初中数学最值问题,很多孩子不是不会算,而是不知道第一步怎么想

草稿纸上就那么几笔：一个坐标系，两个点钉在纸上不动，还有一个点在x轴上来回滑。题目问的是，那个滑动的点走到哪儿，它到两个定点的距离加起来最短。

孩子随手把那个点放在一个位置上，两段长度算得又快又准，一步不差。可要问他哪个位置才是最短的那一个，笔就停了，草稿纸上再没有第二行字。

他缺的不是算，是动笔之前的那一下。

拿三道题来看，条件一道比一道多一点，都是学过轴对称、平移和勾股定理之后就能动手的。

先把点A翻到x轴下面去

把点A钉在(0,2)，点B钉在(6,4)，点P在x轴上随便滑，问PA加PB最短是多少。

第一步得先在图上分清三样东西：哪个点是钉死的，哪个点在哪条线上滑，要求的是哪几段。分完就看得出来，A和B都不动，P在x轴上，要的是从A到P再到B这条折线。

折线不好比，直线好比。所以真正要做的事，是想办法把这条折线拉直。

把A沿着x轴翻下去，落在(0,-2)，叫它A′。这一翻翻掉的只是位置，长度一点没动——P不管滑到x轴的哪儿，它到A和到A′都一样远。

这句话不是记住就完事的口诀，后面每一步都得靠它：既然PA和PA′永远相等，那PA加PB就永远等于PA′加PB。

到这儿就不用再管几何了，剩下的是一句谁都会说的话：从A′到B，走直线最短。连上A′和B，这条线跟x轴交在(2,0)，那个交点就是要找的P。

最短的长度就是A′B这条线段本身，横着6格，竖着6格，勾股定理一算，6√2。

等号什么时候成立，也是在这儿定下来的：只有A′、P、B三个点排在一条直线上才取得到。P往左挪一点或者往右挪一点，折线一弯，长度立刻就变长。

多出一条平行线，A就要翻两次

还是那个A，还钉在(0,2)。这回滑的有两个点：P在x轴上滑，Q在y等于4这条横线上滑。要求的是AP、PQ、QA这三段加起来最短。

题目一复杂，最常见的反应就是多加辅助线——动点多了一个，那就多作一条。好家伙，一条一条试下去，图画得密密麻麻，没有一条用得上。

第一步还是那三样：A钉死，P和Q各自在一条线上滑，而那两条线是平行的。翻几次，看的是A要跟几个动点连线，不看动点有几个。

这里A跟P连了一次，跟Q也连了一次，所以翻两次。

A对着x轴翻下去，得到A₁(0,-2)；A对着y等于4那条线翻上去，得到A₂(0,6)。这样AP就换成了A₁P，QA换成了A₂Q。

三段加起来，成了从A₁出发、经过P、再经过Q、最后到A₂的一条折线。

又回到刚才那句话：从A₁到A₂，走直线最短。A₁和A₂中间隔着8格，所以这三段之和最少就是8。

这条直线就是y轴，它跟x轴交在(0,0)，跟y等于4那条线交在(0,4)——P和Q同时落在这条直线上，等号才取得到。

两个动点之间隔着两格，那就先推后翻

第三道题多了一个条件。A钉在(0,2)，B钉在(8,4)，P和Q都在x轴上，Q在P右边，中间死死隔着2格。

求AP、PQ、QB这三段最短。

先看那个新条件。PQ永远是2，P滑到哪儿它都是2——这一段根本不用去比，先拎出来放一边，要比的只剩AP加QB。

麻烦在于这两段接不上。AP的一头落在P，QB的一头落在Q，中间隔着那2格，接不到一起就没法拉直。

所以这回先不翻，先推。把B整个往左推2格，落在(6,4)，叫它B′。

你看，Q比P正好靠右2格，B比B′也正好靠右2格，这两段之间的相对位置一模一样，所以QB和PB′一样长。

平移换掉的同样只是位置，没换掉长度——跟对称那一下是同一个道理，一个是照镜子，一个是整体挪。

B往左一推，QB就变成了PB′，两段在P这里接上了，合起来是AP加PB′。

写到这儿该眼熟了——这不就是第一道题。A翻到(0,-2)得A′，连上A′和B′，跟x轴交在(2,0)，P就在那儿，Q在它右边2格，落在(4,0)。

A′B′横着6竖着6，还是6√2。别忘了刚才拎出去放一边的那2格，加回来，三段最短是6√2加2。

说得出为什么能换，这一步家里最难帮

到这一步，家长能帮上的其实不多。

图怎么画、辅助线怎么连，翻翻答案就有；难的是孩子回过头问一句，为什么翻过去那一段还是那么长、为什么非得三点一线才算最短，这时候大多数家长只答得出一句“这是定理，

记住就行”。当年在草稿纸上描过这条辅助线的人，多半也是照着答案描的，从来没被要求说明过一次。

初二那年有个男孩，轴对称学完一个月，作图题他做得全对，可求最短距离的题他总找不对入口：有时直接空着，有时把两个定点硬连起来算完就交卷。

妈妈让他把辅助线先加上，他反问一句加了以后呢，妈妈答不上来。

后来她去芒果同学找了个数学一对一老师，老师没多留题，只拿第一道题那张图，让他把P先放在(1,0)，别去量长度，写出PA等于几、PA′等于几；再把P挪到(5,

0)，照样写第二遍。两遍写出来的都是一对相等的式子。老师让他自己说说这两遍有什么一样的地方，他对着那几行看了一会儿，说了句P挪到哪儿这两段都一样长。

他一直以为作对称就是把图翻过去让它看着一样，从没想过对称轴上随便哪一点，到那一对对称点都是一样远，而这一条才是能拿来换线段的依据。

往后每做一道这类题，他动笔之前先在图上把钉死的点圈出来，再写一行哪一段可以换成哪一段。

数学期中考了79分，期末那张卷子，几何最后一道大题的第二问他第一次写完了，考了94分。上一次课付一次费用，没什么负担。

三道题的第一步是同一句话

三道题看着一道比一道绕，可动笔之前那一下是同一个动作：在图上分清哪个点钉死、哪个点在哪条线上滑、要求的是哪几段，然后问自己一句，哪一段可以换成哪一段。

换的办法翻来覆去也就那么两样。想把折线拉直就作对称，两段接不上就整体平移，而它们站得住的理由是同一个——这两下换掉的都是点的位置，没换掉的是线段的长度。

至于最后那一步反倒最省事：两点之间线段最短，三个点排成一条直线的时候取到等号。

所以题做完之后，可以让孩子把这两句话讲一遍：为什么翻过去以后那一段还是那么长，为什么非得三点一线才是最短的。

讲得出来，这道题才算真做完；讲不出来，图画得再满，也只是照着答案描了一遍。

最值题真正的第一步不在草稿纸上，在题目那张图上。

你家孩子遇上这类题，是辅助线压根没动笔，还是线连上了却说不清为什么能换？