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专题04 导数及其应用大题综合
百强名校-核心考点突破
例题1．已知函数
.
(1)若
，求函数
在点
处的切线方程；
(2)讨论
的单调性.
【答案】(1)
(2)答案见解析
【来源】2025 届湖北省武汉市华中师范大学第一附属中学高考数学核心素养试题卷
【分析】（1）先求出导函数得出切线斜率，再应用点斜式求出切线方程；
（2）分
，
，
，
四种情况讨论，结合导函数正负得出函数单调性.
【详解】（1）
，
，
，
，
切线方程为
，即
.
（2）
，
.
①当
时，
，
当
时，
单调递减；当
时，
单调递增.
②当
时，
当
时，
，
，
1
当
时，
，
，
时等号成立，
所以
在
上单调递增.
③当
时，
，
当
时，
单调递增，当
时，
单调递减，
当
时，
单调递增.
④当
时，
，
当
时，
单调递增，当
时，
单调递减，
当
时，
单调递增.
综上所述：①当
时，
在
上单调递减，在
上单调递增；
②当
时，
在
上单调递增；
③当
时，
在
上单调递增，在
上单调递减；
④当
时，
在
上单调递增，在
上单调递减.
例题2．已知函数
．
(1)求函数
在
处的切线方程；
(2)若
恒成立，求实数
的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【来源】吉林省长春市东北师范大学附属中学2025-2026 学年高三上学期第三次摸底考试数学试题
【分析】（1）求导，根据导数的几何意义求解即可；
（2）令
，根据导数求得最小值，结合题意即可求解.
2
【详解】（1）函数
的导函数为
，所以
，
又
，所以
在
处的切线方程为
，即
；
（2）函数
的定义域为
，
由
恒成立，得
恒成立，
设
，则
，
当
时，
，所以函数
在区间
上单调递减；
当
时，
，所以函数
在区间
上单调递增，
所以
，所以
，
故实数
的取值范围是
．
例题3．已知函数
.
(1)若
为
的极值点，求
；
(2)当
时，
恒成立，求
的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【来源】湖北省武汉市华中师范大学第一附属中学2024-2025 学年高三下学期5 月适应性检测数学试题
【分析】（1）求导，根据
为
的极值点，可得
，即可求出
；
（2）法一：利用分离参数法可得
对于
恒成立，构造函数
，再利用导
数求出函数
的最小值即可得解.
法二：根据当
时，有
，解得
，再充分性，即证当
时，
时，有
，进而可得出答案.
3
【详解】（1）
，由于
为
的极值点，
所以
，解得
，
当
时，令
，则
，
所以
在
上单调递增，又
，
所以当
时，
单调递减，
所以当
时，
单调递增，
故
；
（2）法一：由题意有
对于
恒成立，
即
对于
恒成立，
当
时，
，故
对于
恒成立，
令
，
则
时，
，
当且仅当
时，
成立，
所以
在
上单调递增，所以
，所以
，
法二：当
时，有
，即当
时，有
，解得
；
下证充分性，即证当
时，
时，有
，
即证当
时，有
，记
，
，故
在
上单调递减，
则
，
记
，则
，
4
当
时，
，当且仅当
时，
成立，
即
在
上单调递增，故
，
故当
时，有
恒成立.
例题4．已知函数
(1)当
时，求函数
在点
处的切线方程；
(2)若函数
在区间
内有且仅有一个极值点，求实数
的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【来源】重庆市第一中学校2025 届高三下学期5 月高考适应性考试最后一卷数学试题
【分析】（1）根据导数的几何意义求解
及
，从而可得函数
在点
处的切线方程；
（2）当
，
不满足题意，当
时，
单调递增，结合
，
，可得
在区间
上有唯一的零点
，满足题意，进而可得结论．
【详解】（1）当
时，
，可得
，
则
，
又
，
所以函数
在点
处的切线方程为：
；
（2）由于
，
则
，
若
，当
时，则
，所以
，
5
则
在区间
上单调递增，没有极值点，舍去；
若
，设
，则
在区间
上恒成立，
所以
在区间
上单调递增，即
在区间
上单调递增，
又
，
，
所以
在区间
上有唯一的零点
，
当
时，
，
单调递减，当
时，
，
单调递增，
所以
在区间
内有唯一的极值点，符合题意．
综上，实数
的取值范围是
．
例题5．已知函数
.
(1)讨论
的单调性；
(2)若
有两个不同的极值点
，
，且
，求实数
的取值范围.
【答案】(1)答案见解析
(2)
【来源】2025 届山东省聊城市高三一模数学试题
【分析】（1）先求出函数的导数，构造二次函数，分类讨论，根据导数的正负来判断函数的单调性.
（2）利用极值点与导数的关系，结合二次函数和韦达定理，构造函数，求导研究单调性，解不等式求解.
【详解】（1）
的定义域为
.
求导可得：
.
令
，其判别式
.
当
，即
时，因为
，所以
，则
，所以
在
上单
调递增.
6
当
，即
或
时，方程
的两根为
，
.
(根同号)，
.
因为
，当
时，
，则
，
，此时
，
，
在
上单调递增.
当
时，
，则
，
，且
，
此时在
和
上，
，
，
单调递增；
在
上，
，
，
单调递减.
综上所得， 当
时，
在
上单调递增.
当
时，
在
和
上单调递增；在
上，单调递减.
（2）因为
有两个不同的极值点
，所以
且
，解得
.
由韦达定理可知
，
，代入上式可得：
.
已知
，即
，
可得
，即
.
令
，对
求导得
.
7
因为
，所以
，
在
上单调递增.
又
，所以
的解集为
，
即实数
的取值范围是
.
例题6．已知函数
.
(1)讨论
的单调性；
(2)求证：
.
【答案】(1)答案见解析
(2)证明见解析
【来源】2025 届湖北省武昌实验中学高考适应性考试数学试卷
【分析】（1）先求出导函数，再根据判别式分类讨论得出单调区间即可；
（2）先证明不等式
，再代入
，累加法计算证明即可.
【详解】（1）
，
，
对于方程
，
当
，即
时，
，
函数
在
上单调递减；
当
，即
时，方程
有两个不相等的实数根，
，且
，
当
或
时，
；当
时，
，
即函数
在
上单调递减，在
上单调递增.
综上所述，当
时，函数
的单调递减区间为
，无单调递增区间；
8
当
时，函数
的单调递增区间为
，单调递减区间为
，
.
（2）由（2）知，当
时，函数
在
上单调递减，
又
，
当
时，
，即当
时，
.
，
，
即
，
当
时，
，
当
时，
，当
时，
，
当
时，
，
累加可得，
，
即
，
所以
.
例题7．已知函数
（
），
．
(1)求函数
的极值；
(2)若
对任意的
恒成立，求实数
的取值范围；
(3)求证：
时，
．
【答案】(1)答案见解析；
(2)
；
(3)证明见解析.
【来源】天津市五区县重点校2024-2025 学年高三上学期1 月期末联考数学试题
【分析】（1）求出函数
的导数，按
分类讨论求出函数的极值.
（2）构造函数
，利用导数探讨单调性求出
的范围.
9
（3）利用导数分别证明不等式
，
在
时成立，再利用不等式的性
质推理得证.
【详解】（1）函数
的定义域为R，求导得
，
①当
时，
恒成立，无极值；
②当
时，由
，得
；由
，得
，
函数
在
上单调递减，在
上单调递增，
因此函数
极小值为
，无极大值，
所以当
时，
无极值；
当
时，
极小值为
，无极大值．
（2）对任意的
，不等式
，
设
，且
，求导得
，
令
，求导得
，
函数
在
上单调递增，则
在
上单调递增，
，
函数
在
上单调递增，而
，
当
时，
恒成立，函数
在
上单调递增，
恒成立；
当
，则
，又
，
则在
内存在
，使得
，当
时，
，
函数
在
上单调递减，当
时，
，不合题意，
所以实数
的取值范围是
.
（3）令函数
，
，求导得
，
令
，求导得
，函数
在
上单调递增，
则
，函数
在
上单调递增，
，
10
即
，
令函数
，
，求导得
，
函数
在
上单调递增，
，即
，
因此当
时，
，即
，
所以
成立.
【点睛】方法点睛：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：
①通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；
②利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．
③根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的
新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩
法，注意恒成立与存在性问题的区别．
例题8．已知函数
为
的导函数．
(1)当
时，求曲线
在
处的切线方程；
(2)若
的两个极值点分别为
和
，且
.
（i）求实数
的取值范围；
（ii）证明：
．
【答案】(1)
(2)（i）
；（ii）证明见解析
【来源】辽宁省协作体2024-2025 学年高三下学期第二次模拟考试数学试卷
【分析】（1）根据导数的几何意义结合题意求解即可；
（2）（i）由题意得
是方程
的两个正根，进一步转化为
与
有两个不同的交点，然后利用导数求出
的单调区间和极值分析求解即可；（ii）由（i）可知
11
，由
得
，则可得
，令
，利用导数求出其单调
区间和最值，从而可证得结论.
【详解】（1）当
时，
，则
，
，求导得
，则
，
所以曲线
在
处的切线方程为
；
（2）（i）
，且定义域
.
因为若
有两个极值点，所以
是方程
的两个正根，
即
令
，则
，
所以，当
时，
；当
时，
，
因此，当
时，
单调递减；当
时，
单调递增，
所以当
时，
有最小值
，
当
时，
，
又因为当
时，
，当
时，
，
所以当
时，
，当
时，
，
所以当
时，
的图象与直线
有两个不同的交点，
所以
；
（ii）由（i）可知
，且
时，
，
又
，所以
，
12
令
，
单调递增，
且
，所以
时，
时，
，
所以
在
单调递减，在
单调递增，
所以
，
即
，
又因为
，所以
，
所以
，即
.
例题9．已知函数
，其中为自然对数的底数
(1)当
时，求
的单调区间；
(2)若当
时，关于
的方程：
有两个不同的根：
且
，
（i）求
的范围；
（ii）当
最小时，求
的值．
【答案】(1)单调递增区间为
和
，无单调递减区间.
(2)（i）
；（ii）
【来源】2025 届浙江省杭州第二中学高三模拟预测数学试题
【分析】（1）先求
，再通过研究
的正负性来确定
的正负性，即可求出
的单调区间；
（2）（i）将问题转化为
在
上有两个不同的零点
，根据导函数研究其单调性，最
后根据零点存在性定理即可得出；
13
（ii）令
，通过
，先研究函数
的单调性，再研究
的最小值，利用两者最小值的一致性，可得
的值，即可通过
求
的值.
【详解】（1）定义域为
，
当
时，
，则
，
令
，则
，
则
得
；
得
，
则
在
上单调递减，在
上单调递增，
因
，则
或
时，
，即
，
则
的单调递增区间为
和
，无单调递减区间.
（2）（i）当
时，
有两个不同的根
，
则
在
上有两个不同的非零零点
，
因
，则
在
上有两个不同的零点
，
因
，
当
时，
，则
在
上单调递增，
则
在
上至多存在一个零点，不符合题意；
当
时，
得
；
得
，
则
在
上单调递减，在
上单调递增，
14
则
，
令
，则
，
则
得
；
得
，
则
在
上单调递增，在
上单调递减，
则
，则
在
上恒成立，
因
，则
，
则当
时，
；
当
时，
，
则由零点存在性定理可知
在
上有两个不同的零点，
综上可知，
的范围为
.
（ii）因
，结合
的单调性可知
，
由（i）可知
是
的两个根，即
，
两式相减得
，
令
，则
，则
，
令由（1）可知，
在
上单调递增，
故欲求的最小值，只需求
的最小值，即
的最小值，
15
令
，则
，
令
，则
，则
在
上单调递增，
又
，则
使得
，即
，
则
得
，
得
，
则
在
上单调递减，在
上单调递增，
则当
时
取最小值，
取最小值，取最小值，
此时
综上所述，当
最小时，
.
例题10．已知函数
.
(1)当
时.
（i）判断
在
上极值点的个数，并说明理由；
（ii）设
在
内的全部极值点按从小到大的顺序排列
，求证：
(2)当
时，直线
为曲线y
的“双重切线”，记直线
的斜率所有可能的取值为
，若
，证明：
.
已知：若函数
图象上恰好存在相异的两点P、Q，满足曲线
在P 和Q 处的切线重合，则称
P、Q 为曲线y
的“双重切线”，直线PQ 为曲线
的“双重切线”.
【答案】(1)（i）有一个极值点，理由见解析；（ii）证明见解析
(2)证明见解析
【来源】湖北省华中师范大学附属中学2025 届高三综合测试数学试题
16
【分析】（1）利用函数求导计算函数的极值点；利用函数求导计算函数极值点，结合函数的周期得到所
证结果；
（2）根据双重切线的定义得到斜率表达式，再通过求导、三角函数性质等进行分析和证明
【详解】（1）当
时，函数
.
（i）
在
上极值点的个数为1 个.
对
求导，根据求导公式
，令
，
对
求导，
.
当
时，在
上
，在
上
，
在
内，
的符号会发生变化
，
因为
上连续，且
，又
符号变化，
所以存在
使得
先正后负，即
先正后负，
根据极值点的定义，
在
上有一个极值点.
（ii）已知
，令
，即
，可得
.
设
与
的交点横坐标为
，
因为
的周期为
，且
在
上单调递增，
相邻两个交点之间，
的图象变化一个周期。
考虑
与
的图象关系，
，
对于
在
上，
单调递减，
从可知，
（因为
一个周期内与
有一个交点，且两交点间水平距离大于半个周
期），
17
又因为
与
的交点不会超过一个周期的距离，所以
，
所以
；
（2）当
时，
设
为双重切线的两个切点，
则在
处的切线方程为
，
在
处的切线方程为
，
因为两条切线重合，则
，即
，则
或
，
不妨设
（取一种情况分析），则直线
的斜率为
，
设
此时直线
的斜率
，
设
此时直线
的斜率
，
则
，因为
根据三角函数的图象和性质，
令
求导
，
当求
时，通过分析
的单调性，可知当
靠近
时，
较大；
当求
时，
靠近
时，
较大；
不妨设
，则
，由三角函数的图像和性质可知，
当
在相应区间内时，
，则
所以
，故得证.
18
百强名校-必刷真题精练
1．已知
是函数
的极小值点．
(1)求
的单调性；
(2)讨论
在区间
的最大值．
【答案】(1)
在
单调递减，在区间
单调递增，在
单调递减．
(2)答案见解析
【来源】重庆市第一中学2025 届高三下学期最后一卷数学试题
【分析】（1）根据极值点求出
，再求导，根据导数正负得出单调性即可；
（2）根据（1）的结论，用m 对区间
进行分类讨论，再根据再结合单调性得到最值.
【详解】（1）
的定义域为R，
．
当
时，
，
不是
的极值点．
当
时，令
，得
，
．
在
小于0，在区间
大于0，在
小于0，
故
在
单调递减，在区间
单调递增，在
单调递减，此时
是
的极小值
点，符合题意．
综上，
在
单调递减，在区间
单调递增，在
单调递减．
（2）由（1）可知：
在
单调递减，在区间
单调递增，在
单调递减．分类讨论.
当
,即
时，
在区间
单调递减，故最大值为
；
19
当
时，
在
单调递减，在
单调递增，故最大值为
；
当
时，
在区间
单调递增，故最大值为
；
当
时，
在
单调递增，在
单调递减，故最大值为
；
当
时，
在区间
单调递减，故最大值为
．
2．已知函数
．
(1)当
时，讨论函数
的单调性；
(2)当
时，求函数
的极值．
【答案】(1)答案见解析
(2)答案见解析
【来源】广东省江门市2025 届高三下学期高考模拟考试数学试题
【分析】（1）由函数解析式明确定义域，并判断其奇偶性，根据化简后的解析式以及求导可得其单调性；
（2）由函数解析式明确定义域，并判断其奇偶性，利用导数与极值的关系以及分类讨论，可得答案.
【详解】（1）由
，则函数
，易知其定义域为
，
由
，则函数
为偶函数，
当
时，
，显然当
时，函数
在
上单调递增，
当
时，求导可得
，令
，解得
，
当
时，
，当
时，
，
所以函数
在
上单调递增，在
上单调递减，
综上，当
时，函数
在
上单调递减，在
上单调递增；
20
当
时，函数
在
与
上单调递增，在
与
上单调递减.
（2）由
时，则函数
，可得
，解得
或
，
所以函数
的定义域为
，由（1）易知函数
为偶函数，
当
时，则函数
，
当
时，函数
在
上单调递增，此时无极值；
当
时，求导可得
，令
，解得
，
当
时，
，当
时，
，
所以函数
在
上单调递增，在
上单调递减，
故函数
的极大值为
，
由函数
为偶函数，则函数
的极大值为
，
综上，当
时，函数
无极值；
当
时，函数
的极大值为
，无极小值.
3．已知函数
.
(1)设
是
的极值点，求
在点
处的切线方程；
(2)若
，求实数
的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【来源】安徽省合肥市第一中学2025 届高三最后一卷数学试题
21
【分析】（1）根据给定条件，求出导数，利用极值点求出
并验证，再利用导数的几何意义求出切线方程.
（2）等价变形给定不等式，构造函数，利用导数求出函数最大值，进而求出范围.
【详解】（1）函数
的定义域为
，求导得
，
由
是
的极值点，得
，解得
，
，函数
在
上单调递增，
当
时，
；当
时，
，则
是
的极小值点，
，
，
所以
在点
处的切线方程：
.
（2）不等式
，
设
，求导得
，设
，函数
在
上单调递减，且
，
则当
时，
，即
；当
时，
，即
，
函数
在
上单调递增，在
上单调递减，
，因此
，
所以实数
的取值范围是
.
4．已知函数
．
(1)讨论
的单调性；
(2)若
恒成立，求实数
的取值范围．
【答案】(1)答案见解析
(2)
【来源】湖南省九校联盟2025-2026 学年高三上学期第一次联考（一模）数学试题
22
【分析】（1）求导得
，再
分
和
两种情况讨论导数正负即可得解；
（2）分离参数得
对
恒成立，再设
，求导后对分子因式分
解，再设新函数求导，最后得到右边最值即可得到答案.
【详解】（1）
定义域为
，
，
①当
时，
恒成立，故
在
上单调递增；
②当
时，令
有
，解得
，又
，
令
，解得
，
则
在
上单调递增，在
上单调递减，
综上，当
时，
在
上单调递增；
当
时，
在
上单调递增，在
上单调递减.
（2）由题
，
所以
恒成立等价于
对任意
恒成立，
令
，
则
，
令
，则
，
即
在
上单调递增，故
，
令
有
，
23
当
时，
，此时
单调递减；当
时，
，此时
单调递增，
则
为
唯一的极小值点，也是最小值点，
故
，从而
，
因此实数
的取值范围为
.
5．设函数
，
．
(1)若
在
处切线为
，求实数
的值；
(2)是否存在实数a，使得当
时，函数
的最小值是3？若存在，求出a 的值；若不存在，说明
理由．
【答案】(1)5
(2)
，理由见解析
【来源】黑龙江省哈尔滨第三中学校2025 届高三下学期第二次模拟考试数学试题
【分析】（1）求导，由
求出
，结合
，得到
，求出
的值；
（2）求定义域，求导，分
，
和
三种情况，得到函数单调性和最小值，从而得到方程，
求出答案.
【详解】（1）
，
在
处切线为
，故
，解得
，
故
，所以
，所以
，
所以
；
（2）存在
，理由如下：
的定义域为
，
，
当
时，
在
上恒成立，
24
故
在
上单调递减，
所以
，解得
，舍去.
当
时，令
得，
，令
得，
，
若
，则
，故
在
上单调递减，在
上单调递增，
故
，解得
，满足要求，
若
，则
，故
在
上单调递减，
故
，解得
，舍去.
综上，
.
6．设函数
(1)讨论
的单调性；
(2)若函数
存在极值，对于任意的
，存在正实数
，使得
，
试判断
与
的大小关系，并给出证明.
【答案】(1)答案见解析
(2)
，证明见解析
【来源】江西师范大学附属中学2025 届高三下学期第三次模拟考试数学试卷
【分析】（1）首先确定函数
定义域，再对其求导得到
，然后根据
的取值范围进行分类讨论即
得：
（2）通过对
与
作差，构造函数
判断其单调性，进而得出
与
的大小
关系，再结合
的单调性即得结论.
【详解】（1）易知
的定义域为
，
25
又
.
若
，则
恒成立，所以此时
在
上单调递增；
若
，则当
时，
；当
时，
；
所以此时
在
上单调递增，在
上单调递减.
综上，
时，
在
上单调递增；
时，
在
上单调递增，在
上单调递
减.
（2）结论：
.
证明如下：由（1）知，当
时，
存在极值.
，
由
，则
，
则
，
又
，则
，
所以
.
26
设
，则
.
令
，则
，
所以
在
上单调递增，则
，故
.
又
，即
，所以
，即
.
又由
可知
在
上单调递减，
则
，即
.
7．已知函数
(1)若
，讨论函数
在
的单调性；
(2)若
，求证：
．
(3)若
在
上有唯一的零点，求实数
的最小值．
【答案】(1)
在
上单调递增，在
上单调递减；
(2)证明见解析；
(3)1．
【来源】黑龙江省齐齐哈尔市2024-2025 学年高三下学期第三次模拟考试数学试题
【分析】（1）利用导数研究函数的单调性即可；
（2）构造
，应用导数研究单调性求其最小值得到
，即可证；
（3）问题化为
与
有唯一的交点，利用导数求
的最值，即可得参数范围.
27
【详解】（1）当
时，
，
，
由
，
，
令
，则
，所以
，或
，
令
，则
，所以
，
所以
在
上单调递增，在
上单调递减，
（2）令
，则
，可得
，
令
，则
，
，
在
上单调递减，
，
在
上单调递增，
所以
时
，即
，所以
；
（3）令
，即
，
在
上有唯一的零点，即
与
有唯一的交点，
，由（2）知
，
，
在
上单调递增，故
，
，
，
的最小值为1．
8．已知函数
，
．
(1)当
时，求函数
在点
处的切线方程；
(2)讨论
的单调性；
28
(3)若
有极大值，且极大值小于0，求a 的取值范围．
【答案】(1)
；
(2)答案见解析
(3)
．
【来源】陕西省西安中学2025-2026 学年高三上学期质量检测考试（一）数学试题
【分析】（1）利用导数求得
，
可求切线方程；
（2）求导，分
和
两种情况讨论
正负，从而求得
的单调性，
（3）由（2）可得
极大值，再根据极大值小于0，求得
的取值范围.
【详解】（1）当
时
，则
，
，
所以
，
所以函数
在点
处的切线方程为
，
即
；
（2）函数
的定义域为
，
又
，
当
时
恒成立，
在
上单调递增，无极值.
当
时，由
，解得
，
由
，解得
，
所以
在
上单调递增，在
上单调递减，
（3）由（2）当
时
恒成立，
在
上单调递增，无极值.
29
当
时，
在
处取得极大值，极大值为
.
令
，解得
，
所以
的取值范围为
.
9．已知函数
，
(1)当
时，求曲线
在
处的切线方程；
(2)当
时，求函数
的单调区间；
(3)若
在
上存在零点，求实数
的取值范围.
【答案】(1)
(2)单调递减区间为
单调递增区间为
(3)
【来源】湖北省武汉市第二中学2025 届高三高考模拟数学试题
【分析】（1）代入
得到函数解析式，求出切点坐标.求函数的导数得到切线斜率，然后写出切线方
程；
（2）代入
得到函数解析式，求函数的导数
，令
，再求
的导数
，从而
知道
的单调性，由此得到
对应区间内，从而得到函数
的单调区间.
（3）由解析式分析得到函数
在
上存在零点，则
.求函数导数
，由（2）可知
且
.然后分类讨论：①
，证明当
，
，且
，得到结
论；②
时，
使得
，得到
，通过换元后求导，证明
，由零
点存在性可知存在零点，故得到结果.
【详解】（1）当
时，
，
，切点为
，
30
，∴
，∴切线方程为：
（2）当
时，
，
令
，
，令
，得到
，
∴
时，
，∴
在
单调递增，即
在
单调递增；
∴
时，
，∴
在
单调递减，即
在
单调递减；
∵
，且
时，
恒成立，
∴
变化时，
的变化情况如下表：
0
极小值
∴
的单调递减区间是
，单调递增区间为
，
（3）
，
∵
时，
，
，∴
，若
，则
恒成立，
∵
在
上存在零点，∴
；
，由（2）可知
在
单调递增，在
单调递减.
∴
，∵
，∴
，
①若
，即
，
时，
，
，
，
，
∴
，
，∴
在
单调递增，∴
，
∴
无零点.
31
②若
，即
，
时，
∵
，
使得
，当
时，
，
∴
变化时，
的变化情况如下表：
0
极小值
∴
在
上单调递减，∴
，∴
在
无零点.
，
，
，
单调递增，∴
，∴
，
，∴
，∴
∴
，∴
在
上存在零点.
综上所述，若
在
上存在零点，实数
的取值范围为
.
【点睛】方法点睛，连续函数在区间
是否存在零点，只需证明
，使得
，
本题借助导数求得函数的单调区间及最值，从而研究函数是否存在零点问题.
10．已知函数
（
）.
(1)若
，求
的图象在
处的切线方程；
(2)若
有两个极值点
，
（
）.
①求
的取值范围；
②求证：
.
32
【答案】(1)
(2)①
；②证明见解析
【来源】河南省新高中创新联盟TOP 二十名校计划2024 届高三上学期11 月调研考试数学试题
【分析】（1）利用切点和导数几何意义即可求解；
（2）①令
，由题意可知，
在
有两个不相等的实数根，根据
的
单调性结合零点的存在性定理分类讨论求解即可；
②由①分析得
，
，令
，可得
在
上单调递增，
因为
，所以
，根据不等式性质计算即可得证.
【详解】（1）若
，则
，所以
，
所以
，又
，
所以
的图象在
处的切线方程为
，即
.
（2）①由题意知
.
令
，则
.
因为
有两个极值点
，
（
），所以
有两个不等正实根
，
（
）.
若
，
，则
在
上单调递增，
所以
在
上至多有一个零点，不符合题意；
若
，令
，解得
，所以当
时，
，
当
时，
，所以
在
上单调递增，在
上单调递减.
33
所以
时，
取得极大值，即最大值为
，
所以
，解得
.
当
时，
，又
，所以
，
由零点存在性定理知：存在唯一的
，使得
.
又
，令
，
所以
，所以当
时，
，当
时，
，
所以
在
上单调递增，在
上单调递减，
所以
，
所以
，所以
，
由零点存在性定理知：存在唯一的
，使得
.
所以当
时，
有两个不等正实根
，
.
综上，
的取值范围是
.
②证明：由①知
，且
，所以
，
因为
在
上为增函数，及
，所以
，
又
，所以
.
因为
，
，所以
，
，
所以
，所以
.
34
令
（
），
所以
，所以
在
上单调递增，
因为
，所以
，所以
，
所以
，所以
，
所以
，所以
.
所以
.
【点睛】本题证明的关键在于构造函数
，进而求证
，再运用
不等式性质即可证明.
11．已知
，函数
，记
为
的从小到大的第
个极值点．
(1)当
时，求
；
(2)证明：
（i）数列
是等比数列；
（ii）若
，则对一切
恒成立．
【答案】(1)
(2)（i）证明见解析；（ii）证明见解析
【来源】吉林省长春市东北师范大学附属中学2025-2026 学年高三上学期第三次摸底考试数学试题
【分析】（1）把
代入，求出函数
的导数，再求出导函数的零点并判断单调性即可得极值点.
35
（2）（i）利用导数求出函数的极值点
，再求出
并利用等比数列的定义推理得证；（ii）由（i）
的信息，借助分析法证明
，构造函数
，利用导数求出最小值，转化证
即可.
【详解】（1）函数
，
求导得
，
令
，得
，解得
，
当
时，
；
当
时，
，
函数
在
上单调递增，
在
上单调递减，
而
，所以
.
（2）（i）函数
，求导得
，其中
，
令
，得
，解得
，
当
时，
；
当
时，
，
则函数
在
上递增，
在
上递减，
36
又
，则
，
，
，
且
，
，
所以数列
是首项为
，公比为
的等比数列.
（ii）欲证
，即证
，
，且
，
则只需证
，又
，
则只需证
，即证
，
令函数
，求导得
，
当
时，
；当
时，
，
函数
在
上单调递减，在
上单调递增，
，
因此
，则只需证
，即证
，于是当
时，
成立；
当
时，
，
，又
，则
，
于是
，即
，
则当
时，
，即
成立；
37
当
时，
，
，
，
成立，
所以当
，则对一切
，
恒成立.
12．已知函数
.
(1)若函数
的最大值为0，求
的取值范围；
(2)证明：当
时，有
；
(3)若对任意
，都有
成立，求实数
的取值范围.
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)
【来源】浙江省强基联盟2025-2026 学年高三上学期返校联考数学试卷
【分析】（1）根据
得出
，再检验其正确性即可；
（2）利用函数
的单调性求解即可；
（3）先用和差化积公式得出
，再通过
探究出
的取值
范围
，最后验证其正确性即可.
【详解】（1）
，
注意到
，而函数
的最大值为0，因此
，所以
，
另一方面，当
时，
，故
在
上单调递减，
则
，满足题意，
综上所述，
的取值范围为
.
（2）由（1）得当
时函数
在
单调递减，
38
又
，因此
，即
成立.
（3）因
，
则
，
当
时，
，则
，
令
，则
，
因
在
上恒成立，且
，则
，即
，
下面证明
时
成立：
由（2）得
，下面证明
，
即证明
，
令
，则
，因此
单调递增，
则
即
成立；
综上所述，实数
的取值范围为
.
13．已知函数
.
(1)讨论函数
的极值点个数；
(2)当
时，证明：
；
(3)函数
有两个零点
，求证：
.
【答案】(1)答案见解析
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【来源】陕西省西安交通大学附属中学2026 届高三上学期第四次诊断考试数学试题
【分析】（1）求导，分
、
、
三种情况讨论其单调性即可；
39
（2）令
，利用同构思想求证
即可；
（3）根据
得出
，将目标转化为求
，再令
，进而转化为求证
，再构造函数求最值即可.
【详解】（1）函数
的定义域为
，
，
令
，
，
当
，即
时，
恒成立，则
在
上单调递增，无极值点；
当
时，即
或
时，
有两个不等的实数根
，
当
时，
，
，
得
；
得
；
则
在
上单调递减，在
上单调递增，
则函数
有一个极小值点，无极大值点；
当
时，
，
得
或
；
得
；
则
在
上单调递增，在
上单调递减，在
上单调递增，
故
为极大值点，
为极小值点，即函数
有两个极值点，
综上，
时，
无极值点；
时，
有一个极小值点，无极大值点；
时，
有一个极小值点，一个极大值点.
（2）当
时，
，
即证
，
40
令
，即证
，即证
，
因为
，则函数
在
上单调递增，
当
时，
；当
时，
，所以函数
的值域为
，
令
，其中
，则
，
由
可得
，由
可得
，
所以函数
的减区间为
，增区间为
，则
，
故
，即
，故原不等式得证；
（3）
，
因为函数
有两个零点
、
，不妨设
，
则
，所以
，
则
，即
，
要证
，即证
，
即证
，
令
，即证
，
令
，其中
，则
，
所以函数
在
上为增函数，则
，
即
，即
，故原不等式得证．
41
14．已知函数
.
(1)当
时，求
的单调区间；
(2)设
是
的两个极值点，
①求证：
；
②求证：
.
【答案】(1)减区间为
，增区间为
；
(2)①②证明见解析.
【来源】黑龙江省哈尔滨市第三中学校2024-2025 学年高三第一次模拟考试数学试卷
【分析】（1）利用导数的几何意义求解即可；
（2）①分析得
的两根为
，且
，再构造函数
，利用导数得其单调性即可证明原不等式；
②将左边不等式等价转化证明
，再构造函数
，利用导数即可证明，右边不
等式利用切线放缩即可证明.
【详解】（1）
时，
，
，
因为
，
均在
上单调递增，
则
在
上单调递增，又
，
所以
，
，
，
，
所以
在
单调递减，在
单调递增．
（2）①依题意
的两根为
，
42
即
的两根为
．
令
，
得
，且
，
，
则
在
单调递减，在
单调递增，则
．
令
，
则
，所以
在
单调递增，所以
，
所以
，又
，
在
单调递增．
所以
，即
．
②由
，要证明
，只需证
，
即证明
，
即证明
即证明
即证明
，设
，
，
则
，则当
时，
，则
在
单调递减，
则
，则
在
上恒成立，从而左边得证．
因为
，
，且
，
，
则
在
和
处的切线分别为
和
，
令
，得
，
再证明
恒成立，
43
设
，则
，令
，解得
，
且
时，
，此时函数
单调递减；
时，
，此时函数
单调递增；
则
，则
恒成立，
再证明
恒成立，
设
，
，
则当
时，
，
单调递减；当
时，
，
单调递增；
则
恒成立，
所以
，从而右边得证．
【点睛】关键点点睛：本题第二问第一问是经典的极值点偏移问题，需构造函数
，再利用导数即可证明.
15．已知函数
(1)若函数
在定义域上单调递增，求实数a 的取值范围；
(2)设
是
的两个极值点，证明：
(i)
；
(ii)
【答案】(1)
(2)(i)证明见解析；(ii)证明见解析
【来源】湖南省长沙市长郡中学2024-2025 学年高三下学期数学模拟试卷（一）
【分析】（1）依题可知
，对
恒成立，参变分离后，利用导数求函数最值即可；
44
（2）(i)由题可得
是方程
的两根，即
，且
，令
，得
，问题转化为证明
，构造函数利用导数证明；(ii)先利用导数
证明
，
，可得
与
的交点横坐标为
，则
，
与
的交点横坐标为
，则
，由此得证.
【详解】（1）
的定义域为
，
依题可知
对
恒成立，即
，
令
，则
，
当
时，
，
单调递减；
当
时，
，
单调递增，
所以
，故
；
（2）(i)令
，即
，由题知
是方程
的两根，
又
时，
，由（1）得，
此时
，
，
令
，则
，
即
，
，
要证
，即证
，即证
，
45
构造
，则
，
故
在
上递增，
，
，原问题得证.
(ii)易求得
的图象在
处的切线方程为
，
的图象在
处的切线方程为
，
先证
，即证
，
令
，则
，
所以
在
上递减，在
上递增，故
，得证.
再证
，即证
，
令
，则
，
所以
在
上递减，在
上递增，故
，得证.
易知直线
与曲线
的交点横坐标为
，
令
与
的交点横坐标为
，则
，
令
与
的交点横坐标为
，则
，
故
.
16．已知函数
定义域为
，
，若
，
，当
时，都有
．则称为
在
上的“Ω 点”．
(1)设函数
．
46
（i）当
时，求
在
上的最大“Ω 点”；
（ii）若
在
上不存在“Ω 点”，求a 的取值范围；
(2)设
，且
，
．证明：
在D 上的“Ω 点”个数不小
于
．
【答案】(1)（i）
；（ii）
(2)证明见解析
【来源】山东省青岛市2024-2025 学年高三上学期期初调研检测数学试题
【分析】
（1）（i）由题意可得对
，
，当
时，都有
，即可结合导数研究单调性后取
最大值点即可得；
（ii）由题意可得
在
时恒成立，借助导数分
、
、
及
讨论函
数单调性即可得；
（2）分“Ω 点”个数为
，及大于等于
进行讨论，结合
，从而得到相邻两个“Ω
点”的函数值之差小于等于，即可得“Ω 点”个数与
的关系.
【详解】（1）（i）当
时，
，
则
，
则当
时，
，当
时，
，
即
在
上单调递增，在
上单调递减，
即对
，
，当
时，都有
，
即
在
上的最大“Ω 点”为
；
47
（ii）由题意可得
在
时恒成立，
，
令
，
，
则
，
当
时，
恒成立，故
在
上单调递减，
则
，
故
在
上单调递减，此时
，符合要求；
当
时，令
，则
，
则当
，即
时，
，即
在
上单调递增，
则
，即
在
上单调递增，
有
，不符合要求，故舍去；
当
，即
时，
恒成立，故
在
上单调递减，
则
，故
在
上单调递减，
此时
，符合要求；
当
，即
时，
若
，
，若
，
，
即
在
上单调递减，在
上单调递增，
则若需
恒成立，有，解得
，
48
由
，故
，
由
，故
，
即当
时，符合要求；
综上所述，
；
（2）若
在D 上的“Ω 点”个数为
，则
，符合要求；
若
在D 上的“Ω 点”个数为
，令
在D 上的“Ω 点”分别为、
、
、
，
其中
、
，、
、
、
，
若
，
则若
，由
，则
，即
，
若
，由题意
，
，
，
故
，即
，又
，故
，符合要求；
若
，
则
，
，
，
，
由
，则
，
若
，即
，则
，
若
，由题意
，
，且
，
又
，故
，即
，
，
，
，
49
即有
，即
，
由
，故
，
又
，故
，
即
在D 上的“Ω 点”个数不小于
.
【点睛】关键点点睛：最后一问关键点在于借助
，结合定义得到相邻两个“Ω 点”的函
数值之差小于等于，即可得“Ω 点”个数与
的关系.
17．对于任意两个正数
，记区间
上曲线
下的曲边梯形面积为
，并规定
，
，记
，其中
．
(1)若
时，求证：
；
(2)若
时，求证：
；
(3)若
，直线
与曲线
交于
，
两点，求证：
（其中
为自然常数）．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【来源】2025 届甘肃省高三4 月二模考试数学试题
【分析】（1）当
时，
，根据
的定义求解；
50
（2）解法一：如图可知，
为
与
，
以及
轴所围成的曲边梯形的面积，曲面梯形的面
积大于
，
，得证；
解法二：转化为证明：
，设
，
，则不等式可化为
，构造函数：
，利用导数证明
在
恒成立；
（3）令
，故
，直线
与曲线
交于
，
，所以
，即有：
①，
②，进一步变形可得
，从而得证.
【详解】（1）因为
，且
，
当
时可知
，
所以
，
，所以
成立；
（2）解法一：要证
，即证
，
如图可知，
为
与
，
以及
轴所围成的曲边梯形的面积．
若直线
与曲线
交于点
，
过
做
的切线，分别交
，
于
，
，
过
做
轴的平行线分别交
，
于
，
，则
，
51
易知曲面梯形的面积大于
，
所以
，
所以，
，得证．
解法二：因为
时，
，所以要证
，
即证：
，
即证：
，即证：
，
设
，
，则不等式可化为
，
要证
，作差得
，
即证：
在
恒成立，
构造函数：
，
则
，再设
，则
，
因为
，所以
恒成立，
所以
在
为增函数，所以
，
所以
在
恒成立，可得
在
为增函数，
所以
，所以
在
恒成立，
52
所以不等式
成立，得证；
（3）因为
，所以
，
令
，故
，
所以
在
为减函数，在
为增函数，
，
故直线
与曲线
交于
，
，所以
，
且
，
，即有：
①，
②，
①＋②得：
①－②得：
由第（2）问知：
，
所以
，
所以
，即
，
所以
成立．
【点睛】方法点睛：对于新定义题型，一般分为以下几步：
（1）对新定义进行信息提取，明确新定义的名称和符号；
（2）对新定义所提取的信息进行加工，探究解决方法，有时能够追求临近的知识点，明确它们的共同点
与不同点；
（3）对新定义中提取的知识进行变换，有效的输出；假如是新定义的运算，直接依据运算法则计算即可.
18．已知函数
．
53
(1)若
在
处的切线为
，求
的值；
(2)当
时，求
在
上的零点个数；
(3)当
时，设
，是否存在
，使得曲线
在点
处的切线
与
有3 个交点？若存在，探究满足条件的的个数；若不存在，说明理由
．
【答案】(1)
，
；
(2)存在2 个零点；
(3)所以存在唯一实数
，使得曲线
在点
处的切线与
有3 个交点.
【来源】湖南省长沙市湖南师范大学附属中学2025 届高三下学期模拟（一）数学试卷
【分析】（1）根据导数的几何意义即可求解；
（2）求出
的导数，判断得
的单调性，进而可求得
的最小值，通过判断其最小值的正负，
即可判断其零点个数；
（3）求出函数
的导数，由曲线
在点
处的切线方程，构造函数
，利用导数
探讨极值，由
有3 个零点建立关系，即可求解.
【详解】（1）由
，得
，
因为
在
处的切线为
，即
，
代入得
，解得
，
.
（2）当
时，
，得
，令
，
即
，结合函数图像可知，当且仅当
时，
成立，即
①，
54
当
时，
，
单调递减；
当
时，
，
单调递增，
所以当
时
取得最小值，即
，
将①代入，得
，
令
，
，所以
，
所以
，
又
，
，
所以当
时，求
在
上存在2 个零点.
（3）当
时，
，
所以
，
，
，
，
切线方程：
，即
，
整理得
，
令
，
，
55
因为
，
，
当
时，
，
为单调递增函数，
当
时，
，
为单调递减函数，
函数
所有的极大值为
，
当
时，极大值等于0，即
，
当
为正整数时，极大值全部小于0，即
在
无零点，
当
为负整数时，极大值全部大于0，函数
所有的极小值为
，
当
时，极小值
，
且随着
的增大，极小值
越来越小，
因此
在点
处的切线与
有3 个交点，
等价于
，即
有解，
令
，
则
，
因此
为
上的严格增函数，
因为
，
，
于是存在唯一实数
，满足
，
所以存在唯一实数
，使得曲线
在点
处的切线与
有3 个交点.
56
19．若二元代数式
满足
，则称代数式
为二元轮换式，记
；若三
元代数式
满足
，则称代数式
为三元轮换式，记
，
.
(1)若正实数
，
满足
，且
，求
的最大值；
(2)若代数式
为二元轮换式，比较
与
的大小；
(3)若对任意的正实数x，y，z 均有
，求整数
的最大值.
【答案】(1)
(2)
(3)
【来源】2025 届福建省厦门第一中学高三5 月模拟数学试题
【分析】（1）整理等式可得参数的取值范围，根据二次函数的性质，可得答案；
（2）由题意，构建函数，利用导数研究其单调性，可得取值范围，可得答案；
（3）由题意对不等式进行分解因式，分析符号后，构造函数并求出其单调性，可得答案.
【详解】（1）正实数
满足
，可得
，即
，
所以
，
又
，所以
，所以当
即
时，
取得最大值为
．
（2）依题意可得
，即
，
57
由对称性不妨假设
，令
，则有
，
则有
，
设
所以
在
单调递增，则有
，
所以
，即
，即
，即
，
综上，
．
（3）已知对任意的正实数
，均有
，
不妨设
是
中的最小值，则令
，其中
.
将
代入不等式并化简可得
.
若
或
，则不等式对任意实数
均成立.
因为
，所以要使不等式成立，即
.
若
，则不等式对任意实数
均成立.
若
，设
.
当
时，不等式
可整理为
.
设
，对其进行变形可得
.
对
求导，
，令
，
，
58
因为
，所
，即
在
上单调递增.
令
，即
，化简可得
，
令
，则
，解得
(
舍去），即
.
则存在
，且
，所以
在
上单调递减，在
上单调递增.
所以
，因为
，所以
，则
，所以
.
又因为
，所以
，则
，
因为
，所以
，所以
，所以
，所以
.
当
时，不等式
可整理为
，
此时
，所以
时，不等式恒成立.
20．已知k、
，函数
的定义域为
，直线l 的方程为
，记集合
．
(1)若
，求集合
；
(2)若
，且存在实数k、m 使得集合
中有且只有两个元素，求实数b 的取值范围；
59
(3)若函数
的图象是一条连续曲线，且其导函数是定义域为
的严格减函数，求证：“集合
是
单元素集合
”是“直线l 是曲线
在点
处的切线”的充要条件．
【答案】(1)
(2)
(3)证明见解析
【来源】上海市上海交通大学附属中学2024-2025 学年高三下学期摸底考试（3 月）数学试题
【分析】（1）由已知求得
，解不等式
即可求解；
（2）
的解集为
，进而得方程
有重根
及
，
据此求解即可．
（3）记
，必要性，则有
，由题意可得
的单调性，可得结论；
充分性，
时
，结合已知可得函数
在
处取得极大值，进而
可得结论.
【详解】（1）因为
，所以
，
由
，得
，解得
，所以
．
（2）存在实数k，m 使得集合
，则
的解集为
，
即
的解集为
，
所以方程
有重根
及
．
因此
恒成立，故有
，
则
是二次方程
的两个不相等的实数解，
60
所以
，所以实数b 的取值范围是
．
（3）记
，则
，在
上严格递减，
①若直线l 是曲线
在点
处的切线，
则有
，所以
．
故
时，
，所以函数
在
上严格递减，
；
时，
，所以函数
在
上严格递增，
；
所以
的解集为
，集合
是单元素集合
；
②若集合
是单元素集合
，故
时，
，
而函数
的图象是一条连续曲线，所以
．
则在
的附近其他自变量对应的函数值都小于
，
故函数
在
处取得极大值，所以
，
所以曲线
在点
处的切线方程为
，
即
，直线l 是曲线
在点
处的切线．
综上，“集合
是单元素集合
”是“直线l 是曲线
在点
处的切线”的充要条件．
【点睛】关键点点睛：第二问，关键在于得到方程
有两个二重根，进而得到
恒成立，从而可求解.
61
62
