奇偶性的概念｜高一数学

函数奇偶性是高一函数板块的重点，也是高频易错点，很多同学忽略定义域这个大前提！

一、定义

前提：定义域关于原点对称

1. 偶函数：对定义域内任意x，f(-x)=f(x)，图像关于y轴对称

2. 奇函数：对定义域内任意x，f(-x)=-f(x)，图像关于原点中心对称

⚠️重要备注

1. 如果奇函数在x=0处有意义，那么一定满足 f(0)=0

2. 既奇又偶函数：对定义域内任意x，同时满足f(-x)=f(x)和f(-x)=-f(x)，只有一类：f(x)=0，定义域关于原点对称

3. 非奇非偶函数：存在定义域内的数，不满足上面两个等式

二、判断奇偶性三种方法

1. 定义法（考试最常用）
①求定义域，检查定义域是否关于原点对称
②计算 f(-x)
③对比 f(-x) 和 f(x) 的关系
④下结论

2. 图像法
图像关于原点中心对称→奇函数；图像关于y轴对称→偶函数

3. 性质法：利用奇偶函数加减乘除的运算规律判断

三、奇偶函数的运算规律

- 偶函数±偶函数=偶函数；偶函数×÷偶函数=偶函数

- 奇函数±奇函数=奇函数；奇函数×÷奇函数=偶函数

- 奇函数×÷偶函数=奇函数

四、图像应用

已知奇偶性+一段解析式，可以补全图像，用来解不等式、找单调区间。

五、经典题型：构造奇函数求值

形如：奇次多项式加常数，把奇函数部分单独拆分，利用g(-x)=-g(x)快速求值，这个题型月考、期中超级爱考！

一句话总结口诀：先看定义域，再算负x式，图像看对称，构造巧求值
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