备战2024年高考《解读•突破•强化》一轮复习讲义（新高考）
统计与成对数据的统计分析
第02讲 用样本估计总体
【考试要求】
1.会用统计图表对总体进行估计，会求n个数据的第p百分位数.
2.能用数字特征估计总体集中趋势和总体离散程度．
一、样本的数字特征
1．百分位数
一般地，一组数据的第p百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有 p % 的数据小于
或等于这个值，且至少有(100－p)%的数据 这个值．
计算一组 个数据的的第 百分位数的步骤
（1）按从小到大排列原始数据．
（2）计算 ．
（3）若 不是整数而大于 的比邻整数 ，则第 百分位数为第 项数据；若 是整数，则
第 百分位数为第 项与第 项数据的平均数．2.四分位数
我们之前学过的中位数，相当于是第 百分位数．在实际应用中，除了中位数外，常用的
分位数还有第 百分位数，第 百分位数．这三个分位数把一组由小到大排列后的数据
分成四等份，因此称为四分位数．
3．平均数、中位数和众数
(1)平均数：＝(x＋x＋…＋x)．
1 2 n
(2)中位数：将一组数据按从小到大或从大到小的顺序排列，处在最中间的一个数据(当数据
个数是奇数时)或最中间两个数据的平均数(当数据个数是偶数时)．
(3)众数：一组数据中出现次数最多的数据(即频数最大值所对应的样本数据)．
4.标准差和方差
（1）标准差：标准差是样本数据到平均数的一种平均距离，一般用 表示．假设样本数据
是 ， 表示这组数据的平均数，则标准差
．
（2）方差：方差就是标准差的平方，即 ．显然，
在刻画样本数据的分散程度上，方差与标准差是一样的．在解决实际问题时，多采用标准
差．
数据特征
标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动程度的大小．标准差、方差越大，则数据的
离散程度越大；标准差、方差越小，数据的离散程度越小．反之亦可由离散程度的大小推
算标准差、方差的大小．
二、频率分布直方图
1.频率、频数、样本容量的计算方法
①×组距＝频率．
②＝频率，＝样本容量，样本容量×频率＝频数．
③频率分布直方图中各个小方形的面积总和等于 .
2.频率分布直方图中数字特征的计算
（1）最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数．
（2）中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的．设中位数为 ，利用 左（右）侧矩形面积之和等于 ，即可求出 ．
（3）平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘
以小长方形底边中点的横坐标之和，即有 ，其中 为每个小长方
形底边的中点， 为每个小长方形的面积．
均数、方差的性质：如果数据 的平均数为 ，方差为 ，那么
①一组新数据 的平均数为 ，方差是 ．
②一组新数据 的平均数为 ，方差是 ．
③一组新数据 的平均数为 ，方差是 ．
1.（多选）下列结论正确的是( )
(1)对一组数据来说，平均数和中位数总是非常接近．
(2)方差与标准差具有相同的单位．
(3)如果一组数中每个数减去同一个非零常数，则这组数的平均数改变，方差不变．
(4)在频率分布直方图中，最高的小长方形底边中点的横坐标是众数．
2．为评估一种农作物的种植效果，选了n块地作试验田．这n块地的亩产量(单位：kg)分
别为x ，x ，…，x ，下面给出的指标中，可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是(
1 2 n
)
A．x，x，…，x 的平均数
1 2 n
B．x，x，…，x 的标准差
1 2 n
C．x，x，…，x 的最大值
1 2 n
D．x，x，…，x 的中位数
1 2 n
3．若数据x，x，…，x 的方差为2，则数据2x，2x，…，2x 的方差为( )
1 2 9 1 2 9
A．2 B．4 C．6 D．8
4．某射击运动员7次的训练成绩分别为86,88,90,89,88,87,85，则这7次成绩的第80百分位
数为( )
A．88.5 B．89 C．91 D．89.5
5 ． 某 校 体 育 节 10 名 旗 手 的 身 高 ( 单 位 ： cm) 分 别 为
175,178,176,180,179,175,176,179,180,179，则中位数为________．考点一 总体百分位数的估计
例1 (1)一组数据为6,47,49,15,42,41,7,39,43,40,36，则这组数据的一个四
分位数是( )
A．15 B．25
C．50 D．75
(2)如图是将高三某班80名学生参加某次数学模拟考试所得的成绩(成绩均
为整数)整理后画出的频率分布直方图，则此班的模拟考试成绩的80%分位
数是________.(结果保留两位小数)
【对点演练 1】(1)某中学高一年级 8名学生某次考试的数学成绩(满分 150分)分别为
85,90,93,99,101,103,116,130，则这8名学生数学成绩的第75百分位数为( )
A．102 B．103 C．109.5 D．116
【对点演练2】（2023秋·贵州贵阳·高三校联考阶段练习）如图，是某一数据的频率分布
直方图，则由图形中的数据，可知其75%分位数（上四分位数）的估计值为
（保留2位小数）
【对点演练3】（2023秋·贵州·高二贵州省兴义市第八中学校联考阶段练习）今年，被称
为“村超”的贵州榕江县“和美乡村足球超级联赛”，使榕江成为网络顶流，刷爆各大网
络平台，更吸引了大量游客到赛事举办地观赛游玩，为更好地发展当地的旅游业，政府随
机调查了18个旅游团对榕江县旅游满意度的综合评分情况，得到如下数据：
．若 恰好是这组数据的上四分位
数，则 的值不可能为（ ）
A．93 B．94 C．95 D．96
【对点演练4】（2023河北唐山二模） 某校高三年级一共有 名同学参加数学测验,已知所有学生成绩的第 百分位数是 分,则数学成绩不小于 分的人数至少为( )
A. B. C. D.
【对点演练5】2.已知100个数据的第75百分位数是9.3，则下列说法正确的是 （
）
A.这100个数据中一定有75个数小于或等于9.3
B.把这100个数据从小到大排列后，9.3是第75个数据
C.把这100个数据从小到大排列后，9.3是第75个数据和第76个数据的平均数
D.把这100个数据从小到大排列后，9.3是第75个数据和第74个数据的平均数
考点二 平均数与众数
例2（1）(多选)(2023·哈尔滨模拟)下面是某城市某日在不同观测点对细颗粒物(PM )的观
2.5
测值：
396 275 268 225 168 166 176 173
188 168 141 157
若在此组数据中增加一个比现有的最大值大25的数据，下列数字特征发生改变的是( )
A．极差 B．中位数
C．众数 D．平均数
（2）（多选）如图是某班50名学生期中考试数学成绩的频率分布直方图，其中成绩分组
区间是[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]，则下列
说法正确的是 （ ）
A.图中的x 的值为0.018
B.该班50 名学生期中考试数学成绩的众数是75
C.该班50 名学生期中考试数学成绩的中位数是75
D.该班50 名学生期中考试数学成绩的平均数是75
【对点演练1】每年的4月23日是世界读书日，某中学为了了解八年级学生的读书情况，
随机调查了50名学生读书的册数，统计数据如表所示：
册
0 1 2 3 4
数
人 3 13 16 1 1数 7
则这50名学生读书册数的众数、中位数是（ ）
A．3，3 B．2，2 C．2，3 D．3，2
【对点演练2】（多选）（2023·广东惠州·统考模拟预测）在某市高二举行的一次期中考试
中，某学科共有2000人参加考试.为了了解本次考试学生成绩情况，从中抽取了部分学生
的成绩（成绩均为正整数，满分为100分）作为样本进行统计，样本容量为 .按照
的分组作出频率分布直方图，如图所示.其中，成绩
落在区间 内的人数为16.则下列结论正确的有（ ）
A．样本容量
B．图中
C．估计该市全体学生成绩的平均分为 分
D．该市要对成绩由高到低前 的学生授予“优秀学生”称号，则成绩为78分的学生肯
定能得到此称号
【对点演练3】（2023·山东·统考二模）某射击运动员连续射击5次，命中的环数（环数为
整数）形成的一组数据中，中位数为8，唯一的众数为9，极差为3，则该组数据的平均数
为（ ）
A． B． C．8 D．
考点三 均值与方差
例3某稻谷试验田试种了 ， 两个品种的水稻各10亩，并在稻谷成熟后统计了这20亩
地的稻谷产量如下表，记 ， 两个品种各10亩产量的平均数分别为 和 ，方差分别为和 ．
（单位： 7
60 63 50 76 71 85 63 63 64
） 5
7
（单位： ） 56 62 60 68 78 75 62 63 70
6
(1)分别求这两个品种产量的极差和中位数；
(2)求 ， ， ， ；
(3)依据以上计算结果进行分析，推广种植 品种还是 品种水稻更合适．
【对点演练1】（2023·安徽马鞍山·统考三模）某校高三（1）班（45人）和高三（2）班
（30人）进行比赛，按照分层抽样的方法从两个班共抽取10名同学，相关统计情况如下：
高三（1）班答对题目的平均数为 ，方差为 ；高三（2）班答对题目的平均数为 ，方
差为 ，则这10人答对题目的方差为（ ）
A． B． C． D．
【对点演练2】某学校在上报《国家学生体质健康标准》高三年级学生的肺活量单项数据
中，采用样本量按比例分配的分层随机抽样方法．如果不知道样本数据，只知道抽取了男
生20人，其肺活量平均数为3000 mL，方差为10；抽取了女生30人，其肺活量平均数为
2500 mL，方差为20，则可估计高三年级全体学生肺活量的平均数为________，方差为
________.
【对点演练3】(2023·云南师大附中模拟)根据气象学上的标准，连续5天的日平均气温低
于10 ℃即为入冬，将连续5天的日平均温度的记录数据(记录数据都是自然数)作为一组样
本，现有4组样本①，②，③，④，依次计算得到结果如下：
①平均数<4；
②平均数<4且极差小于或等于3；
③平均数<4且标准差s≤4；
④众数等于5且极差小于或等于4.
则4组样本中一定符合入冬指标的共有( )
A．1组 B．2组 C．3组 D．4组
【对点演练4】(2022·济宁模拟)甲、乙两名学生参加数学竞赛培训，现分别从他们在培训
期间参加的若干次预赛成绩中随机抽取8次，记录如下：
甲 82 81 79 78 95 88 93 84
乙 92 95 80 75 83 80 90 85(1)求两位学生预赛成绩的平均数和方差；
(2)现要从中选派一人参加数学竞赛，从统计学的角度考虑，你认为选派哪位学生参加合适？
请说明理由．
1.给定一组数据5，5，4，3，3，3，2，2，2，1，则这组数据的（ ）
A.众数为2 B.平均数为2.5
C.方差为1.6 D.标准差为4
2.甲组数据为：5，12，16，21，25，37，乙组数据为：1，6，14，18，38，39，则甲、乙
的平均数、极差及中位数相同的是 （ ）
A.极差 B.平均数
C.中位数D.都不相同
3.（2023四川成都七中二诊）一个果园培养了一种少籽苹果,现随机抽样一些苹果调查苹果
的平均果籽数量,得到下列频率分布表:
则根据表格,这批样本的平均果籽数量为( )
A. B. C. D.
4．（2023•浙江一模）已知一组样本数据 ， ， ， 的平均数为 ，由这组数据得到
另一组新的样本数据 ， ， ， ，其中 ，2， ， ，则
A．两组样本数据的平均数相同
B．两组样本数据的方差不相同
C．两组样本数据的极差相同
D．将两组数据合成一个样本容量为20的新的样本数据，该样本数据的平均数为
5．（2023•四川一模）某部门调查了200名学生每周的课外活动时间（单位： ，制成了
如图所示的频率分布直方图，其中课外活动时间的范围是 ， ，并分成 ， ，
， ， ， ， ， ， ， 五组．根据直方图，判断这200名学生中每周的课外活动时间不少于 的人数是
A．56 B．80 C．144 D．184
6.（多选）下表为2022年某煤炭公司1～10月份的煤炭生产量：
月份 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
产量（单位：万吨） 23 25 24 17.5 17.5 21 26 29 30 27
则下列结论正确的是 （ ）
A.极差为12.5万吨 B.平均数为24万吨
C.中位数为24万吨 D.众数为17.5万吨
7.（多选）若甲组样本数据x，x，…，x（数据各不相同）的平均数为2，方差为4，乙组
1 2 n
样本数据3x＋a，3x＋a，…，3x＋a的平均数为4，则下列说法正确的是 （ ）
1 2 n
A.a的值为－2
B.乙组样本数据的方差为36
C.两组样本数据的中位数一定相同
D.两组样本数据的极差不同
8．(多选)习近平总书记强调，要坚持健康第一的教育理念，加强学校体育工作，推动青少
年文化学习和体育锻炼协调发展．某学校对高一年级学生每周在校体育锻炼时长(单位：小
时)进行了统计，得到如下频率分布表：
分组 [2,3) [3,4) [4,5) [5,6]
频率 0.25 0.30 0.20 0.25
则下列关于高一年级学生每周体育锻炼时长的说法中正确的是( )
A．众数约为2.5
B．中位数约为3.83
C．平均数为3.95
D．第80百分位数约为5.2
9．(多选)第24届冬奥会于2022年2月4日在国家体育场鸟巢举行了盛大开幕式．在冬奥
会的志愿者选拔工作中，某高校承办了面试工作，面试成绩满分100分，现随机抽取了80
名候选者的面试成绩并分为五组，绘制成如图所示的频率分布直方图，则下列说法正确的是(每组数据以区间的中点值为代表)( )
A．b的值为0.25
B．候选者面试成绩的中位数约为69.4
C．在被抽取的候选者中，成绩在区间[65,75)之间的候选者有30人
D．估计候选者的面试成绩的平均数约为69.5
10.已知30个数据的60%分位数是8.2，这30个数据从小到大排列后第18个数据是7.8，则
第19个数据是 .
11.已知一个样本的样本容量为10，平均数为15，方差为3，现从样本中去掉一个数据15，
此时样本的平均数为x，方差为s2，则x＝ ，s2＝ .
12.（2023河北石家庄部分学校开学考）湖北省中药材研发中心整合省农业科技创新中心、
省创新联盟相关资源和力量,为全省中药材产业链延链、补链、强链提供科技支撑,某科研机
构研究发现,某品种中医药的药物成分甲的含量 (单位: )与药物功效 (单位:药物单位)之
间满足 ,检测这种药品一个批次的 个样本,得到成分甲的含量 的平均值为
,标准差为 ,则估计这批中医药的药物功效 的平均值为__________药物单位.
13.首次实施新高考的八省（市）于2021年1月23日统一举行了新高考适应性考试，在联
考结束后，根据联考成绩，考生可了解自己的学习情况，作出升学规划，决定是否参加强
基计划.在本次适应性考试中，某学校为了解高三学生的联考情况，随机抽取了100名学生
的联考数学成绩作为样本，并按照分数段[50，70），[70，90），[90，110），[110，
130），[130，150]分组，绘制了如图所示的频率分布直方图.
（1）求出图中a的值并估计本次考试及格率（“及格率”指得分为90分及以上的学生所
占比例）；（2）估计该校学生联考数学成绩的第80百分位数；
（3）估计该校学生联考数学成绩的众数、平均数.
