初中数学"最值问题"五大常考题型全归纳

（例题精讲＋变式演练）

"最值问题"是初中数学的压轴常客：选择题最后一题、填空题压轴、解答题第 2 问第三问，几乎年年都考。很多同学觉得它难，其实中考范围内的最值问题，核心依据只有五条。这篇文章把五大常考题型一次讲透，每种题型配 1 道例题（附详细解析）＋ 1 道变式（留给你练手），建议收藏后反复刷。

题型一 轴对称型 · "将军饮马"模型

题型二 垂线段最短型

题型三 二次函数型 · 配方法求最值

题型四 三边关系型 · 差的最大值

题型五 圆上动点型

一张表总结五大模型

题型一 轴对称型 · "将军饮马"模型

【核心依据】两点之间，线段最短。

例题 1　如图，A、B 是直线 l 同侧的两个村庄，A、B 到 l 的距离分别为 2 km 和 3 km，垂足 C、D 相距 12 km。现要在直线 l 上建一座供水站 P，使 PA＋PB 最短。求 PA＋PB 的最小值。

▲ 图 1　"将军饮马"模型示意

【解析】

① 作点 A 关于直线 l 的对称点 A′，则对 l 上任意一点 P，都有 PA＝PA′；

② 于是 PA＋PB＝PA′＋PB ≥ A′B（两点之间线段最短），当 A′、P、B 三点共线时取等号；

③ 构造直角三角形：A′B 的水平距离为 12，竖直距离为 2＋3＝5，所以 A′B＝√(12²＋5²)＝√169＝13 km。

答：PA＋PB 的最小值为 13 km。

💡 方法小结：动点在直线上，求"两段之和最小"——作对称点，化折线为直线。

变式 1　正方形 ABCD 的边长为 4，E 是 BC 的中点，P 是对角线 BD 上一动点，则 PE＋PC 的最小值为 ______。

题型二 垂线段最短型

【核心依据】直线外一点与直线上各点的连线中，垂线段最短。

例题 2　如图，在 △ABC 中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，P 是斜边 AB 上一动点。求 CP 的最小值。

▲ 图 2　斜边上的动点 P

【解析】

① 由"垂线段最短"，当 CP⊥AB 时 CP 取得最小值；

② 由勾股定理，AB＝√(6²＋8²)＝10；

③ 面积法：S△ABC＝½·AC·BC＝½·AB·CP，所以 CP＝(6×8)÷10＝24/5。

答：CP 的最小值为 24/5。

💡 方法小结：求"定点到直线上动点"的距离最小——作垂线；直角三角形中常用面积法求斜边上的高。

变式 2　在 △ABC 中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，P 是 AC 上一动点，则 BP 的最小值为 ______。

题型三 二次函数型 · 配方法求最值

【核心依据】配方得顶点式 y＝a(x−h)²＋k；一定要先看自变量的取值范围。

例题 3　已知二次函数 y＝x²−4x＋3，当 0≤x≤3 时，求 y 的最大值和最小值。

▲ 图 3　区间 [0, 3] 上的最值

【解析】

配方：y＝(x−2)²−1，抛物线开口向上，对称轴 x＝2，在区间 [0, 3] 内。

① 最小值：当 x＝2 时，y最小＝−1；

② 最大值：开口向上，离对称轴越远函数值越大。x＝0 时 y＝3，x＝3 时 y＝0，故 y最大＝3（在 x＝0 处取得）。

答：最大值为 3，最小值为 −1。

💡 方法小结：第一步永远是判断对称轴是否在给定区间内；区间内的最值"顶点管一头，端点管另一头"。

变式 3　某商店销售一种商品，进价每件 20 元。当售价为 x 元（20≤x≤40）时，每天可售出 (100−2x) 件。设每天的销售利润为 w 元，求 w 的最大值。

题型四 三边关系型 · 差的最大值

【核心依据】三角形两边之差小于第三边；三点共线时取等号。

例题 4　如图，A、B 是直线 l 同侧两点，直线 AB 与 l 相交，且 AB＝5，P 是 l 上一动点。求 |PA−PB| 的最大值。

▲ 图 4　共线时取到最大值

【解析】

① 当 P、A、B 不共线时，在 △PAB 中，由三边关系得 |PA−PB|＜AB＝5；

② 当 P 恰好运动到直线 AB 与 l 的交点处时，P、A、B 三点共线，此时 |PA−PB|＝AB＝5。

答：|PA−PB| 的最大值为 5。

💡 方法小结：和最小——作对称（题型一）；差最大——直接延长找共线。两个模型对比记忆，考试不混淆。

变式 4　已知线段 AB＝7，动点 P 满足 PA＝3，则 PB 的最大值是 ______，最小值是 ______。

题型五 圆上动点型

【核心依据】点与圆上各点的距离，最值一定在过圆心的那条直线上取得。

例题 5　如图，⊙O 的半径为 2，点 P 是圆外一点，OP＝6，Q 是 ⊙O 上一动点。求 PQ 的最大值和最小值。

▲ 图 5　最值在直线 OP 与圆的两个交点处取得

【解析】

连接 OP，直线 OP 交 ⊙O 于两点：近点 Q1、远点 Q2。

① 最小值：PQ1＝OP−r＝6−2＝4；

② 最大值：PQ2＝OP＋r＝6＋2＝8。

（理由：对圆上任意点 Q，由三边关系 OP−OQ ≤ PQ ≤ OP＋OQ，而 OQ＝r 为定值。）

答：PQ 的最小值为 4，最大值为 8。

💡 方法小结：见到"圆上动点"先连圆心——口诀：加半径为最大，减半径为最小（点在圆内同样适用）。

变式 5　点 P 在 ⊙O 内，⊙O 的半径为 5，OP＝3，Q 是 ⊙O 上一动点，则 PQ 的最大值是 ______，最小值是 ______。

一张表总结五大模型

口诀：和最小，作对称；差最大，找共线；距离最短作垂线；函数最值看顶点；圆上动点连圆心。

这五类模型覆盖了初中阶段 80% 以上的最值考题。剩下的"新题型"“胡不归”“阿氏圆”，往往只是把它们藏进了旋转、折叠、动点的情境里——看穿外壳，就是老朋友。