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专题04 概率统计大题综合(新高考浙江专用)
一、解答题
1．（2023·浙江温州·乐清市知临中学校考模拟预测）某一个人在家里积极锻练，等步
长沿直线前后连续移步，从点A 出发，每次等可能地向前或向后移动一步．
(1)若此人共移动4 步，求此人回到点A 的概率；
(2)若此人共移动7 步到达点M，记A，M 两点的距离的步数为随机变量
，求
的分
布列和数学期望．
2．（2023·浙江温州·统考三模）某校开展“学习二十大，永远跟党走”网络知识竞赛.
每人可参加多轮答题活动，每轮答题情况互不影响.每轮比赛共有两组题，每组都有两
道题，只有第一组的两道题均答对，方可进行第二组答题，否则本轮答题结束.已知甲
同学第一组每道题答对的概率均为
，第二组每道题答对的概率均为
，两组题至少
答对3 题才可获得一枚纪念章.
(1)记甲同学在一轮比赛答对的题目数为
，请写出
的分布列，并求
；
(2)若甲同学进行了10 轮答题，试问获得多少枚纪念章的概率最大.
3．（2023·浙江·校联考模拟预测）某地区2016 至2022 年生活垃圾无害化处理量（单
位：万吨）如下表：
年份
2016
2017
2018
2019
202
0
2021
2022
年份代号x
1
2
3
4
5
6
7
生活垃圾无害化处理量y
3.9
4.3
4.6
5.4
5.8
6.2
6.9
(1)求y 关于x 的线性回归方程；
(2)根据（1）中的回归方程，分析过去七年该地区生活垃圾无害化处理的变化情况，并
预测该地区2024 年生活垃圾无害化处理量.
附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：
，
.参考数据
4．（2023·浙江·统考二模）第22 届国际足联世界杯于2022 年11 月20 日至12 月18 日
1
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在卡塔尔境内举行，并引起了一股风靡全球的足球热．为合理开展足球课程，某中学
随机抽取了60 名男生和40 名女生进行调查，结果如下：回答“不喜欢”的人数占总
人数的
，在回答“喜欢”的人中，女生人数是男生人数的
．
(1)请根据以上数据填写下面的2×2 列联表，并据此判断是否有99.9％的把握认为学生
对足球的喜爱情况与性别有关？
性
别
对足球的喜爱情况
合计
喜欢
不喜欢
女
生
男
生
合
计
(2)将上述调查的男、女生各自喜欢足球的比例视为概率．现对该校中的某班学生进行
调查，发现该班学生喜欢足球的人数占班级总人数的
，试估计该班女生所占的比例．
附：
，其中
．
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
5．（2023·浙江台州·统考二模）向日葵是常见的一种经济作物,种子常炒制为零食食用,
也可榨葵花籽油.但种植向日葵时会频繁地遇到空壳问题,其中开花期大气湿度是导致向
日葵空壳的一大主因.为找到向日葵空壳率与开花期大气湿度的关系,研究人员做了观察
试验,结果如下:
大气湿度x
45%
59%
66%
68%
69%
70%
72%
77%
80%
88%
空壳率y
18%
21%
25%
27%
26%
29%
31%
32%
33%
37%
(1)试求向日葵空壳率与大气湿度之间的回归直线方程;(回归直线方程的系数均保留两
位有效数字)
(2)某地大气湿度约为
时,试根据(1)中的回归直线方程推测空壳率大约为多少?
2
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附:经验回归方程系数:
,
,
,
,
,
.
6．（2023·浙江·校联考模拟预测）某学校组织“一带一路”知识竞赛，有A，B 两类
问题，每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，
若回答错误，则该同学比赛结束；若回答正确，则从另一类问题中再随机抽取一个问
题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束．A 类问题中的每个问题回答正确得
分，否则得0 分；B 类问题中的每个问题回答正确得
分，否则得0 分．已知学生甲能正确回答A 类问题的概率为
，
能正确回答B 类问题的概率为
，且能正确回答问题的概率与回答次序无关．
(1)若学生甲先回答A 类问题，
，
，
，
，记X 为学生甲的
累计得分，求X 的分布列和数学期望．
(2)从下面的两组条件中选择一组作为已知条件．学生甲应选择先回答哪类问题，使得
累计得分的数学期望最大？并证明你的结论．①
，
；②
，
．
7．（2023·浙江金华·统考模拟预测）某市阅读研究小组为了解该城市中学生阅读与语
文成绩的关系，在参加市中学生语文综合能力竞赛的各校学生中随机抽取了500 人进
行调查，并按学生成绩是否高于75 分（满分100 分）及周平均阅读时间是否少于10
小时，将调查结果整理成列联表.现统计出成绩不低于75 分的样本占样本总数的
，
周平均阅读时间少于10 小时的人数占样本总数的一半，而不低于75 分且周平均阅读
时间不少于10 小时的样本有100 人.
周平均阅读时
间
少于10 小时
周平均阅读时间
不少于10 小时
合计
75 分以下
3
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不低于75 分
100
合计
500
(1)根据所给数据，求出表格中和的值，并分析能否有
以上的把握认为语文成
绩与阅读时间是否有关；
(2)先从成绩不低于75 分的样本中按周平均阅读时间是否少于10 小时分层抽样抽取9
人进一步做问卷调查，然后从这9 人中再随机抽取3 人进行访谈，记抽取3 人中周平
均阅读时间不少于10 小时的人数为
，求
的分布列与均值.
参考公式及数据：
.
0.01
0.005
0.001
6.635
7.879
10.828
8．（2023·浙江·校联考模拟预测）鱼饼是许多浙南人心目中的白月光，作为伴手礼也
是首选.某市的鱼饼原材料严选新鲜东海野生鮸鱼，在传统手工技艺上结合现代技术研
发，每道工序都十分的考究.从原材料鮸鱼的筛选鱼骨的剔除独家配料的调制古法
､
､
､
工艺的制作至大厨精心烹制，经十余道工序匠心制作而成，新鲜出锅的鱼饼色净白，
鱼香浓，味鲜柔，口感细腻，弹柔相济，属纯正温州地方美味.
(1)某市质量技术检测科学研究院对某一批次的鱼饼进行检测，检测项目分别为菌落总
数氯霉素铝的残留量，而且这三个检测项目互不影响，鱼饼需要经过这三个项目检
､
､
测，只要有一项检测不合格就不允许上架售卖.已知这批次鱼饼菌落总数检测不合格的
概率为
，氯霉素检测不合格的概率为
，铝的残留量检测不合格的概率为
.
（i）求检测过程中，这批鱼饼不合格的概率；
（ii）求在已经通过菌落总数和氯霉素的检测项目的情况下，仍不允许上架售卖的概率；
(2)随着鱼饼市场的不断扩大.某市现针对鱼饼口感的满意度进行用户回访.统计了200 名
用户的数据，如下表：
年龄
满意程度
合计
满意
不满意
成人
80
20
100
儿童
40
60
100
4
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合计
120
80
200
依据小概率值
的独立性检验，能否认为年龄与满意程度有关联？
参考公式：
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
9．（2023·浙江绍兴·统考二模）某手机APP 公司对喜欢使用该APP 的用户年龄情况进
行调查，随机抽取了100 名喜欢使用该APP 的用户，年龄均在
周岁内，按照年
龄分组得到如下所示的样本频率分布直方图：
(1)根据频率分布直方图，估计使用该视频APP 用户的平均年龄的第
分位数（小数
点后保留2 位）；
(2)若所有用户年龄
近似服从正态分布
，其中
为样本平均数的估计值，
，试估计喜欢使用该APP 且年龄大于61 周岁的人数占所有喜欢使用该APP 的
比例；
(3)用样本的频率估计概率，从所有喜欢使用该APP 的用户中随机抽取8 名用户，用
表示这8 名用户中恰有
名用户的年龄在区间
岁的概率，求
取最大值时对应的
的值；
附：若随机变量
服从正态分布
，则：
10．（2023·浙江·校联考二模）某公司生产一种大件产品的日产为2 件，每件产品质量
5
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为一等的概率为0.5，二等的概率为0.4，若达不到一二级，则为不合格，且生产两件
､
产品品质结果相互独立.已知生产一件产品的利润如下表：
等级
一等
二等
三等
利润（万元/每件）
0.8
0.6
-0.3
(1)求生产两件产品中至少有一件一等品的概率；
(2)求该公司每天所获利润
（万元）的数学期望；
(3)若该工厂要增加日产能，公司工厂需引入设备及更新技术，但增加n 件产能，其成
本也将相应提升
（万元），假如你作为工厂决策者，你觉得该厂目前该不该增
产？请回答，并说明理由.（
）
11．（2023·浙江嘉兴·统考模拟预测）糟蛋是新鲜鸭蛋（或鸡蛋）用优质糯米糟制而成，
是中国别具一格的特色传统美食，以浙江平湖糟蛋、陕州糟蛋和四川宜宾糟蛋最为著
名.平湖糟蛋采用优质鸭蛋、上等糯米和酒糟糟渍而成，经过糟渍蛋壳脱落，只有一层
薄膜包住蛋体，其蛋白呈乳白色，蛋黄为橘红色，味道鲜美.糟蛋营养丰富，每百克中
约含蛋白质15.8 克、钙24.8 克、磷11.1 克、铁0.31 克，并含有维持人体新陈代谢必须
的18 种氨基酸.现有平湖糟蛋的两家生产工厂，产品按质量分为特级品、一级品和二级
品，其中特级品和一级品都是优等品，二级品为合格品.为了比较两家工厂的糟蛋质量，
分别从这两家工厂的产品中各选取了200 个糟蛋，产品质量情况统计如下表：
优等品
合格品
合计
特级品
一级
品
二级品
工厂
甲
100
75
25
200
工厂
乙
120
30
50
200
合计
220
105
75
400
(1)从400 个糟蛋中任取一个，记事件
表示取到的糟蛋是优等品，事件
表示取到的
6
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糟蛋来自于工厂甲.求
；
(2)依据小概率值
的独立性检验，从优等品与合格品的角度能否据此判断两家
工厂生产的糟蛋质量有差异？
附：参考公式：
，其中
.
独立性检验临界值表：
0.10
0.05
0.010
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
12．（2023·浙江嘉兴·校考模拟预测）“绿色出行，低碳环保”已成为新的时尚，近几
年国家相继出台了一系列的环保政策，在汽车行业提出了重点扶持新能源汽车的政策，
为新能源汽车行业的发展开辟了广阔的前景.某公司对A 充电桩进行生产投资，所获得
的利润有如下统计数据，并计算得
=30.
A 充电桩投资金额x/万元
3
4
6
7
9
10
所伏利润y/百万元
1.5
2
3
4.5
6
7
(1)已知可用一元线性回归模型拟合y 与x 的关系，求其经验回归方程；
(2)若规定所获利润y 与投资金额x 的比值不低于
，则称对应的投入额为“优秀投资
额”.记2 分，所获利润y 与投资金额x 的比值低于
且大于
，则称对应的投入额为
“良好投资额”，记1 分，所获利润y 与投资金额x 的比值不超过
，则称对应的投入
额为“不合格投资额”，记0 分，现从表中6 个投资金额中任意选2 个，用X 表示记
分之和，求X 的分布列及数学期望.
附：对于一组数据
，其回归直线方程
的斜率和截距
7
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的最小二乘法估计公式分别为
13．（2023·浙江·校联考三模）大坝是一座具有灌溉、防洪、发电、航运、养殖和游览
等综合效益的大型水利枢纽工程．为预测渗压值和控制库水位，工程师在水库选取一
支编号为
的渗压计，随机收集
个该渗压计管内水位和水库水位监测数据：
样本
号
总和
水库
水位
渗压
计管
内水
位
并计算得
，
，
．
(1)估计该水库中
号渗压计管内平均水位与水库的平均水位；
(2)求该水库
号渗压计管内水位与水库水位的样本相关系数（精确到
）；
(3)某天雨后工程师测量了水库水位，并得到水库的水位为
．利用以上数据给出此
时
号渗压计管内水位的估计值．
附：相关系数
，
，
，
．
14．（2023·浙江温州·统考二模）在一次全市的联考中，某校高三有100 位学生选择
“物化生”组合，100 位学生选择“物化地”组合，现从上述的学生中分层抽取100 人，
将他们此次联考的化学原始成绩作为样本，分为6 组：
，得到如图所示的频率分布直方图．
8
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(1)求直方图中
的值；
(2)在抽取的100 位学生中，规定原始成绩不低于80 分为“优秀”，低于80 分为“不
够优秀"，请将下面的
列联表补充完整，并判断是否有
的把握认为成绩是否优
秀与所选的组合有关？
优秀
不够优秀
总计
“物化生”
组合
40
“物化地”
组合
总计
(3)浙江省高考的选考科目采用等级赋分制，等级赋分的分差为1 分，具体操作步骤如
下：
第一步：将原始成绩从高到低排列，按人数比例划分为20 个赋分区间．
第二步：对每个区间的原始成绩进行等比例转换，公式为：
其中
分别是该区间原始成绩的最低分最高分；
､
分别是该区间等级分的最低
分最高分；
､
为某考生原始成绩，为转换结果．
第三步：将转换结果四舍五入，确定为该考生的最终等级分．
本次联考采用浙江选考等级赋分制，已知全市所有的考生原始成绩从高到低前
（最
低分为80 分）的考生被划分至
的赋分区间，甲乙两位考生的化学原始成绩分
､
别为
，最终的等级分为98､99．试问：本次联考全市化学原始成绩的最高分是否
可能是91 分？请说明理由．
附：
，其中
．
0.10
0.05
0.01
0.001
9
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2.706
3.841
6.635
10.828
15．（2023·浙江嘉兴·统考二模）为了解市某疾病的发病情况与年龄的关系，从市
疾控中心得到以下数据：
年龄段（岁）
发病率（‰）
0.09
0.18
0.30
0.40
0.53
(1)若将每个区间的中点数据记为
，对应的发病率记为
，根据这些数
据可以建立发病率
（‰）关于年龄
（岁）的经验回归方程
，求
；
附：
(2)医学研究表明，化验结果有可能出现差错.现有市某位居民，年龄在
表示
事件“该居民化验结果呈阳性”，
表示事件“该居民患有某疾病”.已知
，
，求
（结果精确到0.001）.
16．（2023·浙江杭州·统考一模）中国男篮历史上曾
次参加亚运会，其中次夺得金
牌，是亚运会夺冠次数最多的球队第
届亚运会将于
年月
日至
月日在
杭州举办．
(1)为了解喜爱篮球运动是否与性别有关，某学校随机抽取了男生和女生各
名进行
调查，得到
列联表如下：
喜爱篮球
不喜爱篮球合
计
男生
女生
合计
依据小概率值
的独立性检验，能否认为喜爱篮球运动与性别有关？
(2)校篮球队中的甲、乙、丙三名球员将进行传球训练，第次由甲将球传出，每次传
球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，如此不停地传下去，且
10
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假定每次传球都能被接到记开始传球的人为第次触球者，第
次触球者是甲的概率
记为
，即
．
（i）求
，
，并证明：
为等比数列；
（ii）比较第
次触球者是甲与第
次触球者是乙的概率的大小．
参考公式：
，其中
为样本容量．
参考数据：
17．（2023·浙江·统考二模）2023 年是全面贯彻落实党二十大精神的开局之年，也是
实施“十四五”规划承上启下的关键之年，今年春季以来，各地出台了促进经济发展
的各种措施，经济增长呈现稳中有进的可喜现象.服务业的消费越来越火爆，绍兴一些
超市也纷纷加大了广告促销.现随机抽取7 家超市，得到其广告支出x（单位：万元）
与销售额y（单位：万元）数据如下：
超市
A
B
C
D
E
F
G
广告支
出
1
2
4
6
1
0
13
20
销售额
19
32
44
40
5
2
53
54
(1)建立
关于
的一元线性回归方程（系数精确到0.01）；
(2)若将超市的销售额
与广告支出
的比值称为该超市的广告效率值
，当
时，
称该超市的广告为“好广告”.从这7 家超市中随机抽取4 家超市，记这4 家超市中
“好广告”的超市数为
，求
的分布列与期望.
附注：参考数据
，回归方程
中斜率和
11
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截距的最小二乘估计公式分别为：
.
18．（2023·校考模拟预测）杭州亚运会最终确定延期至2023 年9 月23 日至10 月8 日
举行，某校就此热点举办了一场迎亚运知识竞赛，将100 人的成绩整理成下表：
分
数
男
女
男
女
男
女
男
女
男
女
男
女
频
率
/
组
距
0.00
7
0.00
3
0.00
9
0.00
6
0.01
8
0.00
7
0.02
8
0.00
7
0.00
9
0.00
1
0.00
3
0.00
2
(1)从不低于70 分的学生中选出1 人，如果他是男生，求该学生成绩在80 分以上（含
80 分）的概率；
(2)已知某生成绩低于70 分，设该生成绩为
，求他的成绩
的分布列与期望；
(3)假设
表示事件“学校举办亚运知识培训”，
表示事件“某学生对亚运知识产生
兴趣”，
，一般来说在学校举办亚运知识培训的情况下学生对亚运知识产生
兴趣的概率会超过不举办培训的概率.证明：
.
19．（2023·浙江金华·模拟预测）全国 “两会”召开的一项重要意义在于将“两会代
表”从人民中得来的信息和要求进行收集及整理，传达给中央，“两会代表”代表着
广大选民的利益，代表选民在“两会”期间向政府有关部门提出选民的意见和要求．
下表是2011 年至2020 年历年全国政协提案的数量统计．
年份
2011
2012
2013
2014
2015
2016
201
7
2018
2019
2020
年份代码
x
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
提案数量
y
（单位：
千件）
5.762
6.069
5.641
5.875
5.857
5.769
5.21
5.36
5.488
5.044
(1)请用相关系数说明y 与x 之间的关系可否用线性回归模型拟合？若能，求y 关于x 的
一元线性回归方程；（运算结果精确到0.01）（若
，则线性相关程度很高，
可用直线拟合）
12
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(2)中央政府回应2020 年“两会”的热点议题“战胜疫情”，以令世界惊叹的中国速度、
中国效率和中国奇迹，社会各阶层、各行各业迅速投身战“疫”行动，团结共进、众
志成城．其中一个关键举措是2021 年全国各地全面展开的疫苗接种．为方便市民合理
安排疫苗接种，城市便民电子系统即时提供接种点相关信息，若某疫苗接种点上午和
下午接种疫苗分别需要等待20 分钟和40 分钟，而甲、乙市民均在某日接种疫苗，且
上午去接种疫苗的概率分别为
，要使两市民需要等待时间的总和的
期望值不超过60 分钟，求实数p 的取值范围．
参考公式：相关系数
，
．
参考数据：
．
20．（2023·浙江宁波·镇海中学校考模拟预测）浙江省是第一批新高考改革省份，取消
文理分科，变成必考科目和选考科目．其中必考科目是语文、数学、外语，选考科目
由考生在思想政治、历史、地理、物理、化学、生物、技术7 个科目中自主选择其中3
个科目参加等级性考试．为了调查学生对物理、化学、生物的选考情况，从镇海中学
高三在物理、化学、生物三个科目中至少选考一科的学生中随机抽取100 名学生进行
调查，他们选考物理、化学、生物的科目数及人数统计如表：
选考物理、化学、生物的科目数
1
2
3
人数
2
0
40
40
(1)从这100 名学生中任选2 名，求他们选考物理、化学、生物科目数相等的概率；
(2)从这100 名学生中任选2 名，记X 表示这2 名学生选考物理、化学、生物的科目数
之差的绝对值，求随机变量X 的数学期望；
(3)学校还调查了这100 位学生的性别情况，研究男女生中纯理科生大概的比例，得到
的数据如下表：（定文同时选考物理、化学、生物三科的学生为纯理科生）
13
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性别
纯理科
生
非纯理科生
总计
男性
30
女性
5
总计
100
请补齐表格，并说明依据小概率值
的独立性检验，能否认为同时选考物理、
化学、生物三科与学生性别有关．
参考公式：
，其中
．
附表：
0.10
0.05
0.010
0.001
2.706
3.841
6.635
10.828
21．（2023·浙江·校联考二模）甲、乙两个学校分别有
位同学和n 位同学参加某项
活动，假定所有同学成功的概率都是
，所有同学是否成功互不影响．记事件A＝
“甲成功次数比乙成功次数多一次”，事件B＝“甲成功次数等于乙成功次数”．
(1)若
，求事件A 发生的条件下，恰有5 位同学成功的概率；
(2)证明：
．
22．（2023·浙江·二模）小明是个爱存钱的小朋友.已知存钱罐里有1 元钱，从第1 天
开始，每天小明以
的概率往存钱罐中存入1 元钱，以
的概率从存钱罐中取出
元钱购买喜欢的玩具，这里
表示玩具在第
天的价格.假设小明在第
天取
钱购买玩具时，发现存钱罐中的钱不足够.
注：当
时，
，
.
(1)若
，求
；
(2)若
，且小明希望存钱罐中的钱不足能购买玩具时，存钱罐中剩余的钱越多
越好，那么小明应该提高还是减小取钱购买玩具的概率
，并给出理由.
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23．（2023·浙江·统考二模）为提升学生的人文素养，培养学生的文学学习兴趣，某学
校举办诗词竞答大赛．该竞赛由3 道必答题和3 道抢答题构成，必答题双方都需给出
答案，答对得1 分答错不得分；抢答题由抢到的一方作答，答对得2 分答错扣1 分．
两个环节结束后，累计总分高者获胜．由于学生普遍反映该赛制的公平性不足，所以
学校将进行赛制改革：调整为必答题4 道，抢答题2 道，且每题的分值不变．
(1)为测试新赛制对选手成绩的影响，该校选择甲、乙两位学生在两种赛制下分别作演
练，并统计双方的胜负情况．请根据已知信息补全以下
列联表，并根据列联表判
断是否有95%的把握认为获胜方与赛制有关？
旧赛
制
新赛制
合计
甲获胜
6
乙获胜
1
合计
10
20
(2)学生丙擅长抢答，已知丙抢到抢答题作答机会的概率为0.6，答对每道抢答题的概率
为0.8，答对每道必答题的概率为
，且每道题的作答情况相互独立．
（ⅰ）记丙在一道抢答题中的得分为
，求
的分布列与数学期望；
（ⅱ）已知学生丙在新、旧赛制下总得分的数学期望之差的绝对值不超过0.1 分，求
的取值范围．
附：
，其中
.
0.15
0.10
0.05
0.025
2.072
2.706
3.841
5.024
24．（2023·浙江宁波·统考二模）盲盒，是指消费者不能提前得知具体产品款式的玩具
盒子，具有随机属性．某品牌推出2 款盲盒套餐，A 款盲盒套餐包含4 款不同单品，且
必包含隐藏款X；B 款盲盒套餐包含2 款不同单品，有
的可能性出现隐藏款X．为
避免盲目购买与黄牛囤积，每人每天只能购买1 件盲盒套餐．开售第二日，销售门店
对80 名购买了套餐的消费者进行了问卷调查，得到如下列联表：
A 款盲盒套餐
B 款盲盒套餐
合计
年龄低于30 岁
18
30
48
15
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年龄不低于30 岁
22
10
32
合计
40
40
80
(1)根据
列联表，判断是否有
的把握认为A，B 款盲盒套餐的选择与年龄有关；
(2)甲、乙、丙三人每人购买1 件B 款盲盒套餐，记随机变量
为其中隐藏款X 的个数，
求
的分布列和数学期望；
(3)某消费者在开售首日与次日分别购买了A 款盲盒套餐与B 款盲盒套餐各1 件，并将
6 件单品全部打乱放在一起，从中随机抽取1 件打开后发现为隐藏款X，求该隐藏款来
自于B 款盲盒套餐的概率．
附：
，其中
，
P（
）
0.100
0.050
0.025
0.010
0.001
2.706
3.841
5.024
6.635
0.828
25．（2023·浙江绍兴·统考模拟预测）如图，是一块高尔顿板的示意图，在一块木板上
钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木块，小木块之间留有适当的空隙作为通
道，前面挡有一块玻璃，让一个小球从高尔顿板上方的通道口落下，小球在下落的过
程中与层层小木块碰撞，且等可能向左或向右滚下，最后掉入编号为
的球槽
内．用X 表示小球经过第7 层通过的空隙编号（从左向右的空隙编号依次为
），用Y 表示小球最后落入球槽的号码．
(1)若进行一次高尔顿板试验，求小球落入第7 层第3 个空隙处的概率；
(2)若放入80 个小球，求落入1 号球槽的小球个数Z 的均值与方差．
26．（2023·浙江金华·统考模拟预测）为迎接“五一小长假”的到来，某商场开展一项
促销活动，凡在商场消费金额满200 元的顾客可以免费抽奖一次，抽奖规则如下：在
不透明箱子中装有除颜色外其他都相同的10 个小球，其中，红球2 个，白球3 个，黄
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球5 个，顾客从箱子中依次不放回地摸出2 个球，根据摸出球的颜色情况分别进行兑
奖.将顾客摸出的2 个球的颜色分成以下四种情况：
：1 个红球1 个白球，
：2 个红
球，
：2 个白球，
：至少一个黄球.若四种情况按发生的概率从小到大的顺序分别
对应一等奖，二等奖，三等奖，不中奖.
(1)求顾客在某次抽奖中，第二个球摸到为红球的概率
(2)求顾客分别获一二三等奖时对应的概率；
､
､
(3)若三名顾客每人抽奖一次，且彼此是否中奖相互独立.记中奖的人数为
，求
的
分布列和期望.
27．（2023·浙江绍兴·统考模拟预测）为了拓展学生的知识面，提高学生对航空航天科
技的兴趣，培养学生良好的科学素养，某校组织学生参加航空航天科普知识答题竞赛.
每位参赛学生答题若干次，答题赋分的方法如下：第次答题，答对得
分，答错得
分：从第
次答题开始，答对则获得上一次答题得分的两倍，答错得
分.学生甲参
加答题竞赛，每次答对的概率为
，各次答题结果互不影响.
(1)求甲同学前次答题得分之和为
分的概率；
(2)在甲同学完成次答题，且第
次答题答对的条件下，求答题得分之和不大于
分
的概率；
(3)记甲同学第次答题所得分数
的数学期望为
，求
，并写出
与
满足的等量关系式（直接写出结果，不必证明）.
28．（2023·浙江·校联考模拟预测）在现实生活中，每个人都有一定的心理压力，压力
随着现代生活节奏的加快、社会竞争日趋激烈等逐渐增大.某市研究组为了解该市市民
压力的情况，随机邀请本市200 名市民进行心理压力测试评估，得到一个压力分值，
绘制如下样本数据频率分布直方图.
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(1)求
的值，并估计该市市民压力分值位于区间
的概率；
(2)估计该市市民压力分值的平均值；（同一组数据用该区间的中点值作代表）
(3)若市民的压力分值不低于70，则称为“高压市民”.研究组对“高压市民”按年龄段
进行研究，发现年龄在30 岁到50 岁的“高压市民”有35 人，年龄在30 岁到50 岁的
“非高压市民”有25 人，剩余“高压市民”的年龄分散在其它年龄段.为研究方便，记
年龄在30 岁到50 岁为年龄段
，其余为年龄段
.根据所给数据，完成下面的
列
联表，并判断是否有
的把握认为该市“高压市民”与其年龄在30 岁到50 岁有关.
压力
高压市民
非高压市民
年龄段A
年龄段B
附：
，其中
.
0.050
0.010
0.001
3.841
6.635
10.828
29．（2023·浙江杭州·统考二模）马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器
学习和人工智能的基石，在强化学习、自然语言处理、金融领域、天气预测等方面都
有着极其广泛的应用．其数学定义为：假设我们的序列状态是…，
，
，
，
，…，那么
时刻的状态的条件概率仅依赖前一状态
，即
．
现实生活中也存在着许多马尔科夫链，例如著名的赌徒模型．
假如一名赌徒进入赌场参与一个赌博游戏，每一局赌徒赌赢的概率为
，且每局赌
赢可以赢得1 元，每一局赌徒赌输的概率为
，且赌输就要输掉1 元．赌徒会一直
玩下去，直到遇到如下两种情况才会结束赌博游戏：一种是手中赌金为0 元，即赌徒
输光；一种是赌金达到预期的B 元，赌徒停止赌博．记赌徒的本金为
，
赌博过程如下图的数轴所示．
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当赌徒手中有n 元（
，
）时，最终输光的概率为
，请回答下列问
题：
(1)请直接写出
与
的数值．
(2)证明
是一个等差数列，并写出公差d．
(3)当
时，分别计算
，
时，
的数值，并结合实际，解释当
时，
的统计含义．
30．（2023·浙江绍兴·统考模拟预测）某同学进行投篮训练，已知该同学每次投中的概
率均为0.5.
(1)若该同学进行三次投篮，第一次投中得1 分，第二次投中得1 分，第三次投中得2
分，记
为三次总得分，求
的分布列及数学期望；
(2)已知当随机变量
服从二项分布
时，若
充分大，则随机变量
服从标准正态分布
.若保证投中的频率在0.4 与0.6 之间的概率不
低于
，求该同学至少要投多少次.
附：若
表示投篮的次数，
表示投中的次数，则投中的频率为
；若
，则
.
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