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保密★启用前
2025 届新高三学情摸底考01（新课标卷）
数学
注意事项：
1.答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并
将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.
写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交.
一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出
的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的
位置上.
1．设集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
2．已知为虚数单位，
，则在复平面内的共轭复数对应的点位于（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
3．向量
，且
∥
，则实数
（ ）
A．5
B．
C．2
D．
4．设函数
，则曲线
在点
处的切线与两坐标轴所围成的三
角形的面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
5．若
，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
1
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6．已知
，则该圆的圆心坐标和半径分别为（ ）
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
7．唐代是我国古代金银器制造最为成熟与发达的时期.强盛的国力开放的心态丝绸之路
､
､
的畅通，使得唐代对外交往空前频繁.走进陕西历史博物馆珍宝馆，你会看到“东学西渐”
和“西风东来”，各类珍宝无不反映出唐人对自我文化的自信.素面高足银杯（如图1）就
是其中一件珍藏.银杯主体可以近似看作半球与圆柱的组合体（假设内壁光滑，杯壁厚度可
忽略），如图2 所示.已知球的半径为，酒杯容积为
，则其内壁表面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
8．已知双曲线
的左右焦点分别为
，曲线
上存在一点
，使
得
为等腰直角三角形，则双曲线
的离心率是（ ）
A．
B．
C．
D．
二、多项选择题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出
的四个选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，选对但不全的得部分
分，有选错的得0 分.
2
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9．已知事件
满足
，
，则下列说法正确的是（ ）
A．若事件A 与事件B 相互独立，则它们的对立事件也相互独立
B．事件A 与事件B 可能为对立事件
C．若事件A 与事件B 相互独立，则
D．若事件A 与事件B 互斥，则
10．若函数
的图象经过点
，则（ ）
A．点
为函数
图象的对称中心
B．函数
的最小正周期为
C．函数
在区间
上的函数值范围为
D．函数
的单调增区间为
11．已知定义在
上的函数
，对任意
有
，其中
；当
时，
，则（ ）
A．
为
上的单调递增函数
B．
为奇函数
C．若函数
为正比例函数，则函数
在
处取极小值
D．若函数
为正比例函数，则函数
有两个零点
三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
3
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12．在
展开式中，含
项的系数是 .
（用数字作答）
13．在
中，
的角平分线交
于
，则
.
14．已知
分别为椭圆
的左，右焦点，A 为椭圆
的上顶点，
且
为等边三角形；过
且垂直于
的直线与椭圆
交于
两点，则
的周
长为 ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演
算步骤.
15．（13 分）文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是
文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要创造者.某市为提高市民对文明城市创建的认
识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100 份作为样本，将样本
的成绩（满分100 分，成绩均为不低于40 分的整数）分成六段：
，
，…，
得到如图所示的频率分布直方图.
(1)求频率分布直方图中a 的值；
(2)求样本成绩的第75 百分位数；
(3)已知落在
的平均成绩是56，方差是7，另一组落在已知
内，且两组成绩
的总平均数
为62 和总方差
为23.求落在
的平均成绩以及方差.
4
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16．（15 分）已知数列
是等差数列，且
.
(1)求
的通项公式；
(2)设
，求数列
的前
项和
.
17．（15 分）如图，在三棱锥
中，平面
平面ABC，
，
，
，点M 为AC 的中点．
(1)求证：平面
平面PAB；
(2)线段PC 上是否存在点N，使得
平面BMN?若存在，求
的值；若不存在，请说
明理由．
18．（17 分）已知动圆P 过点
，并且与圆
外切，设动圆的圆心
P 的轨迹为C.
(1)直线
与圆
相切于点Q，求
的值；
(2)求曲线C 的方程；
(3)过点
的直线与曲线C 交于E，F 两点，设直线
，点
，直线
交于
点M，证明直线
经过定点，并求出该定点的坐标.
19．（17 分）对于函数
，规定
，
，…，
5
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，
叫做函数
的n 阶导数．若函数
在包含
的某个闭
区间
上具有n 阶导数，且在开区间
上具有
阶导数，则对闭区间
上任
意一点x，
，该公式称为函数
在
处的n 阶泰勒展开式，
是此泰勒展开式的n 阶余项．
已知函数
．
(1)写出函数
在
处的3 阶泰勒展开式（
用
表示即可）；
(2)设函数
在
处的3 阶余项为
，求证：对任意的
，
；
(3)求证：
．
6
