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专题强化九 带电粒子在磁场中运动的临界、极值及多解
问题
1. 会分析带电粒子在匀强磁场中的临界问题和多解问题．
2．会用“平移圆”“旋转圆”“放缩圆”找出对应临界状态或极值的轨迹．
考点一 带电粒子在匀强磁场中运动的临界、极值问题
带电粒子在磁场中的临界、极值问题的分析思路和方法
两种思路
一是以定理、定律为依据，首先求出所研究问题的一般规律和一般解的形式，
然后分析、讨论处于临界条件时的特殊规律和特殊解
二是直接分析、讨论临界状态，找出临界条件，从而通过临界条件求出临界值
两种方法
物理
方法
(1)利用临界条件求极值；(2)利用边界条件求极值；(3)利用矢量图求极
值
数学
方法
(1)用三角函数求极值；(2)用二次方程的判别式求极值；(3)用不等式的
性质求极值；(4)图像法等
从关键词
找突破口
许多临界问题，题干中常用“恰好”“最大”“至少”“不相撞”“不脱离”
等词语对临界状态给以暗示，审题时，一定要抓住这些特定的词语挖掘其隐藏
的规律，找出临界条件
例 1 如图所示，
垂直于纸面的匀强磁场在∠DAC 为30°、边长为a 的菱形内部，对角线交点为O.某带
电粒子以速度v1从O 点沿OA 方向射出时，恰好没有穿出磁场边界；该带电粒子以速度v2
从O 点沿OB 方向射出时，仍恰好没有射出磁场边界．不计粒子重力，则v1
v2
的值为( )
A．1 B．2
C．√3 D．6－3√3
例 2 [2024·四川省成都市石室中学高三三诊]一匀强磁场的磁感应强度大小为B，方向
垂直于纸面向外，其边界如图中虚线所示，ab＝cd＝2L，bc＝de＝L，一束H
2
4
e 粒子在纸面
内从a 点垂直于ab 射入磁场，这些粒子具有各种速率．不计粒子之间的相互作用．已知粒
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子的质量为m、电荷量为q.则粒子在磁场中运动时间最长的粒子，其运动速率为( )
A．3qBL
4 m
B．5qBl
4 m
C．5qBL
8m
D．5qBL
6m
例 3 (多选)[2024·陕西西安市模拟]
2023 年1 月7 日，中科院聚变大科学团队利用有“人造太阳”之称的全超导托卡马克
大科学装置(EAST)，发现并证明了一种新的高能量约束模式，对国际热核聚变实验堆和未
来聚变堆运行具有重要意义．其基本原理是由磁场约束带电粒子运动，使之束缚在某个区
域内．如图所示，环状磁场的内半径为R1，外半径为R2，被束缚的带电粒子的比荷为k，
中空区域内带电粒子具有各个方向的速度，速度大小为v.中空区域中的带电粒子都不会穿
出磁场的外边缘而被约束在半径为R2的区域内，不计粒子重力，则环状区域内磁场的磁感
应强度大小可能是( )
A.
v
k (R2- R1)
B.
2 R2v
k(R2
2- R1
2 )
C．
3 v
k (R2- R1)
D．
2 R2v
k (R2- R1)
2
考点二 带电粒子在磁场中运动的多解问题
带电粒子在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，由于带电粒子电性不确定、磁场方向不
确定、临界状态不确定、运动的往复性造成带电粒子在有界匀强磁场中运动的多解问题．
带电粒子在磁场中运动的多解问题解题思路：
(1)分析题目特点，确定题目多解的形成原因．
(2)画出粒子的可能轨迹，找出圆心、半径的可能情况(全面考虑多种可能性)．
(3)若为周期性重复的多解问题，寻找通项式，若是出现几种解的可能性，注意每种解
出现的条件．
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例 4 (多选)
[2022·湖北卷]在如图所示的平面内，分界线SP 将宽度为L 的矩形区域分成两部分，一
部分充满方向垂直于纸面向外的匀强磁场，另一部分充满方向垂直于纸面向里的匀强磁场
磁感应强度大小均为B，SP 与磁场左右边界垂直．离子源从S 处射入速度大小不同的正离
子，离子入射方向与磁场方向垂直且与SP 成30°角．已知离子比荷为k，不计重力．若离
子从P
点射出，设出射方向与入射方向的夹角为θ，则离子的入射速度和对应θ 角的可能组
合为( )
A．1
3
kBL，0° B．1
2
kBL，0°
C．kBL，60° D．2kBL，60°
例 5 如图
所示的等腰梯形区域存在垂直纸面向里的匀强磁场(图中未画出)，磁感应强度大小为
B，等腰梯形中∠P＝45°，PQ＝2MN＝4L，一带电粒子束由M 点沿垂直PM 方向射入匀强
磁场，带电粒子刚好不从PQ 边界射出磁场，已知粒子的比荷为k，粒子的重力忽略不计．
则下列说法正确的是( )
A．粒子的轨道半径可能为(2＋√2)L
B．粒子的速度为(2－√2)BkL
C．粒子在磁场中运动的时间可能为π
4 kB
D．粒子在磁场中运动的时间一定为π
kB
核心素养提升 “数学圆”法在磁场中的应用
1.“放缩圆”模型法的应用
“放缩
圆”法
粒子射入方向确定，但速率v 或磁
感应强度B 变化时，以入射点为定
点，作出半径不同的一系列轨迹，
从而探索出临界条件．
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典例1 (多选)[2024·湖南联考模拟]一有界匀强磁场的磁感应强度大小为B、方向垂直于
纸面向外，其边界如图中虚线所示，其中射线bc 足够长，∠abc＝135°，其他地方磁场的
范围足够大．一束质量为m、电荷量为q 的带正电粒子，在纸面内从a 点垂直于ab 射入磁
场，这些粒子具有各种速率，不计粒子重力和粒子之间的相互作用，以下说法正确的是(
)
A．从ab 边射出的粒子在磁场中运动的时间都相等
B．从a 点入射的粒子速度越大，在磁场中运动的时间越长
C．粒子在磁场中的最长运动时间不大于πm
qB
D．粒子在磁场中的最长运动时间小于3 πm
2qB
2．“旋转圆”模型法的应用
“旋转圆”
法
粒子速率v 一定，但射入的方向变
化时，以入射点为定点，将轨迹圆
旋转，作出一系列轨迹，从而探索
出临界条件．
典例2 (多选)[2024·河南名校模拟]某个粒子分析装置的简化示意图如图所示，在垂直
纸面向外的匀强磁场(未画出)中，有一圆心为O、半径为R 的圆形无磁场区域，在圆形边
界的P 点处有一α 粒子发射源，可在图示∠GPH＝90°范围内沿纸面随机向磁场区域发射速
度大小相同的α 粒子，在圆经过P 点的直径上，固定一长度为2R 的荧光挡板，α 粒子击中
荧光挡板后被吸收并发出荧光．已知PG 与直径QP 延长线的夹角为30°，α 粒子的质量为
m，电荷量为q.不计α 粒子的重力和粒子间的相互作用，当α 粒子的速度为v＝qBR
m
时，下
列说法正确的是( )
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A．所有进入圆形区域的α 粒子均垂直击中荧光挡板
B．荧光挡板上α 粒子打到的区域长度为R，且击中荧光挡板的α 粒子的位置均匀分布
C．α 粒子在磁场中运动的最长时间为5 πm
3qB
D．α 粒子在无磁场区域运动的最长时间为m
qB
3．“平移圆”模型法的应用
“平移
圆”法
粒子源发射速度大小、方向一定，
入射点不同，但入射点在同一直线
的带电粒子进入匀强磁场时，它们
做匀速圆周运动的半径相同，若入
射速度大小为v0，则半径R＝mv0
qB
，如左图所示(粒子带负电)．
典例3 (多选)如图所示，在Ⅰ、Ⅱ两个区域内存在磁感应强度大小均为B 的匀强磁场，
磁场方向分别垂直于纸面向外和向里，AD、AC 边界的夹角∠DAC＝30°，边界AC 与边界
MN 平行，Ⅱ区域宽度为d.质量为m、电荷量为＋q 的粒子可在边界AD 上的不同点射入，
入射速度垂直AD 且垂直磁场，若入射速度大小为qBd
m
，不计粒子重力，则( )
A．粒子在磁场中的运动半径为d
2
B．粒子在距A 点0.5d 处射入，不会进入Ⅱ区域
C．粒子在距A 点1.5d 处射入，在Ⅰ区域内运动的时间为πm
qB
D．能够进入Ⅱ区域的粒子，在Ⅱ区域内运动的最短时间为πm
3qB
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专题强化九 带电粒子在磁场中运动的临界、极值及多解
问题
考点一
例1 解析：当带电粒子沿OA 方向射出时，轨迹如图甲所示，设粒子运动的轨迹半径
为r1，由几何知识有sin 60°＝
r1
(
a
2 -r1)
，解得r1＝(2√3-3)
2
a，当带电粒子沿OB 方向射出
时，轨道如图乙所示，设粒子运动的轨迹半径为r2，由几何知识有tan 30°＝
r2
a
2
，解得r2＝
√3
6 a，则v1
v2
＝r1
r2
＝6－3√3，选D.
答案：D
例2 解析：根据题意可知，粒子在磁场中做匀速圆周运动，由牛顿第二定律有qvB＝
mv
2
R
又有T＝2πr
v ＝2πm
qB
设粒子运动轨迹所对的圆心角为α，则运动时间为t＝α
2π ·T＝αm
qB
可知，α 越大，运动时间越长，当粒子运动时间最长时，运动轨迹如图所示，即当圆
弧经过c 点时α 最大
由几何关系有L2＋(2L－R)2＝R2
解得R＝5
4 L
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联立可得v＝qBR
m ＝5qBL
4 m ，故选B.
答案：B
例3
解析：由题意可知，粒子的比荷为k，要使所有的粒子都不能穿出磁场，与内圆相切
的方向进入磁场的粒子在磁场运动的轨迹刚好与外圆相切，以带正电粒子为例，运动轨迹
如图所示
由几何知识可知，粒子最大轨道半径r＝R2- R1
2
粒子在磁场中做圆周运动，洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律得qvB＝mv
2
r
解得B＝
2v
k (R2- R1)
要使粒子不离开磁场B≥
2v
k (R2- R1)
由于
2 R2v
k(R2
2- R1
2 )
＝
2v
k (R2- R1)·
R2
R2+ R1
<
2v
k (R2- R1)
故选CD.
答案：CD
考点二
例4 解析：若粒子通过下部分磁场直接到达P 点，如图
根据几何关系则有R＝L，qvB＝mv
2
R
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可得v＝qBL
m ＝kBL
根据对称性可知出射速度与SP 成30°角向上，故出射方向与入射方向的夹角为θ＝60°.
当粒子上下均经历一次时，如图
因为上下磁感应强度均为B，则根据对称性有R＝1
2L
根据洛伦兹力提供向心力有qvB＝mv
2
R
可得v＝qBL
2m ＝1
2kBL
此时出射方向与入射方向相同，即出射方向与入射方向的夹角为θ＝0°.
通过以上分析可知当粒子从下部分磁场射出时，需满足
v＝
qBL
(2n-1)m＝
1
2n-1kBL(n＝1，2，3…)
此时出射方向与入射方向的夹角为θ＝60°；当粒子从上部分磁场射出时，需满足v＝
qBL
2nm＝1
2nkBL(n＝1，2，3…)
此时出射方向与入射方向的夹角为θ＝0°.故可知B、C 正确，A、D 错误．
答案：BC
例5 解析：
若粒子带正电，粒子的轨迹如图中1 所示，设粒子的轨道半径为R1，由几何关系得
O1P＋O1M＝√2L，即√2R1＋R1＝√2L，解得R1＝(2－√2)L，由qv1B＝m v1
2
R1
，解得v1＝(2
－√2)BkL，粒子在磁场中的运动周期为T＝2πm
qB ＝2π
kB ，粒子在磁场中偏转的角度为
180°，则粒子在磁场中运动的时间为t1＝T
2 ＝π
kB .若粒子带负电，粒子的轨迹如图中2 所示，
轨迹与上边界PQ 相切，设粒子的轨道半径为R2，由几何关系得R2＝√2(R2－L)，解得R2＝
(2＋√2)L，由qv2B＝m v2
2
R2
，解得v2＝(2＋√2)BkL，粒子从射入到运动到与PQ 相切位置
在磁场中偏转的角度为45°，则粒子在磁场中运动的时间大于t2＝T
8 ＝π
4 kB ，A 正确，B、
C、D 错误．
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答案：A
核心素养提升
典例1 解析：画出带电粒子在磁场中运动的动态分析图，如下图所示
当粒子都从ab 边射出，则运动轨迹都是半圆周，运动时间都相等，为πm
qB ，当粒子都
从bc 边射出，则速度越大，轨道半径越大，对应的圆心角越大，运动时间越长，运动时间
大于πm
qB ，故A 正确，B、C 错误；
当粒子的速度足够大，半径足够大时，l 远小于r，这时圆心角大小趋近于270°，因此
粒子在磁场中最长运动时间小于3 πm
2qB ，故D 正确．
答案：AD
典例2 解析：
α 粒子在磁场中运动的轨迹半径为r＝mv
qB ＝R，则从P 点射出的α 粒子运动的轨迹如图，
由几何关系可知，四边形O′MOP 为菱形，可知O′M 水平，则从M 点进入圆形区域的粒子
速度竖直向下，垂直击中荧光挡板，选项A 正确；沿着PG 方向射出的粒子打到挡板上的
位置最远，由几何关系可知，最远点与P 点的距离为3
2R，并且从O 到P，距P 点越近，粒
子数量越多，粒子分布不均匀，选项B 错误；沿着PH 方向射出的粒子在磁场中运动的时
间最长，由几何关系可知粒子在磁场中转过的角度为330°，则最长时间t＝330°
360° ·2πR
v
＝
11πm
6qB ，选项C 错误；水平向左射出的α 粒子在无磁场区域运动的时间最长，为t′＝R
v ＝
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m
qB ，选项D 正确．
答案：AD
典例3
解析：带电粒子在磁场中的运动半径r＝mv
qB ＝d，选项A 错误；设从某处E 进入磁场
的粒子，其轨迹恰好与AC 相切(如图所示)，则E 点距A 点的距离为2d－d＝d，粒子在距A
点0.5d 处射入，会进入Ⅱ区域，选项B 错误；粒子在距A 点1.5d 处射入，不会进入Ⅱ区域，
在Ⅰ区域内的轨迹为半圆，运动的时间为t＝T
2 ＝πm
qB ，选项C 正确；进入Ⅱ区域的粒子，
轨迹圆弧对应的弦长越短，粒子在Ⅱ区域的运动时间越短(劣弧)，且最短弦长为d，对应圆
心角为60°，最短时间为tmin＝T
6 ＝πm
3qB ，选项D 正确．
答案：CD
