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高中数学必修一_第03讲_集合的基本运算
高中数学必修一·第03讲：集合的基本运算
集合的交、并、补运算，是后续学习不等式、函数定义域、概率统计等内容的重要基础。学好这一讲，关键不在于“记符号”，而在于准确判断元素“属于谁、同时属于谁、不属于谁”
一、并集：满足“或”的元素
集合A与集合B的并集，记作A∪B，表示属于A或属于B的所有元素：
A∪B=x。
这里的“或”是包含“且”的：
x只属于A、只属于B、同时属于A和B，都属于A∪B。
例如：
A=x，B=x，
则
A∪B=x=（-1，2]。
理解方法：并集就是“范围合起来”。
数轴题中，把两个集合对应的区域全部保留即可。
注意：集合元素具有互异性。
若A={1，2，3}，B={3，4}，则
A∪B={1，2，3，4}，
元素3只能写一次。
常用结论：
A∪B=B∪A；
A∪A=A；
A∪∅=A；
若A⊆B，则A∪B=B。
尤其要会反推：
A∪B=A ⇔ B⊆A；
A∪B=B ⇔ A⊆B。
二、交集：满足“且”的元素
集合A与集合B的交集，记作A∩B，表示同时属于A和B的所有公共元素：
A∩B=x。
例如：
A=-1，0，1，2}，B={x，
A中同时满足-1<x<2的元素是0，1，
所以
A∩B={0，1}。
理解方法：交集就是“重叠部分”。
数轴题中，交集对应两个区间共同覆盖的区域；不等式题中，交集就是解不等式组。
常用结论：
A∩B=B∩A；
A∩A=A；
A∩∅=∅；
A∩B⊆A，A∩B⊆B；
若A⊆B，则A∩B=A。
重点等价关系：
A∩B=A ⇔ A⊆B；
A∩B=B ⇔ B⊆A；
A∩B=∅ ⇔ A与B没有公共元素。
当A∩B=∅时，称A与B互斥。
三、全集与补集：研究范围外不讨论
全集记作U，指研究问题时所涉及的所有元素组成的集合。
例如，研究实数问题时，常取R为全集；研究整数问题时，常取Z为全集。
集合A在全集U中的补集记作∁UA或Aᶜ：
∁UA=x。
补集的核心是：在全集U中，把不属于A的元素找出来。
例如，U=R，
A=x，
则
∁UA=x
=(-∞，-1]∪（3，+∞）。
特别提醒：补集必须先确定全集。
同一个集合A，在不同全集下，补集可能完全不同。
补集的基本性质：
A∪∁UA=U；
A∩∁UA=∅；
∁U（∁UA）=A；
∁U∅=U；
∁UU=∅。
若A⊆B⊆U，则
∁UB⊆∁UA。
也就是说：原集合越大，补集反而越小。
四、德·摩根定律：去括号时“交并互换”
补集与交、并集混合运算时，要掌握德·摩根定律：
∁U（A∪B)=（∁UA）∩（∁UB）；
∁U（A∩B)=（∁UA）∪（∁UB）。
记忆口诀：
“补并变交，补交变并。”
注意：不仅运算符要改变，A、B都要分别取补集。
五、集合关系的高频转化
许多含参数集合题，表面上是在求交、并集，实质上是在判断子集关系。
看到以下形式，应立即转化：
A∩B=A ⇔ A⊆B；
A∪B=A ⇔ B⊆A；
A∩B=B ⇔ B⊆A；
A∪B=B ⇔ A⊆B。
例如，若题目给出A∪B=A，不必真的去求并集，直接得到B⊆A，再利用区间包含、方程根或元素逐一检验求参数。
六、含参数集合题的通用步骤
① 明确集合的元素是什么。
元素可能是数、点、有序实数对等，不能只看字母形式。
② 先把集合运算关系转化。
如A∩B=A转化为A⊆B，A∩B=∅转化为“没有公共元素”。
③ 必须关注空集。
空集是任何集合的子集。涉及B⊆A、A∩B=∅等条件时，常常需要讨论B=∅的情况。
④ 区间问题画数轴。
重点看左、右端点的位置，以及端点能否取到。
⑤ 方程表示集合时，要先判断根的情况。
特别是含参数二次方程，要注意二次项系数是否为0、是否有实根、是否有重根。
七、有限集合的子集个数
若有限集合A中有n个元素，则：
A的子集个数为2ⁿ；
A的非空子集个数为2ⁿ-1；
A的非空真子集个数为2ⁿ-2。
例如，若A∩B={5，6，7}，则A∩B有3个元素，其子集个数为：
2³=8。
八、易错提醒
并集看“或”，交集看“且”，不要混淆。
并集不是机械拼接，重复元素只能保留一次。
求补集必须写清全集U。
区间端点是否包含，要严格看“<”“≤”等符号。
A∩B=∅不代表A、B中一定有一个是空集，只表示二者没有公共元素。
A∩B=A时，是A⊆B；
A∪B=A时，是B⊆A。
交集保留谁，谁就是较小集合；并集等于谁，谁就是较大集合。解参数题时，不能漏掉集合为空集的情况。
集合中的元素具有互异性。由方程得到的重复根，在集合中只能算一个元素。
十、核心结论速记
A∪B=x；
A∩B=x；
∁UA=x；
A∩B=A ⇔ A⊆B；
A∪B=A ⇔ B⊆A；
A∩B=∅ ⇔ A与B互斥；
A∪∁UA=U；
A∩∁UA=∅；
∁U（A∪B)=（∁UA）∩（∁UB）；
∁U（A∩B)=（∁UA）∪（∁UB）。
掌握集合运算，最重要的是建立“范围意识”：并集取所有可能，交集取共同满足，补集取全集中剩余的部分。面对参数问题，优先转化为子集关系，再结合数轴、端点和空集分类讨论，解题会更清晰。