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导数及其应用
目录
【解密高考】总结常考点及应对的策略，精选名校模拟题，讲解通关策略（含押题型）
【题型一】 切线问题
【题型二】 极值与极值点
【题型三】 含参讨论单调性
【题型四】 恒成立求参
【题型五】 能成立求参
【题型六】 零点问题
【题型七】 隐零点问题
【题型八】 构造函数求参
【题型九】 多变量问题
【误区点拨】
易错点1：①除法求导要注意分子是相减，分母带平方；
②复合函数对自变量的导数等于已知函数对中间变量的导数,乘以中间变量对自变量的导数,即
．
易错点2：使用导数求函数极值时，很容易出现的错误是求出使导函数等于0 的点，还需要对这些点左右
两侧导函数的符号进行判断
：导数在新结构试卷中的考察重点偏向于小题，原属于导数的压轴题有所改变，但导数在
高考中的考察依然属于重点，题型很多，结合的内容也偏多，比如常出现的比较大小和恒成立问题等都结
合着构造函数的思想.
：在处理含对数的等式、不等式时，通常要将对数型的函数“独立分离”出来，这样再对新
函数求导时，就不含对数了，从而避免了多次求导. 这种让对数“孤军奋战”的变形过程，俗称之为“对
数单身狗”.
【题型一】 切线问题
【例1】已知函数
.
(1)求曲线
在点
处的切线方程；
(2)求过点
且与曲线
相切的直线的切点坐标.
【例2】若直线
是曲线
的切线，也是曲线
的切线，则
【变式1】已知曲线
在点
处的切线与直线
垂直，则
的值为
（ ）
A．
B．
C．1
D．
【变式2】过原点且与曲线
相切的直线有（ ）
A．1 条
B．2 条
C．3 条
D．4 条
【变式3】过定点
作曲线
的切线，恰有2 条，求实数
的取值范围.
【题型二】 极值与极值点
【例1】设三次函数
的导函数为
，函数
图象的一部分如图所示，则下列说法正确的个
数为（ ）
①函数
有极大值
②函数
有极小值
③函数
有极大值
④函数
有极小值
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
【例2】已知函数
在
处取得极值.
(1)求
的值；
(2)当
时，求曲线
在
处的切线方程；
(3)当
时，求曲线
的极值.
【变式1】已知函数
若
，则函数的极小值点是 ；若函数
在
上存在唯一的极值点．则实数a 的取值范围为 ．
【变式2】已知函数
（
为常数），曲线
在点
处的切线平行于
直线
.
(1)求函数
的解析表达式；
(2)求函数
的极值.
【变式3】已知函数
有两个极值点，则实数
的取值范围是 ．
【题型三】 含参讨论单调性
【例1】设函数
，直线是曲线
在点
处的切线．
(1)当
时，求
的单调区间.
【例2】设函数
，曲线
在点
处的切线方程为
．
(1)求
的值；
(2)设函数
，求
的单调区间；
【变式1】已知函数
．
(1)当
时，讨论
的单调性；
【变式2】已知函数
．
(1)讨论
的单调性；
【题型四】 恒成立求参
【例1】已知函数
，若
在
上恒成立，则实数
的取值范围是 ．
【例2】已知函数
.
(1)若
存在极小值，且极小值为
，求
；
(2)若
，求
的取值范围.
【变式1】已知对于任意的
，存在
，使得不等式
恒成立，则实数
的取值范围
为 ．
【变式2】已知函数
．
(1)讨论
的单调性；
(2)当
时，
，求实数
的值．
【题型五】 能成立求参
【例1】若函数
存在单调递减区间，则实数
的取值范围是 ．
【例2】已知函数
(1)当
时，求
的极值；
(2)若存在
，使得
，求
的取值范围．
【变式1】已知函数
，若存在实数
，使得
成立，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2】已知函数
.
(1)当
在
处的切线是
时，求
的单调区间与极值；
(2)若
在
上有解，求实数
的取值范围.
【题型六】 零点问题
【例1】已知函数
(1)判断函数
的单调性，并求出
的极值；
(2)画出函数
的大致图像并求出方程
的解的个数．
【例2】函数
有三个零点，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1】若函数
，当
时，函数
有极值
，关于x 的方程
有三个不
等实根，则实数k 的取值范围是 .
【变式2】已知函数
．
(1)求函数
的单调区间；
(2)若函数
有两个零点，求实数
的取值范围．
【变式3】已知函数
．
(1)若
，求
在
上的值域；
(2)若
，求
在
上的零点个数．
【题型七】 隐零点问题
【例1】已知函数
.
(1)求函数
的单调区间；
(2)求证：函数
的图象在x 轴上方.
【例2】已知函数
．
(1)若曲线
在
处的切线经过点
，求实数a 的值；
(2)若对任意
，都有
（e 为自然对数的底），求证：
．
【变式1】已知函数
，
.
（1）讨论函数
的单调性；
（2）若函数
在区间
有唯一零点
，证明：
.
【变式2】已知函数
．
（1）证明：
在区间
内存在唯一的零点；
（2）若对于任意的
，都有
，求整数
的最大值．
【题型八】 构造函数求参
【例1】已知
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【例2】已知实数
满足
且
，则
的最小值为 .
【例3】已知定义在
上的函数
，
是
的导函数，满足
，且
，
则不等式
的解集是（ ）
A．
B．
C．
D．
几种导数的常见构造：
对于
，构造
若遇到
，构造
对于
，构造
对于
，构造
对于
或
，构造
对于
，构造
对于
，构造
【变式1】已知
是定义在
上的偶函数，且当
时，
，则满足
的
的取值范围是 ．
【变式2】已知
恒成立，则正数
的取值范围为 ．
【变式3】（多选）定义在
上的函数
满足
，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【题型九】 多变量问题
【例1】已知函数
，其中
(1)讨论
的单调性；
(2)若函数
有两个极值点
，
，证明：
【例2】已知函数
．
(1)若函数
有两个零点，求
的取值范围；
(2)设
是函数
的两个极值点，证明：
．
【变式1】已知函数
，其中
，为自然对数的底数.
(1)求
的单调区间；
(2)设
且
，请判断
与
的大小，并证明.
【变式2】已知函数
．
(1)若函数
在
处有极值，且关于
的方程
有3 个不同的实根，求实数的取值范
围；
(2)记
.若对任意
且
时，均有
成立，求实数
的取
值范围．
【变式3】已知函数
．
(1)求函数
的单调区间；
(2)已知函数
的图象与
的图象关于直线
对称，证明：当
时，
；
(3)如果
，且
，证明：
．
目标希望是这样的：由
；
在处理含指数的等式、不等式时，通常要将指数型函数与其它函数（乘或除）结合起来，这样再对新
函数求导时，就避免了多次求导. 俗称之为“指数找朋友”或“指数常下沉”.
例1、知函数f (x)=loga x
x
a
(a>0且a≠1).
(1)当a=2时，判断f (x)的单调性；
(2)若f (x)≥−1恒成立，求a的值.
变式1、已知函数f (x)= 2ln x + x +a
x
(a∈R)
(1)若a=2，求f (x)的单调区间.
(2)若对∀x∈(0,+ ∞)，f (x)≤xe
x恒成立，求实数a的取值范围
变式2、已知函数f (x)=ln(x +1)−mx ,g(x)=cosmx −1，其中m∈R.
(1)讨论f (x)的单调性；
(2)若f (x)+ g(x)≤0恒成立，求m.
