文档文本内容
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
专题04 导数大题培优归类
题型1 同构型
同构型不等式证明：
利用函数同等变形，通过构造“形似”函数新形式，稍作变形再构造，对原不等式同解变
形，根据相似结构构造辅助函数.
利用恒等式x＝ln ex 和x＝eln x，通过幂转指或幂转对进行等价变形，构造函数，然后由构
造的函数的单调性进行研究．
常见的同构函数有：①f(x)＝；②f(x)＝xln x；③f(x)＝xex；④f(x)＝.
其中①④可以借助＝＝，②③可以借助xex＝(ln ex)ex＝(ln t)t＝tln t 进行指对互化．
1.（2025 高三·全国·专题练习）设函数
.
(1)讨论
的单调性；
1
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
(2)当
时，证明：
.
【答案】(1)
在
和
上单调递减，在
上单调递增.
(2)证明见解析.
【分析】（1）对
求导，利用导数与函数单调性间的关系，求出
和
的解，即可求出
结果；
（2）
，即
，故即证
时，
>
.通过构造函数
利用导数证得
在
单调递增，通过构造
证明
.即可证明结果.
【详解】（1）由函数
可得
令
，解得
或
.
当
时，
；当
时，
；
当
时，
.故
在
和
上单调递减，在
上单调递增.
（2）
=
当
时，
，要证
，即证
>
.
设
则
当
时，
则
在
上单调递增，因为
当
时，
，
，故只需证明
.令
，
则
当
时，
单调递减；当
时，
单调递增，
故
，则
在
上成立，故
，即
成立.
2.已知函数
，
(1)求
的最小值；
(2)证明：
.
2024 届辽宁省辽宁省高三重点高中协作校联考模拟预测数学试题
【答案】(1)1
(2)证明见详解
2
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
【分析】（1）换元令
，构建
，利用导数判断
的单调性和最值，进而可
得
的最小值；
（2）由（1）结合正弦函数性质可得
，构建
，
，利用导数可证
，进而结合指数函数性质分析证明即可.
【详解】（1）令
，由
可知
，
构建
，
则
在
内恒成立，
可知
在
内单调递减，则
，
所以
的最小值为1.
（2）由（1）可知：
，即
，
又因为
，则
，
可得
，则
，
构建
，
，则
在
内恒成立，
可知
在
内单调递增，则
，
即
，可得
，
注意到
，则
，
所以
.
3.已知函数
，
，其中
.
（1）试讨论函数
的单调性；
（2）若
，证明：
.
四川省乐山市高中2022 届第一次调查研究考试数学（理）试题
【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析.
【分析】（1）
的定义域为
，求出
，分别讨论
，
，
时不等式
和
的解集即可得单调递增区间和单调递减区间，即可求解；
（2）
的定义域为
，不等式等价于
，
，
令
，只需证
，令
，利用导数判断单调性和最值即可求证.
3
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
解（1）
的定义域为
，
由
可得：
，
当
时，令
，解得
；令
，解得
或
；
此时
在
上单调递增，在
和
上单调递减：
当
时，
，此时
在
和
上单调递减；
当
时，令
，解得
，令
，解得
或
，
此时
在
上单调递增，在
和
上单调递减：
综上所述：当
时，
在
上单调递增，在
和
上单调递减；
当
时，
在
和
上单调递减；
当
时，
在
上单调递增，在
和
上单调递减.
（2）因为
，
的定义域为
，所以
即
，
即证：
，令
，只需证
，令
，则
，
令
，解得：
；
，解得
；所以
在
上单调递减，在
上单调递增；
所以
，所以
，
4
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
所以
，即
成立
题型2 凸凹翻转型
凸凹翻转型证明不等式思维：
凸凹反转首先是证明不等式的一种技巧，欲证明f ( x)>0 ，若可将不等式左端f ( x)拆成g( x)>h( x)，
且gmin( x)>hmax( x)的话，就可证明原不等式成立. 通常情况，我们一般选取g( x)为上凸型函数，h( x)
为下凹型函数来完成证明.
1.已知
，
.
（1）求函数
的单调区间；
（2）对一切
，
恒成立，求实数a 的取值范围；
（3）证明：对一切
，都有
成立.
天津市红桥区2021-2022 学年高三上学期期中数学试题
【答案】（1）函数
在
上单调递减，在
上单调递增（2）
（3）证明见解析
【分析】
（1）求出
的导函数，令导函数小于0，可求得函数单调递减区间，导函数大于0，可求得函数单调递
增区间；
（2）把
与
解析式代入已知不等式，整理后设
，求出
的导函数，根据导
函数的正负判断单调性，进而求出
的最小值，即可确定的范围；
（3）所证不等式两边乘以，左边为
，右边设为
，求出左边的最小值及右边的
最大值，比较即可得证．
（1）
解：因为
，所以
，
当
，
，当
，
，
所以函数
在
上单调递减，在
上单调递增；
（2）
解：原不等式等价于
，即
对一切
恒成立，
设
，则
，
当
时，
，
单调递减，当
时，
，
单调递增，
所以
，
所以实数a 的取值范围为
；
（3）证明：原问题等价于证明
，
5
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
由（1）可知
，
的最小值是
，当且仅当
时取到，
设
，则
，
当
时，
，
单调递增，当
时，
，
单调递减，
所以
，当且仅当
时取到，
所以对一切
，都有
成立．
2.（24-25 高三·辽宁锦州·模拟）已知函数
为实常数，
，其中
.
(1)
时，讨论
的单调性；
(2)求
的最值；
(3)
时，证明：
.
【答案】(1)答案见解析
(2)最小值是
，无最大值
(3)证明见解析
【分析】（1）求得导函数
，对进行分类讨论，根据导数的正负确定单调性即可；
（2）求导得
，利用导数研究函数的单调性，即可得出最值；
（3）要证明
，等价于
．设
，利用导数求
的最大值，
结合（2）知
，证
即可．
【详解】（1）
时，
，
，
当
时，
，
在
上单调递减；
当
时，由
得
，
时，
，
在
上单调递减；
时，
，
在
上单调递增，
综上，当
时，
在
上单调递减；
当
时，
在
上单调递减；在
上单调递增．
（2）因为
，所以
，
当
时，
，
单调递减；
当
时，
，
单调递增，
故
的最小值是
，无最大值．
（3）
时，
，
6
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
要证明
，需要证明
，等价于
①，
设
，可得
，
由
得
，
时，
，
单调递增；
时，
，
单调递减，
则
的最大值是
，即
，
由（2）知
，
又因为
，即
，
所以①式成立，所以
．
3.已知函数
.
（1）讨论函数
的单调性；
（2）证明：
.
陕西省西安市高新第一中学2021-2022 学年高二上学期第一次月考理科数学试题
【答案】（1）答案见解析.（2）证明见解析
【分析】（1）
，令
，分别讨论
，
，
，解不等式
或
即可得单调增区间和减区间，进而可得单调性.
（2）设
分别求
，
利用导数判断两个函数的单调性以及最值，求出
即可求证.
解（1）因为
，所以
，
，
，
令
，当
时，
恒成立，此时
在
上单调递减，
当
时，解不等式
可得：
，
所以
在
上单调递减，在
上单调递增，在
上单
调递减，
当
时，解不等式
可得：
，
所以
在
上单调递增，在
上单调递减，
7
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
综上所述：当
时，
在
上单调递减，
当
时，
在
和
上单调递减，
在
上单调递增，
当
时，
在
上单调递增，在
上单调递减，
（2）由
可得
，由
可得
，由
可得
，
所以
在
上单调递增，在
上单调递减，
所以
，所以
，设
，则
，
由
即
可得
；由
即
可得
，
所以
在
上单调递增，在
上单调递减，所以
，
所以
，所以
对任意的
恒成立.
题型3 三角函数型
对于含有三角函数型不等式证明：
充分利用正余弦的有界性进行适当的放缩。
1．（24-25 高二下·安徽蚌埠·期中）已知
．
(1)试判断
的单调性；
(2)若
时，
恒成立，求实数的取值范围；
(3)当
时，求证：
．
【答案】(1)答案见解析
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）求得
，对实数的取值进行分类讨论，分析导数的符号变化，即可得出函数
的增区间和减区间；
（2）对实数
的取值进行分类讨论，分析函数
在区间
上的单调性，验证
能否恒成立，
由此可得出实数
的取值范围；
（3）由（2）得当
时
，故只需证明
，构造函数
，
8
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
，利用导数分析函数
的单调性，可得出其函数值的符号变化，由此可证得结论成立.
【详解】（1）因为
，该函数的定义域为
，
.
当
时，
，则
在
上是增函数；
当
时，令
，得
，
由
可得
，由
可得
，
此时，函数
的减区间为
，增区间为
.
综上所述，当
时，
在
上是增函数；
当
时，函数
的减区间为
，增区间为
.
（2）
即
恒成立，则
，
且函数
在
上为增函数，故
，
当
时，
，则
在
是增函数，
成立，合乎题意；
当
时，
，由（1）可知，函数
在
上为减函数，在
上为增函数，
所以
不合题意．
所以
．
（3）由（2）得当
时，
，
所以要证
，只要
，即证：
，
设
，
，则
，
因为函数
、
在
上均为增函数，故函数
在
是增函数，
因为
，
，所以存在
，使
．
故
时，
，则
在
上为减函数，
当
时，
，则
在
上为增函数，
因为
，
，
所以
时，
，故命题成立．
2．（24-25 高二下·浙江丽水·期末）已知函数
为奇函数．
(1)求a 的值；
(2)设函数
，
9
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
①证明：
有且只有一个零点；
②记函数
的零点为
，证明：
．
【答案】(1)
(2)①证明见解析；②证明见解析
【分析】（1）根据
可求出a 的值；
（2）①讨论
和
时函数的单调性或函数值的正负，结合零点存在性定理可证明函数
有且只有一个零点；
②由①可得
，结合
的范围分析函数单调性可证明不等式.
【详解】（1）由题意得，
，
∴
，即
恒成立，∴
.
（2）①当
时，函数
与函数
均在
上单调递增，
∴
在
上单调递增，
又
，
，
∴
存在唯一零点
.
当
时，
，
，∴
，
当
时，
，
，∴
，
∴当
时，
无零点，
综上，
有且只有一个零点，且该零点
.
②由①可知
，且
，故
，
∴
，
令
，则
.
当
时，
，∴
在
上单调递增，
∴
，即
得证.
10
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
3．（2025·江苏宿迁·模拟预测）已知
，
．
(1)判断
的单调性；
(2)若函数
图象在
处切线斜率为
，求
；
(3)求证：
．
【答案】(1)
在
上单调递增；
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）求导后借助因式分解与二次函数的性质可得其导函数的正负，即可得其单调性；
（2）借助导数的几何意义可得
，计算即可得解；
（3）结合
的取值范围，可将所需证明的不等式转化为证明
，构造函数
，
，则可借助导数结合基本不等式得到
的单调性，即可得证.
【详解】（1）
，
由
，则
，
故
，
，
故
在
上恒成立，故
在
上单调递增；
（2）由题意知
，
则
，
故
或
，
由
，
故
无解；
则
，即
，又
，故
；
（3）由
，则
，
，
要证
，只需证
，
即只需证
，
由（1）知
在
上单调递增，
11
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
故
，即
，
故只需证
，即只需证
，
即只需证
，
令
，
，
则
，
由
，当且仅当
时等号成立，
由
，故不能取等，即有
，
则
，
令
，
，则
，
故
在
上单调递增，则
，
即
，故
在
上单调递增，则
，
即有
，即得证.
题型4 数列型证明
数列不等式型：
证明不等式
，该不等式左边是求和式，右边只有单独的一项，但可以通过
变形将右边也转化为求和式，即
这样一来，设
，
则只需证
，而要证明这个式子，可以证明左右两侧对应项的大小
关系，即如果能够证出
恒成立，则原不等式也就成立.
1．（25-26 高三上·湖北·开学考试）已知
．
(1)若
时，求
在
上的最大值和最小值；
(2)若
恒成立，求
的取值范围；
(3)设
，证明：
．
12
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
【答案】(1)
，
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）利用导数判断出函数在
上的单调性，再根据单调性求解即可；
（2）当
时，因为
，不满足题；当
时，利用导数求出函数的最大值，再根据
求解即可；
（3）由（2）知，当
时，
恒成立，即
，令
，则有
，由
时，
，最后利用累加法即可得证.
【详解】（1）因为
，
当
时，令
，
因为函数
定义域为
，所以
；
当
时，
单调递增，
当
时，
单调递减，
所以
为
的一个极大值点，也为最大值点，
所以
而
，
又因为
，
又因为
，
所以
，
所以
；
（2）若
时，因为
，不满足题目要求，
若
时，
，
当
时，
单调递增，
当
时，
单调递减，
所以
为
的一个极大值点，也为最大值点，
13
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
所以
即可，
令
，
因为
单调递减，且
，
所以
；
（3）证明：由（2）知，当
时，
恒成立，
即
，等号成立当且仅当
时取得．
所以
.
令
，代入化简即得
，
又因为
时，
．
即得
，
累加即得
．
2．（25-26 高三上·广西·开学考试）已知函数
，曲线
在
处的切线与直线
垂直.
(1)求
的值；
(2)求
在
上的最小值；
(3)证明：对任意的正整数，都有
.
【答案】(1)
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）由切线与已知直线位置关系求解；
（2）二次求导判断
单调性求解；
（3）将（2）中结论
对任意的
恒成立，转化为
对任意
的
恒成立，即
对任意的
恒成立，然后令
，累加放缩可证.
【小题1】因为
，所以
，则
.
因为曲线
在
处的切线与直线
垂直，
所以
，即的值为.
【小题2】由（1）可知
，则
.
设
，则
.
显然
在
上恒成立，
则
在
上单调递增，即
在
上单调递增.
因为
，所以
在
上恒成立，
14
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
则
在
上单调递增，
故
，即
在
上的最小值为
.
【小题3】证明：由（2）可知
对任意的
恒成立，
即
对任意的
恒成立，
则
对任意的
恒成立，
即
对任意的
恒成立.
令
，则
，
所以
，
，
，…，
，
所以
，
即
，
故
.
3．（2025 高三·全国·专题练习）已知函数
，
，直线
与
的图象
相切．
(1)求
的值；
(2)若方程
在
上有且仅有两个解
，求
的取值范围，并比较
与
的大小；
(3)若
，
，求证：
．
【答案】(1)
(2)
，
(3)证明见解析
【分析】（1）首先设切点为
，根据导数的几何意义构造方程组，解方程组即可求出参数的值；
（2）首先构造函数
，利用导数求得函数的单调性，然后根据零点存在定理构造不
等式组，求解不等式组即可求出参数的取值范围，最后根据根的范围，利用作差法比较
与
的大小.
（3）首先构造函数
（
），利用导数证明当
时，
，即当
时，
.利用证明的不等式可得当
，
时，
，进而得到
.
利用这个放缩不等式即可证明结论成立.
【详解】（1）设切点为
，则
，
，
由
，
15
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
得
，且
，
所以
，
．
（2）由
，得
．
令
，
则
．
在
上，
，
单调递减；
在
上，
，
单调递增．
要使
的图象在
上与轴有两个不同的交点，
则
，所以
，
此时
，故
的取值范围是
．
由此可知，方程
在
上有且仅有两个解
，满足
，
．
因为
，
所以
．
（3）令
（
），
，得：
在
上单调递增，
故当
时，
，即当
时，
，
故当
，
时，
，
所以
，
从而
．
题型5 三角函数与数列型
涉及到三角函数型不等式证明，证明思路和基础不等式导数证明思路一致，对于三角函数，主要是
正余弦，要充分利用正余弦函数的有界性。
1．（2025 高三·全国·专题练习）若存在正实数，对任意
，使得
，则称函数
在
上是一个 “
函数”．
16
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
(1)证明： 函数
在区间
上是一个 “
函数”；
(2)证明：
．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）由给定的定义，利用导数证明
及
在
上恒成立；
（2）利用（1）的信息及结论可得
在
上成立，取
，利用裂项相消法求
和推理得证.
【详解】（1）要证
在区间
上是一个“
函数”，
需证
时，
，
证明如下：
令
，求导得
，
令
，求导得
，
即
在
上单调递增，又
，
当
时，
，
在
上单调递减，
当
时，
，
在
上单调递增，
因此
，即
，
再令
，求导得
，
令
，求导得
，
当
或
时，
，则
在
上单调递增；
时，
，则
在
上单调递减，
又
，
，
，
当
时，
，
在
上单调递增，
当
时，
，
在
上单调递减，
因此
，即
，
综上可得：
17
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
即函数
在区间
上是一个 “
函数”．
（2）当
，则
，由（1）知
且
，则
，
因此
，即当
时，
，
令
，
，
则
，
所以
．
2．（24-25 高二下·安徽合肥·期末）已知双曲正弦函数
，双曲余弦函数
．
(1)求双曲正弦函数
在
处的切线方程；
(2)证明：当
时，
；
(3)证明：
．
【答案】(1)
；
(2)证明见解析；
(3)证明见解析.
【分析】（1）直接求导得
，
，则得到切线方程；
（2）方法一：令
，求导得到单调性即可证明；方法二：首先证明当
时，
，令
，证明其单调性即可证明；
（3）首先利用导数证明
，令
，代入得到相关不等式组，累加得
，再根据（2）得到
，最后即可证明原不等式.
【详解】（1）由已知，
，
所以
，
又
，所以，切线方程为
．
（2）方法一：令
，
则
，
18
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
，当且仅当
，即
时，等号成立，
所以
，所以
在
上单调递增，
所以
，
所以当
时，
成立．
方法二：先证：当
时，
，
令
，则
，
，当且仅当
，即
时，等号成立，
所以
，所以
在
上单调递增，
所以
，
所以当
时，
成立．
再证：当
时，
，
令
，则
，
因此
在
上单调递增；
所以
，故
．
综上，当
时，
．
（3）先证：
，令
，
则
，令
，则
，
在
上单调递增，
，
即
在
上单调递增，
，
，当
时取等号，
即
，
令
，则
，
当
时，
，
即
，
则有：
，
相加可得：
，
因为
，则
，所以
，
即
．
又由（2）知，当
时，
．
19
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
所以，
．
所以，
.
3．（24-25 高二下·四川南充·期末）已知函数
（为自然对数的底数），
.
(1)求函数
在区间
上的最值；
(2)若对
，求证：
；
(3)求证：
.
【答案】(1)最大值为
，最小值为；
(2)证明见解析；
(3)证明见解析.
【分析】（1）求导，根据导数判断函数在区间
上单调性，进而可求得最值；
（2）证明
，通过构造函数，利用导数分析最值即可证得结论成立；
（3）令
，由（2）得
，再借助
放缩，得证
.
【详解】（1）对函数
求导可得
，
令
，则
，
当
时，
，
由正弦函数性质可知，当
，即
，
，
当
，即
，
，
因为
，所以
时，
，
时，
，
即函数
在区间
单调递增，在区间
上单调递减，
而
，
，
，
所以函数
的最大值为
，最小值为；
（2）要证
，只需要证明
，其中
，
设
，
，
20
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
设
，
因为函数
、
在
上均为减函数，
则
在区间
内单调递减
因为
，
，所以，
，使得
，
当
时，
；当
时，
.
所以
在区间
内单调递增，在区间
内单调递减
又因为
，
，
，
，使得
，
当
时，
；当
时，
.
所以
在区间
内单调递增，在区间
内单调递减.
因为
，
，
所以
在区间
内恒成立，
即对
，
成立；
（3）令
，所以
，
所以
，
，
，…，
，
所以
.
对
，
，所以
，
所以
，
所以
得证.
21
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
题型6 隐零点型
虚设零点法：
涉及到导函数有零点但是求解相对比较繁杂甚至无法求解的情形时，可以将这个零点只设出来而不必求出来，然后寻找
一种整体的转换和过度，再结合其他条件，进行代换变形，从而最重获得问题的解决
1．（23-24 高三上·重庆沙坪坝·阶段练习）已知函数
,
.
(1)判断
的单调性;
(2)若
, 求证:
,其中e 是自然对数的底数.
【答案】(1)
在
上单调递减，在
上单调递增．
(2)证明见详解
【分析】（1）求导，由导数的正负即可求解函数的单调性，
（2）构造函数
，利用导数求解函数的单调性，即可求解最值，进而可证明.
【详解】（1）函数
的定义域为
，
，
当
时，
，当
，
；
故
在
上单调递减，在
上单调递增．
（2）证明：令
，则
，
令
，则
，显然
在
上单调递增．
又
，
，故存在唯一的
，使得
．
从而
在
上单调递减，在
上单调递增，
，
又
，两边取对数得
，故
，
，
故
在
上单调递增，所以
，得证．
2．（23-24 高三上·陕西安康·阶段练习）已知函数
.
(1)讨论函数
的单调性；
(2)当
时，令
，若
为
的极大值点，证明：
.
【答案】(1)答案见解析；
(2)证明见解析.
【分析】（1）对参数分类讨论，根据不同情况下导函数函数值的正负，即可判断单调性；
（2）利用导数判断
的单调性，求得
的范围，满足的条件，以及
，根据
的范围夹逼
的范围即可.
【详解】（1）函数
的定义域为
，
①当
时，
，函数
在
上单调递增；
②当
时，由
，得
，由
，得
，
所以，函数
在
上单调递增，在
上单调递减.
22
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
综上，当
时，函数
在
上单调递增；当
时，函数
在
上单调递增，在
上单调递减.
（2）当
时，
，
设
，则
，
当
时，
，所以
在
上单调递增，
又
，
所以存在
，使得
，
且当
；
又当
；
故当
，
；当
，
；当
，
所以
在
上单调递增，在
上单调递减，在
上单调递增，
所以当
时，
取得极大值，故
，
且
，所以
，
，
又
在
单调递减，所以
.
【点睛】关键点点睛：本题考察含参函数单调性的讨论，以及导数中的隐零点问题；处理问题的关键是能
够准确分析
的单调性，以及求得隐零点的范围以及满足的条件，属综合中档题.
3．（2024·广东广州·二模）已知函数
．
(1)讨论
的零点个数；
(2)若
存在两个极值点，记
为
的极大值点，
为
的零点，证明：
．
【答案】(1)答案见解析
(2)证明见解析.
【分析】（1）将问题转化成讨论
与
的交点个数，利用导数研究函数
的单调性，从
而结合图象得到答案；
（2）分类讨论，利用导数研究函数
的单调性，从而判断函数的极值点和零点，依次
证明不等式．
【详解】（1）因为
，
当
时，
，此时
有一个零点；
当
时，
，所以
不是函数
的零点，
令
，
23
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
故只需讨论
与
的交点个数即可，
，
因为
，
所以
在
和
上单调递减，在
上单调递增，
，
且
时，
，
且
时，
，
所以
的大致图象如图所示：
故当
与
有一个交点，
当
时，
与
有2 个交点；
综上，
时，函数
有1 个零点，当
时，函数
有2 个零点．
（2）函数
，
当
时，
，所以函数
只有一个极值点，不满足条件；
当
时，
，所以函数
无极值点；
当
时，
，令
得
或
；令
得
，
所以函数
在
上单调递增，在
上单调递减，在
上单调递增，此时
，
因为
，
时，
，
所以函数
在
上无零点，在
上有一个零点
，
所以
；
当
时，
，令
得
或
；令
得
，
所以函数
在
上单调递增，在
上单调递减，在
上单调递增，此时
24
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
，
因为
时，
，
，
所以函数
在
上有一个零点
，且
，
所以
，
综上，
．
【点睛】关键点点睛：零点可理解为两函数的交点的横坐标，在求解时可分析单调性和极值，数形结合求
解.
题型7 极值点偏移型
极值点偏移多有零点这个条件。零点型，注意数形结合思想的应用：
1. 零点是否是特殊值，或者在某个确定的区间之内。
2. 零点是否可以通过构造零点方程，进行迭代或者转化。
3. 将方程根的判定转化为函数的单调性问题处理.
1．（22-23 高三上·云南·阶段练习）已知函数
，
．
(1)若
，求的取值范围；
(2)证明：若存在
，
，使得
，则
．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）求出函数的导数后可得函数的单调性，结合单调性可求最大值，从而可求参数的取值范围.
（2）利用极值点偏移可证
，结合不等式放缩可证
.
【详解】（1）
，
，令
，解得
，
所以当
时，
，
在
上单调递增；
当
时，
，
在
单调递减，
所以
，要使
，则有
，而
，故
，
所以
的取值范围为
．
（2）证明：当
时，由（1）知，当
时，
单调递增；
当
时，
单调递减，
25
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
设
，所以
，
，
①若
，则
，成立；
②若
，先证
，此时
，
要证
，即证
，即
，
，
令
，
，
，
所以
在(1,2)上单调递增，所以
，
即
，
，所以
，
因为
，
，所以
，
即
．
【点睛】思路点睛：对于导数中的多变量的不等式问题，应该根据要证明的不等式合理构建新的不等式，
而后者可借助极值点偏移来处理，注意前者在构建的过程中可利用一些常见的不等式来处理.
2．（22-23 高三上·江苏南通·期中）已知
，其极小值为-4.
(1)求
的值；
(2)若关于
的方程
在
上有两个不相等的实数根
，
，求证：
.
【答案】(1)3
(2)证明见解析
【分析】（1）求导，分
、
和
三种情况求
的极小值，列方程求解即可；
（2）构造函数
，根据
的单调性和
得到
，
再结合
和
的单调性即可得到
；设
，通过比较
和
的大
小关系得到
，
，再结合
即可得到
.
【详解】（1）因为
，所以
.
当
时，
，
所以
单调递增，没有极值，舍去.
当
时，在区间
上，
，
单调递增，
在区间
上，
，
单调递减，
在区间
上，
，
单调递增，
所以当
时，
的极小值为
，舍去
当
时，在区间
上，
，
单调递增，
在区间
上，
，
单调递减，
在区间
上，
，
单调递增，
所以当
时，
的极小值为
.
26
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
所以
.
（2）由（1）知，在区间
上，
，
单调递增，
在区间
上，
，
单调递减，
在区间
上，
，
单调递增，
所以不妨设
.
下面先证
.
即证
，因为
，所以
，
又因为区间
上，
单调递减，
只要证
，又因为
，
只要证
，只要证
.
设
，
则
，
所以
单调递增，
所以
，所以
.
下面证
.
设
，因为
，
在区间
上，
；在区间
上，
.
设
，
，因为
，
所以
，所以
.
设
，
，因为
，
所以
，所以
.
因为
，所以
，
所以
.
【点睛】极值点偏移问题中（极值点为
），证明
或
的方法：
①构造
，
②确定
的单调性，
③结合特殊值得到
或
，再利用
，得到
与
的大小关系，
④利用
的单调性即可得到
或
.
3．（22-23 高三上·全国·阶段练习）已知函数
（
且
）.
(1)若函数
的最小值为2，求的值；
(2)在（1）的条件下，若关于的方程
有两个不同的实数根
，且
，求证：
.
【答案】(1)
(2)证明见解析
27
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
【分析】（1）由题知
，再根据
和
时的情况求解函数最小值即可得答案；
（2）方法一：根据题意得
，进而令
得
，
再令
，求函数最小值即可；
方法二：由题知方程
有两个不同的实数根
，
，
，
进而根据极值点偏移问题求解即可.
【详解】（1）解：因为
，
，
所以
，
.
当
时，有
，所以函数
在
上单调递增，所以函数
不存在最小值；
所以
不合题意，故
.
当
时，令
，得
.
当
时，
，函数
在
上单调递减；
当
时，
，函数
在
上单调递增.
所以
，解得
.
所以，
的值为
.
（2）解：方法一：
由（1）知，
，
.
因为
为方程
的两个不同的实数根，
所以
①；
②.
①－②得：
，即
，
所以
，
令
，有
，
所以
，从而得
.
令
，则
，
所以函数
在
上单调递增，即
，
即
，又
，
28
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
所以
，
恒成立，即
，得证.
方法二：
由（1）知，
，
.
因为
为方程
的两个不同的实数根，
所以
，即方程
有两个不同的实数根
.
令
，
，则
，
.
令
，得
.
当
时，
，所以
在
上单调递减；
当
时，
，所以
在
上单调递增.
因为
，
所以
.
令
，
，
则
.
所以
在
上单调递减，所以
，即
.
所以
，所以
.
又
在
上单调递增，所以
.即
，得证.
【点睛】关键点点睛：本题第二问解题的关键在于由
，结合
得到
，再根据函数
的性质得
，进而证明结论；
题型8 极值点偏移型(混合型）
处理极值点偏移问题中的类似于
的问题的基本步骤如下：
①求导确定
的单调性，得到
的范围；
②构造函数
，求导可得
恒正或恒负；
29
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
③得到
与
的大小关系后，将
置换为
；
④根据
与
的范围，结合
的单调性，可得
与
的大小关系，由此证得结论.
1．（20-21 高三·福建·阶段练习）已知函数
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)若
，且
，证明:
.
【答案】(1)答案见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）求导，分
，
两种情况，分别研究
的正负，即可得到
的单调性；（2）
将已知的方程两边同时取对数，得到
，由
进行分析，利用（1）中的结论，不妨令
，分
或
两种情况求解，构造函数
，利用导数研究其性质，结
合不等式的性质及基本不等式，即可证明.
【详解】（1）
当
时，
，
， 所以
单调递增；
，
， 所以
单调递减；
当
时，
，
所以
单调递减；
，
所以
单调递增；
（2）证明：
， ∴
，
即当
时，
由（1）可知，此时
是
的极大值点，因此不妨令
要证
，即证：
①当
时，
成立；
②当
时
先证
此时
要证
，即证：
，即
，即
即：
①
令
，
∴
∴
在区间
上单调递增
∴
，∴①式得证.
∴
30
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
∵
，
∴
∴
∴
2．（21-22 高二下·广东佛山·期末）已知函数
，其中
．
(1)若
，求
的极值：
(2)令函数
，若存在
，
使得
，证明：
．
【答案】(1)极小值为
，无极大值.
(2)证明见解析
【分析】（1）求出函数的导函数，即可得到函数的单调区间，从而求出函数的极值；
（2）依题意可得
，令
，则上述函数变形为
，利用导数说明
的单调性，即可得到存在
、
，使得
，再根据
的单调性，
可得
，再构造函数
，利用导数说明函数的单调性，即可证明；
【详解】（1）解：当
时
，
，
所以
，
当
时，
，
，所以
，
当
时，
，
，所以
，
所以
在
上单调递减，在
上单调递增，
所以
的极小值为
，无极大值.
（2）证明：
，
令
，则上述函数变形为
，
对于
，
，则
，即
在
上单调递增，
所以若存在
，
使得
，则存在对应的
、
，
使得
，
对于
，则
，因为
，所以当
时
，当
时
，
即
在
上单调递减，在
上单调递增，所以
为函数
的唯一极小值点，
所以
，则
，
令
，则
，
所以
在
上单调递减，所以
，
即
，又
，所以
，
又
的单调性可知
，即有
成立，
所以
.
【点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成
立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极
(最)值问题处理．
3．（2022·山东·模拟预测）已知函数
.
31
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
(1)若
有两个零点，
的取值范围；
(2)若方程
有两个实根
、
，且
，证明：
.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）分析可知
，由参变量分离法可知直线
与函数
的图象有两个交点，利用
导数分析函数
的单调性与极值，数形结合可求得实数的取值范围；
（2）令
，其中
，令
，
，分析可知关于的方程
也有两个实根、
，且
，设
，将所求不等式等价变形为
，令
，即证
，
令
，其中
，利用导数分析函数
的单调性，即可证得结论成立.
【详解】（1）解：函数
的定义域为
.
当
时，函数
无零点，不合乎题意，所以，
，
由
可得
，
构造函数
，其中
，所以，直线
与函数
的图象有两个交点，
，由
可得
，列表如下：
增
极大值
减
所以，函数
的极大值为
，如下图所示：
且当
时，
，
由图可知，当
时，即当
时，直线
与函数
的图象有两个交点，
32
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
故实数
的取值范围是
.
（2）证明：因为
，则
，
令
，其中
，则有
，
，所以，函数
在
上单调递增，
因为方程
有两个实根
、
，令
，
，
则关于的方程
也有两个实根、
，且
，
要证
，即证
，即证
，即证
，
由已知
，所以，
，整理可得
，
不妨设
，即证
，即证
，
令
，即证
，其中
，
构造函数
，其中
，
，所以，函数
在
上单调递增，
当
时，
，故原不等式成立.
题型9 双变量型
1．（24-25 高二下·福建福州·期中）已知函数
，其中
.
(1)当
时，求出函数
的极值并判断方程
的解的个数；
(2)当
时，证明：对于任意的实数
，都有
.
【答案】(1)答案见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）求出导函数及函数的单调区间，然后利用极值的概念求解即可；将方程
解的个数
转化为
与
交点的个数，根据函数
的单调性及零点作出函数示意图，数形结合即可
求解；
（2）将所证不等式等价转化为证明
，令
，
，设
，多次求导研究其单调性，即可证明.
33
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
【详解】（1）当
时，
，则
，
当
时
；当
时
，
故
在
上单调递减，在
上单调递增，
所以当
时，函数
有极小值
，无极大值.
方程
解的个数，转化为
与
交点的个数，
由于
在
上单调递减，在
上单调递增，
所以
，
令
，解得
.且
时，
；
时，
，
所以，当
时，方程有0 个解，
当
或
时，方程有1 个解，
当
时，方程有2 个解.
（2）要证
，
不妨设
，即证
，
两边同时除以
并化简，即证
，
令
，则
，设
，
，令
，则
在
上恒成立，
得
在
上单调递增，
故
，故
在
上单调递增.
所以
，从而命题得证.
2．（24-25 高二下·天津·期末）已知函数：
．
(1)若当
时，
恒成立；求实数a 的取值范围；
(2)若关于x 的方程
有两个不同实数根
；且
，
（i）求实数a 的取值范围；
34
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
（ii）求证：
．
【答案】(1)
(2)（i）
；（ii）证明见解析
【分析】（1）利用不等式分离参变量，再构造函数求导判断单调性来求最大值，即可得参数范围；
（2）（i）利用等式分离参变量，再构造函数求导判断单调性来求作出函数图象，从而可得参数范围；
（ii）利用（1）来证明
，从而把二元不等式化为一元不等式，再利用函数求导证明单调性求最大
值即可.
【详解】（1）若当
时，
恒成立，
即
恒成立，即
在
上恒成立，
令
，则
所以当
时，
单调递增，
当
时
单调递减，
所以
，所以
，即a 的取值范围是
．
（2）（i）若关于x 的方程
有两个不同实数根
，
即
有两个不同实数根
，
等价于
与
的图象有两个交点，
因为
，
所以当
和
时，
，
单调递增，
当
时，
，
单调递减，
且当
时，
，当
时，
，
所以
，作出函数
的图象：
所以直线
与
的图象有两个交点的a 的取值范围是
．
（ii）方法（一）由（i）知，
，由（1）知，
35
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
因为
，所以
，
设
的根为
，即
，所以
，
从而
，所以
，
令
，则
，
所以当
时，
单调递增，
从而
，从而
．
（ii）方法（二）由（i）知，
，构造函数
则
令
则
再令
，
所以当
时，
，从而
单调递增，
因为
，
所以存在
，满足
，
此时当
时，
在
上单调递减，
当
时，
在
上单调递增，
又因为
所以存在
满足
当
时，
，
在
上单调递增，
当
时，
在
上单调递减，
又
，所以在
上
恒成立，
即
， 设
的根为
，即
，
则
，从而有
，
又由
得，
，从而
，
又由（1）知，
，设
的根为
，即
所以
，从而
，所以
．
36
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
3．（24-25 高二下·黑龙江·期末）已知函数
(1)设函数
，不等式
对任意的
恒成立，求的取值范围．
(2)若
有两个极值点
.
（i）求
的取值范围；
（ii）求证：
.
【答案】(1)
(2)（i）
；（ii）证明见解析
【分析】（1）代入然后求导，对
，
讨论判断；
（2）（i）法一：等价转化方程
有两个不同的变号根
等价
有两个不同的根，然后构
建函数
研究性质即可；法二：直接求导
，然后利用二阶导，求出最小值判断
即可；（ii）构建函数
，然后求导可判断
，然后构建函数
，可知
，最后可得结果.
【详解】（1）由
，得
，
，
当
时，
，
，
在
上单调递增，
所以
，不等式恒成立；
当
时，
，当
时，
，
所以
在
上单调递减，
，与已知不等式矛盾.
故
；
（2）（i）法一：由
（
），求导得
，
由题意得方程
有两个不同的变号根
，
即：
有两个不同的根，
设
，则
，
当
时，
，则
在
上单调递减；
当
时，
，则
在
上单调递增，所以
，
又
时，
；
时，
，所以
.
法二：由
，求导可得
，令
，
由题意得函数
存在两个不同的变号零点
，则
，
令
，解得
，当
时，
，则
在
上单调递减；
当
时，
，则
在
上单调递增，所以
，
当
，即
时，
不合题意；
当
时，由
，
令
，求导可得
，
当
时，
，则
在
上单调递增，
37
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
所以
，则
，
由
，则当
时，函数
存在两个不同的变号零点，
可得
，解得
.
（ii）证明：由（i）知：
为方程
的两个不等的实根，不妨设
，
令
，
求导可得
，由
，当且仅当
时取等号，则
，
所以函数
在
上单调递增，由
，则当
时
，可得
，
由
，且
在
上单调递减，
则
，可得
；
由当
时，
，则函数
在
上单调递减，
由
，则
，所以
，
要证
，只需证
，由
，
则令
，求导可得
，令
，
则
，所以函数
在
上单调递增，
，
则当
时，
，即
，
所以函数
在
上单调递增，又
，
则当
时，
，
所以不等式
在
上恒成立，可得
。
综上所述，
.
题型10 换元型
1．（2025 高三·全国·专题练习）已知函数
．
(1)若
，设
分别在抛物线
与曲线
上，且
轴，求
的最小值；
(2)设
是
的两个极值点，证明：
．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据题意作出图形，从而可得
，再构造函数
，
利用导数即可求出最值，即可求解.
（2）由题意可得
，化简得
，结合题意不妨设
，要证
38
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
，只需证
，即证
，再令
，，即证
，再令
，再构造函数
，利用
导数从而可求得
，从而可求解证明.
【详解】（1）当
时，
．
设
，因为
轴，所以
，且
．
则
，
令
，则
，
所以当
时，
单调递减；
当
时，
单调递增．
故当
时，
取得最小值，最小值为
，
即
的最小值为
．
（2）由
的定义域为
，求导得
．
因为
是
的两个极值点，所以
，
即
，
，
则
（*），
不妨设
，要证
，
只需证
，
将（*）式代入整理得
，
令
，即证
，令
，即证
，
39
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
令
，则
，
所以
在
上单调递增，所以
，原不等式得证．
2．（2025 高三·全国·专题练习）已知函数
有且只有一个零点．
(1)求
的值；
(2)设函数
，对任意的
，求证：不等式
恒成立．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）先求函数的导数，并确定函数的定义域，然后求函数的极值点，并确定极值点两侧的单调
性，分析最值，根据单调性和最值可得；
（2）先求得函数
，设
，采用分析法，将不等式进行化简，并通过换元设
，
对所证不等式进行整理，并设新的函数
，根据导数讨论函数的单调性和最值得证．
【详解】（1）
的定义域为
，
．
由
，得
．
∵ 当
时，
则
在区间
上是增函数，
当
时，
，
在区间
上是减函数，
∴
在
处取得极大值也为最大值．
由题意知
，解得
．
（2）由（1）知
，不妨设
，
则要证明
，
只需证
，
即
，
即证
．
设
，则只需证明
，化简得
．
设
，则
，∴
在
上单调递增，
∴
，即
，得证．
故原不等式恒成立．
3．（24-25 高三下·山西大同·期末）已知函数
．
40
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
(1)若曲线
在点
处的切线与直线
平行，求实数a 的值；
(2)讨论函数
的单调性；
(3)若
，求证：
．
【答案】(1)1；
(2)答案见解析；
(3)证明见解析.
【分析】（1）应用导数的几何意义及已知平行关系有
，求参数值即可；
（2）由（1）令
，讨论
、
、
，结合二次函数的性质确定
的符号，进而确定
的单调性；
（3）由题设得
，令
，得
，将问题化为证明
，结合（2）
即可证.
【详解】（1）
的定义域为
，
，所以
，
依题意有
，即
，解得
，此时
，
所以曲线
在点
处的切线方程为
，与
平行．
所以实数a 的值为1．
（2）令
，方程
的判别式
．
若
，即
，
恒成立，
即对任意
，
，所以
在
上单调递增；
若
，即
或
，
当
时，
在
上恒成立，
即对任意
，
，所以
在
上单调递增；
当
时，令
，得
或
；
令
，得
．
在
上，
；在
上，
．
所以
在
，
上单调递增，在
上单调递减．
综上，
当
时，
在定义域
上单调递增；
当
时，
在区间
上单调递减，在区间
，
上单
调递增．
（3）由
整理可得
，
因为
，
，所以
，因此
，
41
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
因为
，所以
，
令
，则
，所以
，
，
所以
，
要证
，需证
，即证
，即
，
由（2）知
时，
在
上单调递增，所以
时，
，
所以
，所以
．
题型11 韦达定理型
利用韦达定理证明不等式
1.题干条件大多数是与函数额极值x1，x2 有关。
2.利用韦达定理代换：可以消去参数
1．（23-24 高二下·江苏镇江·期末）已知
．
(1)若曲线
在
处的切线与
垂直，求实数a 的值；
(2)若函数
存在两个不同的极值点
，
，求证：
．
【答案】(1)
；
(2)证明见解析.
【分析】（1）由导数的几何意义可得
，即可解得实数的值；
（2）函数
在定义域上有两个极值
，
等价于
在
上有两个不相等的根
，
解不等式组
，求得的范围，化简得到
，再构造
，
利用导数证明
即得.
【详解】（1）
的定义域为
，且
，
因为曲线
在点
处的切线与直线
垂直.
所以
，解得
．
42
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
（2）由题意可得
，
，
因为函数
有两个极值点
，
，
即
在
上有两个不等实根
，
，
则
，
，
由题意得
，解得
.
则
令
，其中
，
，
，
，故
在
上单调递减；
所以
，即
，
故
得证．
2．（24-25 高二下·山东临沂·期末）已知函数
.
(1)当
时，求
在
处的切线方程；
(2)当
的最大值为0 时，求；
(3)当
时，正实数
满足
，证明：
.
【答案】(1)
(2)
(3)证明过程见解析
【分析】（1）只需求得
即可得解；
（2）分析得知
的最大值为
，其中
，说明
即可求
解；
（3）利用导数说明
，结合已知得
43
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
，结合
是正实数即可得证.
【详解】（1）当
时，
，求导得
，
所以
，
故所求为
；
（2）
，求导得
，
若
，则
恒成立，
这意味着此时
在
上单调递增，但这与
的最大值为0 矛盾，
故
，
当
时，
，
，
所以
在
上单调递增，在
上单调递减，
记
，则
所以
的最大值为
，
设
，
因为
都是增函数，
所以
是增函数，
注意到
，
所以
，解得
，
综上所述，当
的最大值为0 时，
；
（3）当
时，正实数
满足
，
即
，
进一步变形得
，
令
，求导得
，
，
，
所以
在
上单调递增，在
上单调递减，
所以
，
所以
，
44
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
解得
或
，
但由于
都是正实数，
所以
.
3．（2025·安徽合肥·模拟预测）已知函数
.
(1)当
时，求曲线
在点
处的切线方程；
(2)若函数
有两个极值点
，求实数
的取值范围，并证明
.
【答案】(1)
(2)
，证明见解析
【分析】（1）先求出函数在某点的导数得到切线斜率，再结合该点坐标求出切线方程；
（2）通过求导分析导数的正负来确定函数的单调性，进而根据判别式判断极值点的情况，最后求出函数
在极值点处的取值范围.
【详解】（1）当
时，
，则
，
所以曲线
在点
处的切线方程为
，即
.
（2）
，记
，则
当
即
时，
恒成立，故此时
无极值点.
当
即
时，令
，得
由
知
，则
当
时，
；当
时，
；当
时，
，
故
是函数
的两个极值点，从而实数
的取值范围是
.
由
，即
，即
，
所以
，
令
，则
，
所以
在
上单调递增，从而
，
所以
.
题型12 两个零点与不等式:
两个零点型求参：
45
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
两个零点型，比较复杂，多数为所求区间内为“类二次函数型”，所以需要求极值点，还需要“内点型找
点”。
在处理数据时，可以适当放缩构造：
1.是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；
2.构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.
1.（2023·山西·模拟预测）已知函数
.
(1)若
，求实数的取值范围；
(2)若
有2 个不同的零点
（
），求证：
.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）求解函数定义域，参变分离得到
，构造
，利用导函数得到其单调
性，极值和最值情况，得到
；
（2）转化为
有2 个不同的实数根，构造
，得到其单调性，得到
，且
，求出
，换元后即证
，构造
，求导后得
到
在
上单调递增，
，得到证明.
【详解】（1）因为函数
的定义域为
，所以
成立，等价于
成立.
令
，则
，
令
，则
，所以
在
内单调递减，
又因为
，所以当
时，
，
单调递增；当
时，
，
单调递
减，
所以
在
处取极大值也是最大值.
因此
，即实数的取值范围为
.
（2）
有2 个不同的零点等价于
有2 个不同的实数根.
令
，则
，当
时，解得
.
所以当
时，
，
单调递增，
当
时，
，
单调递减，
所以
在
处取极大值为
.
又因为
，当
时，
，当
时，
.
且
时，
.
所以
，且
.
46
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
因为
是方程
的2 个不同实数根，即
.
将两式相除得
，
令
，则
，
，变形得
，
.
又因为
，
，因此要证
，只需证
.
因为
，所以只需证
，即证
.
因为
，即证
.
令
，则
，
所以
在
上单调递增，
，
即当
时，
成立，命题得证.
2.（2024 高二上·全国·专题练习）已知函数
．
(1)若
，求实数的取值范围；
(2)若
有2 个不同的零点
，求证：
．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）求解函数定义域，参变分离得到
，构造
，利用导函数得到其单调
性，极值和最值情况，得到
；
（2）转化为
有2 个不同的实数根，构造
，得到其单调性，得到
，且
，求出
，换元后即证
，构造
，求导后得
到
在
上单调递增，
，得到证明.
【详解】（1）因为函数
的定义域为
，所以
成立，等价于
成立.
令
，则
，
令
，则
，所以
在
内单调递减，
又因为
，所以当
时，
，
单调递增；当
时，
，
单调递
减，
47
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
所以
在
处取极大值也是最大值.
因此
，即实数的取值范围为
.
（2）
有2 个不同的零点等价于
有2 个不同的实数根.
令
，则
，当
时，解得
.
所以当
时，
，
单调递增，
当
时，
，
单调递减，
所以
在
处取极大值为
.
又因为
，当
时，
，当
时，
.
且
时，
.
所以
，且
.
因为
是方程
的2 个不同实数根，即
.
将两式相除得
，
令
，则
，
，变形得
，
.
又因为
，
，因此要证
，只需证
.
因为
，所以只需证
，即证
.
因为
，即证
.
令
，则
，
所以
在
上单调递增，
，
即当
时，
成立，命题得证.
3.（2024 高三·全国·专题练习）已知函数
.
（1）函数
的图象能否与
轴相切？若能与
轴相切，求实数的值；否则请说明理由；
（2）若函数
恰好有两个零点
、
，求证：
.
【答案】（1）能，
；（2）证明见解析.
【分析】（1）假设函数
的图象能与轴相切，设切点横坐标为
，根据题意可得
，求出
48
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
的值，即可得出结论；
（2）分析得出所证不等式等价于
，令
，构造函数
，利
用导数分析函数
在
上的单调性，证明
，即可说明所证不等式成立.
【详解】（1）假设函数
的图象能与轴相切，设切点横坐标为
，则
，
由题意可得
，解得
；
（2）证明：由题意得
，则
，所以
.
要证
，只需证
，只需证
.因为
，所以
，从而
.
只需证
，只需证
.设
，即证
.
设
，则
，
所以函数
在
上增函数，从而
，所以
.
题型13 三个零点不等式
1.（2023·云南·云南师大附中校考模拟预测）已知函数
，且
，
．
(1)讨论
的单调性；
(2)若
，函数
有三个零点
，
，
，且
，试比较
与2 的大
小，并说明理由．
【答案】(1)答案见解析(2)
，理由见解析
【分析】（1）分类讨论
与
，结合导数与函数的关系即可得解；
（2）观察式子先确定
，再利用转化法与换元法得到
，进而利用双变量处理方法
得到
，利用导数证得
，从而得解.
【详解】（1）由
，得
，又
，所以
，
49
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
则
，所以
，
．
当
时，令
，得
或
；令
，得
；
所以
在
和
上单调递增，在
上单调递减；
当
时，令
，得
；令
，得
或
；
所以
在
与
上单调递减，在
上单调递增．
（2）
，理由如下：
因为
，
由
，得
，解得
或
．
因为
，所以
，
，
是
的正根，则
，
又
，所以
，
，
两式相减得
．
令
，
，则
，得
，则
．
令
，则
，
所以
，
，可得
，
．
设
，则
，
再设
，则
，
所以
在
上为增函数，则
，
即
，则
在
上为增函数，
从而
，
所以
，即
，
所以
，即
．
【点睛】关键点睛：本题第2 小题的解决关键是利用换元法，将
转化为
，从而再利用导数处理双变量
的方法求解即可.
2.、（2023·广东广州·华南师大附中校考三模）已知函数
，
.
(1)讨论
零点的个数；
(2)当
时，若存在
，使得
，求证：
.
【答案】(1)
时，
有两个零点；
时，
没有零点；
时，
有一个零点；
(2)证明见详解.
50
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
【分析】（1）先求导函数
，然后分类讨论
的值，判断函数的单调性及极值、最值，
判断极值、最值与零的大小，结合零点存在性定理判断零点个数即可；
（2）先证
，再根据
转化为
，解不等式
得
，累加即可证明结论.
【详解】（1）
，所以
，
若
，由
，
，
即
在
上单调递增，在
上单调递减，故
，
若
，则
，此时函数无零点；
若
，
，此时函数只有一个零点；
若
，
，
时，
，
，
即
使得
，即此时函数有两个零点；
若
，由
或
，
，
即
在
和
上单调递增，在
上单调递减，故
在
处取得极大值，
而
，且
，
即
使得
，此时函数有且仅有一个零点；
若
，此时
恒成立，即
在
上单调递增，
，
即
使得
，此时函数有且仅有一个零点；
若
，由
或
，
，
即
在
和
上单调递增，在
上单调递减，故
在
处取得极大值
，
，
又
，
即
使得
，此时函数有且仅有一个零点；
综上所述：
时，
有两个零点；
时，
没有零点；
时，
有一个零点.
51
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
（2）当
时，由（1）任取
设
，
先证
，即证
，
设
，即
在定义域上单调递增，
故
，则
成立，
由
得：
所以
，
即
，
解得
，故
，证毕.
【点睛】思路点睛：第一问，求导后需要详细的分类讨论的值，判断函数的单调性，再根据单调性求函
数的极值、最值，判断极值、最值与零的大小，结合零点存在性定理判断零点个数，讨论需要不重不漏；
第二问，利用常用的不等式
得出
，
再放缩得
，
解不等式
得
，累加即可证明结论，通过整体思想将三个零点整
合，有较高的技巧性，需要多加积累思想方法.
3.（2023·河南·校联考模拟预测）已知定义在
上的函数
，其中
.
(1)若函数
存在极值，求实数的取值范围；
(2)设
存在三个零点
，其中
.
（i）求实数
的取值范围；
（ii）求证：
.
【答案】(1)
(2)（i）
；（ii）证明见解析
【分析】（1）对函数求导，根据导函数在定义域内的符号判断函数的单调性，进而求出极值即可；
（2）（i）将函数有三个零点转化为
除1 外还有两个零点.分类讨论使条件成立的的取
值范围即可；
52
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
（ii）结合（i）
可得
.将问题转化为证明不等式
恒成立，设
，利用函数的单调性即可证明.
【详解】（1）
，结合
，当
时，
恒成立，函数
在
上单调递增，此时不存在极值；当
时，若
时，
；若
时，
，
所以
在
上单调递减，在
上单调递增，此时
为函数的极小值点，此时存在极值，
故实数
的取值范围为
.
（2）易得
，（i）
，
设
，因为
，则
除1 外还有两个零点.
，令
，当
时，
在
恒成立，则
，所以
在
上单调递减，不满足，舍去；
当
时，
除1 外还有两个零点，则
不单调，所以
存在两个零点，所以
，解得
.当
时，设
的两个零点分别为
，则
，所以
.
当
时，
，则
单调递增；
当
时，
，则
单调递减；
当
时，
，则
单调递增，
又
，所以
，而
，且
，
，且
，所以存在
，使得
，
即
有3 个零点
.综上，实数
的取值范围为
.
（ii）证明：结合（i）因为
，
若
，则
，所以
.当
时，先证明不等式
恒成立，
设
，则
，所以函数
在
上单调
53
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
递增，于是
，即当
时，不等式
恒成立.由
，可得
，
因为
，所以
，即
，两边同除以
，
得
，即
，所以
.
结束
54
