ARTICLE · 1203630
高中数学各个击破048平面与平面平行
平面与平面平行
各个击破 · 第 048 讲｜第 9 册《点线面位置关系》· 第 3 讲｜本期考点：平面与平面平行的判定与性质、三种平行关系的相互转化
📌 写在前面
上一讲我们把"线线平行 ⇄ 线面平行"这条通道打通了。这一讲要把梯子再往上搭一级：面面平行。
三个平行的关系可以画成一张网：线线平行 —判定→ 线面平行 —判定→ 面面平行，反过来面面平行 —性质→ 线线平行。判定往上走，性质往下走。很多人做立体几何证明题慢，就是因为只背了半张网——只会往上推，不会往下退。
还有一个反直觉的地方：证面面平行，从来不是去证"一个平面里所有的线都平行于另一个平面"（那是无穷多条）。判定定理只要求你找出两条相交直线，让它们都平行于另一个平面——化无穷为有穷，这是本讲最漂亮的一手。2025 年的新高考全国Ⅱ卷，立体几何大题的第一问就是一张翻折卡片，考的正是这个"两条相交直线"的套路（例 1）。
🎯 学习目标
理解平面与平面平行的定义，掌握面面平行的判定定理与判定定理的推论，会用它们证明面面平行。 掌握面面平行的性质定理与传递性，熟练完成"面面平行 线线平行"的降维，熟悉三种平行关系的相互转化。 会在面面平行的框架下处理截面、轨迹与存在性探索三类综合问题。
📖 要点提炼
1. 两个平面平行的定义
两个平面没有公共点，就说这两个平面平行。
符号语言：若 ，则 。
它有两个"随用随取"的推论：
若 ，，则 （面面平行 线面平行）； 若 ，，，则 与 平行或异面——绝不是"任意两条线都平行"。
2. 面面平行的判定定理（往上走：线面平行 面面平行）
一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。
符号语言（见图 1 左）：若 ，，，且 ，，则 。
三个关键词一个都不能少：① 两条（一条不够）；② 相交（两条平行直线不行——它们都平行于另一个平面时，这两个平面仍然可能相交）；③ 都平行于同一个平面。
3. 判定定理的推论（实战里更好用的一版）
一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条直线，则这两个平面平行。
符号语言（见图 1 右）：若 ，，，且 ，，，，则 。
实战中这一版更顺手：在目标平面里挑两条相交直线，再到已知平面里分别找出与它们平行的线——比"分别证两个线面平行"少写一半步骤。
4. 面面平行的传递性
平行于同一个平面的两个平面平行。
符号语言：若 ，，则 。
它是基本事实 4 的"平面版"，在处理三四个平面的复杂图形时特别好用。
5. 面面平行的性质定理（往下走：面面平行 线线平行）
两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面都相交，那么两条交线平行。
符号语言（见图 2）：若 ，，，则 。
三个作用：① 证明线线平行；② 作截面——截面与一组平行平面都相交时，两条交线立刻平行，这是画截面最可靠的依据；③ 配合定义顺手得到一批线面平行。
6. 三种平行关系的相互转化（本讲的"总图"）
线线平行 线面平行 面面平行； 面面平行 线面平行 线线平行。
记忆钩子：证明时先看"要证什么"——要证面面平行，就往上搭（在待证的两个平面里各找两条相交直线，凑出两组平行）；已知面面平行，就往下退（找一个与两个平面都相交的平面，交出两条平行线）。
🧮 范例精讲
例 1（真题 · 翻折中的面面平行）
（2025 年新高考全国Ⅱ卷第 17 题第 (1) 问）
如图，在四边形 中，，， 为 的中点，点 在 上，，，。将四边形 沿 翻折至四边形 ，使得平面 与平面 所成的二面角为 。证明： 平面 。
解析：第一步，先找不变量。 设 ，则 ，，由 为 中点得 。
由 且 ，四边形 是平行四边形；又 ，故它是矩形，于是 ，也就是 。
沿着折痕 翻折时，折痕不动，垂直于折痕的线段长度不变：所以 且 （四边形 仍是矩形）。
第二步，凑两条相交直线。
、 都在直线 上，、 都在直线 上，而 ，所以 。又 平面 ， 平面 ，由线面平行的判定定理， 平面 ； 由 ，又 平面 ， 平面 ，由线面平行的判定定理， 平面 。
第三步，升级为面面平行。 因为 ，且 、 都在平面 内，由面面平行的判定定理，平面 平面 。
第四步，降回线面平行。 因为 平面 ，所以 平面 。
评注：翻折题的第一句话永远是"翻折前后什么没变"——折痕 不动、垂直于折痕的线段长度不变。抓住不变量之后，这道题就退化成一个静态的两条相交直线问题：一条来自没被翻折的那半边（），一条来自翻折过去的那半边（）。面面平行的判定定理，是翻折题的通用钥匙。（第 (2) 问求面 与面 所成二面角的正弦值，要用空间向量，属本册第 6 讲的地盘，此处按下不表。）
例 2（判定定理 · 正方体中的平行平面）
（原创题 · 对标"正方体中的平行平面"经典模型）
如图，在棱长为 的正方体 中。
（1）求证：平面 平面 ；
（2）求这两个平面间的距离。
解析（1）：用判定定理的推论，凑两组平行线。
由 且 ，四边形 是平行四边形，故 ； 正方体中 （上、下底面正方形的对应边平行）。
而 ，且 、 平面 ；、 平面 。所以平面 平面 。
解析（2）：建系，，，，，，，。
平面 过原点，法向量为 ，取 ，故方程为 ； 平面 的法向量同为 （两平面平行），代入 得 。
于是两平面的距离 。
评注：第 (1) 问是判定定理推论的标准示范： 靠一个平行四边形， 是正方体的天然性质——两个"现成"的平行，还都要落在待证的那个平面内（ 平面 、 平面 ），这一步最容易漏。第 (2) 问的技巧是"平行平面的法向量相同"，于是只要两条平面方程常数项之差除以法向量的模即可。几何上还有一个漂亮的结论值得记住：体对角线 垂直于这两个平面，并且被它们三等分，每一段的长度恰好是 （ 为棱长），也就是两平面间的距离——这个"半个公式"在正方体题里出场率很高。
例 3（性质定理 · 平行截面与相似比）
（原创题 · 对标"平行截面 + 相似比"同类模型）
如图，在三棱锥 中，平面 平面 ， 与棱 、、 分别交于点 、、。
（1）求证：；
（2）若 ，且 的面积为 ，求 的面积。
解析（1）：因为 平面 ，平面 ，平面 平面 ，由性质定理得 。
同理，平面 、平面 平面 ，得 ；平面 与平面 平面 ，得 。
三组对应边分别平行，所以 。
解析（2）：由 ，得 ，故相似比 ，面积比 ，于是 。
评注：这道题是性质定理最标准的用法——"面面平行"负责给出三条交线，而"三条交线分别平行"负责给出相似。写成一句话就是：**平行于底面的截面，截出的三角形与底面相似，相似比等于"从顶点算起的截距比"**。这个模型在后面第 6 讲求空间距离时会反复出现，值得先记牢。第 (2) 问的坑在比值的换算：已知的是"两段之比"（），相似比要的是"整段之比"（），先化整再平方，一步都不能省。
例 4（判定 + 等角定理 + 函数最值）
（原创题 · 对标"面面平行 + 等角定理 + 函数最值"同类模型）
如图，在三棱锥 中， 平面 ，底面 是边长为 的正三角形，。点 是棱 上的动点（不含端点）。过点 且平行于平面 的平面 与平面 、平面 分别交于直线 、。求直线 与直线 所成角的余弦值的取值范围。
解析：第一步，把"面面平行"翻译成"线线平行"。
平面 ，平面 平面 ，由性质定理得 ；同理 。
第二步，用等角定理把角搬到同一个三角形里。
、，由等角定理，直线 与 所成的角等于 或它的补角。在 中先算出 。
第三步，设参数、算余弦。
取 为原点， 沿 轴、 沿 轴建立空间直角坐标系，则 ，。设 （），则 ，于是
计算
所以
第四步，求取值范围。 因为 ，故 ，函数 关于 单调递增，于是
又 为锐角（余弦为正），故直线 与 所成角的余弦值的取值范围是 。
评注：这道题把三件工具串成了一串：面面平行（性质定理给出交线 、）→ 等角定理（把 、 的夹角搬进 ）→ 函数思想（动点参数 把余弦写成函数，再求值域）。检验两个端点： 时 ，平面 平面 ，此时 、 就是 、，余弦为 ； 时 ，平面 平面 ，此时在等腰 中（，）算得余弦为 。两个极限值恰好卡住区间两端，说明结果可信。
例 5（探索性 · 棱上找点使面面平行）
（原创题 · 对标 2023—2025 年高考"棱上找点使面面平行"同类模型）
如图，在三棱锥 中， 是棱 的中点。问：棱 、 上是否分别存在点 、，使得平面 平面 ？若存在，指出 、 的位置并证明；若不存在，说明理由。
解析：结论：存在，、 分别是棱 、 的中点。
先猜：要证平面 平面 ，就得在平面 里找两条相交直线去平行平面 。 已经在中点，最和谐的配置就是"三个中点"——中位线是平面平行的最廉价来源，先试。
后证：
在 中，、 分别是 、 的中点，由中位线定理，； 在 中，、 分别是 、 的中点，由中位线定理，。
又 ，且 、 平面 ；、 平面 。所以平面 平面 。
唯一性：过点 且平行于平面 的平面是唯一的（若有两个，由面面平行的传递性它们互相平行，却又都过点 ，矛盾）。既然这个平面唯一，它与棱 、 的交点 、 也就唯一确定，故符合条件的点只有各边中点这一组。
评注：探索题永远的模板是"先猜后证"，而"猜"的依据是结构提示：题里已经出现了一个中点，答案多半就是"把所有中点补齐"。这道题的证明只用了两次中位线加一次判定定理，但一定要补上唯一性那两句——"存在"是有方向的，"唯一"才是完整的答案。另外提醒一句：、 必须落在平面 之外的棱上（、 上取点会让两个平面立刻产生公共点），这个"先排除掉不能取的位置"的直觉，比计算更值钱。
例 6（收官 · 命题判断）
（原创题 · 对标 2024—2025 年高考"平行命题判断"同类模型）
设 、 是两条不同的直线，、、 是三个不同的平面，则下列命题正确的是（ ）
A. 若 ，，则
B. 若 ，，则
C. 若 ，，则
D. 若 ，，则
解析：逐个打假，A、D 都能用一个正方体模型戳穿。
A 错：设 为正方体底面，取 为过顶面一条棱的直线、 为过顶面另一条不平行的棱的直线，二者都平行于 ，但它们在顶面内相交； B 对：这是"面面平行 线面平行"的直接结论（若 与 有公共点，则该点在 内也在 内，与 矛盾）； C 对：面面平行的传递性； D 错：取正方体中一条与底面平行的棱为 ，取两个相交的竖直面为 、（它们的交线平行于 ），则 、，但 与 相交。
答案：BC。
评注：收官这道题请用"三查法"过关——① 查条数：证面面平行必须凑够两条相交直线（A 项的反例就是"同在一个平面内的两条相交直线都平行于底面"，可见"都平行于同一平面"根本约束不了彼此的相对位置）；② 查方向： 往下退要落到"线面平行"或"线线平行"，往上推要凑"两条相交直线"，方向错了整题作废；③ 查反例：碰到 的否定，优先拿"两个相交的竖直面 + 一条平行于交线的棱"造模型，这个反例装置能解决一大半判断题。顺带记住一条对立结论：**"平行于同一条直线的两个平面"未必平行（可能相交），但"垂直于同一条直线的两个平面"一定平行**——平行的传递要看清"中间元素"是直线还是平面。
🧭 方法归纳
证面面平行，先凑两条相交直线：在两个待证平面里各找两条相交直线，凑出两组平行（判定定理的推论），比分别证两个线面平行省一半步骤（例 2）。 翻折题先找不变量：折痕不动、垂直于折痕的线段长度不变——不变量一锁，翻折题就退化成静态的平行问题（例 1）。 **已知面面平行，就去"切一刀"**：找一个与两个平行平面都相交的平面，交出的两条交线立刻平行（性质定理），这是"降维"的唯一通道（例 3）。 平行截面的三件套：平行于底面的截面与底面相似；相似比等于从顶点算起的截距比；面积比等于相似比的平方（例 3）。 夹角问题走两条桥：面面平行 线线平行（性质定理） 夹角搬家（等角定理），最后用参数把角变成函数求值域（例 4）。 探索题流程：先猜后证。猜——补齐中点；证——两次中位线 + 一次判定定理；收——补一句唯一性（例 5）。
📚 选题说明
本讲例题围绕"面面平行的判定与性质"以及"三种平行关系的相互转化"命题。真题 1 道：例 1 为 2025 年新高考全国Ⅱ卷第 17 题第 (1) 问，题干经多个独立来源交叉核对（学科网组卷网题库、二一教育真题页、51 教习网真题页、四季读书网试卷解析），答案另经空间坐标法独立复核。原创题 5 道：例 2 对标"正方体中的平行平面"经典模型；例 3 对标"平行截面 + 相似比"同类模型；例 4 对标"面面平行 + 等角定理 + 函数最值"同类模型；例 5 对标 2023—2025 年高考"棱上找点使面面平行"同类模型；例 6 对标 2024—2025 年高考"平行命题判断"同类模型。需要向读者说明两点：一是 2025 年新高考Ⅱ卷第 17 题第 (2) 问求二面角需要空间向量（属本册第 6 讲），故本讲只取第 (1) 问；二是 2022 年新高考Ⅱ卷第 20 题第 (1) 问需要线面垂直的性质（属本册第 4 讲），虽与平行相关，但为尊重教学顺序，本讲未采用——好题也要卡在正确的时间点出现。全部题目答案均经坐标化数值验证。
✍️ 练一练
基础过关
1. 下列命题中正确的是（ ）
A. 平行于同一个平面的两条直线平行
B. 若一个平面内有两条直线平行于另一个平面，则这两个平面平行
C. 若两个平面平行，则其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面
D. 若两个平面平行，则分别在这两个平面内的两条直线平行
2. 已知平面 平面 ，直线 ，直线 ，则直线 与 的位置关系是（ ）
A. 平行 B. 异面 C. 相交 D. 平行或异面
3. 如图，在四棱锥 中，底面 是平行四边形，对角线 、 交于点 ，、 分别是棱 、 的中点。求证：平面 平面 。
4. 如图，平面 平面 ，直线 与 、 分别交于点 、，直线 与 、 分别交于点 、，且 与 相交于点 （ 不在平面 、 内）。已知 ，，，求 的长。
5. 如图，在棱长为 的正方体 中，、、 分别是棱 、、 的中点。
（1）求证：平面 平面 ；
（2）求这两个平面间的距离。
综合提升
6. 如图，在四棱锥 中，底面 是平行四边形，、 分别是棱 、 的中点， 是棱 的中点。求证：平面 平面 。
7. 如图，在棱长为 的正方体 中，、 分别是棱 、 的中点，点 在侧面 内（含边界）运动，且 平面 。求点 的轨迹长度。
8. （多选题）设 、 是两条不同的直线，、 是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ）
A. 若 ，，，则
B. 若 ，，则
C. 若 ，，，则
D. 若 ，，则 或
9. 如图，在四棱锥 中，底面 是平行四边形， 是棱 的中点。问：棱 、 上是否分别存在点 、，使得平面 平面 ？若存在，指出 、 的位置并证明；若不存在，说明理由。
10. 如图，在棱长为 的正方体 中， 是棱 的中点。求过 、、 三点的平面截正方体所得截面的面积。
✅ 答案与提示
1. C A 错：平行于同一平面的两条直线可以相交、平行或异面；B 错：缺"相交"二字——这两条直线平行时，两个平面仍可能相交；C 对：这是"面面平行 线面平行"的直接结论；D 错：两个平行平面内的两条直线可以平行，也可以异面。
2. D、 分别在两个平行平面内，不可能相交；可以平行（如正方体中上下底面的对应棱），也可以异面。
3. 证明 因为在 中，、 分别是 、 的中点，由中位线定理，。又 平面 ， 平面 ，所以 平面 。
因为 是 的中点（平行四边形对角线互相平分）， 是 的中点，所以在 中，。又 平面 ， 平面 ，所以 平面 。
因为 ，且 、 平面 ，所以平面 平面 。
（坐标验算：取平行四边形 ，，，，，则 ，，。平面 的法向量 ，方程为 ；平面 中 、，，法向量相同，再代入 得方程 ，两平面平行，验证成立。）
4. 直线 与 相交于点 ，故 、 确定一个平面，设为 。因为 ，且 、，由性质定理得 ，所以 ，。
由 ，得 ，故 ，于是 。
5. 证明 （1）在 中，、 分别是 、 的中点，故 ；在 中，、 分别是 、 的中点，故 。
又 ，、 平面 ； 平面 、 平面 。所以平面 平面 。
（2）建系，，，，，，，。平面 的法向量可取 ，方程 。
而 、、 都满足 ，故平面 的方程为 。两平面距离 。
6. 证明 在 中，、 分别是 、 的中点，由中位线定理，。又底面 是平行四边形，故 ，于是 。因为 平面 ， 平面 ，所以 平面 。
在 中，、 分别是 、 的中点，由中位线定理，。又 平面 ， 平面 ，所以 平面 。
因为 ，且 、 平面 ，所以平面 平面 。
（坐标验算：取 ，，，，，则 ，，。平面 方程为 ；平面 中 、、 的 坐标均为 ，方程为 ，两平面平行，验证成立。）
7. 建系，，，，，，，，则 、。
平面 的法向量可取 ，方程为 。（顺带验证 ： 成立，说明平面 截正方体所得截面正是梯形 ，与几何直观一致。）
因为 平面 ，所以点 在过 且平行于平面 的平面 上。代入 得 的方程
点 又在侧面 （即平面 ）内，故轨迹是 与侧面的交线：在 上，方程化为 （），即从 （ 的中点）到 （ 的中点）的线段 。
所以轨迹长度为 。
（几何对照：过 作平行于平面 的平面，它与侧面 的交线平行于 ，两端分别落在棱 、 的中点上——这正是"面面平行 交线平行"的直接应用。）
8. BCD A 错：、 可以相交或异面（都在各自的平面内，彼此没有约束）；B 对：面面平行 线面平行；C 对： 且 ， 与 的交线为 ，由性质定理得 ；D 对： 且 时， 与 无公共点，或在 内——两者必居其一（若 与 有公共点，由 知该点不在 内，与 矛盾）。
9. 存在， 是棱 的中点， 是棱 的中点。 证明：在 中，、 分别是 、 的中点，故 ；又底面是平行四边形，，所以 。因为 平面 ， 平面 ，所以 平面 。
在 中，、 分别是 、 的中点，故 。又 平面 ， 平面 ，所以 平面 。
因为 ，且 、 平面 ，所以平面 平面 。
（唯一性提示：棱 、 上的点都在平面 内， 又在平面 内，所以 只能取 的中点、 只能取 的中点；过 且平行于平面 的平面唯一。）
10. 建系，，，，，，，，则 。
平面 的法向量可取 ，平面方程为 。
逐一检查各顶点： 与 满足方程（在截面上）；、、 满足 ，而 、、 满足 。
再查各棱的内部交点：棱 上的点 满足 ，得 ，即 的中点 在截面上；棱 上的点 满足 ，得 ，即 的中点 也在截面上；其余各棱与平面的交点都不落在棱的内部。
所以截面是四边形 （ 为 的中点， 为 的中点）。由 、 知 ，四边形 是平行四边形。
其面积 ，用向量积计算：，故 。
（数值复核：、 代入 分别得 、，均在平面上；、，夹角余弦 ，故 ，与向量积结果一致。）
💡 金句
证面面平行，靠的不是"看得够多"，而是"选得够准"——两条相交直线，就能替一个平面作证；而当我们已知两个平面平行，那一刀切下去交出的平行线，就是空间送给平面的回声。
共同奔赴，下一讲见。
