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第5 讲 专题强化：带电粒子在复合场中的运动
题型一 带电粒子在组合场中的运动
1．组合场：电场与磁场各位于一定的区域内，并不重叠，或在同一区域，电场、磁场
交替出现。
2．分析思路
(1)画运动轨迹：根据受力分析和运动学分析，大致画出粒子的运动轨迹图。
(2)找关键点：确定带电粒子在场区边界的速度(包括大小和方向)是解决该类问题的关键。
(3)划分过程：将粒子运动的过程划分为几个不同的阶段，对不同的阶段选取不同的规
律处理。
3．基本规律
考向1 先电场后磁场
1．先在电场中做加速直线运动，然后进入磁场做圆周运动。如图甲、乙所示，在电场
中利用动能定理或运动学公式求粒子刚进入磁场时的速度。
2．先在电场中做类平抛运动，然后进入磁场做圆周运动。如图丙、丁所示，在电场中
利用平抛运动知识求粒子进入磁场时的速度。
【典例1】 （2026·四川绵阳·一模）如图所示，位于竖直平面内的平面直角坐标系xOy 的
第一象限内有一抛物线，如图中虚线所示，其方程为y =0.5 x
2，虚线上方（包含虚线）存
在竖直向下的匀强电场，电场强度大小为E =1N /C，第三象限内存在垂直于纸面向外的匀
强磁场，磁感应强度大小为B0=2T。在抛物线的下方0≤y ≤0.5 m的区域有大量质量
m=6.0×10
−6kg、电荷量q =+6.0×10
−6C的粒子以相同的初速度v0平行于x 轴射入电场，
最后均经过O 点进入磁场，不计粒子的重力，求：
(1)带电粒子的初速度v0大小；
(2)在磁场中，所有带电粒子能到达离x 轴的最远距离y1。
(3)若磁感应强度与y 轴的关系为B =|（❑√2-1）y)(T)，那么所有粒子在磁场中，能到达
离x 轴的最远距离y2。
【典例2】 （2026·湖南长沙·一模）如图所示，在平面内有一个圆形匀强磁场区，半径为
R，磁感应强度为B0，方向垂直于纸面向外。紧靠圆形磁场右侧有1、2、3…足够多个等宽
区域。其中，奇数区域内有水平向右的匀强电场，电场强度为E；偶数区域有垂直于纸面向
里的匀强磁场，磁感应强度为B（未知）。圆上M、N 两点与圆心O共线，MN与区域1 左
边界垂直。有一个带电粒子由M点进入圆形磁场区域，经过N点进入区域1，速度大小为v0，
方向与左边界夹角为45
∘斜向下，进入区域2 时与左边界夹角为60
∘斜向下，该粒子恰好不能
从区域14 的右边界射出。不计带电粒子的重力。求：
(1)带电粒子的比荷；
(2)每个区域的宽度d；
(3)磁感应强度B的大小；
【典例3】 （2026·四川绵阳·模拟预测）如图所示，直角坐标系xOy平面内，绝缘等腰直
角三角形框架ACD底边CD中点位于原点O，CD =3 L，AC、AD边上有关于y轴对称的小
孔N、M。三角形框架ACD内有沿y轴正方向的匀强电场，框架外至圆心在O点、半径为
2 L的半圆形边界内有垂直于纸面向里的匀强磁场。质量为m、电量为+q、不计重力的带电
粒子以初速度v0从O点沿+ x方向射入电场，经过小孔M垂直于AD进入磁场区域，与绝缘
框架碰撞后原速返回。调节匀强磁场磁感应强度为某些值时，粒子能绕过A点回到出发点O，
此后重复做周期性运动。求：
(1)粒子经过M点时速度大小v M；
(2)O与M两点间的电势差U OM；
(3)粒子运动周期最长时磁感应强度大小B。
考向2 先磁场后电场
1．进入电场时粒子速度方向与电场方向相同或相反，如图甲所示，粒子在电场中做加
速或减速运动，用动能定理或运动学公式列式。
2．进入电场时粒子速度方向与电场方向垂直，如图乙所示，粒子在电场中做类平抛运
动，用平抛运动知识分析。
【典例4】 （2026·河南三门峡·三模）（多选）如图所示，在平面直角坐标系xOy第一、
二象限x ≤L的区域内，存在着垂直于纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B。在第一
象限x> L的区域内存在着匀强电场，电场方向与x轴负方向成45°斜向下。位于坐标原点O
处的粒子源能在xOy平面向第二象限内持续发射质量为m、电荷量为q的相同粒子，速度方
向与y轴正方向的夹角0°≤θ≤37°，且各个方向的速度大小与θ的关系为v =
v0
cosθ
（式中v0
为未知定值）。θ =0°的粒子恰好通过坐标为(L, L)的P点，经过直线x = L时距x轴最远的粒
子到达直线x =2 L时，速度方向刚好沿y轴负方向，sin37° =0.6，不计粒子重力，及粒子
间的相互影响，下列说法正确的是（ ）
A．粒子带负电荷
B．v0= qBL
m
C．粒子运动到直线x = L上时与x轴的最远距离为1.6 L
D．匀强电场的电场强度为25 ❑√2q B
2 L
32m
【典例5】 （2026·天津红桥·二模）一个带电粒子从x 轴上的P( L,0)点以速度v 沿与x 正
方向成60°的方向射入第一象限内磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向外的匀强磁场中，
并恰好垂直于y 轴射出第一象限，进入第二象限的匀强电场中，电场强度大小为E，方向沿
x 轴负方向。不计粒子重力，求：
(1)带电粒子的比荷q
m
；
(2)带电粒子在电场中速度第一次为零时的坐标( x , y)；
(3)带电粒子从开始到第三次经过y 轴所需要的时间t。
【典例6】 （2026·福建福州·二模）如图，真空中两个足够大的平行金属板M、N 竖直固
定，间距为d。M 板接地，其左侧整个区域存在垂直纸面向里磁感应强度为B 的匀强磁场。
M 板上O 点左侧P 点有一粒子源，可不断地沿纸面内任意方向发射速度大小均相同，质量
为m，电荷量为q 的同种带电粒子。当发射方向与OP 的夹角θ =60°时，粒子恰好垂直穿过
M 板Q 点处的小孔。已知OP = ❑√3 L，初始时两板均不带电，粒子碰到金属板后立即被吸收，
电荷在金属板上均匀分布，金属板电量可视为连续变化，带电粒子在板间的运动可视为匀变
速运动，不计金属板厚度、粒子重力及粒子间的相互作用，忽略边缘效应。求：
(1)粒子源发射粒子的速度大小；
(2)粒子从P 点出发，第1 次到Q 的可能时间；
(3)粒子打到M 板右表面的位置与Q 点的最小距离。
题型二 带电粒子在叠加场中的运动
1．叠加场
电场、磁场、重力场共存或其中某两场共存。
2．洛伦兹力、重力并存
(1)若重力和洛伦兹力平衡，则带电粒子做匀速直线运动。
(2)若重力和洛伦兹力不平衡，则带电粒子将做复杂的曲线运动，因洛伦兹力不做功，
故机械能守恒，由此可求解问题。
3．静电力、洛伦兹力并存(不计重力的微观粒子)
(1)若静电力和洛伦兹力平衡，则带电粒子做匀速直线运动。
(2)若静电力和洛伦兹力不平衡，则带电粒子将做复杂的曲线运动，因洛伦兹力不做功，
可用动能定理求解问题。
4．静电力、洛伦兹力、重力并存
(1)若三力平衡，一定做匀速直线运动。
(2)若重力与静电力平衡，且速度与磁场垂直，一定做匀速圆周运动。
(3)若合力不为0 且与速度方向不垂直，将做复杂的曲线运动，因洛伦兹力不做功，可
用能量守恒定律或动能定理求解问题。
【典例7】 （2026·黑龙江哈尔滨·二模）（多选）如图，绝缘粗糙的竖直挡板MN 固定在
相互垂直的匀强电场和匀强磁场中，电场和磁场范围足够大。电场方向水平向左，电场强度
大小为E = mg
q ，磁场方向垂直纸面向里，磁感应强度大小为B = m
q
❑√
g
h
。一质量为m、电荷
量为q 的带电的小滑块从a 点由静止开始沿MN 下滑，到达b 点时离开MN 并立即撤走挡板
MN，小滑块开始做曲线运动，a、b 两点间距离为h，不计空气阻力，重力加速度为g，则
下列说法正确的是（ ）
A．小滑块带正电
B．小滑块从a 点运动到b 点过程中克服摩擦力做的功为mgh
2
C．小滑块以后运动过程中最大速度为❑√3 gh
D．小滑块从b 点到第一次达到最大速度经历的时间为3 π
4
❑√
h
g
【典例8】 （2025·广东汕头·模拟预测）如图所示，水平向左的匀强电场的场强E=4V/m，
垂直纸面向内的匀强磁场的B=2T，质量为m=1kg 的带电物块A 从竖直绝缘墙上的M 点由静
止开始下滑，滑行h=0.8m 到达N 点时离开墙面开始做曲线运动，在到达P 点开始做匀速直
线运动，此时速度斜向下与水平方向成45°角，P 点离开M 点的竖直高度为H=1.6m，取
g=10m/s2，求：
(1)物块A 的电性和电量大小；
(2)A 沿墙下滑克服摩擦力做的功Wf；
(3)P 点与M 点的水平距离xp。
【典例9】 （2026·广西·模拟预测）如图所示平面直角坐标系xOy中，y轴沿竖直方向，y
轴左侧−12m < x<0的区域内，存在沿y轴正向的匀强电场E1和垂直坐标平面的匀强磁场
（未画出），y轴右侧0< x<6 ❑√3 m的区域内有与x轴负方向成60°角，场强为E2的匀强电
场，x>6 ❑√3 m的区域有与x轴正方向成30°，场强为E3的匀强电场。一质量为
m=6×10
−3kg，电荷量为q =1.0×10
−3C的带电微粒以速度v0=12m/s沿x轴正向进入电磁
场中，在y轴左侧区域做匀速圆周运动，微粒从原点O进入y轴右侧后，在0< x<6 ❑√3 m的
区域内做直线运动，且速度恰好垂直E2方向，已知E3=30 N/C，重力加速度g=10 m/s
2，
求：
(1)y轴左侧电场E1的大小及磁场的大小和方向；
(2)微粒刚进入x>6 ❑√3 m区域时的速度大小；
(3)微粒再次经过x轴时的横坐标。
题型三 带电粒子在交变场中的运动
1．交变电、磁场的常见类型
2．带电粒子在交变电、磁场中运动的处理方法
(1)弄清复合场的组成特点及场的变化情况。
(2)正确分析带电粒子的受力及运动特点。
(3)画出粒子的运动轨迹，灵活选择不同的运动规律。
【典例10】 （2026·湖北恩施·二模）如甲图所示，三维直角坐标系所在的整个空间存在竖
直方向的匀强磁场，其磁感应强度随时间变化的规律如图乙所示（磁场方向取竖直向上为
正）。一质量为m、电荷量为q 的带正电粒子从坐标原点O 以速度v 沿y 轴正方向射入磁场。
图乙中B 已知，T = 4πm
qB
。
(1)若粒子重力可忽略不计，试求粒子在T
2 ∼T内做圆周运动的轨迹半径；
(2)若粒子重力可忽略不计，试求t =T时刻粒子的位置坐标；
(3)若粒子重力不可忽略，试求粒子出发后经过z 轴时的位置坐标（重力加速度为g）。
【典例11】 （2026·湖南常德·一模）如图甲所示，y 轴左侧有两块带等量异种电荷的水平
平行金属板，y 轴右侧有交替变化的匀强磁场，x 轴在平行金属板的中心线上。一个质量为
m，电荷量为+q的带电粒子（重力不计），以初速度v0从金属板左端中心线沿+ x方向进入，
恰好能从金属板下边缘P 点飞出并进入磁场。以粒子进入磁场为0 时刻，在T
2
时刻粒子第一
次经过x 轴。已知两金属板间距为d，板长为板间距的
❑√3
3
倍，磁场取垂直纸面向里为正方
向，乙图中B0= 2mv0
qd
，T 未知，不考虑磁场变化引起的感生电场，计算结果用v0、d 和常
量表示。
(1)求粒子在P 点的速度大小v；
(2)若粒子在T
2
时刻恰到磁场右边界，求磁场的右边界到y 轴之间的宽度s；
(3)若磁场宽度s 不确定，但粒子出右边界时速度都是沿+ y方向，求粒子在磁场中运动时间t
的可能值。
【典例12】 如图甲所示的坐标系中，在x 轴上方的区域内存在着如图乙所示周期性变化
的电场和磁场，交变电场的场强大小为E0，交变磁场的磁感应强度大小为B0，取x 轴正方
向为电场的正方向，取垂直纸面向外为磁场的正方向。在t =0时刻，将一质量为m，带电量
为q，重力不计的带正电粒子，从y 轴上A 点由静止释放，粒子经过电场加速和磁场偏转后
垂直打在x 轴上且恰好能被位于x 轴上的粒子收集器接收。求：
(1)粒子第一次在磁场中运动的半径；
(2)若粒子经过三次加速并在第三次偏转过程中被粒子收集器接收，此时粒子收集器距坐标
原点O 的距离。
1.
（2026·四川·模拟预测）（多选）如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，第一、二象限存在
着垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B，第四象限存在着沿y 轴正方向的匀强电场，
场强大小未知。一带正电的粒子从y 轴上的M 点以速度v0沿x 轴正方向开始运动，从x 轴上
的N 点进入磁场后恰好经O 点再次进入电场，已知MN 两点的连线与x 轴的夹角为θ，且
tanθ = 1
2
，带电粒子的质量为m，电荷量为q，不计带电粒子的重力。求：（ ）
A．粒子第一次经过N 点的速度大小为2v0
B．粒子从N 点运动到O 点的过程中，洛伦兹力的冲量3m v0
C．电场强度E 的大小v0 B
2
D．粒子连续两次通过x 轴上同一点的时间间隔为(3π+ 4)m
qB
2.
（2026·四川成都·模拟预测）（多选）圆心为O、半径为R的圆形区域内存在磁感应强度为B、
方向垂直纸面向外的匀强磁场，在磁场边缘上的A点沿纸面向圆形区域各个方向均匀发射速
度大小为v0的带电粒子。圆的右边为边长是2 R的正方形，刚好与圆相切于B点，切点为
MN的中点，其区域内存在水平向左的匀强电场。当粒子沿AO方向射入时，粒子刚好从B
点离开磁场，进入电场后又恰好从右边界的中点返回。不计粒子重力和粒子间的相互作用。
下列说法正确的是（ ）
A．粒子的比荷为v0
BR
B．粒子从A点进入磁场到最终离开磁场的运动过程中的总时间与入射方向无关
C．若将电场E方向变为竖直向下，则从电场边界PQ与NQ射出的粒子数之比为2∶1
D．若将电场E方向变为竖直向下，且粒子要全部从NQ边界射出，则电场强度大小至少
为原来的5 倍
3.
（2026·江西·模拟预测）如图所示，在xOy 坐标系中，第二、四象限存在垂直纸面向外的匀
强磁场，第三象限存在沿x 轴正方向的匀强电场，质量为m、电荷量为q 的粒子以速度v0从
A（-L，0）点垂直x 轴射入第二象限，后与x 轴方向成θ=45°角射入第四象限，粒子进入电
场时速度方向与y 轴成45°角，最终粒子从x 轴上的C 点（图中未画出）垂直x 轴回到第二
象限，不计粒子重力，求：
(1)第二、四象限匀强磁场的磁感应强度大小B1、B2；
(2)匀强电场的电场强度大小E；
(3)A、C 两点间的距离d；
(4)粒子从A 点运动到C 点的时间t。
4.
（2026·山西太原·一模）如图所示，以O点为圆心、半径为R的圆形区域内存在竖直向下的
匀强电场；水平直线边界ab上方、圆形电场以外的区域存在垂直纸面向外的匀强磁场，磁
感应强度的大小为B。M为圆与ab边界的切点，P为圆的最高点，Q、N为圆上与圆心O等
高的两点。从M点右侧某区域垂直于ab发射不同速率的离子，所有离子均可沿水平方向射
入电场区域，离子的比荷为k，不计离子重力及离子间的相互作用力，求：
(1)离子的电性；
(2)若从N点射入电场的离子恰好可从P点射出电场，则匀强电场的电场强度E的大小为多少；
(3)若将水平直线QON上方的磁场方向变为垂直纸面向里，并调整QON上方磁场磁感应强
度的大小，同时调整电场强度的大小，使得从距M点右侧0.8 R处发射的离子可依次经过Q
点与N点，则离子在ab上方区域运动的总时间t为多少。
5.
（24-25 高二下·广西柳州·期中）如图所示，一个质量为m、电荷量为+q的微粒，在A点
（0，3m）以初速度v0=120 m/s平行x轴射入电场区域，然后从电场区域进入磁场，又从磁
场进入电场，P点（6m，0）和Q点（8m，0）分别是微粒第一、二次经过x轴上的点。已知
该微粒的比荷为q
m =10
2C/kg，微粒重力不计，求：
(1)微粒在电场中加速度的大小及电场强度的大小；
(2)微粒到达P点时速度方向与x轴正方向的夹角；
(3)磁感应强度B的大小及微粒从A运动到Q的时间。
6.
（2026·山东·三模）如图所示，以O 为坐标原点，建立O−xyz坐标系。x<0区域存在沿x轴
正方向的匀强电场E（大小未知），在+ x、+ y、+ z区域内存在一边长为3 L的正立方体区
域Obcd −efgh，其中b、d、e分别位于x、y、z轴上，该区域内存在沿z轴正方向的匀强电
场E1（大小可调）以及沿z轴正方向的匀强磁场B（大小可调）。一带电粒子由坐标为（-
L，0，0）的a点静止释放，粒子经电场加速后到达O点速度大小为v0，此后进入正立方体
区域。已知该粒子的质量为m、电量为+q（q>0），不计粒子重力和场的边界效应。
(1)求电场强度E的大小；
(2)若B = m v0
6qL
、E1= E，求粒子离开正立方体区域的坐标；
(3)若B = mv0
qL
、E1=
m v0
2
4πqL
，求粒子第二次离开正立方体区域的坐标。
7.
（2026·湖南·模拟预测）如图所示，在一直角坐标系y >0的区域有沿y 轴正方向的匀强电场，
电场强度大小E =100 N/C，在y ≤0的区域有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小
B = ❑√30T。在A （0，1m ）点处有一个粒子源，向第一象限内各方向发射电量大小
q =1×10
−8C、质量m=1×10
−9kg、速度v0=10 ❑√10 m/s的带负电粒子，不计粒子重力和
空气阻力。
(1)求带电粒子在电场中的加速度大小；
(2)若带电粒子射入电场时速度v0沿x 轴正方向，求带电粒子第一次经过x 轴的位置到O 点的
距离；
(3)求带电粒子首次进入磁场时沿x 方向的最大位移，以及该条件下在电场的运动时间和末速
度；
(4)若带电粒子射入电场时速度v0沿x 轴正方向，设带电粒子第一次经过x 轴的位置为C，从
此时开始计时，求带电粒子再次到达C 点所需要的时间。
8.
（2026·广东深圳·二模）霍尔推进器是未来星际航行的绿色引擎，其放电室横截面可简化为
一个圆环区域，圆环内存在辐射状磁场，如图所示。另有方向均垂直圆环平面向里的匀强磁
场和匀强电场（未画出），且磁感应强度大小为B1，电场强度大小为E。电荷量为e、质量
为m的电子恰好能够沿半径为R的轨道做匀速圆周运动。下列说法中正确的是（ ）
A．电场力对电子做正功
B．电子沿逆时针方向做圆周运动
C．电子做匀速圆周运动的线速度大小为E
B1
D．轨道处辐射状磁场的磁感应强度大小为mE
eR B1
9.
（2026·黑龙江齐齐哈尔·二模）（多选）如图所示，空间中存在范围足够大的水平向右的匀
强电场和垂直于纸面向外的匀强磁场，电场强度大小E=40 N/C，磁感应强度大小B=0.5 T。
以水平向右为x 轴正方向，竖直向上为y 轴正方向建立直角坐标系。原点O 处的粒子源可发
射质量m=3×10-6 kg、电荷量q=1×10-6 C 的带负电的粒子，粒子的发射速度大小和方向可调
整。第一次实验发射的粒子恰能在xOy 平面内做直线运动；第二次实验将匀强电场方向调
整为竖直向下，电场强度大小调整为E'=30 N/C，发射的粒子速度大小调整为第一次实验发
射速度大小的1
50
，且方向不变。取重力加速度g=10 m/s2，不计粒子间的相互作用，
sin37°=0.6，cos37°=0.8。下列说法正确的是（ ）
A．第一次实验中，粒子发射速度大小为100 m/s
B．第一次实验中，粒子发射速度方向与x 轴夹角为37°
C．第二次实验中，粒子发射后第一次经过x 轴的坐标为（19.2 m，0）
D．第二次实验中，粒子发射后第一次经过y 轴的坐标为（0，-14.4 m）
10. （2026·甘肃酒泉·二模）如图所示，在平面直角坐标系xOy 的x<0区域内存在沿y 轴负方向、
电场强度大小为E 的匀强电场，在y <0区域内存在方向垂直坐标平面向外的匀强磁场。带
正电的粒子从A 点(−2❑√3l ,l)以沿x 轴正方向、大小为v0
的初速度射入电场，恰好经过坐标
原点O 进入第四象限。已知磁场的磁感应强度大小为3 E
4 v0
，不计粒子重力。求：
(1)粒子的比荷；
(2)粒子第二次经过y 轴时的位置到坐标原点O 的距离；
(3)粒子在第三象限内运动过程中的最大速度大小及从A 点到第一次获得最大速度时经历的
时间。
