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限时预测01（A 组+B 组+C 组）
（建议用时：60 分钟 满分：77 分）
四、解答题：本题共5 小题，共77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13 分）
的内角
的对边分别为
，已知
成等差数列，且
．
（1）求
；
（2）记
外接圆的面积为
，若
，求
的取值范围．
16．（15 分）
近年来，青少年近视问题备受关注.为了探究中学生手机使用习惯与近视之间是否存在关联，某研究小组
在某中学随机抽取了200 名学生进行问卷调查.调查项目包括平均每天使用手机的时间（分为“少于1 小时”
和“1 小时及以上”两类）以及是否被医院诊断为近视（分为“是”和“否”两类）.调查结果汇总如下表：
使用手机时
间
近视
不近
视
总计
少于1 小时
40
60
100
1 小时及以上
65
35
100
总计
105
95
200
（1）从该校学生中任选1 人，记“该人平均每天使用手机时间少于1 小时”为事件
，记“该人近视”为事件
.根据上表数据，用频率估计概率，分别估计
，
，并由此直观判断平均每天使用手机时
间与近视是否有关联，简要说明理由；
（2）利用列联表中的数据，计算卡方统计量
（精确到0.001），并判断是否有
的把握认为“平均每
天使用手机时间”与“近视”相关.
附：公式
，
独立性检验临界值表：
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
17.（15 分）
如图1，在边长为
的正方形
中，
、
分别为线段
、
的中点，现将四边形
折起
至
，得到三棱柱
，如图2 所示，记二面角
的平面角为
．
（1）若
时，求三棱柱
的体积；
（2）若
为线段
上一点，满足
，求直线
与平面
所成角的正弦值的取值范围．
18.（17 分）
已知椭圆
的离心率为
，左、右焦点分别为
，
，点
在椭圆上.
（1）求
的方程；
（2）已知
上一点
，且
不在
轴上，直线
，
与
的另一个交点分别为
，
.
（ⅰ）若点
的坐标为
，求直线
的方程；
（ⅱ）若
，
，求
的值.
19.（17 分）
已知
为正整数，且
，
．
（1）若
，
为
的导函数，求
及
的值；
（2）若方程
恰好表示6 个不同的椭圆，求
的值；
（3）设
，证明：
．
（建议用时：60 分钟 满分：77 分）
四、解答题：本题共5 小题，共77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13 分）
已知数列
．
（1）若
是等差数列，求
的通项公式；
（2）设
，证明：数列
是等比数列.
16.（15 分）
如图，在三棱柱
中，
，
.
（1）证明：直线
平面ABC．
（2）设P 是棱
的中点，求AC 与平面
所成角的正弦值．
17.（15 分）
椭圆
的右焦点为
，左顶点为
，上顶点为
，离心率为
，
的面积
为
．
（1）求椭圆
的方程；
（2）设
为坐标原点，椭圆
上有一动点
（不在
轴上），
为线段
的中点，直线
与直线
相交于点
．
（i）当点
的坐标为
时，求
；
（ii）证明：
．
18.（17 分）
2026 年是农历马年，在春晚舞台上，宇树机器人的精彩表演赢得了全国观众的喝彩.某企业为宇树机器人
生产一种关键部件，此企业生产的部件质量按等级划分为六个层级，分别对应如下六组质量指标值：
，
，
，
，
，
．根据大量检测结果，得到部件的
质量指标值X 服从正态分布
，并把质量指标值不小于
的产品称为A 等品，其它产品称为B 等
品.现从该部件的生产线中随机抽取100 件作为样本，统计得到如图所示的频率分布直方图.
（1）根据大量检测结果，该部件质量指标值的标准差s 的近似值为
，用样本平均数
作为
的近似值，
用样本标准差s 作为
的估计值.若从生产线中任取一个部件，试从质量指标值X 服从正态分布
的角度估计该部件为A 等品的概率（保留小数点后面两位有效数字）；
①同一组中的数据用该组区间的中点值代表；②参考数据：若随机变量
服从正态分布
，则
，
，
．）
（2）（ⅰ）从样本的质量指标值在
和
的部件中随机抽取3 件，记其中质量指标值在
的部件件数为
，求
的分布列和数学期望；
（ⅱ）该企业为节省检测成本，采用随机混装的方式将所有的部件按100 件一箱包装.已知一件A 等品部件
的利润是
元，一件B 等品部件的利润是
元，根据（1）的计算结果，试求x 的值，
使得每箱产品的利润最大.
19.（17 分）
已知函数
．
（1）当
时，求函数
的单调区间；
（2）函数
．
（ⅰ）当
时，讨论函数
在区间
上的零点个数；
（ⅱ）若不等式
在
上恒成立，求实数
的取值范围．
（建议用时：60 分钟 满分：77 分）
四、解答题：本题共5 小题，共77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13 分）
已知等比数列
的公比
为整数，且
，
.
（1）求
的通项公式；
（2）设
，求数列
的前
项和
.
16.（15 分）
已知双曲线
经过点
，其渐近线方程为
．
（1）求双曲线
的方程；
（2）过点
的直线与双曲线
相交于
两点，
能否是线段
的中点？请说明理由．
17.（15 分）
小明和小红参加班级数学老师组织的游戏，游戏共2 轮，每轮的规则如下：每轮开始时，小明和小红手中
各有两张牌，一张是王牌，一张是鬼牌，每人每次独立地随机取出1 张牌相互交换，交换3 次后该轮结
束.2 轮进行完游戏结束．
（1）记每轮游戏在交换1 次后，小明手里王牌的张数为
，求
的分布列及数学期望；
（2）定义事件
为“至少有1 轮结束后，小明手里的两张牌种类相同”．求事件
的概率
（3）若游戏改为仅进行1 轮，交换次数
变为变量．若老师规定：若最终小明手里两张牌相同，则小明获
胜并获得奖金100 元；若不同，则小红获胜并获得奖金100 元．为了使游戏公平（即双方期望收益相等），
交换次数
应满足什么条件？
18．（17 分）
如图，在三棱锥
中，
平面ABC，平面
平面
，
，
．
D 为BC 的中点，E 为PD 的三等分点（靠近P 点）．
（1）请用
，
，
表示
；
（2）求直线AE 与平面PBC 所成角的正弦值；
（3）设F 为AB
中点，过EF 的平面与射线AC、AP 分别交于点G、H，当三棱锥
的体积最小
时，求平面FGH 与平面PBC 所成角的余弦值．
19.（17 分）
函数
满足对
恒成立（或
恒成立），则称直线
是
函数
在
上的“临界线”．
（1）判断下列函数在定义域上是否存在“临界线”？
①
②
③
（2）求函数
在点
处的切线方程，并证明该切线为其“临界线”；
（3）已知直线
是函数
在定义域上的“临界线”，求
的取值范围．
