2i)= ．
【答案】7−√5i
【分析】借助复数的乘法运算法则计算即可得.
【详解】(√5+i)⋅(√5−2i)=5+√5i−2√5i+2=7−√5i.
故答案为：7−√5i.
19．（2023·天津·高考真题）已知i是虚数单位，化简5+14i
2+3i 的结果为 ．
【答案】4 +i/i+ 4
【分析】由题意利用复数的运算法则，分子分母同时乘以2−3i，然后计算其运算结果即可.
【详解】由题意可得5+14i
2+3i = (5+14i)(2−3i)
(2+3i)(2−3i) = 52+13i
13
= 4+i.
故答案为：4 +i.
20
