初中数学解题技巧——怎样化简二次根式并运算之√a² 分类讨论专项

本讲是第 3 讲内容的深度进阶，核心难点在于缺少字母取值限制时，利用绝对值分段化简根式。找准分界点、划分区间、判断符号，是解决这类易漏解题型的关键

√(a²)=|a|，去绝对值必须知道 a 的符号。题目给了范围就按范围判；没给范围，就令每个绝对值内的式子为 0 找到分界点，把数轴划分区间，分区间逐一化简。

√(a²)=|a|，先转化为绝对值再分段讨论。分界点：令绝对值里面的式子等于 0，求出零点，在数轴上标记。

在对应区间内

• 式子＞0，去掉绝对值直接照写；

• 式子＜0，去掉绝对值整体添负号；

• 式子 = 0，结果为 0

1. 全部转化为绝对值形式；

2. 求出所有零点，从小到大排序，划分区间；

3. 在每一个区间内，判断每个绝对值内部式子的正负；

4. 根据正负去掉绝对值符号，化简合并；

5. 分段规范写出每一段对应的结果，标注区间范围。

误区 1：不分段，直接去掉绝对值，默认√a²=a 

正解：√a²=|a|，不一定等于 a 

误区 2：找分界点不全，区间划分遗漏 

正解：每一个带根号的整式都要求零点，全部零点统一排序 

误区 3：式子为负数去绝对值，忘记添加负号 

正解：若 A＜0，|A|=-A 

误区 4：端点归属混乱，同一个零点重复或者漏掉 

正解：零点只归属相邻其中一段，不要重复写 

误区 5：化简之后不写对应取值范围，只有式子没有区间 

正解：分段结果必须配套对应自变量范围

1、化简 √(x²)（不给范围）

【解析】

无范围只能保留绝对值，不能直接等于 x

【答案】

解：√(x²)=|x|

2、已知 x<2，化简 √((x-2)²)

【解析】

由范围判断 x-2 为负数

【答案】

解：原式 =|x-2|=2-x

3、化简 √(a²)-√((a-1)²)（a 为任意实数）

【解析】 

分界点 0、1，分三段讨论。

【答案】

解：原式 =|a|-|a-1|

a<0 时 =-a-(1-a)=-1

0≤a<1 时 = a-(1-a)=2a-1

a≥1 时 = a-(a-1)=1

4、化简 √((x+1)²)+√((x-3)²)

【解析】 

零点：x=-1，x=3，分三段：x<-1，-1≤x<3，x≥3

【答案】

解：原式 =|x+1|+|x-3| 

x<-1 时：-(x+1)-(x-3)=-x-1-x+3=-2x+2 

-1≤x<3 时：(x+1)-(x-3)=x+1-x+3=4 

x≥3 时：(x+1)+(x-3)=2x-2

5、已知化简 √((2m-1)²)=1-2m，直接写出 m 的取值范围

【解析】 

√A²=|A|，|2m-1|=1-2m，说明 2m-1≤0

【答案】

解：2m-1 ≤ 0，解得 m ≤ 1/2