高中数学选择性必修二第一章等比数列的前n项和公式

国际象棋起源于古代印度.相传国王要奖赏国际象棋的发明者，问他想要什么.

发明者说：“请在棋盘的第1个格子里放上1颗麦粒，第2个格子里放上2颗麦粒，第3个格子里放上4颗麦粒……依此类推，每个格子里放的麦粒数都是前一个格子里放的麦粒数的2倍，直到第64个格子.请给我足够的麦粒以实现上述要求.”

国王觉得这个要求不高，就欣然同意了.已知一千颗麦粒的质量约为40g,据查，2016—2017年度世界小麦产量约为7.5亿吨，根据以上数据，判断国王是否能实现他的诺言.

让我们一起来分析一下.如果把各格所放的麦粒数看成一个数列,我们可以得到一个等比数列,它的首项是1,公比是2,求第1个格子到第64个格子各格所放的麦粒数总和就是求这个等比数列前64项的和.

一般地，如何求一个等比数列的前n项和呢?

设等比数列{an}的首项为a1,公比为q,则{an}的前n项和是Sn=a₁+a₂+a₃+…+an.

根据等比数列的通项公式，上式可写成S=a₁+a1q+a1q²+…+a1qn-1.①

有了上述公式，就可以解决本小节开头提出的问题了.

由a1=1,q=2,n=64, 可得S64==2的64次方−1

2的64次方—1这个数很大,超过了1.84×10的19次方.如果一千颗麦粒的质量约为40g,那么以上这些麦粒的总质量超过了7000亿吨,约是2016—2017年度世界小麦产量的981倍.因此,国王根本不可能实现他的诺言.

首先谈谈等比数列的前n项和公式的推导

本小节也用了一个有趣的故事情境来引入数列的求和问题，所不同的是，这个求国际象棋棋盘上所有麦粒总质量的情境只提供了一个求等比数列的问题背景，而没有提供算法.

等比数列的前n项和公式的推导有很多方法，教科书采用的是“错位相减法”.与推导等差数列的前n项和公式的“倒序相加法”类似，“错位相减法”也是一种带有技巧性但很便捷的方法.但与“倒序相加法”不同的是，“错位相减法”源于对等比数列前n项的和式的观察和分析，利用了等比数列的定义，并没有利用等比数列的其他性质，因此教科书直接让学生在

Sn=a₁+a1q+a1q²+…+a1qn-1的两边乘以q,

得到qSn=a1q+a1q²+…+a1qn-1+a₁qn”,

然后通过消去两式中的相同项，就得到了等比数列的前n项和公式.在教学中，学生可能会提出疑问：是怎样想到在Sn=a₁+a1q+a1q²+…+a1qn-1的两边乘以q的?教师可以让学生独立思考，提出合理的解释.下面的思路提供了一种解释：

从等比数列的定义可知，ai=qai-1(i=2,3,…,n).于是，在

Sn=a₁+a₂+…十an①

的两边同乘q,有qSn=a1q+a1q²+…+a1qn-1+a₁qn”.②

显然，②式的第1～(n—1)项分别与①式的第2～n项相等.

所以“错位相减法”的思想就显现了.

完整文章如下：

秋雨绵绵的江南，作者拍摄.