文档文本内容
清单02 高考数学考前重点题型归纳
（含28 个专题，813 个重点题型）
题型01 集合5 个重点题型
题型02 常用逻辑用语13 个重点题型
题型03 复数15 个重点题型
题型04 平面向量26 个重点题型
题型05 等式与不等式的性质及基本不等式16 个重点题型
题型06 三角函数与诱导公式11 个重点题型 题型07 三角恒等变换24 个重点题型
题型08 三角函数的图象及性质40 个重点题型
题型09 解三角形小题35 个重点题型
题型10 解三角形大题36 个重点题型
题型11 函数的概念及其表示10 个重点题型
题型12 函数的基本性质45 个重点题型
题型13 指数对数幂函数40 个重点题型
题型14 函数的图象6 个重点题型
题型15 函数与方程与函数模型22 个重点题型
题型16 导数小题36 个重点题型
题型17 导数大题40 个重点题型
题型18 数列小题40 个重点题型
题型19 数列大题25 个重点题型
题型20 立体几何小题35 个重点题型
题型21 立体几何大题35 个重点题型
题型22 直线与圆32 个重点题型
题型23 圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）小题55 个重点题型
题型24 圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）大题40 个重点题型
题型25 排列组合27 个重点题型
题型26 二项式定理17 个重点题型
题型27 概率统计小题52 个重点题型
题型28 概率统计大题35 个重点题型
第一部分
题型01 集合5 个重点题型
题号
核心题型
题型解决关键点
1
求交集
先确定各集合表示的数集范围（定义域/值域）。
2
求补集
涉及交、补混合运算，需按顺序求解。
3
求并集
直接解不等式后取并集。
4
根据并集结果求参数
结合并集概念和集合元素的互异性。
5
根据集合相等求参数
利用集合相等的定义和元素互异性，通常需要分类讨论。
1．（2026·河北衡水·一模）设集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2026·广东汕头·模拟预测）已知集合
，若
，则
为
（ ）
A．
B．
C．
或
D．
或
3．（2026·江西抚州·一模）已知集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2026·江苏·一模）设集合
，
，若
含有4 个元素，则
（ ）
A．
B．0
C．1
D．2
5．（2026·山东德州·一模）设集合
，若
，则
__________.
题型02 常用逻辑用语13 个重点题型
题号
核心题型
题型解决关键点
1
存在量词命题的否定
存在量词改全称量词，否定结论
2
全称量词命题的否定
全称量词改存在量词，否定结论
3
存在量词命题的否定
存在量词改全称量词，否定结论
4
命题真假判断 + 复合命题
先判断单个命题真假，再用逻辑联结词规则判断
5
简单命题的否定
直接否定判断，注意存在量词的使用
6
充分必要条件（数列）
结合等差数列定义，判断推出关系
7
充分必要条件（函数对称中
心）
牢记对称中心性质，判断条件能否互推
8
充分必要条件（对立事件）
对立事件定义 + 概率公式，判断条件充分性与必要性
9
充分必要条件（直线与圆位
置）
用圆心到直线距离判断相交，推导条件关系
10
充分必要条件（平面向量）
向量垂直与数量积关系，判断充分必要性
11
充分必要条件（线面位置）
空间线面平行 / 垂直判定定理，判断推出关系
12
充分必要条件（三角函数象
限）
三角函数符号与象限关系，判断条件
13
充分必要条件（函数单调性）
三角函数单调性关系，结合定义域判断条件
1．（2026·云南·模拟预测）命题“
，
”的否定是（ ）
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
2．（2026·山东德州·一模）命题“
”的否定为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2025 高三·全国·专题练习）已知命题
，
，则
为（ ）
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
4．（2026·四川绵阳·模拟预测）已知命题
，
；命题
，
，则（ ）
A．
和
都是真命题
B．
和
都是真命题
C．
和
都是真命题
D．
和
都是真命题
5．（2026·天津河东·一模）已知命题p：菱形不是矩形，该命题的否定是（ ）
A．菱形是矩形
B．存在一个菱形，它是矩形
C．存在菱形不是矩形
D．存在是菱形的矩形
6．（2026·四川绵阳·模拟预测）若
且
，则“
”是“
为等差数
列”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
7．（25-26 高三下·陕西渭南·开学考试）“点M 的坐标为
”是“点M 为函数
图象的对称中心”的（ ）
A．充要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
8．（2026·广东汕头·模拟预测）“
”是“事件A 与事件B 互为对立事件”的（ ）
A．充要条件
B．既不充分也不必要条件
C．充分不必要条件
D．必要不充分条件
9．（2026·山西运城·一模）已知直线
，圆
，则“
”
是“直线与圆
相交”的（ ）
A．充要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
10．（2026·内蒙古包头·一模）若
，
为非零向量，则“
”是“
”的（ ）
A．必要不充分条件
B．既不充分也不必要条件
C．充分不必要条件
D．充要条件
11．（2026·河北张家口·一模）已知l 是一条直线，
，
为两个不同平面，若
，则“
”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
12．（2026·湖南·模拟预测）“
”是“
为第二象限角”的（ ）
A．必要不充分条件
B．充分不必要条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
13．（2026·北京密云·一模）已知函数
，则“
”是“
在
上单调
递增”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
题型03 复数15 个重点题型
题号
核心题型
题型解决关键点
1
求共轭复数的虚部
利用复数除法化简，结合共轭复数定义，虚部为原复数虚部的
相反数。
2
利用周期性求共轭复数的虚部
利用虚数单位i 的周期性化简复数，再求共轭复数的虚部。
3
求复数的模
将复数化为代数形式，利用模长公式计算。
4
求复数的模
直接利用模长公式求解。
5
复数对应点的象限判断
设复数代数形式，代入条件，根据实部、虚部符号判断所在象
限。
6
复数模的最值问题（几何法）
利用复数模的几何意义，转化为圆上的点到原点的距离最值问
题。
7
根据实部与虚部相等求参数
复数除法化简，令实部等于虚部，解方程求参数。
8
根据纯虚数求参数
复数除法化简，令实部为0 且虚部不为0，解方程求参数。
9
根据复数对应象限求参数范围
复数乘法化简，令实部、虚部对应象限符号，解不等式组求范
围。
10
复数模的最值问题（三角形
式）
将复数化为三角形式，利用正弦函数的有界性求模的最值。
11
复数模的取值范围（几何法）
利用模的几何意义，转化为单位圆上的点到定点的距离范围问
题。
12
根据复数相等求参数（多选
题）
利用复数加减运算，根据复数相等列方程组求解。
13
复数模的几何意义与性质（多
选题）
利用复数模的几何意义（双曲线）及不等式性质判断各选项。
14
复数运算与模的性质（多选
题）
利用复数模的运算性质及举反例的方法判断各选项。
15
共轭复数与模的性质（多选
题）
利用共轭复数定义、模的运算性质及特殊值法判断各选项。
1．（2026·江西赣州·一模）复数
满足
（为虚数单位），则
的共轭复数的虚部是（ ）
A．
B．
C．1
D．
2．（2026·吉林白山·二模）若复数
（其中为虚数单位），则
的共轭复数的虚部是
（ ）
A．1
B．
C．
D．
3．（2026·福建莆田·二模）已知复数
，则
（ ）
A．
B．3
C．
D．5
4．（2026·福建龙岩·一模）已知复数
，则
的模为（ ）
A．1
B．
C．
D．2
5．（2026·黑龙江齐齐哈尔·一模）复数
满足
，则在复平面内，复数
对应的点位于（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
6．（2026·湖北省直辖县级单位·模拟预测）若复数
满足
，则
的最大值为（ ）
A．1
B．2
C．5
D．6
7．（2026·湖北武汉·模拟预测）已知复数
的实部与虚部相等，则实数a 的值为（ ）
A．
B．3
C．
D．1
8．（2026·宁夏银川·一模）若
（
）为纯虚数，则
（ ）
A．
B．2
C．
D．4
9．（2026·广东梅州·一模）在复平面内，复数
对应的点在第三象限，则实数
的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
10．（2026·四川成都·二模）若
，
，则
的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
11．（2026·河南·模拟预测）若复数
满足
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
多选题
12．（2026·山西运城·一模）已知复数
，且
（
），则（ ）
A．
B．
C．
D．
13．（25-26 高三上·山东青岛·期末）设复数z 满足
，则（ ）
A．
B．
C．关于z 的方程
有解
D．若复数w 满足
，则
14．（2026·浙江·模拟预测）设
为复数，其中
，则下列正确的是（ ）
A．
B．
C．若
，则
D．若
，则
15．（25-26 高三上·江西·月考）已知复数
，下列说法正确的是（ ）
A．
B．若
，则
C．
D．若
，则
为纯虚数
题型04 平面向量26 个重点题型
题号
核心题型
题型解决关键点
1
向量共线求参数
利用共线向量定理，设比例系数，根据向量不共线列方程组求
解。
2
向量平行（共线）求参
数
利用向量平行的坐标关系（交叉相乘相等），列方程求解。
3
向量垂直求参数
先求向量坐标，再根据数量积为0 列方程求解。
4
向量基底表示（网格
图）
建立坐标系，用待定系数法将向量表示为基底的线性组合。
5
几何图形中的向量线性
表示
利用三角形法则和平行四边形法则，结合线段比例关系进行向量
分解。
6
向量数量积的几何应用
将目标向量用基底表示，利用数量积的定义和运算律求解。
7
三点共线求参数
将向量分解为基底形式，利用三点共线时系数和为1 的性质求解。
8
向量数量积求模
根据向量数量积的定义和模长公式，结合已知条件列方程求解。
9
向量数量积的最值（几
何法）
利用圆的性质求弦中点轨迹，将目标向量转化为中点相关形式，
结合点到直线距离求最值。
10
向量垂直求夹角余弦值
由垂直得数量积为0，求出参数，再代入夹角公式求解。
11
向量合成与速度分解
根据实际航行方向，将速度分解为静水速度和水流速度，利用余
弦定理求解。
12
投影向量
利用投影向量公式（数量积除以模的平方乘以原向量）求解。
13
向量数量积的最值（二
次函数）
建立坐标系，将目标向量数量积表示为参数的二次函数，利用二
次函数性质求最值。
14
投影向量求夹角
由投影向量公式和数量积定义，建立方程求解夹角。
15
两两夹角相等求模
分夹角为0°和120°两种情况讨论，结合数量积的运算律求解。
16
投影向量（解三角形）
通过平方变形判断三角形形状，再代入投影向量公式求解。
17
向量线性运算与几何作
图
作平行线构造平行四边形，利用向量加法法则和已知条件进行转
化。
18
斜坐标系下的向量运算
根据新定义，将向量坐标转化为基底表示，利用数量积的运算律
求解。
19
向量垂直与模长计算
由垂直得数量积为0，结合已知向量模长关系，利用模长公式求
解。
20
向量模的取值范围（几
何法）
将向量条件转化为坐标方程，利用点到直线距离求模的最小值，
最大值无上界。
21
重心性质与向量分解
利用重心性质（中线交点）将向量分解，根据平面向量基本定理
列方程求解。
22
重心性质与向量运算
利用重心与中点的关系，将向量用基底表示，根据向量相等求参
数。
23
向量数量积的最值（轨
迹与三角函数）
建立坐标系，根据条件求动点轨迹，将目标数量积表示为三角函
数，利用辅助角公式求最值。
24
向量数量积的最值（函
数法）
根据图形几何关系，将目标数量积表示为参数的函数，利用二次
函数或单调性求最值。
25
向量线性运算与数量积
利用共线向量定理和平面向量基本定理，将目标向量用基底表
示，结合数量积运算律求解。
26
向量数量积的最值（坐
标与圆）
建立坐标系，根据条件确定动点轨迹为圆，将目标数量积表示为
参数形式，利用三角函数或几何意义求最值。
1．（2026·河南许昌·模拟预测）已知
、
是两个不共线的向量，若向量
与
共线，则
（ ）
A．9
B．6
C．
D．
2．（2026·安徽合肥·模拟预测）已知平面向量
，若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2026·重庆·模拟预测）若向量
，
且
，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2022·北京朝阳·模拟预测）已知向量
在正方形网格中的位置如图所示，用基底
表示，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（25-26 高一上·安徽·期末）在梯形
中，
，点
在对角线
上，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（2026·河北保定·一模）在边长为2 的等边三角形
中，点
为
上靠近点
的三等分点，则
（ ）
A．
B．2
C．
D．
7．（24-25 高一下·湖南岳阳·期末）如图，在
中，
，P 是
上一点，若
，则实数的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
8．（2026·湖南衡阳·模拟预测）平面向量
，
满足
，
，且向量
，
的夹角为
，则
（ ）
A．1
B．
C．
D．2
9．（2026·福建龙岩·一模）已知线段
是圆
的一条动弦，且
.若点
为直线
上的任意一点，则
的最小值为（ ）
A．6
B．8
C．14
D．35
10．（2026·吉林白城·一模）已知平面向量
，
，若
，则
与
的夹角的余弦值为
（ ）
A．
B．
C．
D．
11．（25-26 高三下·陕西渭南·开学考试）如图，一条东西走向且两岸平行的河流宽
，水流速度为向
东
，河南岸的A 码头与河北岸的B 码头的连线恰好与河的方向垂直，C 码头在B 码头的正东方向，
且
，D 码头在A 码头的正东方向，且
，某小船从A 码头顺流而下，到达D 码头接
了客人后前往C 码头，当所用时间最少时，小船实际航行的速度为
，则小船在静水中航行的速度
大小为（ ）
A．
B．
C．
D．
12．（2026·重庆·一模）已知平面向量
，
满足
，
，则向量
在
方向上的投影向
量为（ ）
A．
B．
C．
D．
13．（2026·四川·模拟预测）已知正方形ABCD 的边长为2，点E 在线段AC 上，则
的最小值为
（ ）
A．
B．
C．
D．
14．（2026·云南·模拟预测）已知向量
是非零向量，且满足
在
方向上的投影向量为
，
，则
的夹角为（ ）
A．
B．
C．
D．
15．（2026·山东德州·一模）若平面向量
两两夹角相等，且
，则
（ ）
A．
B．36
C．
或6
D．3 或36
16．（2026·广东广州·二模）在
中，已知
，则向量
在
上的投影
向量为（ ）
A．
B．
C．
D．
17．（2026·山东·模拟预测）已知点
为
所在平面内一点，若
，则
（ ）
A．3
B．
C．
D．
18．（2026·福建龙岩·一模）如图，设
是平面内相交成
角的两条数轴，
分别是与
轴，
轴
正方向同向的单位向量.若向量
，则有序实数对
叫做向量
在坐标系
中的坐标.若
在该坐标系
中，
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．0
19．（2026·山西朔州·一模）已知向量
，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
20．（2026·广东广州·一模）已知向量
，
，向量满足
，则
的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
21．（2026·浙江·模拟预测）已知点
是
的重心，点
是
所在平面内一点.若
，且
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
22．（2026·黑龙江齐齐哈尔·一模）已知点
是
的重心，若
，则
（ ）
A．-1
B．
C．0
D．1
23．（2026·天津河东·一模）如图所示，正方形
内有一个动点
，
，
，当
，
，
三点共线时，
的延长线与
交于点
，正方形边长为2，则
的最小值为（ ）
A．0
B．
C．
D．1
24．（2026·湖北·二模）如图，
是由三个全等的钝角三角形和一个小的正三角形拼成的一个大正三
角形，若
，
，点M 为线段
上的动点，则
的最大值为（ ）
A．
B．21
C．24
D．40
25．（2026·湖南·模拟预测）如图，
中，
，
为
边靠近
的三等分点，
为
中点，过
作
垂线交
于点
，
，若
，则
（ ）
A．
B．4
C．
D．8
26．（2026·山东烟台·一模）已知平行四边形
中，
，
，
，点
在四
边形
所在平面上，且满足
，
，则
的最大值为（ ）
A．
B．3
C．
D．
题型05 等式与不等式的性质及基本不等式16 个重点题型
题号
核心题型
题型解决关键点
1
基本不等式求最值（条件
变形）
将条件等式变形得到两个倒数的和为1，再将目标式用这个“1”
代换，利用基本不等式求最大值。
2
不等式性质判断正误
利用不等式的性质、幂函数和指数函数的单调性，以及举反例的
方法逐项判断。
3
基本不等式求最值（直接
应用）
将目标式变形为“和”为定值的形式，直接利用基本不等式求最
小值。
4
基本不等式求最值（构造
一元二次不等式）
由条件等式变形，利用基本不等式得到关于目标式的一元二次不
等式，解不等式求最小值。
5
基本不等式求最值
基本不等式求最值的直接应用
6
不等式性质与充分必要条
件
对分式不等式进行移项通分，转化为整式不等式，再结合充分、
必要条件的定义进行判断。
7
基本不等式求最值（构造
函数）
观察等式结构构造函数，利用函数的单调性得出变量关系，再结
合基本不等式求最值。
8
基本不等式求最值（转化
为一元二次不等式）
由条件等式变形得到两个倒数的和为1，利用基本不等式构造关
于目标式的不等式，解不等式求最小值。
9
基本不等式与充分必要条
件
利用基本不等式判断条件的充分性，通过举反例否定必要性。
10
基本不等式求最值（等差
中项）
由等差中项得到变量关系，将目标式进行变形，两次应用基本不
等式求最小值。
11
基本不等式求最值（正态
分布结合“1”的代换）
利用正态分布的对称性求出参数值，再将目标式乘以“和为定
值”的式子，用基本不等式求最小值。
12
不等式性质判断（作差
法、函数单调性）
利用指数函数单调性、作差法以及基本不等式，逐项分析判断。
13
不等式性质判断（构造函
数）
根据条件构造函数，利用函数的单调性判断不等式是否恒成立，
其他选项通过举反例排除。
14
不等式性质判断（多选
题）
利用不等式的性质、基本不等式和作差法，逐项分析判断。
15
基本不等式求最值（多选
题）
对多个选项分别应用基本不等式或换元法，注意等号成立的条件
是否一致。
16
不等式性质与构造函数
（多选题）
利用基本不等式判断部分选项，构造函数并利用导数判断单调
性，从而分析其他选项。
1．（2026·福建泉州·二模）已知正数
满足
，则
的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2026·北京密云·一模）已知
，则下列结论中不正确的是（ ）
A．若
，则
B．若
，则
C．若
，则
D．若
，则
3．（2026·黑龙江齐齐哈尔·一模）若
，则
的最小值为（ ）
A．2
B．
C．4
D．
4．（2026·河北张家口·一模）已知实数
，
，且满足
，则
的最小值为
（ ）
A．4
B．6
C．8
D．10
5．（2026·安徽合肥·模拟预测）已知
且
，则
的最小值是（ ）
A．3
B．9
C．5
D．25
6．（2026·北京平谷·一模）若
，则“
”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
7．（2026·湖南永州·一模）若实数
，且满足
，则
的最小值
为（ ）
A．
B．
C．
D．1
8．（2026·湖南·模拟预测）若
，且
，则
的最小值为（ ）
A．12
B．16
C．
D．
9．（2026·陕西咸阳·模拟预测）“
”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．
既不充分也不必要条件
10．（2026·江苏南京·三模）已知正数
，
，成等差数列，则
的最小值为（ ）
A．
B．2
C．6
D．4
11．（2026·山东东营·一模）已知随机变量
，且
， 则当
时，
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
12．（2026·山东日照·一模）已知
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
13．（2026·北京延庆·一模）已知
，且
，则下列不等式恒成立的是（ ）．
A．
B．
C．对任意
，
D．
多选题
14．（2026·湖南衡阳·模拟预测）若
，
，则下列判断正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
15．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知
，
，且
，则下列说法正确的有（ ）
A．ab 的最大值为
B．
的最小值为
C．
的最大值为
D．
的最小值为4
16．（2026·山东烟台·一模）若
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
题型06 三角函数与诱导公式11 个重点题型
题号
核心题型
题型解决关键点
1
弧长公式与圆
锥几何
利用圆锥侧面展开图是半圆，得到母线长等于底面半径的两倍，再代入圆锥
表面积公式，求解底面半径。
2
弧长与圆心角
关系（地理问
题）
由平行线内错角相等得两地所对地心角等于日影角，根据弧长与圆心角的比
例关系，用两地距离估算地球周长。
3
三角函数符号
与充分必要条
件
根据正弦函数在各象限的符号，判断正弦大于零时角所在的象限，结合充分
必要条件的定义进行推理。
4
同角关系与两
角差公式求角
先由已知的正弦值求出余弦值，再由两角差的正弦求出对应的余弦值，注意
根据角范围确定符号，最后用两角差的余弦公式求出目标角的余弦值。
5
同角关系求值
（弦化切）
将已知等式两边平方，求出正弦与余弦的乘积，再利用正切与余切的和与正
弦余弦乘积的关系，代入求解。
6
同角关系求值
（平方关系）
将已知等式两边平方，求出正弦与余弦的乘积，再利用正弦的四次方与余弦
的四次方之和与平方和、乘积的关系，代入求解。
7
诱导公式与二
倍角公式
利用诱导公式将目标角转化为已知角的二倍形式，再应用二倍角公式求解。
8
二倍角公式与
弦化切
利用诱导公式将目标角转化为已知角的二倍形式，再应用二倍角公式求解。
9
诱导公式与二
倍角公式
利用诱导公式将目标角转化为已知角的二倍形式，再应用二倍角公式求解。
10
三角函数求值
与充分必要条
件
根据正弦值求角时，一个正弦值对应多个角，判断由条件能否推出结论，由
结论能否推出条件，从而确定充分必要性。
11
诱导公式与弦
化切
先用诱导公式求出角的正切值，再将所求的三角函数式分子分母同除以余
弦，化为只含正切的形式，代入求解。
1．（2026·广东汕头·一模）圆锥的表面积为
，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径为
（ ）
A．
B．
C．
D．1
2．（2026·黑龙江·一模）古希腊地理学家埃拉托色尼用下面的方法估算地球周长（即赤道周长）.他从书
中得知，位于尼罗河第一瀑布的赛伊尼（现在的阿斯旺，在北回归线上），夏至那天正午立杆无影，同样
在夏至那天，他所在的城市——古埃及北部的亚历山大城，立杆测得日影角大约为7°，（如图），埃拉托
色尼猜想因为地球是圆的，太阳距离地球很遥远，因此相当于太阳光平行照射在地球上.根据平面几何知识，
平行线内错角相等，因此日影角与两地对应的地心角相等，已知埃拉托色尼估算两地距离大约800km，那
么以下数据与他估算得出的地球周长最接近的为（ ）
A．40000km
B．41000km
C．42000km
D．43000km
3．（2026·湖南·模拟预测）“
”是“
为第二象限角”的（ ）
A．必要不充分条件
B．充分不必要条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
4．（2026·河南·模拟预测）若
，则
＝（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（2026·四川德阳·二模）若
，则
＝（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（2026·甘肃·一模）已知
，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
或
7．（2026·陕西商洛·二模）已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
8．（2026·广东汕头·一模）已知
，则
的值是（ ）
A．
B．
C．
D．
9．（2026·湖北黄冈·一模）若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
10．（2026·山东滨州·一模）已知
，则“
”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
11．（2025·山东烟台·一模）已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
题型07 三角恒等变换24 个重点题型
题号
核心题型
题型解决关键点
1
两角和差公式与
弦化切
将已知的两个等式用两角和与差的正弦公式展开，分别相加、相减得到正
弦与余弦的乘积，再将两式相除得到正切之比。
2
两角差公式与同
角关系
先由已知角的正弦或余弦，结合角范围求出其余三角函数值，再由两角差
的余弦公式，将目标角表示为已知角的差，展开求解。
3
两角和差公式与
弦化切
将已知的两个等式用两角和与差的余弦公式展开，分别相加、相减得到余
弦与正弦的乘积，再将两式相除得到正切之积。
4
和差化积公式
将已知的两个等式平方后相加，利用平方关系消去平方项，得到两角差的
余弦值。
5
两角和公式与角
范围确定
先求出两角和的正弦或余弦值，再根据已知角的范围确定两角和的范围，
从而确定角的具体值。
6
两角差公式与同
角关系
先由已知角的正弦或余弦，结合角范围求出其余三角函数值，再由两角差
的余弦公式，将目标角表示为已知角的差，展开求解。
7
平方关系求二倍
角
将已知等式两边平方，利用平方关系和二倍角公式，求出二倍角的正弦
值。
8
同角关系与符号
判断
将已知等式两边平方求出二倍角的正弦值，结合已知角范围判断角所在的
象限，再通过构造齐次方程求解正切值。
9
同角关系求值
（平方关系）
将已知等式两边平方，求出正弦与余弦的乘积，再利用正弦的四次方与余
弦的四次方之和与平方和、乘积的关系，代入求解。
10
诱导公式与二倍
角公式
利用诱导公式将目标角转化为已知角的二倍形式，再应用二倍角公式求
解。
11
三角恒等变换求
周期
利用二倍角公式和辅助角公式将函数化为单个正弦型函数的形式，再根据
周期公式求出最小正周期。
12
诱导公式与二倍
角公式
利用诱导公式将目标角转化为已知角的二倍形式，再应用二倍角公式求
解。
13
同角关系与两角
和正切公式
先由已知角的正弦结合范围求出余弦，进而求出正切，再代入两角和的正
切公式求解。
14
同角关系与象限
符号
由正切值设出正弦与余弦的比例，利用平方关系求出比例系数，再根据角
所在的象限确定符号。
15
三角方程与零点
个数
先将函数化为正弦型函数，再令函数值为零，解三角方程，在给定区间内
求出所有解，统计解的个数。
16
和差化积与半角
公式
将已知等式用和差化积公式变形，得到两角和与两角差的正余弦关系，再
转化为半角正切形式求解。
17
同角关系与符号
判断
将已知等式两边平方求出二倍角的正弦值，结合已知角范围判断角所在的
象限，再通过构造齐次方程求解正切值。
18
诱导公式与弦化
切
先用诱导公式将所求式中的角化为同一形式，再将分子分母同除以余弦，
化为只含正切的形式，代入求解。
19
两角差公式求角
先由已知角的正弦或余弦，结合角范围求出其余三角函数值，再由两角差
的余弦公式，将目标角表示为已知角的差，展开求出余弦值，进而确定
角。
20
基本不等式求最
值
将正切之积用正弦余弦表示，利用已知条件和基本不等式，构造关于正切
之积的不等式，求解最大值。
21
和差化积与两角
和差公式（多选
题）
将已知两个等式平方后相加，求出两角差的余弦；平方后相减，求出两角
和的正弦，再结合角范围判断各选项。
22
两角差公式与同
角关系（多选
题）
先由已知角的正弦或余弦，结合角范围求出其余三角函数值，再由两角差
的余弦公式求出目标角的余弦值，进而判断各选项。
23
两角差公式与同
角关系（多选
题）
先由已知角的正弦或余弦，结合角范围求出其余三角函数值，再由两角差
的余弦公式求出目标角的余弦值，进而判断各选项。
24
三角函数单调性
与不等式（多选
题）
利用正弦函数的单调性、和差化积公式、辅助角公式等，结合角范围及已
知条件，逐项分析判断不等式是否成立。
1．（2026·陕西西安·模拟预测）已知
，
则
（ ）
A．
B．3
C．
D．2
2．（2026·山西大同·一模）已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2026·江西·一模）已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2026·广东深圳·一模）已知
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（2026·四川内江·二模）已知
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（2026·福建福州·模拟预测）已知
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
7．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
8．（2026·宁夏银川·一模）已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
9．（2026·甘肃·一模）已知
，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
或
10．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
11．（2026·广东广州·一模）函数
的最小正周期是（ ）
A．
B．
C．
D．
12．（2026·安徽合肥·模拟预测）已知
，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
13．（2026·新疆·模拟预测）已知
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
14．（2026·云南大理·二模）已知
是第三象限角，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
15．（2025·湖南邵阳·模拟预测）函数
在区间
的零点个数为（ ）
A．6
B．7
C．8
D．9
16．（2025·江西南昌·二模）已知
、
终边不重合，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
17．（2026·四川成都·二模）已知
，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
18．（2026·广西南宁·一模）已知
，则
＝（ ）
A．
B．
C．
D．
19．（25-26 高二上·山西·开学考试）若
，
为锐角，
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
20．（2026·山东临沂·一模）已知锐角
，
满足
，则
的最大值是
（ ）
A．
B．
C．
D．
多选题
21．（25-26 高三上·山西晋城·月考）已知
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
22．（2025·山东聊城·三模）已知
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
23．（2025·江苏南京·一模）已知
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
24．（2026·广东广州·一模）已知
，则下列命题正确的是（ ）
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
题型08 三角函数的图象及性质40 个重点题型
题号
核心题型
题型解决关键点
1
求最小正周期与对称中心
由周期公式求出 ω，再令整体角等于 kπ 解出对称中心坐
标。
2
由奇偶性求参数
利用函数奇偶性定义，将函数拆分为奇函数与偶函数的组合，结
合余弦型函数的奇偶性求出参数。
3
由奇函数性质求函数值
利用奇函数在 x=0 处函数值为零，解出参数，再代入求值。
4
正弦型函数的性质判断
利用周期公式、奇偶性定义、对称轴与最值的关系、整体代换法
判断单调性，逐项分析。
5
正切型函数的对称中心与
参数求值
由对称中心坐标公式列出方程，结合已知条件求出参数，再代入
求值。
6
判断正弦型函数的单调区
间
画出函数图象或利用整体代换法，确定函数在给定区间上的单调
性。
7
函数零点个数判断
将方程转化为两个函数图象交点问题，利用周期性及图象分析交
点个数。
8
函数对称中心与充分必要
条件
先求出正切型函数的对称中心，再判断点坐标与对称中心集合的
包含关系。
9
三角函数图象平移与对称
中心
由平移后函数的对称中心反推原函数的对称中心，代入坐标求出
参数，再求最小值。
10
三角函数图象变换求解析
式（逆向）
从目标函数出发，逆向进行平移和伸缩变换，得到原函数解析
式。
11
图象平移与对称性结合求
参数
分别写出平移后的解析式，利用关于 y 轴对称的条件及都过原
点，列方程组求解。
12
由零点求参数与图象平移
将零点代入求出参数，再将目标函数化为同一形式，比较相位差
确定平移方向与单位。
13
图象伸缩与平移求解析式
（逆向）
从变换后的函数逆向进行平移和伸缩，还原出原函数。
14
由奇偶性与平移求参数
化简函数，利用平移后为奇函数，结合相位关系求出参数。
15
由对称轴与单调性求参数
利用对称轴处取最值得关系式，结合单调区间长度与半周期的关
系，确定参数值。
16
图象平移后求对称中心
写出平移后的解析式，利用正弦函数对称中心公式，整体代换求
解。
17
正切型函数的周期与对称
中心求参数
由相邻两交点距离得周期，再由对称中心坐标公式列出方程，求
最小正参数。
18
零点与平移后偶函数求参
数范围
利用零点与最值点的距离确定周期，再根据平移后为偶函数得相
位，最后根据零点个数列不等式求范围。
19
图象平移与伸缩后求对称
中心
按步骤写出变换后的解析式，利用正弦函数对称中心公式求解。
20
由最值点列方程组求参数
根据最小值点和最大值点列出方程，作差消元求周期，再代入求
参数的可能值。
21
由零点个数与最值点求单
调区间
根据零点个数确定周期范围，再由特殊点关系确定解析式，最后
整体代换求单调增区间。
22
正切型函数性质综合（多
选题）
利用诱导公式化简，求周期、对称中心，解不等式求定义域，逐
项判断。
23
正弦型函数的对称中心与
性质（多选题）
由对称中心求出解析式，再求周期、对称轴、平移后解析式及单
调性，逐项判断。
24
三角函数乘积型函数性质
（多选题）
利用诱导公式与二倍角公式化简，判断奇偶性、最值、周期、零
点。
25
正弦型与余弦型函数对称
性比较（多选题）
分别求出两函数的对称中心、对称轴，验证是否存在相同；通过
平移变换判断曲线间的关系。
26
图象平移与偶函数综合
（多选题）
由平移后为偶函数求参数，再化简目标函数，判断对称中心、单
调区间及零点之和的取值范围。
27
由图象求参数与函数性质
（多选题）
根据图象的最高点、最低点及周期确定解析式，再判断零点个数
及平移后的奇偶性。
28
函数奇偶性、对称性、值
域与方程根（多选题）
利用诱导公式判断奇偶性与对称性，分段讨论值域，结合图象分
析方程根的分布。
29
由图象求参数与性质（多
选题）
由图象得周期、最值，代入点求相位，再判断对称性、单调区间
及参数范围。
30
化简后正切型函数性质
（多选题）
利用二倍角公式化简，再判断奇偶性、周期、单调性，代入特殊
值验证值域。
31
含绝对值函数的性质（多
选题）
利用奇偶性定义判断奇偶性，验证对称轴，分析周期性，利用导
数求值域。
32
正弦型函数零点与单调性
参数范围（多选题）
由零点表达式列出不等式求参数范围，利用对称性求和，由单调
区间确定参数范围。
33
三角函数在区间上的值域
求参数范围（填空题）
化简函数，整体代换，结合正弦函数图象，由值域端点确定参数
范围。
34
周期函数性质与值域（填
空题）
利用最大值条件求出周期，进而确定 ω 的最小值，再代回求给
定区间上的值域。
35
由存在两个最值点求参数
最小值（填空题）
分析函数的最大值点，由区间内存在两个最大值点列不等式，求
出最小正整数。
36
由单调区间确定参数最小
值（填空题）
由单调区间端点对应最值点，列出方程，结合周期范围确定参数
的最小值。
37
由对称轴与函数值求值
（填空题）
利用和差化积化简，由对称轴得相位，再代入已知函数值求参
数，最后计算目标值。
38
复合方程根的个数求参数
范围（填空题）
换元后转化为二次方程根的分布，结合正弦函数图象，根据根的
个数列不等式求解。
39
方程在区间上解的个数求
参数范围（填空题）
分析函数周期，将区间分为完整周期和剩余部分，根据解的个数
确定剩余区间内解的分布，列不等式组求解。
40
图象中的三点共线求参数
（填空题）
由三点共线及对称性设出点坐标，利用正弦函数值关系列方程，
结合周期与对称轴求解。
1．（2026·广东深圳·一模）函数
的最小正周期为
，其图象的对称中心可以为
（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2026·安徽合肥·一模）已知函数
为偶函数，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2026·黑龙江·一模）若函数
是奇函数，则
（ ）
A．0
B．
C．
D．
4．（2026·四川泸州·二模）已知函数
，则下列结论正确的是（ ）
A．
的最小正周期为1
B．
是偶函数
C．
的图象关于直线
对称
D．
在区间
上单调递增
5．（2026·安徽合肥·模拟预测）已知函数
的图象关于点
对称，且
，
则
（ ）
A．1
B．
C．
D．
6．（2026·河北保定·一模）下列区间中，函数
单调递增的是（ ）
A．
B．
C．
D．
7．（2026·福建福州·模拟预测）当
时，函数
的零点个数为（ ）
A．3
B．4
C．6
D．8
8．（25-26 高三下·陕西渭南·开学考试）“点M 的坐标为
”是“点M 为函数
图象的对称中心”的（ ）
A．充要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
9．（2026·山东济宁·一模）将函数
的图象向左平移
个单位长度后，得到函数
的图象，若
图象的一个对称中心为
，则
的最小值为（ ）
A．
B．1
C．
D．2
10．（2026·湖北襄阳·一模）把函数
图象上所有点的横坐标伸长到原来的2 倍，纵坐标不变，再
把所得曲线向左平移
个单位长度，得到函数
的图象，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
11．（2026·广东佛山·二模）函数
的图象向右平移
得到曲线
，
的图象向左平移
得到曲线
，若曲线
与
正好关于
轴对称，且都经过原点，则
（ ）
A．
B．
C．
D．1
12．（2026·山西晋中·模拟预测）已知函数
的一个零点是
，为了得到函数
的图象，只需将
的图象（ ）
A．向左平移
个单位长度
B．向左平移
个单位长度
C．向右平移
个单位长度
D．向右平移
个单位长度
13．（2026·山东青岛·一模）把函数
图像上所有点的横坐标扩大为原来的
倍，纵坐标不变，再把
所得曲线向右平移
个单位长度，得到函数
的图像，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
14．（2026·陕西铜川·一模）设
为奇函数，将
的图像向左平移
个单位长度后，得到
函数
的图像，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
15．（2026·福建龙岩·一模）已知函数
的图象关于直线
对称，且在区间
上单调递减，则
的值为（ ）
A．
B．1
C．
D．4
16．（2026·贵州黔东南·模拟预测）将函数
的图象向右平移
个单位长度，得到函数
的图象，则
图象的对称中心的坐标是（ ）
A．
B．
C．
D．
17．（2026·湖北黄冈·一模）函数
的图象关于点
对称，且直线
与函数
图象的相邻两交点间距离为
，则正实数
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
18．（2026·河北张家口·一模）已知函数
，若
是
的解，
且满足
，将函数
的图象向左平移
个单位长度后可以得到一个偶函数的图象，若函数
在
上恰有2 个零点，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
19．（2026·河北保定·一模）将函数
的图象先向右平移
个单位长度，再将其横坐标缩短到原
来的
，纵坐标不变，得到函数
的图象，则
图象的对称中心的坐标为（ ）
A．
B．
C．
D．
20．（2026·四川内江·二模）已知函数
在
处取得最小值，在
处取得最大值，
则
的值可能为（ ）
A．
B．
C．
D．
21．（2026·湖北省直辖县级单位·模拟预测）记函数
，其中
，若
在
恰
有两个零点，且
，则函数
在
上的单调增区间为（ ）
A．
B．
C．
D．
多选题
22．（2026·内蒙古包头·一模）已知函数
，则（ ）
A．
B．
的最小正周期为
C．
图象的对称中心为
D．不等式
的解集为
23．（2026·贵州贵阳·一模）已知函数
的图象关于点
中心对称．则
（ ）
A．
的最小正周期为
B．直线
是曲线
的对称轴
C．将
的图象向右平移
个单位可得到函数
的图象
D．
在区间
上单调递增
24．（2026·广东梅州·一模）关于函数
，以下结论正确的有（ ）
A．
的图象是轴对称图形
B．
的最大值为1
C．
是以
为一个周期的周期函数
D．
在
上有4 个零点
25．（2026·江苏·一模）已知函数
，
，则下列结论正确的有（ ）
A．曲线
与曲线
存在相同的对称中心
B．曲线
与曲线
存在相同的对称轴
C．曲线
向左平移
个单位得到曲线
D．曲线
与曲线
关于
轴对称
26．（2026·河南许昌·模拟预测）将函数
的图象向左平移
后得到函数
的图象，若
是偶函数，则（ ）
A．
B．函数
的图象关于点
对称
C．函数
在
上单调递增
D．函数
在
上的所有零点之和为
，则
的取值范围是
27．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）函数
的部分图象如图所示，其中
，
，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．
在区间
恰有一个零点
D．将
图象向左移
个单位后关于
轴对称
28．（2026·山西朔州·一模）已知
，则（ ）
A．
是偶函数
B．
的图象关于直线
对称
C．
的值域为
D．当
在
有2 个不同实根
时，
的取值范围是
29．（2026·山东德州·一模）函数
的部分图象如图所示，则
（ ）
A．
B．
的图象关于点
对称
C．函数
在区间
上单调递增
D．若
在区间
上恰有一个最大值2 和一个最小值
，则实数
的取值范围为
30．（2026·河北邯郸·一模）已知函数
，则（ ）
A．
是奇函数
B．
的最小正周期为
C．
在
上单调递增
D．
的值域为
31．（2026·黑龙江吉林·一模）下列关于函数.
的说法正确的是（ ）
A．
为奇函数
B．
是
图象的一条对称轴
C．
为周期函数，且最小正周期为
D．
的值域为
32．（2026·重庆·一模）已知函数
，则下列结论正确的是（ ）
A．若
在
上恰有三个零点，则
B．若
在
上恰有三个零点
，则
C．若
在
单调递增，则
D．若
向左平移
后的图象与
图象关于
对称，则
33．（25-26 高三上·广东·期末）已知函数
，若
在区间
上的
值域为
，则实数
的取值范围是__________.
34．（2026·四川·模拟预测）设函数
，若存在常数
，使得对任意
，
有
，则当
取最小值时，
在
上的值域为_________.
35．（2026·江苏镇江·一模）已知
，若在区间
上存在两个不相等的实数
，
，
满足
，则
的最小正整数为________.
36．（2026·广东广州·模拟预测）已知函数
在区间
上单调递增，
在区间
上单调递减，则
的最小值为__________．
37．（2026·黑龙江齐齐哈尔·一模）已知函数
，若
的图象关于直线
对称，
，则
的值为______.
38．（2026·安徽芜湖·一模）已知函数
，关于
的方程
有6 个不同的实数根，则
的取值范围为_______________.
39．（2026·江西·一模）已知函数
.若方程
在
上恰有85 个
解，则
的取值范围为__________.
40．（2026·湖北武汉·模拟预测）如图，已知
，在函数
的部分图象中，其图象上的
点
是同一直线上的三点，且该直线与
轴交于点
，若
，则
__________.
题型09 解三角形小题35 个重点题型
题号
核心题型
题型解决关键点
1
已知三边求角
直接利用余弦定理求出角的余弦值，再根据角范围确定角的大小。
2
正弦定理化边为角求比
值
由正弦定理将边转化为角的正弦，利用和角公式化简，得到正切关
系，进而求出比值。
3
解三角形的实际应用
（测量高度）
在直角三角形中利用仰角的正切求高，在一般三角形中利用正弦定
理求边长，最终得到高度。
4
同角关系与正弦定理求
先由同角关系求出正弦值，再根据正弦定理将边的比转化为对应角
正弦比
的正弦比。
5
余弦定理求面积
由余弦定理求出夹角余弦值，再求正弦值，代入三角形面积公式。
6
余弦定理与基本不等式
求面积最大值
由余弦定理表示出两边乘积与夹角余弦的关系，利用基本不等式求
两边乘积的最大值，进而求面积最大值。
7
正弦定理角化边与余弦
定理求角
利用正弦定理将角的正弦转化为边，代入已知等式得到边的比例关
系，再由余弦定理求角。
8
三角恒等变换求角与边
先化简已知等式求出角，再利用正弦定理将边转化为角的正弦，结
合余弦定理求边。
9
面积公式与余弦定理结
合求面积
由已知条件通过面积公式和余弦定理列出方程，解出边长或角度，
再求面积。
10
正弦定理、余弦定理与
面积公式求角
利用正弦定理将边转化为角的正弦，代入面积公式和余弦定理，化
简得到角的余弦值。
11
角平分线性质与余弦定
理求线段长
由角平分线性质得到线段比例，利用余弦定理分别求出相关边长，
再求目标线段。
12
二倍角公式与正弦定理
判断三角形形状
利用二倍角公式化简已知等式，结合正弦定理化角为边，得到边的
关系，从而判断三角形形状。
13
锐角三角形中边角范围
由已知等式变形得到角的范围，再利用正弦定理将边转化为角的正
弦，结合锐角条件确定取值范围。
14
正四面体中的解三角形
在正四面体中，利用棱长关系确定三角形边长，再用余弦定理求
角。
15
实际航行问题（正弦定
理）
根据方位角作出示意图，确定三角形内角，利用正弦定理求边长。
16
内切圆面积最值
利用面积公式和周长关系表示内切圆半径，结合余弦定理和基本不
等式求半径的最大值，进而求面积最大值。
17
中点向量与余弦定理求
最小值
利用中线向量公式将中线长表示为边长和夹角的函数，结合余弦定
理和基本不等式求最小值。
18
已知两角及一边解三角
形
利用两角和公式求出第三角，再由正弦定理求出未知边。
19
正弦定理与辅助角公式
求角
由正弦定理化边为角，利用和角公式与辅助角公式得到方程，根据
三角函数有界性确定角，再求面积。
20
余弦定理与基本不等式
判断角
将已知等式用余弦定理表示，结合基本不等式得到角余弦的范围，
从而判断角的性质。
21
面积公式与正弦值求角
（两解）
由面积公式求出夹角的正弦值，再根据角范围确定角有两个可能
值。
22
余弦定理与面积公式判
断选项
利用余弦定理求边长，再求面积、正弦值，通过计算验证各选项。
23
降幂公式与和差化积求
角
利用降幂公式和和差化积化简已知等式，得到角的关系，再结合面
积公式求边。
24
几何图形中的解三角形
根据图形中的垂直、中点等关系，利用直角三角形和等腰三角形性
质求解边长和角度。
25
三角恒等变换与余弦定
理求边角关系
将已知等式通过二倍角公式、正弦定理等变形，得到边角关系，再
结合余弦定理判断选项。
26
正弦定理与三角恒等变
换求角及最值
利用正弦定理和和角公式化简求角，再结合余弦定理、基本不等式
求周长范围、向量数量积最值及中线最小值。
27
正弦定理与和差化积求
角及中线长
由已知等式通过正弦定理、和差化积求出角，再利用面积公式、余
弦定理求边长和中线长。
28
诱导公式与两角和差公
式求角及外接圆半径
利用三角形内角和及诱导公式化简已知等式，求出各角，再通过正
弦定理求外接圆半径和边长。
29
边角互化与向量数量积
求角及边长范围
利用正弦定理边化角，结合和角公式求角，再代入向量数量积求
边，利用余弦定理和基本不等式判断边长范围。
30
正弦定理与余弦定理求
角
将已知等式用正弦定理化为边的关系，再用余弦定理求出角的余弦
值。
31
正弦定理与两角和公式
求边比
由正弦定理将边转化为角的正弦，利用两角和公式化简，得到边的
比例关系。
32
外心向量与余弦定理求
面积最大值
利用外心性质将向量条件转化为边长关系，再由余弦定理和基本不
等式求面积的最大值。
33
三角形面积分割与正弦
定理求最值
将大三角形面积表示为两个小三角形面积之和，利用正弦定理表示
边长，通过三角函数化简求最值。
34
三角形等分面积与基本
不等式求最短分割线
分三种情况讨论分割线位置，利用面积公式表示分割线长度，结合
基本不等式求最小值。
35
正弦定理与换元法求分
式最小值
利用正弦定理将边转化为角的正弦，通过和角公式化简，再换元用
判别式法求最小值。
一、单选题
1．（2026·福建莆田·二模）记
的内角
，
，
的对边分别是
，
，，若
，
，
，
则
（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2026·湖北武汉·模拟预测）设△ABC 的内角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，若
，则
（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5
3．（2026·陕西商洛·二模）某数学研究小组为实地测算天汉楼高度，在楼前广场选取两个测量点
，
两点与天汉楼底部中心
在同一水平面上（O 为楼顶
在底面的投影）．测得以下数据：
米，
，且从点
测得
的仰角
满足
．则天汉楼主体高度
约为（ ）
A．45 米
B．46 米
C．69 米
D．70 米
4．（2026·山西运城·一模）在
中，
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（25-26 高三下·安徽·月考）在
中，内角
的对边分别为
，若
，
则
的面积为（ ）
A．1
B．
C．2
D．
6．（2026·山东菏泽·一模）记
的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，已知
，
，则
的面积的最大值为（ ）
A．
B．2
C．3
D．4
7．（2026·北京延庆·一模）在
中，
，
，
，则
（ ）．
A．
B．
C．
D．
8．（2026·河南南阳·模拟预测）已知
的内角
的对边分别为
，若
，则
（ ）
A．
B．2
C．3
D．4
9．（2026·江苏·一模）记
的内角
，
，
的对边分别为
，
，，
，
，
，则
的面积为（ ）
A．1
B．
C．
D．
10．（2026·四川成都·二模）记
的面积为S，
的外接圆半径为1，且
，
则
（ ）
A．
B．
C．
D．
11．（2026·河南·模拟预测）在
中，
，
，
，
为边
上一点，且
平分
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
12．（2026·湖南怀化·一模）在
中，内角
的对边分别为
，
则
一定为（ ）
A．直角三角形
B．等腰三角形
C．等腰直角三角形
D．钝角三角形
13．（2026·广东广州·二模）在锐角
中，角
所对的边分别为
且
，
则
的取值范围（ ）
A．
B．
C．
D．
14．（2026·河北衡水·一模）在正四面体
中，
为棱
的中点，
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
15．（2026·贵州黔东南·模拟预测）一艘轮船从A 处出发，沿着正东方向行驶到B 处，再从B 处向北偏西
30°方向行驶
千米到达C 处，此时，C 处在A 处的东北方向，则A、C 两处之间的距离是（ ）
A．30 千米
B．
千米
C．
千米
D．
千米
16．（2026·河北保定·一模）已知
的内角
所对的边分别为
，
则
的内切圆面积的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
17．（2026·河南许昌·模拟预测）
的内角
，
，
的对边分别为
，
，.已知
，
，若
是
的中点，则
的最小值为（ ）
A．
B．1
C．
D．2
18．（2026·山东聊城·一模）已知
中，
，D 是边
上一点，
，
，且
，则边
的长为（ ）
A．
B．
C．
D．
19．（25-26 高三下·河南·开学考试）记
的内角
的对边分别为
，已知
，则
的面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
20．（2026·陕西西安·模拟预测）
内角
的对边分别为
，满足
，且
，则（ ）
A．
为锐角
B．
C．
D．
二、多选题
21．（25-26 高一下·全国·单元测试）已知
的面积为
且
，
，则
等于（ ）
A．
B．
C．
D．
22．（25-26 高三上·广西·期末）在
中，角A，B，C 的对边分别是a，b，c，已知
，
，
，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
的面积为
C．
D．
23．（2026·江西·一模）在
中，三个内角
所对的边分别为
，若
，
，
的面积为1，则（ ）
A．
B．
C．
D．
24．（2026·江西·一模）在
中，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
的面积为
25．（2026·江西九江·一模）在
中，内角
的对边分别为
，且
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
26．（2026·山东青岛·一模）记
的内角
所对边分别为
，点
为
的中点，
，
，延长
到点
，使点
为线段
的中点，则（ ）
A．
B．
周长的取值范围为
C．
的最大值为
D．
的最小值为
27．（2026·四川内江·二模）已知
的面积为
，角
的对边分别是
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
边的中线长为
28．（2026·浙江·模拟预测）已知
的面积为
，若
，
，则（ ）
A．
B．
C．
的外接圆半径为1
D．
29．（2026·甘肃兰州·一模）在
中，内角
所对的边分别为
，满足
，且
，设
外接圆半径为
，则下列结论正确的是（ ）
A．
的面积为
B．当
时，
C．当
时，
D．
的取值可能是2
三、填空题
30．（2026·陕西·模拟预测）在
中，内角
，
，
的对边分别为
，
，，若
，
则
______.
31．（2026·安徽合肥·一模）在
中，角
的对边分别是
，若
，
则
__________．
32．（2026·山东聊城·一模）已知
的外心O 满足
，若
，且
，则
面积的最大值为____________．
33．（2026·重庆·一模）在
中，
为边
上一点，
．当
面积最小时，
__________．
34．（2026·广东广州·一模）某公园里有一块边长分别为30 米，40 米，50 米的三角形草坪（记为
），点
，
在
的边上，线段
把草坪分成面积相等的两部分．如果沿
铺设灌溉水管，则水
管的最短长度为______米．
35．（2026·山东青岛·一模）记
内角
，
，
的对边分别为
，
，，
，则
的最小值为______
题型10 解三角形大题36 个重点题型
题号
核心题型
题型解决关键点
1
等差中项与正余弦定
理求面积
由等差中项得到边的关系，结合正弦定理角化边，利用余弦定理求
角，再根据外接圆半径求边长，最后用面积公式求解。
2
向量平行与垂直解三
角形
由向量平行、垂直条件转化为边角关系，利用正弦定理、余弦定理求
角，再结合已知边长求面积。
3
角平分线性质与基本
不等式求最值
利用角平分线性质将面积表示为两边乘积形式，结合余弦定理和基本
不等式求面积最小值，再求中线长。
4
由三角函数图象求解
析式并解三角形
根据图象确定解析式，代入三角形内角关系求角，再结合正弦定理求
边长和周长。
5
由三角函数图象求解
析式及函数值
由图象求解析式，再根据函数值求角，利用二倍角公式和同角关系求
值。
6
选择条件求三角函数
参数与最值
根据所选条件（奇偶性、平移后奇偶性、单调性）确定参数，再化简
目标函数，利用正弦函数性质求最值。
7
由周期与对称性求解
析式并比较函数值
利用周期求ω，由对称性求φ，写出解析式，代入角度并利用单调性
比较大小。
8
由周期求参数并讨论
函数单调性
由周期公式求ω，写出函数解析式，再通过导数或复合函数单调性判
断给定区间上的单调性。
9
三角恒等变换与向量
模长求面积最值
利用二倍角公式、正弦定理求角，由向量模长关系结合余弦定理得到
边的关系，利用判别式法求面积最大值。
10
由最值求参数并求变
利用辅助角公式化为一角一函数，由最值求参数，再通过伸缩变换得
换后的值域
到新函数，求单调区间和值域。
11
由图象过点求解析式
并证明恒等式
代入点坐标求φ，写出解析式，利用和差角公式化简已知等式，通过
两式相比证明结论。
12
由图象求解析式并求
三角函数值
根据图象确定解析式，再代入已知条件，利用同角关系和两角和差公
式求值。
13
正弦定理边化角求角
与边比最值
利用正弦定理将边转化为角的正弦，结合三角形内角和与两角和公式
求角，再通过边角互化求边比的最值。
14
余弦定理求角并选择
条件求面积
由余弦定理求角，再选择条件（边或角），通过正弦定理、面积公式
求解，注意判断条件是否使三角形存在。
15
几何图形中的解三角
形与面积最值
利用直角三角形的边角关系、余弦定理和正弦定理表示边长，再通过
面积公式和基本不等式求最值。
16
由图象过点求解析式
并解三角形
代入点坐标求解析式，再由函数值求角，利用正弦定理和两角和公式
求边或角。
17
余弦定理求边并证明
恒等式
由已知边角关系利用余弦定理求边，再通过正弦定理和三角恒等变换
证明恒等式。
18
正弦定理与三角恒等
变换求周长
利用正弦定理边化角，结合三角恒等变换求角，再由外接圆面积求半
径，利用正弦定理和余弦定理求边长和周长。
19
正余弦定理证边角关
系并求范围
由已知等式利用正余弦定理转化，证明边的不等关系，再通过正弦定
理将边比转化为角的正弦比，结合锐角三角形条件求范围。
20
面积公式与余弦定理
求角及面积最值
由面积公式和余弦定理消去边，得到角的余弦值，再结合基本不等式
求面积最大值。
21
二倍角公式与辅助角
公式求角及周长
利用二倍角公式、辅助角公式化简求角，再结合余弦定理和已知边长
列方程组求周长。
22
由恒成立求解析式并
解三角形
利用正弦函数最值条件求参数，写出解析式，再代入三角形条件，通
过面积公式、余弦定理和正弦定理求值。
23
余弦定理与面积公式
求角及边长
由已知等式利用余弦定理和面积公式化简，求出角，再结合锐角三角
形条件求边长。
24
辅助角公式求单调区
间并解三角形
利用辅助角公式化简函数，求单调递增区间，再代入三角形条件，通
过正弦定理、面积公式和余弦定理求边长。
25
正弦定理与同角关系
求角及边
由正弦定理边化角，结合同角关系求角，再通过面积公式和余弦定理
求边长。
26
等差中项与正弦定理
求角及边范围
由等差中项得边的关系，结合正弦定理边化角，利用余弦定理求角，
再根据外接圆半径和正弦定理求边长范围。
27
正弦定理证边相等并
求面积范围
利用正弦定理将边转化为角的正弦，证明两边相等，再通过面积公式
和导数求面积取值范围。
28
正弦定理与角平分线
性质求周长
由正弦定理边化角求角，利用角平分线性质将面积分割，结合余弦定
理求边长和周长。
29
正弦定理与两角和公
式求角及面积
利用正弦定理边化角，结合两角和公式求角，再通过内切圆半径与面
积、周长的关系及余弦定理求面积。
30
正弦定理与余弦定理
求角及边
由正弦定理边化角求角，再在三角形中利用余弦定理和已知条件求边
长。
31
选择条件求三角函数
参数范围
根据所选条件（最值、零点、单调性）列出不等式组，求ω 的取值范
围。
32
正弦定理与辅助角公
式求角及外接圆半径
利用正弦定理边化角，结合辅助角公式求角，再通过余弦定理、正弦
定理及几何性质求外接圆半径。
33
正弦定理与向量关系
求角及范围
由正弦定理边化角求角，根据向量关系确定点位置，再利用三角恒等
变换求目标式的取值范围。
34
正弦定理与面积公式
求角及三角函数值
利用正弦定理边化角，结合三角恒等变换求角，再通过正弦定理、面
积公式和余弦定理求边和三角函数值。
35
三角恒等变换与等
差、等比数列求最值
及范围
利用三角恒等变换化简已知等式，结合等差中项求角及最值，结合等
比中项及正弦定理求边比范围。
36
新定义（布洛卡点）
与正余弦定理求角及
面积
根据布洛卡角定义，利用正弦定理、余弦定理推导边角关系，再通过
代数运算求角、边长和面积。
1．（2026·浙江·模拟预测）在
中，角
对应边分别是
.已知
成等差数列，且
.
(1)求
的值；
(2)若
的外接圆半径为
，求
的面积.
2．（2026·山东东营·一模）已知
的角A，B，C 所对的边分别是a，b，c， 向量
(1)若
求A；
(2)若
求
的面积.
3．（2026·陕西·二模）在
中，内角
所对的边分别为
，
，
为
的
角平分线，且
．
(1)若
，求
的大小；
(2)设
为
中点，连接
，
面积取得最小值时，求线段
的长度.
4．（2026·江西萍乡·一模）已知函数
（
，
，
）的部分图象如图
所示．
(1)求
的解析式；
(2)
的内角
，
，
所对的边分别为
，
，，若
，
，
，求
的周长．
5．（2026·湖南·模拟预测）已知函数
的部分图象如图所示．
(1)求
的解析式，并写出
的单调递减区间；
(2)若
，且
，求
的值．
6．（2026·北京延庆·一模）已知函数
，从条件①、条件②、条件③这三个条
件中选择一个作为已知，使函数
存在．
(1)求
的值；
(2)设
，求
在区间
上的最大值和最小值．
条件①：
是偶函数；
条件②：
的图象上所有点向右平移
个单位长度，所得函数是奇函数；
条件③：
在区间
上单调递增．
注：如果选择的条件不符合要求，得0 分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．
7．（2026·广东广州·二模）已知函数
的周期为
，且
.
(1)求函数
的解析式；
(2)比较
与
的大小.
8．（2026·重庆·模拟预测）已知函数
的最小正周期为
.
(1)求
以及曲线
的对称中心；
(2)讨论函数
在区间
上的单调性.
9．（2026·广东汕头·模拟预测）在
中，角A，B，C 所对应的边分别为a，b，c．
且
．
(1)若D 为AB 边上靠近点A 的三等分点，
，求
面积的最大值；
(2)求
的取值范围．
10．（25-26 高三下·安徽·月考）已知函数
的最大值为1.
(1)求的值；
(2)将
的图象上所有点的横坐标缩小为原来的
，得到函数
的图象，求
的单调递减区间以及
在区间
上的值域.
11．（2026·福建莆田·二模）已知函数
（
）的图象过点
.
(1)求
的单调递增区间；
(2)当
，且
时，证明：
.
12．（2026·山东青岛·一模）函数
（
，
，
）的部分图像如图所示.
(1)当
时，求
的单调递增区间；
(2)已知
，且
，求
的值.
13．（2026·黑龙江齐齐哈尔·一模）在锐角
中，角
所对的边分别是
，且
.
(1)求
；
(2)求
的最大值.
14．（2026·北京密云·一模）在
中，
.
(1)求
；
(2)再从条件①条件②条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得
､
､
存在，求
的面积.
条件①：
；
条件②：
；
条件③：
.
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0 分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个
解答计分.
15．（2026·浙江·模拟预测）如图，已知直线
，A 是，
之间的定点，过A 分别作，
的垂线，垂
足分别为B，C，点D，E 为，
上的动点，满足
．设
，
，
．
(1)当
时，求
的长度；
(2)求
面积的最小值．
16．（2026·广东佛山·二模）已知函数
的图象经过
．
(1)求函数
的表达式；
(2)在
中，角
所对的边为
．已知
，求
．
17．（2026·山西朔州·一模）已知
的内角
所对的边分别为
.
(1)若
，求
；
(2)证明：
.
18．（2026·安徽合肥·模拟预测）在
中，内角
，
，
所对的边分别为
，
，，已知
．
(1)求
的值；
(2)若
，且
的外接圆的面积为
，求
的周长．
19．（2026·四川成都·二模）已知
分别是锐角
的角
的对边，
．
(1)求证：
；
(2)求
的取值范围．
20．（2026·四川德阳·二模）在△ABC 中，内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，已知该三角形的面积
．
(1)求角B 的大小；
(2)若b＝4 时，求△ABC 面积的最大值．
21．（2026·湖南衡阳·模拟预测）在
中，角
，
，
所对的边分别为
，
，，
.
(1)求
的值；
(2)若
是边
上一点，
，
，求
的周长.
22．（2026·广东佛山·一模）已知函数
，
，且
恒成立．
(1)求
的解析式；
(2)记
的内角
，
，
的对边分别为
，
，，且
，
，
的面积为
，求
．
23．（2026·山东烟台·一模）已知
的内角
的对边分别为
，
，且
的面积为
．
(1)求
；
(2)若
为锐角三角形，
，求
的值．
24．（2026·福建龙岩·一模）已知函数
.
(1)求
的单调递增区间；
(2)在
中，
，
，
的面积为
，求边
的长.
25．（2026·江西南昌·一模）已知
的角
，
，
所对的边分别为
，
，，且
，
.
(1)求
；
(2)若
的面积为2，求
和
.
26．（2026·河北邯郸·一模）
的内角
的对边分别为
，已知
成等差数列，且
．
(1)求
；
(2)记
外接圆的面积为，若
，求
的取值范围．
27．（2026·安徽安庆·一模）如图，在平面四边形
中，
，
．
(1)证明：
；
(2)已知
，
的外接圆半径为
，求
面积的取值范围．
28．（2026·贵州遵义·模拟预测）在
中，内角
、
、
所对的边分别为
、
、，
，且满足
．
(1)求角
；
(2)若角
的角平分线交
于点
，
，求
的周长．
29．（2026·江西赣州·一模）在
中，角
的对边分别为
，且
.
(1)若
，求
的值.
(2)若
的内切圆的面积为
，求
的面积.
30．（2026·陕西咸阳·二模）在
中，内角
，
，
所对的边分别为
，
，，
．
(1)求角
；
(2)若点
在
上，
，
，求．
31．（2026·江苏南通·一模）已知函数
，且
．
(1)若
，
，求
的值；
(2)从以下三个条件中选择两个作为已知，使得
存在，并求
的取值范围．
①函数
在区间
上只有最大值，没有最小值；
②函数
在区间
上恰有4 个零点：
③函数
在区间
上单调递增．
32．（2026·四川广安·一模）在
中，角
的对边分别为
，且
．
(1)求
的大小；
(2)如图所示，
为
外一点，
，
，求
外接圆半径
的长．
33．（2026·甘肃·一模）如图，
中，角
的对边分别为
.
(1)求
；
(2)若
，求
的取值范围.
34．（2026·天津滨海新区·一模）在
中，内角
所对的边分别为
，已知
.
(1)求
；
(2)若
，
的面积为
，求：
①边长
的值；②
的值．
35．（2026·广东·一模）设
的内角
所对的边分别为
，且
，记
.
(1)若
成等差数列，求
的最小值；
(2)若
成等比数列，求
的取值范围.
36．（2026·陕西西安·模拟预测）布洛卡点是三角形内部的特殊点，由法国数学家亨利·布洛卡于19 世纪
提出，其定义如下：设P 是
内一点，若
，则称点P 为
的布洛卡点，
角
为
的布洛卡角.如图，在
中，记它的三个内角分别为
，其对边分别为
的面积为S，点P 为
的布洛卡点，其布洛卡角为
，请完成以下问题：
(1)若
，求
的大小及
的值；
(2)已知
的条件下，解下列两个问题：
①若
，求
的值；
②若
，求S.
