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专题32 等时圆模型
一、单选题
1．如图所示为一光滑竖直圆槽，
、
、
为通过最低点
与水平面分别成30°、45°、60°角的三个
光滑斜面，与圆相交于A、B、C 点。若一物体由静止分别从A、B、C 滑至
点所需的时间为
，
，
，
则（ ）
A．
B．
C．
D．
2．如图所示，在竖直平面内有一矩形，其长边与一圆的底部相切于O 点，现在有三条光滑轨道a、b、c，
它们的上端位于圆周上，下端在矩形的底边，三轨道都经过切点O，现在让一物块先后从三轨道顶端由静
止下滑至底端(轨道先后放置)，则物块在每一条倾斜轨道上滑动时所经历的时间关系为（ ）
A．ta＞tb＞tc
B．ta＜tb＜tc
C．ta＝tb＝tc
D．无法确定
3．如图所示，在竖直平面内建立直角坐标系
，该平面内有
、
、
三条光滑固定轨道，其中
、
两点处于同一个圆上，
是圆上任意一点，
、
分别为此圆与
、
轴的切点。
点在
轴上且
，
为圆心。现将
、
、三个小球分别从
、
、
点同时由静止释放，它们将沿轨道运
动到
点，如所用时间分别为
、
、
，则
、
、
大小关系是（ ）
A．
B．
C．
D．由于
点的位置不确定，无法比较时间大小关系
4．如图，光滑细杆BC、DC 和AC 构成矩形ABCD 的两邻边和对角线，AC∶BC∶DC＝5 4 3
∶∶，AC 杆竖直，各
杆上分别套有一质点小球a、b、d，a、b、d 三小球的质量比为1 2 3
∶∶，现让三小球同时从各杆的顶点由静
止释放，不计空气阻力，则a、b、d 三小球在各杆上滑行的时间之比为( )
A．1 1 1
∶∶
B．5 4 3
∶∶
C．5 8 9
∶∶
D．1 2 3
∶∶
5．如图所示，在倾角为
=30º 的斜面上方的A 点处悬挂一光滑的木板AB，B 端刚好在斜面上．木板与竖
直方向AC 所成角度为α，一小物块自A 端沿木板由静止滑下，要使物块滑到斜面的时间最短，则α 角的大
小为（ ）
A．α=10º
B．α= 15º
C．α=30º
D．α=60º
6．如图，竖直面内固定一大圆环④，小环套在光滑杆上，杆的上下两端分别固定在圆的顶点P 和圆周Q
点上。圆①②③④共用顶点P，半径之比为1 2 3 4
∶∶∶，它们把杆分成四段。小环从顶点P 由静止开始沿杆自
由下滑至Q 点，则小环依次经过这四段的时间之比为（ ）
A．
B．
C．
D．
7．某同学探究小球沿光滑斜面顶端下滑至底端的运动规律，现将两质量相同的小球同时从斜面的顶端释
放，在甲．乙图的两种斜面中，通过一定的判断分析，你可以得到的正确结论是( )
A．甲图中小球在两个斜面上运动的时间相同
B．甲图中小球下滑至底端的速度大小与方向均相同
C．乙图中小球在两个斜面上运动的时间相同
D．乙图中小球下滑至底端的速度大小相同
8．倾角为
的斜面固定在水平地面上，在与斜面共面的平面上方A 点伸出三根光滑轻质细杆至斜面上B、
C、D 三点，其中AC 与斜面垂直，且
，现有三个质量均为
的小圆环（看作
质点）分别套在三根细杆上，依次从A 点由静止滑下，滑到斜面上B、C、D 三点所有时间分别为
、
、
，下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
9．倾角为
的长斜坡上有C、O、B 三点，
，在
点竖直地固定一长10m 的直杆AO。
A 端与C 点间和坡底B 点间各连有一光滑的钢绳，且各穿有一钢环（视为质点），两环从A 点由静止开始，
同时分别沿两钢绳滑到钢绳末端，如图所示，小环在钢绳上滑行的时间
和
分别为（ ）（
）
A．2s 和2s
B．1s 和2s
C．2s 和4s
D．4s 和2s
10．倾角为30°的长斜坡上有C、O、B 三点，CO=OB=10m，在O 点竖直的固定一长10m 的直杆AO．A
端与C 点、坡底B 点间各连有一光滑的钢绳，且各穿有一钢球（视为质点），将两球从A 点由静止开始、
同时分别沿两钢绳滑到钢绳末端，如右图所示，则小球在钢绳上滑行的时间tAC和tAB分别为（取
g=10m/s2）
A．
s 和4 s
B．
s 和2s
C．2s 和2s
D．4s 和
s
11．游乐场中，从离水面一定高度的A 处到水面B 处有两条长度相同的光滑轨道，如图所示．甲、乙两名
小孩沿不同轨道同时从A 处自由滑向B 处，则两名小孩在全部滑行过程中的速率v 随时间t 变化的下列图
象，正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
12．如图所示，有一内壁光滑的闭合椭圆形管道，置于竖直平面内，MN 是通过椭圆中心O 点的水平线．
已知一小球从M 点出发，初速率为v0，沿管道MPN 运动，到N 点的速率为v1，所需时间为t1；若该小球
仍由M 点以出速率v0出发，而沿管道MQN 运动，到N 点的速率为v2，所需时间为t2．则（ ）
A．v1=v2，t1＞t2
B．v1＜v2，t1＞t2
C．v1=v2，t1＜t2
D．v1＜v2，t1＜t2
13．如图所示，斜面AD 和BD 与水平方向的夹角分别为60°和30°，两斜面的A 端和B 端在同一竖直面上，
现让两个可视为质点的物块分别从两斜面的顶端同时由静止下滑，结果两物块同时滑到斜面底端D，设两
物块与AD、BD 面间的动摩擦因数分别为μ1和μ2，则μ1：μ2为
A．1:3
B．3:1
C．
:1
D．1:
14．在奥运会的开幕式中，表演者手持各国国旗从体育场的圆周顶棚飞天而降，动感壮观。他们静止站在
圆周顶的不同点A、B、C、D、E、F 沿光滑钢索到场地P 区表演，如图所示，设顶棚的圆周平面与地面平
行，下列关于各处表演者滑到P 区所用时间的说法中正确的是（ ）
A．所有表演者滑到P 区的速度都相同
B．F 处表演者滑到P 区的速度比E 处滑下的大
C．所有表演者滑到P 区所用的时间都等
D．A 处表演者滑到P 区所用的时间比D 处滑下的短
二、多选题
15．如图所示有一半圆，其直径水平且与另一圆的底部相切于O 点，O 点恰好是下半圆的顶点，它们处在
同一竖直平面内。现有两条光滑直轨道AOB、COD，轨道与竖直直径的夹角关系为
，现让一小物块
先后从这两条轨道顶端由静止下滑至底端，则下列关系中正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
16．如图所示，ab、ac 是竖直平面内两根固定的光滑细杆，a、b、c 位于同一圆周上，O 为该圆的圆心，
ab 经过圆心．每根杆上都套着一个小滑环，两个滑环分别从b、c 点无初速释放，用
、
分别表示滑环到
达a 点的速度大小，用
、
分别表示滑环到达a 所用的时间，则
A．
B．
C．
D．
三、解答题
17．滑滑梯是小朋友们爱玩的游戏。有两部直滑梯AB 和AC，A、B、C 在竖直平面内的同一圆周上，且A
为圆周的最高点，示意图如图所示，已知圆周半径为R。在圆周所在的竖直平面内有一位置P，距离A 点
为
R，且与A 等高。各滑梯的摩擦均不计，已知重力加速度为g。
（1）如果小朋友由静止开始分别沿AB 和AC 滑下，试通过计算说明两次沿滑梯运动的时间关系；
（2）若设计一部上端在P 点，下端在圆周上某点的直滑梯，则小朋友沿此滑梯由静止滑下时，在滑梯上
运动的最短时间是多少。
《专题32 等时圆模型》参考答案
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
B
C
A
B
C
C
B
A
C
题号
11
12
13
14
15
16
答案
B
A
B
D
BD
AD
1．C
【详解】设圆槽的直径为d，某一斜面的倾斜角为θ，由牛顿第二定律可得，沿斜面下滑加
速度为
斜面的长度为
由位移时间公式
可得
可知，物体沿斜面下滑的时间与斜面的倾斜角无关，则有
故选C。
2．B
【详解】设上面圆的半径为r，矩形宽为R，则轨道的长度
下滑的加速度
根据位移时间
公式得
因为轨道a、b、c 与圆竖直直径的夹角由小至大，所以有
tc＞tb＞ta
故选B。
【名睛】解决本题的关键通过牛顿第二定律和运动学公式得出时间的表达式，结合角度的
大小关系进行比较。
3．C
【详解】由题意可知A、C、M 三点处于同一个圆上，且圆心
与M 点在同一竖直线上，
设圆的半径为
，从圆上任意一点与M 点构成一光滑轨道，该轨道与竖直方向的夹角为
，
如图所示
小球从轨道顶端静止滑下的加速度为
根据运动学公式可得
联立可得小球从轨道顶端到底端M 点所用时间为
可知从圆轨道任一点滑到底端M 点所用时间与倾角无关，则有
由图可知，若小球从BM 轨道与圆轨道交点静止滑下，则所用时间与A 点、C 点滑下所用
时间相同，由于B 点处于圆轨道上方，则有
故选C。
4．A
【分析】由几何知识求出出三个小球的位移表达式，由牛顿第二定律求出两球的加速度a
表达式，再由位移公式
求解滑行时间之比；
【详解】设
，
，
,a、b、d 三小球在各杆上滑行的时间分别为
，加速度分别为
．
由几何知识得，BC 的倾角为
，DC 的倾角为
，如图所示：
a 球为自由下过程，
由
，得
根据牛顿第二定律得：
沿BC 下滑的小球，加速度为
由位移时间公式得：
，得
沿DC 下滑的小球，加速度为
由位移时间公式得：
，得
，所以
，故选项A 正确，选
项BCD 错误．
【点睛】本题运用牛顿第二定律和运动学公式结合求解匀加速运动的时间，关键要根据几
何知识求出BC 与DC 的倾角和位移，从而求出加速度，然后利用位移与时间关系进行求解
即可．
5．B
【详解】如图所示：
在竖直线AC 上取一点O，以适当的长度为半径画圆，使该圆过A 点，且与斜面相切与D
点，根据等时圆的结论可知：A 点滑到圆上任一点的时间都相等，所以由A 点滑到D 点所
用时间比由A 到达斜面上其他各点时间都短，将木板下端B 点与D 点重合即可，而角COD
为θ，所以
，故选B．
6．C
【详解】如图所示
根据题意，由几何知识
得
小环套在光滑杆上静止滑下做匀加速直线运动，由初速度为零的匀加速直线运动规律，通
过连续相等的位移所用时间之比为
故选C。
7．C
【详解】A．小球在斜面上运动的过程中只受重力mg 和斜面的支持力N 作用，做匀加速直
线运动，设斜面倾角为θ，斜面高为h，底边长为x，根据牛顿第二定律可知，小球在斜面
上运动的加速度为：a=gsinθ，根据匀变速直线运动规律和图中几何关系有
s=
，s=
=
解得小球在斜面上的运动时间为
t=
根据机械能守恒定律有
mgh=
解得小球下滑至底端的速度大小为
v=
，显然，在甲图中，两斜面的高度h 相同，但倾角θ 不同，因此小球在两个斜面上
运动的时间不同，故选项A 错误；
B．小球下滑至底端的速度大小相等，但方向沿斜面向下，不同，故选项B 错误；
D．在乙图中，两斜面的底边长x 相同，但高度h 和倾角θ 不同，因此小球下滑至底端的速
度大小不等，故选项D 错误；
C．又由于在乙图中两斜面倾角θ 的正弦与余弦的积相等，因此小球在两个斜面上运动的
时间相等，故选项C 正确。
故选C。
8．B
【详解】由于
则可以判断AB 竖直向下，以AB 为直径做圆，则必过C 点，如图
圆环在杆AC 上运动过程，由牛顿第二定律及运动学公式可得
mgcosθ=ma
联立解得
可见从A 点出发，到达圆周各点所用的时间相等，与杆的长短、倾角无关，可得
故选B。
9．A
【详解】根据几何关系知，AB 与水平面的倾角为60 度，AC 与水平面的倾角为30 度，AB
的长度为
AC 的长度
x2=10m
根据牛顿第二定律得小球在AB 钢绳上下滑的加速度为
小球在AC 钢绳上下滑的加速度为
由
得
由
得
故选A。
10．C
【详解】根据几何关系知，AB 与水平面的倾角为600，AC 与水平面的倾角为300，AB 的
长度为：x1＝2×10×cos30°＝10
m，AC 的长度x2=10m，根据牛顿第二定律得小球在AB
钢绳上下滑的加速度为：a1＝gsin60°＝5
m/s2，小球在AC 钢绳上下滑的加速度为：a2＝
gsin30°＝5m/s2，由x＝
at2得：
，
．故
选C．
11．B
【详解】根据牛顿第二定律可知甲的加速度逐渐减小，乙的加速度逐渐增加，而v-t 图线的
斜率等于加速度，两物体的位移相同，图线与坐标轴围成的面积相等。
故选B。
12．A
【详解】试题分析：小球在运动过程中机械能守恒，故两次到达N 点的速度大小相同，且
均等于初速度，即v1=v2=v0；两小球的运动过程分别为先加速后减速和先减速后加速，定
性做出小球运动的速率—时间图象如下图：
则图线与坐标轴所围成的面积表示小球的运动路程，小球两次的路程相等，故两次图线与
坐标轴所围面积相同，由图可知，t1＞t2，A 正确．
考点：机械能守恒定律、运动的图象
13．B
【详解】设斜面底部长为L，AD 与水平面的夹角为
，BD 与水平面的夹角为
，
物体在AD 面上运动时的加速度为
物体在BD 面上运动时的加速度为
物体在AD 面上运动的时间
物体在BD 面上运动的时间
由题意可知
联立以上各式解得
故选B．
14．D
【详解】每个表演者所经过的路径可以看成一个斜面，斜面的高度都相同，只是倾角不同，
类似的模型如图所示
AB．由机械能守恒定律可得
所有表演者滑到P 区的速度大小都相同，但是方向不同，即速度不相同，选项AB 错误；
CD．设其中某一光滑斜面的倾角为θ，高为h，根据牛顿第二定律
可得加速度
斜面长
根据运动学公式可得
联立可得
可见，倾角θ 越大，时间越短，θ 越小，经过的时间越长。则A 处表演者滑到P 区所用的
时间比D 处滑下的短，故C 错误D 正确。
故选D。
15．BD
【详解】AB．小物块下滑的过程，由动能定理可知
可得
由于从A 到B 下落的高度差大于从C 到D 的高度差，故有
故A 错误，B 正确；
CD．以AOB 轨道的物块为研究对象，根据位移与速度的关系
同理COD 轨道
两式相比且
：
所以
，故D 正确，C 错误。
故选BD。
16．AD
【详解】由机械能守恒，因b 环开始的竖直高度大于c，根据
可得，
，选项
A 正确，B 错误；过a 点做竖直线，分别做经过c 点和b 点的等时圆如图；由图可知过c 点
的等时圆的直径较大，则时间长，即t1<t2，故选项D 正确，C 错误；故选D.
点睛：此题判断速度关系很容易，判断时间关系根据“等时圆”的适用条件构造出“等时
圆”，作出图象，根据位移之间的关系即可判断运动时间，很简单快捷．
17．（1）
；（2）
【详解】（1）设AB 与水平方向的夹角为θ，小朋友沿AB 下滑时的加速度
由运动学公式有
由几何关系知
解得
由上式可知，沿滑梯运动的时间t 与滑梯和水平面间的夹角无关，同理可知
故
（2）画出以P 点为最高点、半径为r 与题图中圆外切的圆，如图
设切点为D，根据第（1）问的结论，当小朋友沿滑梯PD 下滑时，在滑梯上运动的时间最
短，由几何关系知
解得
结合第（1）问的结论有
