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初中数学二次函数3种常见形式,基本概念+图像上特殊点!
初中数学二次函数3种常见形式,基本概念+图像上特殊点!
常见三种形式 一般式： 
顶点式： 
两根式： 
（其中两根式当二次函数和x轴没有交点的时候不存在，此时可以采用更为一般的 对称点式
，相当于函数 
和直线y=m的两个交点，m为足够大的数 其中出现过的字母有 a：二次项系数，在三个表达式中都出现过。代表开口大小。 b：一般式的一次项系数。 c：常数项系数 h：顶点式中顶点x坐标 k：顶点式中顶点y坐标 （此处会注意到为什么h前面是有负号，而k前面没有，如有疑惑，请看下面链接） x_1: 两根式其中一个根 x_2：两根式其中另一个根 以下我以开口向上且和x轴有两个根的二次函数为例，介绍下三个表达式的联系以及适用范围。 如下图为例子： 
（实际函数为一般式： 
或者写成顶点式： 
两根式: 
) 我们先认为 
那么可以得到几个点的坐标。 
在此可以注意到， 2. b未出现，c是和y轴交点坐标属于一般式的。 3. h，k是属于顶点式的。（h，k）就是顶点坐标。 4. 
是属于两根式的。分别是和x轴的两个交点。 但既然同一个二次函数可以用三种方式来表达。那么很显然，三者之间必定存在关系，以及能够相互转化。 （其实上面说法不准确，对于和x轴没有交点的无法采用两根式） 将一般式化成顶点式（这是任何情况下都成立的） 
通过对比 
可以发现 
2. 一般式和两根式 由， 
令y=0 就能得到一元二次方程的求根公式 
按照前面的预设 
那么 
通过简单的加减就能得到 
(其中1，3式就是韦达定理） 或者将 
开括号 
也能对比出 
3. 顶点式和两根式 从上面的
以及 
可以看出， 
当然也可以直观的从函数图形上得到。 二次函数的对称轴就是 
连线的中点。 
接下来对于顶点的纵坐标就并不那么直观了。 从代数上，我们观察下面两个式子。 
能够发现 
也就是k等于a/4*两根之间距离的平方的相反数。 我们也可以从几何上直观的看出来 还是以
为例， 显然任意一个根到对称轴的距离为 
，因为抛物线任意平移形状不变。也就是我可以将任意抛物线平移后得到形如 
，例如 
, 横纵坐标保持着，纵坐标=1/2*横坐标的平方关系 
而其实这种平方关系存在于任意的抛物线，只要是对称轴上点就有的性质，即使和x轴没有交点，取一个尽可能大的数值，总能和抛物线相交两点。 我在对称轴上取一点H （对于这开口向上的抛物线，H点要在顶点上方）过H做直线平行x轴，交抛物线于D，E两点。 任意移动H点，可以发现 
在来一个 
的二次函数试下。 比如 
当BD=8.44时候，DC=23.75=8.44*8.44/3 
当BD=5.24时候，DC=9.14=5.24*5.24/3 上述总结，对于任意抛物线来说，抛物线上点的到对称轴的距离的平分*a=这个点和顶点之间的纵坐标之差。 
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，相当于函数 和直线y=m的两个交点，m为足够大的数 或者写成顶点式： 两根式: )三个式子里面都有a。
是属于两根式的。分别是和x轴的两个交点。一般式和顶点式
可以发现 开括号以及 连线的中点。为例， ，因为抛物线任意平移形状不变。也就是我可以将任意抛物线平移后得到形如 ，例如 , 的二次函数试下。点个在看你最好看