AI聊数学:第2章05习题1-2(中国台湾翰林版高中第一册)

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习题2-1是第二章指数的综合练习，从基本运算到进阶应用，9道题覆盖了整数指数、有理数指数、实数指数和科学记号。

第二章的习题和第一章不太一样——多了很多含根号指数和分数指数的运算，还涉及实际应用。做完这9道题，整个指数部分就全面巩固了。

第1题：基本指数运算

第1题有4个小题。第1小问，2的5分之1次方乘2的5分之2次方乘2的5分之3次方乘2的5分之4次方。

同底数相乘，指数相加。5分之1加5分之2加5分之3加5分之4等于5分之10等于2。所以等于2的2次方等于4。

第2小问，3的6次方乘5的3次方除以3的5次方乘5的4次方。

分子分母同底数分别约——3的6次方除以3的5次方等于3，5的3次方除以5的4次方等于5分之1。结果是5分之3。

第3小问，9的负2分之3次方。

9是3的平方，9的负2分之3次方等于3的平方的负2分之3次方，等于3的负3次方，等于27分之1。

第4小问，括号16分之81的负0.25次方。

0.25是4分之1。16分之81等于2分之3的4次方，它的负4分之1次方等于2分之3的负1次方，等于3分之2。

解题要点：指数运算的核心是把不同底数化成相同底数——9=3²、81=3⁴、16=2⁴，灵活转化才能简化计算。

第2题：综合化简

第2题第1小问，根号2减1的负4次方乘根号2加1的负4次方。

指数相同，用积的乘方——先乘底数。根号2减1乘根号2加1等于1，1的负4次方还是1。

第2小问，三次根号下2的8次方乘三次根号下4的平方。

写成指数形式——2的3分之8次方乘4的3分之2次方。4等于2的平方，所以4的3分之2次方等于2的3分之4次方。指数相加——3分之8加3分之4等于3分之12等于4。结果等于2的4次方等于16。

第3小问，括号27分之8的负3分之2次方乘括号4分之1的负2分之3次方。

27分之8等于3分之2的3次方，它的负3分之2次方等于3分之2的负2次方，也就是2分之3的平方等于4分之9。4分之1等于2分之1的平方，它的负2分之3次方等于2分之1的负3次方，等于8。4分之9乘8等于18。

解题要点：根式改写为分数指数再运算，通常比直接处理根号更简洁。注意立方根就是三分之一次方。

第3题：数值计算

第3题第1小问，0.64的负2分之1次方乘8。

0.64等于0.8的平方，它的负2分之1次方等于0.8的负1次方，也就是0.8分之1等于1.25。1.25乘8等于10。

第2小问，2加根号5的3分之1次方，四舍五入取三位小数。

用计算机算得约1.618033989，取三位小数得1.618。这个值就是黄金比例——和我们之前学过的2分之1加根号5是一样的！

解题要点：小数指数的底数先化成平方或立方的形式——0.64=0.8²，这样负分数指数就能直接化简。

第4题：科学记号运算

第4题，科学记号取三位有效数字。第1小问，3.213减1.65。

1.563，写成科学记号1.563乘10的0次方，取三位有效数字得1.56乘10的0次方。

第2小问，1.75乘2.05。

等于3.5875，即3.5875乘10的0次方，取三位有效数字得3.59乘10的0次方。

第3小问，37.8除以221。

约等于0.171，即1.71乘10的负1次方。

第4小问，1.71乘10的负3次方乘2.50乘10的负2次方。

1.71乘2.50等于4.275，指数负3加负2等于负5。结果是4.275乘10的负5次方，取三位有效数字得4.28乘10的负5次方。

解题要点：科学记号运算后，系数如果不足三位要补0或调整指数，超过三位要四舍五入。

第5题：计算机按键与分数指数

第5题，计算机上按2后连续按6次根号键，显示的是2的n分之1次方的近似值，求n。

按一次根号是2的2分之1次方，两次是2的2分之1次方的2分之1次方，即2的4分之1次方。按6次就是2的2的6次方分之1次方，也就是2的64分之1次方。所以n等于64。

解题要点：连续按根号键k次，相当于底数取2的k次方分之1次方——根号就是2分之1次方。

第6题：联立指数方程

第6题，p、q、r为正数，p的4次方等于q的负3次方，q的9次方等于r的负8次方，r的平方等于5的9次方。求r和p的12次方。

第一问，r的平方等于5的9次方，所以r等于5的2分之9次方。第二问，由p的4次方等于q的负3次方，两边取3次方得p的12次方等于q的负9次方。而q的9次方等于r的负8次方，所以q的负9次方等于r的8次方。r的8次方等于括号r的平方的4次方，等于5的9次方的4次方，等于5的36次方。

解题要点：联立指数方程的关键是消元——通过适当地取幂次，利用指数律把中间变量逐个消去，最终用已知数表达。

第7题：无理指数表示法

第7题，2的根号3次方加2的负根号3次方等于a，用a表示4的根号3次方加4的负根号3次方，以及8的根号3次方加8的负根号3次方。

第一问，4等于2的平方，所以4的根号3次方等于2的2倍根号3次方，也就是2的根号3次方的平方。同理4的负根号3次方等于2的负根号3次方的平方。这正好是a的平方减2——因为a的平方等于2的根号3次方的平方加2的负根号3次方的平方加2。所以结果是a的平方减2。

第二问类似，8等于2的立方。

同理，8的根号3次方等于2的根号3次方的立方，8的负根号3次方等于2的负根号3次方的立方。由完全立方公式——a的立方等于2的根号3次方的立方加2的负根号3次方的立方加3a。移项得结果是a的立方减3a。

解题要点：已知低次幂的和求高次幂的和——利用完全平方和完全立方公式，这和第一章学的倒数对称式求值的思路一脉相承。

第8题：地球到太阳

第8题是一个应用——地球到太阳1.5亿公里，客机时速1000公里，坐飞机去太阳要多少天？答案用科学记号取三位有效数字。

1.5亿公里就是1.5乘10的8次方公里。除以时速1000公里等于1.5乘10的5次方小时。再除以24小时每天，得0.0625乘10的5次方天，化成科学记号为6.25乘10的3次方天。所以坐飞机去太阳要6250天，大约17年！

解题要点：应用题列式后，科学记号的计算要注意调整系数到1到10之间——0.0625×10⁵要写作6.25×10³。

第9题：布袋莲蔓延

第9题，池塘布袋莲现在面积10平方公尺，每2个月蔓延为原来的k倍，6个月后面积250平方公尺。问9个月后面积是多少？

6个月相当于3个2个月的周期。所以10乘k的3次方等于250，解得k的3次方等于25。9个月相当于4.5个周期，所以面积等于10乘k的4.5次方，等于10乘k的2分之9次方。因为k的3次方等于25，那么k的2分之9次方等于k的3次的2分之3次方，等于25的2分之3次方。25等于5的平方，所以25的2分之3次方等于5的3次方等于125。10乘125等于1250平方公尺。

解题要点：指数应用题的通用步骤——确定基准量和周期、用指数表示变化规律、代入求解。注意周期不一定是整数个。

梳理一下核心要点：

好，9道题全部讲完了。按题型梳理一下方法：

第一，指数化简的基本技巧——第1、2、3题。把不同的底数化成相同的底数，利用指数律合并。分数指数和小数指数都可以转换成整数指数来处理。

第二，科学记号的规范——第4、8题。系数必须在1到10之间，不足三位要调整指数，超过三位要四舍五入。运算后要检查结果是否符合科学记号的格式。

第三，指数方程与消元法——第6、9题。联立方程通过取适当的幂次消去中间变量。实际应用要找准基准和周期。

第四，代数变形的延续——第7题。已知低次幂的和求高次幂的和，使用完全平方和完全立方公式。这个方法和第一章的倒数对称式求值完全一致——新旧知识在这里交汇。

习题2-1是第二章指数的收官之作。从正整数指数一路走到科学记号，现在又回到了黄金比例和代数变形——这些知识与第一章的乘法公式、倒数对称式遥相呼应。数学的各个分支之间从来不是孤立的，它们总是在某个意想不到的地方握手言和。