回归真题13期——函数项级数与高中数学的结合

1.【来源】2026-2027学年广东省广州市十校高三上学期10月联考19

已知 ，，函数  的导函数为

且 。设  的极值点为 。

（1）求  的单调区间和极值

（2）证明：

（3）证明：

（1）

。

令 ，得

所以

当  时，， 单调递减；

当  时，， 单调递增。

又

由 ，得 ，故 ，

极小值为

无极大值。

（2）

由

积分并利用 ，得

这是交错几何型求和，可写成

求导：

设

则  在  上单调递增，且极值点  满足 。

要证

由于  递增，只需证

令 ，则 。

等价于

令 ，即证

即证

设

则

所以  单调递减。又

故存在唯一 ，使 。

于是  在  递增，在  递减。且

所以在  上 。

因此

由单调性得

（3）

由

考虑

直接比较导数表达式，或用因式分解：

于是

由（2），，故

所以

因此

又  在  上单调递增，所以

2.【来源】2013年全国普通高等学校招生统一考试理科数学(安徽卷)20

设函数

证明：

（Ⅰ）对每个 ，存在唯一的 ，满足 ；

（Ⅱ）对任意 ，由（Ⅰ）中  构成的数列 满足  

（Ⅰ）证明存在唯一 

当  时，

所以  在  上单调递增。

而

当  时，

故对任意 ，都有 。

再估计 ：

因此

由  在  上连续且严格单调递增，故存在唯一的 ，满足 。

（Ⅱ）证明 

首先，当  时，

由（Ⅰ）知 ，于是

而  在  单调递增，所以

故  为单调递减数列，从而对任意 ，有

下面证明上界。由

和

①②并移项，利用  

因此，对任意 ，