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高中数学|一道椭圆中点弦多选题解析
靖競｜高中数学
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01导语
椭圆里内接三角形的三条边、三个中点、三条斜率，听起来要素很多，其实这道多选题只考一件事——“点差法”。掌握”弦的斜率与中点、原点连线斜率之积为定值”这一个结论，四个选项能一口气解决三个。孩子如果还在对中点弦问题硬设直线联立方程，这道题正好让他看看”设而不求”的威力。
02原题
（多选）如图，已知椭圆的离心率为，的三个顶点都在椭圆上，设它的三条边AB，BC，AC的中点分别为D，E，F，且三条边所在直线的斜率分别为k₁，k₂，k₃，且k₁，k₂，k₃均不为0．O为坐标原点，则（ ）
A.a²:b²=1:2
B.直线AB与直线OD的斜率之积为−2
C.直线BC与直线OE的斜率之积为
D.若直线OD，OE，OF的斜率之和为1，则的值为−2
答案
CD
03解析
先看A：由离心率定形状。
由，得，于是
即a²=2b²，所以a²:b²=2:1．选项A给的1:2恰好把分子分母弄反了，A错误．
再看B、C：点差法，一步到位。
设A(x₁,y₁)，B(x₂,y₂)，AB的中点为D(x₀,y₀)．因为A、B都在椭圆上，两式相减：
即．代入x₁+x₂=2x₀，y₁+y₂=2y₀，整理得
这就是中点弦的核心定值：弦的斜率与”原点连线”的斜率之积恒为，只与椭圆本身有关，与弦的位置无关．
于是直线AB与直线OD的斜率之积为而不是−2，B错误；而BC的中点正是E，同理，C正确．
最后看D：把定值反过来用。
对三条边分别用点差法：
取倒数得，，，求和：
D正确．综上，选CD．
04思维升华
点差法有一个通用结论：椭圆中，斜率存在且不为0的弦，其中点M与中心连线的斜率满足；换成双曲线，结论变为．这个定值与弦的位置无关，所以”中点弦”问题里”设而不求”往往一步到位，比联立方程加韦达定理快得多．
使用时留意两个前提：弦的斜率存在（x₁≠x₂），且中点不在y轴上（否则无意义）．本题”k₁,k₂,k₃均不为0“正是在为这两个前提保驾护航——若中点落在y轴上，可推出中点就是原点，”直线OD“根本不存在．看清条件里的隐性保障，是多选题不丢分的细节．
