【www.xue-ba.org 12 年学霸网】
【www.xue-ba.org 12 年学霸网】
题型6 摆线、螺旋线问题
1.(11 分)如图甲所示,我国目前采用的是托卡马克磁约束装置作为核聚变反应的“容器”,2021 年5
月,中科院合肥物质科学研究院研发的“EAST 人造太阳”持续“燃烧”了101 秒。某实验室简化模
拟的磁约束磁场如图乙所示,半径为R 的足够长水平圆柱形区域内分布着水平向右的匀强磁场Ⅰ,并
已知磁感应强度为B;圆柱形磁场区域Ⅰ外侧分布有厚度为L 的环形磁场Ⅱ,其磁感应强度大小处处
相同,方向与B(磁场Ⅰ)垂直,其左视图与纵截面图分别如图丙、丁所示。某时刻速度大小为v=BqR
m
的氘原子核(已知氘原子核质量为m,电荷量为q)从水平磁场Ⅰ最低点竖直向下射入磁场Ⅱ,氘原子核
恰不能飞出磁场区域,忽略粒子所受重力和空气阻力,不考虑相对论效应。
甲
乙
丙
丁
(1)求环形磁场Ⅱ的磁感应强度大小;
【www.xue-ba.org 12 年学霸网】
【www.xue-ba.org 12 年学霸网】
(2)求该氘原子核从出发到第二次回到水平磁场Ⅰ最低点需要的时间;
(3)若氘原子核以2v 的速度在水平磁场Ⅰ最低点射出,在竖直平面内与水平方向成θ=60°角射入磁场
Ⅱ(如图丁所示),则从出发到第二次回到水平磁场Ⅰ最低点的时间内,氘原子核的水平位移为多少?
2.(11 分)如图所示,真空中有一个半径r=0.5 m 的圆形磁场区域,与x 轴相切于坐标原点O,磁感应强度
B=2×10-4 T,方向垂直于纸面向外,在圆形磁场区域的右侧有一水平放置的正对平行金属板M、N,板
间距离为d=0.5 m,板长L=0.6 m,板间中线O2O3的反向延长线恰好过磁场圆的圆心O1。若在O 点处
有一粒子源,能均匀地向磁场中各个方向源源不断地发射速率相同、比荷为q
m
=1×108 C/kg 的带正电
粒子,粒子的运动轨迹在纸面内。已知一个沿y 轴正方向射入磁场的粒子,恰能沿直线O2O3方向射入
平行板间。不计重力、阻力及粒子间的相互作用力。
若平行板足够长,且在平行板的左端装上一挡板(图中未画出),挡板正中间O2处有一小孔,恰能让单个
粒子通过,且在两板间加上沿y 轴负方向的匀强电场E 和垂直xOy 平面向里的匀强磁场B=2×10-4 T,
要使粒子能从两极板间射出。求电场强度E 的大小范围。
【www.xue-ba.org 12 年学霸网】
【www.xue-ba.org 12 年学霸网】
3.(11 分)(2023 浙江高三阶段练习)某兴趣小组为模拟控制带电粒子的运动,设计了如图甲所示的装置,
带正电粒子经加速后以速度v0沿中心轴线A0O 水平向右射出,进入水平、上下正对放置的平行板电
容器M、N(两板长为L1、间距为d,板间有垂直轴线A0O 水平向外、大小为B1的匀强磁场),射出后进
入方向平行轴线A0O 水平向右、大小为B2的匀强磁场(分布于间距为L2、与A0O 垂直的两平面
A1C1C4A4、A2C2C3A3之间,A1C1C4A4平面紧靠电容器右端,垂直轴线A0O 方向范围非常大)。紧贴
A2C2C3A3放有荧光屏,荧光屏上建立如图丙所示以OA0为z 轴的坐标系Oxyz。整个系统置于真空中,
粒子的电荷量为q、质量为m,不计重力,不考虑相对论效应。假设各场都有理想的边界,打到屏上的
粒子立刻被吸收,v0、q、m、d、B1、B2、L1已知。
甲
乙
丙
【www.xue-ba.org 12 年学霸网】
【www.xue-ba.org 12 年学霸网】
(1)当加在M、N 板间电压U0等于多少时粒子恰好能沿A0O(z 轴负方向)打到荧光屏中心点O,M、N
哪板电势高?
(2)若M、N 间不加电压,求粒子能从M、N 两板间右侧飞出,B1大小要满足的条件;
(3)在满足(1)的条件下,粒子源持续、均匀地每秒射出n 个粒子,撤去M、N 两板间的磁场,两板间加电
压UNM=kU0,保证粒子能打到荧光屏上,求k 的最大取值和粒子打到荧光屏上时垂直荧光屏方向的平
均作用力大小;
(4)如图丙所示,若大量粒子从M、N 板右侧(0,0,L2)点以v0射出,但偏离z 轴负方向有很小角度的散射
(角度分布在0~θ 弧度范围内的一切方向),这些粒子有无可能聚焦在荧光屏一点上?你若认为可能则
求出L2需满足的条件和聚在哪一点上;若不可能请说明理由。(当θ 很小时sin θ≈θ、cos θ≈1)
【www.xue-ba.org 12 年学霸网】
【www.xue-ba.org 12 年学霸网】
参考答案
题型6 摆线、螺旋线问题
1.【答案】 (1)BR
L
(2)2π m
Bq + 4 π mL
BqR
(3)πR+6√3L
【解析】 (1)由题意可知,粒子不能从磁场Ⅱ飞出,由于qvB2=mv
2
R2
,需要轨迹半径R2=L,解得B2=
BR
L
。
(2)粒子在磁场Ⅰ区域时有qvB=mv
2
R1
,v=BqR
m
,解得此时的轨迹半径R1=R
所以粒子在磁场Ⅰ区域的轨迹如图甲所示
甲
所以粒子在磁场Ⅰ区域运动总时间t1=2π R
v
= 2π m
Bq
粒子在磁场Ⅱ中做四次半个圆周运动,总时间t2=2π L×2
v
= 4 π mL
BqR
所以t 总=t1+t2=2π m
Bq + 4 π mL
BqR
。
(3)粒子在磁场Ⅱ中运动,速度为2v 时轨道半径为R2'=2L
粒子在磁场Ⅱ中每运动一次,水平位移为2√3L
粒子由磁场Ⅱ进入磁场Ⅰ时,其速度可分解为与磁场Ⅰ垂直的分速度v1=√3v
与磁场Ⅰ平行的分速度v2=v
粒子以v1在磁场Ⅰ中做圆周运动轨迹如图乙所示
【www.xue-ba.org 12 年学霸网】
【www.xue-ba.org 12 年学霸网】
乙
√3vqB=m(√3 v )
2
R1'
,R1'=√3R
在磁场Ⅰ中运动总时间t3=3×60°
360°
T=π m
Bq
磁场Ⅰ中的水平位移x1=v2t3=πR
磁场Ⅱ中的水平位移x2=2√3L×3=6√3L
所以粒子总水平位移x 总=πR+6√3L。
2.【答案】 3
2
V/m<E<5
2
V/m
【解析】 为了突出问题,省略了前面两问。很多考生对速度选择器有一个固有认知,认为速度选
择器只能选择特定速度的粒子,其他粒子都会撞击到金属板。其实速度在一定范围内的粒子不
一定会撞击金属板,可使用配速法解决此类问题。
令v0=v1+v2,v1满足Eq=Bqv1
①当v0=v1时,E=2 V/m
②如图甲所示,当v0>v1时,v2=v0-v1=v0- E
B
甲
粒子以v2做匀速圆周运动,有Bqv2=mv2
2
R
R=m v2
Bq =
m(v0- E
B)
Bq
若要粒子能射出则R<d
4
得E>3
2
V/m
③如图乙所示,当v0<v1时,v2=v1-v0= E
B
-v0
乙
【www.xue-ba.org 12 年学霸网】
【www.xue-ba.org 12 年学霸网】
粒子以v2做匀速圆周运动,有Bqv2=mv2
2
R
R=m v2
Bq =
m(
E
B - v0)
Bq
若要粒子能射出,则R<d
4
得E<5
2
V/m
故3
2
V/m<E<5
2
V/m。
3.【答案】 (1)B1dv0 N 板
(2)B1≤
4 dm v0
q(4 L1
2+d
2)
(3)nmv0
(4)见解析
【解析】 (1)带正电粒子从M、N 板间恰好能沿A0O(z 轴负方向)打到荧光屏中心点O,静电力和
洛伦兹力平衡。由左手定则,洛伦兹力向下,因此静电力向上。电场方向向上,N 板电势高。如图
甲所示
甲
由qE=qv0B1
又E=U 0
d
则qU 0
d
=qv0B1
得U0=B1dv0。
(2)临界状态如图乙所示
【www.xue-ba.org 12 年学霸网】
【www.xue-ba.org 12 年学霸网】
乙
由几何关系得,粒子做圆周运动的最大半径为R,满足L1
2+(R - d
2)
2
=R2
洛伦兹力提供向心力,有qv0B1=mv0
2
R
得B1≤
4 dm v0
q(4 L1
2+d
2)
。
(3)临界状态如图丙所示,有L1=v0t,d
2 = 1
2 · qk U 0
md
t2
解得k= md v0
q B1 L1
2
即km= md v0
q B1 L1
2
对粒子垂直荧光屏方向的作用力,只与z 轴方向速度有关,故有0-nmv0Δt=-FΔt
得F=nmv0。
丙
(4)粒子从同一点进入B2区做等距螺旋线运动,沿z 轴方向做匀速直线运动,z 轴方向速度vz=v0cos
θ≈v0
且L2=v2t=v0t,t=nT,T=2π m
q B2
则L2=2π nm v0
q B2
(n=1,2,3,…)
粒子在与z 轴垂直方向上做匀速圆周运动,且v⊥=v0sin θ≈v0θ
T 与速度无关,所以聚焦于O 点。
