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微专题3 动态圆和磁聚焦与磁发散问题
题型1 三类“动态圆”问题
1．解决带电粒子在磁场中运动的临界问题，关键在于运用动态思维，利用动态
圆思想寻找临界点，确定临界状态，根据粒子的速度方向找出半径方向，同时
由磁场边界和题设条件画好轨迹，定好圆心，建立几何关系。
2．粒子射出或不射出磁场的临界状态是粒子运动轨迹与磁场边界相切。
3．常用的动态圆
示意图
适用条件
应用方法
放
缩
圆
(轨迹圆的圆心在P1P2直线上)
粒子的入射点位
置相同，速度方
向一定，速度大
小不同
以入射点P 为定点，
将半径放缩作轨迹
圆，从而探索出临界
条件
旋
转
圆
(轨迹圆的圆心在以入射点P
为圆心、半径R＝的圆上)
粒子的入射点位
置相同，速度大
小一定，速度方
向不同
将一半径为R＝的圆
以入射点为圆心进行
旋转，从而探索出临
界条件
平
移
圆
(轨迹圆的所有圆心在一条直
线上)
粒子的入射点位
置不同，速度大
小、方向均一定
将半径为R＝的圆进
行平移
1.(2025·湖南长沙模拟)如图所示，磁感应强度为B 的匀强磁场方向垂直纸
面向里，图中虚线为磁场的边界，其中bc 段是半径为R 的四分之一圆弧，ab、
cd 的延长线通过圆弧的圆心，Ob 长为R。一束质量为m、电荷量为q 的粒子，
在纸面内以不同的速率从O 点垂直ab 射入磁场，已知所有粒子均从圆弧边界射
出，其中M、N 是圆弧边界上的两点，不计粒子间的相互作用和重力。则下列
分析中正确的是( )
A．粒子带负电
B．从M 点射出的粒子速率一定大于从N 点射出的粒子速率
C．从M 点射出的粒子在磁场中的运动时间一定小于从N 点射出的粒子在磁场
中的运动时间
D．所有粒子所用最短时间为
【答案】 D
【解析】 粒子做逆时针的匀速圆周运动，根据左手定则，可知粒子带正电，
A 错误；根据qvB＝m，得v＝，从M 点射出的粒子的圆周半径更小，则速度更
小，B 错误；由图可知，从M 点射出粒子轨迹所对圆心角大于从N 点射出粒子
的，据t＝T 可知，从M 点射出的粒子在磁场中的运动时间一定大于从N 点射出
的粒子在磁场中的运动时间，C 错误；由t＝T＝知，粒子周期不变，圆周运动
的圆心角越大，运动时间越长，由几何关系可知，弦切角等于圆心角的一半，
弦切角越小，运动时间越短，如图，当弦与bc 圆弧边界相切时，弦切角最小。
Ob 等于R，由几何关系，此时圆周运动的圆心角为120°，则最短时间为tmin＝
×＝，D 正确。
2.(2025·安徽马鞍山期末)如图，空间存在垂直于纸面向外、磁感应强度大
小为B 的匀强磁场(未画出)，线状粒子源OM 与屏ON 垂直，ON＝2OM＝2L，
粒子源能发射质量为m、电荷量为＋q、速度大小为v，方向与磁场垂直且与
OM 夹角θ＝45°的粒子，已知v＝，不计粒子重力，则屏ON 上有粒子打到的区
域长度为( )
A．L
B．(－1)L
C．L
D．L
【答案】 D
【解析】 如图，粒子源发出的粒子做圆周运动的圆心都位于O1O2连线上，M
点及O 点发出的粒子恰好可打到O 点，OM 之间的粒子均可打到屏上，其中自
OM 中点发出的粒子圆心位于NO 延长线上，该粒子打在屏上的位置距离O 点
最远，根据洛伦兹力提供向心力qvB＝m，可得R＝，根据几何关系可得光屏上
有粒子打到的区域长度为x＝R(1－sin 45°)＝L，故选D。
3.(多选)(2025·河北邯郸三模) 如图所示，在x 轴上方存在磁感应强度大小
为B、方向垂直于平面向里的匀强磁场。x 轴上放置一无限长挡板，挡板上M、
N 两点的坐标分别为和，坐标为的P 点存在一粒子源，可以在xOy 平面内向各
个方向均匀发射速率为v，比荷为的正电粒子，不计粒子重力及粒子间相互作
用，下列说法正确的是( )
A．带电粒子在磁场中顺时针运动
B．若v＝，则打在挡板上的粒子数占总数的
C．若v＝，则挡板上有粒子打到的线段长度为
D．若v＝，将挡板撤去，则MN 之间各处均有粒子通过
【答案】 BC
【解析】 根据左手定则，带电粒子在磁场中逆时针运动，故A 错误；根据半
径公式r＝，v＝，带入解得r＝，如图甲所示，则打在挡板上的粒子的两个临
界为①和②，对应的角度范围为180°，则打在挡板上的粒子数占总数的，故B
正确；打在挡板上的长度为两个临界②和③，对应的长度分别为l1＝，l2＝＝，
挡板上有粒子打到的线段长度为Δl＝l1＋l2＝，故C 正确；由v＝，可知粒子的
轨迹半径为r′＝，打在MN 的临界如图乙中④和⑤，QN 段无粒子通过，故D
错误。故选BC。
题型2 磁聚焦与磁发散
磁聚焦与
磁发散
轨迹圆半
径等于区
域圆半径
带电粒子平行射入圆形有界匀强磁
场，则粒子从磁场边界上同一点射
出，该点切线与入射方向平行——
磁聚焦，从边缘某点以不同方向入
射时平行射出——磁发散
4.(多选)(2025·福建泉州模拟)我国研制的世界首套磁聚焦霍尔电推进系统已
经完成了全部在轨飞行验证工作，可作为太空发动机使用，带电粒子流的磁聚
焦是其中的关键技术之一。如图，实线所示的两个圆形区域内存在垂直于纸面
的匀强磁场Ⅰ、Ⅱ，磁感应强度分别为B1，B2。两圆半径均为r，相切于O
点。一束宽度为2r 的带电粒子流沿x 轴正方向射入后都汇聚到坐标原点O。已
知粒子的质量均为m、电荷量均为＋q、进入磁场的速度均为v，不计带电粒子
的重力及粒子间的相互作用力。下列说法正确的是( )
A．B1的大小为
B．从O 点进入磁场Ⅱ的粒子的速度仍相等
C．若B2＝2B1，则粒子在磁场Ⅱ的边界的射出点在四分之一圆周上
D．若B2＝0.5B1，则粒子在磁场Ⅱ中运动的最长时间为
【答案】 AD
【解析】 由磁聚焦的特点可知，粒子在磁场中的运动半径与磁场圆的半径相
等，即B1qv＝，解得B1＝，故A 正确；洛伦兹力只改变带电粒子的运动方向不
改变其速度的大小，则粒子在O 点速度大小相等，但速度的方向不同，故B 错
误；若B2＝2B1，则r2＝＝r，可知粒子离开磁场Ⅱ最远的位置离原点距离为r，
如图1 所示，由几何关系，弦所对最大圆心角为60°，故粒子在磁场Ⅱ的边界的
射出点在六分之一圆周上，故C 错误；若B2＝0.5B1，则r2＝＝2r，由此可知，
粒子离开磁场Ⅱ运动轨迹的弦越长，运动的时间越长，如图2 所示，粒子在磁
场中运动轨迹的圆心角为60°，则粒子在磁场Ⅱ中运动的最长时间为t＝×＝，
故D 正确。故选AD。
【基础必刷题】
1．(2025·福建莆田二模)带电粒子流的磁聚焦是薄膜材料制备的关键技术之一。
磁聚焦原理如图，真空中一半径为r 的圆形区域内存在垂直纸面的匀强磁场，
一束宽度为2r、沿x 轴正方向运动的带电粒子流射入该磁场后汇聚于坐标原点
O。已知粒子的质量均为m、电荷量均为q、进入磁场的速度均为v，不计带电
粒子的重力及粒子间的相互作用力。则磁感应强度的大小应为( )
A.
B．
C.
D．
【答案】 C
【解析】 利用圆形区域匀强磁场实现对带电粒子流的磁聚焦，需要满足：粒
子匀速圆周运动半径与圆形磁场区域的半径相等，设粒子做匀速圆周运动的半
径为R，则有R＝r，粒子匀速圆周运动所需向心力等于洛伦兹力，则有qvB＝
m，解得B＝，故选C。
2．(多选)(2025·安徽蚌埠模拟)如图，半径为R 的圆形区域内有一垂直于纸面向
里、磁感应强度大小为B 的匀强磁场，磁场边界上的P 点有一同种粒子源，粒
子的比荷为k，粒子以相等速率沿不同方向进入磁场，其中沿直径方向飞入的
粒子在有界磁场中偏转90°射出，粒子的重力以及粒子之间的相互作用力均可忽
略，由此可以判断( )
A．所有粒子离开磁场时的速度方向相互平行
B．粒子从P 点进入磁场时的速率为kBR
C．粒子从P 点进入磁场时的速率为
D．若粒子从射出点沿射出速度反方向以相等速率射入，一定会从P 点射出
【答案】 AB
【解析】 沿直径方向飞入的粒子在有界磁场中偏转90°射出，根据几何关系可
知，粒子圆周运动的轨迹半径为R，则任意方向进入磁场的粒子其入射点、出
射点、轨迹圆心与磁场圆心四点构成棱形，则出射点速度方向始终垂直于入射
点位置磁场圆的半径，即所有粒子离开磁场时的速度方向相互平行，故A 正
确；结合上述可知qvB＝m，解得v＝＝kBR，故B 正确，C 错误；若粒子从射
出点沿射出速度反方向以相等速率射入，根据左手定则可知，粒子所受洛伦兹
力方向与射出前洛伦兹力方向相反，粒子偏转方向与射出前相反，此后轨迹入
射点、出射点、轨迹圆心与磁场圆心四点构成棱形，根据磁汇聚可知，粒子将
从磁场圆上与P 点对称的点射出，故D 错误。故选AB。
3.(2025·山东临沂模拟)如图所示，直角三角形的AB 边长为L，∠C＝30°，三角
形区域内存在着方向垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B。一质量
为m、电荷量为q 的带正电粒子从D 点沿着垂直BC 边的方向以速度v 射入磁
场，CD 间距离为L，不计粒子受到的重力。下列说法正确的是( )
A．粒子在磁场中运动的最长时间为
B．v＝时，带电粒子垂直于AC 边射出磁场
C．若粒子从BC 边射出磁场，则v<
D．若粒子从AC 边射出磁场，则v>
【答案】 B
【解析】 粒子带正电，根据左手定则可知，粒子进入磁场后将向上偏转，粒
子从BC 边离开时，粒子在磁场中运动轨迹对应的圆心角最大，运动时间最
长，当轨迹刚好与AC 边相切时，粒子轨迹如图1 所示
由洛伦兹力提供向心力可得qv1B＝m
根据几何关系可得r1＋＝L
联立解得r1＝，v1＝
可知粒子在磁场中运动的最长时间为tmax＝T＝
若粒子从BC 边射出磁场，则有v<
若粒子从AC 边射出磁场，则有v>
故A、C、D 错误；若带电粒子垂直于AC 边射出磁场，如图2 所示
根据几何关系可知r2＝L
由洛伦兹力提供向心力可得qvB＝m
联立解得v＝
故B 正确。
4．(多选)(2025·广东中山模拟)如图所示，边长为L 的等边三角形A′B′C′区
域内，存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B。若将质量为m、电荷
量为q 的带正电粒子从顶点A′沿角平分线方向以不同的速率射入磁场区域
内，不计粒子重力，则( )
A．粒子可能从B′点射出
B．粒子入射速率为时，从C′点射出
C．粒子入射时的速率越大，在磁场中的运动时间一定越短
D．从A′C′边射出的粒子，出磁场时的速度方向都相同
【答案】 BD
【解析】 根据左手定则，粒子会向A′C′偏转，不可能从B′点射出，故A
错误；根据洛伦兹力提供向心力qvB＝m，若粒子从C′点射出，根据几何关系
有r＝L，解得粒子入射速率为v＝，故B 正确；粒子在磁场中的运动周期为T
＝，设粒子运动轨迹对应的圆心角为θ，粒子在磁场中的运动时间为t＝T＝，
当粒子的速度大于等于时，粒子都打在A′C′边上，其轨迹对应的圆心角都相
等，都等于60°，在磁场中的运动时间相等，则粒子入射时的速率越大，在磁场
中的运动时间不一定越短，从A′C′边射出的粒子，在磁场中偏转角度相同，
出磁场时的速度方向都相同，故C 错误，D 正确。故选BD。
5．(多选)(2025·湖南郴州模拟)如图所示，匀强磁场中位于P 处的粒子源可以沿
垂直于磁场向纸面内的各个方向发射质量为m、电荷量为q，速率为v 的带正电
粒子，P 到荧光屏MN 的距离为d，设荧光屏足够大，不计粒子重力及粒子间的
相互作用。下列判断正确的是( )
A．若磁感应强度B＝，则发射出的粒子到达荧光屏的最短时间为
B．若磁感应强度B＝，则同一时刻发射出的粒子到达荧光屏的最大时间差为
C．若磁感应强度B＝，则荧光屏上形成的亮线长度为(＋)d
D．若磁感应强度B＝，则荧光屏上形成的亮线长度为(＋2)d
【答案】 ABC
【解析】 根据qvB＝m，若磁感应强度B＝
由题可知，运动的轨道半径R＝d
最短时间时，恰好弦长最短，打到P 点的正左方，如图所示
根据几何关系，偏转的圆心角为，因此运动时间为t＝＝，故A 正确；
由几何关系可知，打到荧光屏MN 上最长时间恰好运动了个周期，轨迹如下图
所示
因此时间差Δt＝＝，故B 正确；
若磁感应强度B＝，则轨道半径R＝2d
到达荧光屏最下端的粒子的轨迹是与MN 相切的，设下半部分的亮线长度为
x1，根据几何关系，有x＋(R－d)2＝R2
解得x1＝d
到达荧光屏最上端的粒子与屏的交点与P 点连线为轨迹的直径，设上半部分亮
线的长度为x2，根据几何关系，有x＋d2＝(2R)2
解得x2＝d
所以亮线的总长度为(＋)d，故C 正确，D 错误。故选ABC。
【巩固必刷题】
6．(多选)(2025·陕西榆林一模)磁聚焦的原理图如图。通电线圈产生沿其轴线
AA′方向的匀强磁场。从A 点发出的带电粒子束初速度v0大小相等，方向与
AA′的夹角都比较小。把初速度v0 沿AA′方向和垂直于AA′方向分解，沿
AA′方向的分速度v1＝v0cos θ≈v0(θ 很小时)，这表明所有粒子在沿AA′方向
的分速度都相同。在垂直AA′方向，所有粒子均做圆周运动，只要粒子的比荷
相等，周期就相等，因此，所有从A 点发出的带电粒子束就能在A′点汇聚，
这就是磁聚焦原理。设由电性相反、比荷均为k 的两种粒子组成的粒子束从A
点射入该通电线圈，初速度v0大小相等，方向与AA′的夹角相等且都很小，这
些粒子在A′点汇聚在了一起。已知该通电线圈在线圈内产生的匀强磁场的磁
感应强度大小为B，忽略粒子的重力及粒子间的相互作用，则A、A′之间的距
离可能是( )
A.
B．
C.
D．
【答案】 BCD
【解析】 由于粒子束由电性相反的两种粒子组成，两种粒子在磁场中的旋转
方向相反，要实现汇聚，必须经过周期的整数倍，因此A、A′之间的距离可能
是Tv0、2Tv0…而不能是Tv0、…，由于qvB＝m，T＝，解得T＝＝，所以A、
A′之间的距离可能是d＝(n＝1,2,3…)，当n＝1 时有d＝，当n＝2 时有d＝，
当n＝3 时有d＝，故选BCD。
7．(2025·湖南娄底模拟)磁场可以对带电粒子的运动施加影响，只要设计适当的
磁场，就可以控制带电粒子进行诸如磁聚焦、磁扩散、磁偏转、磁约束与磁滞
留等运动。利用电场和磁场来控制带电粒子的运动，在现代科学实验和技术设
备中有广泛的应用，如图所示，以O 点为圆心、半径为R 的圆形区域内有垂直
纸面向外的匀强磁场，圆形区域外有垂直纸面向里的匀强磁场，两个磁场的磁
感应强度大小都是B。有一质量为m、所带正电荷电荷量为q 的带电粒子从P
点沿半径垂直磁场射入圆形区域，粒子两次穿越磁场边界后又回到P 点，不计
粒子重力，则( )
A．粒子在磁场中做圆周运动的轨迹半径为R
B．粒子从P 点射入磁场的速度大小为
C．粒子从P 点射出到第一次回到P 点所需的时间为
D．如果圆形区域外的磁场在一个以O 为圆心的圆环内，则该圆环的面积至少
为(6＋4)πR2
【答案】 D
【解析】 因为粒子两次穿越磁场边界后又回到P 点，画出粒子轨迹示意图如
图所示，设粒子做圆周运动的轨迹半径为r，则有tan 30°＝，可得r＝R，选项
A 错误；由qvB＝m，可得v＝，选项B 错误；粒子在磁场中做匀速圆周运动的
周期为T＝＝，粒子从P 点射出到第一次回到P 点所需要的时间为t＝＋＋＝，
选项C 错误；由几何关系可知，圆环的大圆半径为(2＋)R，小圆半径为R，所
以其面积为S＝π[(2＋)R]2－πR2＝(6＋4)πR2，选项D 正确。
8.(2025·陕西西安模拟)如图所示，在xOy 坐标系中，垂直于x 轴的虚线与y 轴之
间存在磁感应强度大小为B 的匀强磁场(含边界)，磁场方向与xOy 平面垂直。
一质子束从坐标原点射入磁场，所有质子射入磁场的初速度大小不同但初速度
方向都与x 轴正方向成α＝53°角向下。PQ 是与x 轴平行的荧光屏(质子打到荧
光屏上不再反弹)，P、Q 两点的坐标分别为P(0,0.4l)，Q(l,0.4l)。已知质子比荷
＝k，sin 53°＝0.8。求：(结果均可用分数表示)
(1)质子在磁场中运动的最长时间是多少；
(2)如果让荧光屏PQ 发光长度尽可能长且质子的运动轨迹未出磁场，质子初速
度大小的取值范围是多少。
【答案】 (1) (2)≤v≤
【解析】 (1)质子能打到y 轴上时，在磁场中运动的时间最长，如图1 所示
由周期公式T＝
又由几何关系可知θ＝2(90°－α)
则粒子在磁场中运动的最长时间
t＝T＝。
(2)当质子轨迹与PQ 相切时，如图1 所示，设此时初速度为v1，轨迹半径为R，
由几何关系可得R＋Rcos α＝0.4l
又qBv1＝
解得v1＝＝
当粒子运动轨迹与磁场边界相切时，如图2 所示
设此时初速度为v2，轨迹半径为R′，由几何关系可得R′＋R′sin α＝l
又qBv2＝
解得v2＝＝
综上可得≤v≤。
9．(2025·天津模拟)在以坐标原点O 为中心、边长为l 的正方形EFGH 区域内，
存在磁感应强度为B、方向垂直于纸面向外的匀强磁场，如图所示。在A 处有
一个粒子源，可以连续不断地沿＋x 方向射入速度不同的带电粒子，且都能从
磁场的上边界射出。已知粒子的质量为m，电荷量为q，不计重力，不考虑粒
子间的相互作用。求：
(1)粒子所带的电性；
(2)从E 点射出的粒子的速度大小v；
(3)若粒子以速度v′＝射入磁场，粒子在磁场中运动的时间t。
【答案】 (1)负电 (2) (3)
【解析】 (1)根据左手定则，粒子带负电。
(2)根据牛顿第二定律得qvB＝m
根据题意得r＝l
解得v＝。
(3)若粒子以速度v′＝射入磁场，根据牛顿第二定律得qv′B＝m
解得r′＝l
根据几何关系得cos θ＝
解得θ＝60°
粒子在磁场中运动的时间
t＝T
T＝
解得t＝。
10．(2025·山东临沂模拟)如图所示，在xOy 平面内的第一象限内存在一有界匀
强磁场(未画出)，磁感应强度大小为B、方向垂直于xOy 平面向外。一束质量为
m、电荷量为＋q 的粒子以不同的速率从O 点沿xOy 平面内的OP 方向发射，沿
直线飞行到P 点时进入有界匀强磁场区域，O、P 两点间的距离为L，OP 连线
与x 轴正方向的夹角α＝30°，所有粒子在离开磁场后最终都能从x 轴上垂直x
轴射出，若速度最大的粒子A 从x 轴上的Q 点以速度vm(未知)射出，且射出之
前都在磁场内运动，粒子所受的重力忽略不计，求：
(1)vm的大小；
(2)粒子A 在匀强磁场中运动的时间；
(3)有界匀强磁场区域的最小面积。
【答案】 (1) (2) (3)L2
【解析】 (1)粒子的运动轨迹如图
设粒子A 在磁场中做圆周运动的半径为Rm，由几何关系得Rm＝L
粒子在磁场中的圆周运动，由洛伦兹力提供向心力，则有qvmB＝m
解得vm＝。
(2)粒子做匀速圆周运动，则有qvB＝m
周期为T＝
解得T＝
由运动轨迹可知，粒子A 经过磁场后的偏转角为120°，则粒子A 在磁场中运动
的时间
t＝T＝T
解得t＝。
(3)由几何关系可知三角形PO1Q 的面积
S1＝Rsin 120°
120°圆心角对应的扇形面积
S2＝πR
由数理规律可知，磁场区域的最小面积为图中阴影部分面积，其面积
ΔS＝S2－S1＝L2。
