文档文本内容
第九章 统计与成对数据的统计分析
§9.3 成对数据的统计分析
【考情分析·探规律】
考点
考情分析（2021-2024）
命题趋势
变量间的相关关系
2024·天津卷
2023·天津卷
2022·全国乙卷
了解样本相关系数的统计含义；了解一元线性
回归模型和2×2 列联表，会运用这些方法解决简
单的实际问题；会利用统计软件进行数据分析。
【知识梳理】
1.变量的相关关系
(1)相关关系：两个变量有关系，但又没有确切到可由其中的一个去精确地决定另一个的程度，这种关
系称为相关关系.
(2)相关关系的分类：正相关和负相关.
(3)线性相关：一般地，如果两个变量的取值呈现正相关或负相关，而且散点落在一条直线附近，我们
就称这两个变量线性相关.
2.样本相关系数
(1)r＝
n
∑
i=1
( xi−x)( yi−y)
❑
√
n
∑
i=1
( xi−x)
2❑
√
n
∑
i=1
( yi−y)
2
.
(2)当r>0 时，称成对样本数据正相关；当r<0 时，称成对样本数据负相关.
(3)|r|≤1；当|r|越接近1 时，成对样本数据的线性相关程度越强；当|r|越接近0 时，成对样本数据的线性
相关程度越弱.
3.一元线性回归模型
(1)我们将y
^
＝b
^x＋a
^称为Y 关于x 的经验回归方程，
其中{
b
^
＝
n
∑
i=1
( xi−x)( yi−y)
n
∑
i=1
( xi−x)
2
,
a
^
＝y −b
^
x .
(2)残差：观测值减去预测值所得的差称为残差.
4.列联表与独立性检验
(1)关于分类变量X 和Y 的抽样数据的2×2 列联表：
X
Y
合计
Y＝0
Y＝1
X＝0
a
b
a＋b
X＝1
c
d
c＋d
合计
a＋c
b＋d
n＝a＋b＋c＋d
(2)计算统计量χ2＝
n(ad −bc)
2
(a＋b)(c＋d )(a＋c)(b＋d)，利用χ2的取值推断分类变量X 和Y 是否独立的方法
称为χ2独立性检验.
【名师点拨】
1.求解经验回归方程的关键是确定回归系数a，b，应充分利用回归直线过样本点的中心(x，y).
2.根据χ2的值可以判断两个分类变量有关的可信程度，若χ2越大，则两个分类变量有关的把握越大.
3.回归分析和独立性检验都是基于成对样本观测数据进行估计或推断，得出的结论都可能犯错误.
【随堂训练】
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)散点图无法判断两个变量是否相关.( )
(2)通过经验回归方程y＝bx＋a可以估计预报变量的取值和变化趋势.( )
(3)只有两个变量有相关关系，所得到的回归模型才有预测价值.( )
(4)事件X，Y 关系越密切，则由观测数据计算得到的χ2的值越小.( )
2.(多选)下列说法正确的是( )
A.两个具有线性相关关系的变量的相关性越强，则样本相关系数r 的值越接近于1
B.当r＝1 时，两变量呈函数关系
C.当经验回归方程为y
^ ＝0.3－0.7x 时，变量x 和y 负相关
D.在经验回归方程y
^ ＝0.4＋0.5x 中，当x 每增加1 个单位时，相应观测值y 增加0.5 个单位
3.想要检验喜欢参加体育活动是不是与性别有关，应该提出统计假设H0为( )
A.男性喜欢参加体育活动
B.女性不喜欢参加体育活动
C.喜欢参加体育活动与性别有关
D.喜欢参加体育活动与性别无关
4.已知变量x 和y 的统计数据如表：
x
6
7
8
9
10
y
3.5
4
5
6
6.5
若由表中数据得到经验回归方程为y
^ ＝0.8x＋a
^，则当x＝10 时的残差为 (注：观测值减去预测值所
得的差称为残差).
【解题技巧】
1.经验回归直线过点(x，y).
2.求b
^时，常用公式b
^
＝
n
∑
i=1
xi yi−n x y
n
∑
i=1
xi
2−n x
2
.
3.回归分析和独立性检验都是基于成对样本观测数据进行估计或推断，得出的结论都可能犯错误.
【必练核心题型】
题型一 成对数据的相关性
【典例】1.(多选)(2025·绵阳模拟)下列说法正确的是( )
A.回归分析中，样本相关系数r 的取值范围为(－1，1)
B.回归分析中，残差图中残差比较均匀地分布在以取值为0 的横轴为对称轴的水平带状区域内，且宽
度越窄表示拟合效果越好
C.回归分析中，决定系数R2越大，说明残差平方和越小，拟合效果越好
D.两个随机变量的线性相关性越强，样本相关系数的绝对值越接近于0
【典例】2.已知变量x 与变量y 线性相关，x 与y 的样本相关系数为－0.8，且由观测数据算得样本平均
数x＝5，y＝6，则由该观测数据算得的经验回归方程可能是( )
A.y
^ ＝0.8x＋2
B.y
^ ＝x＋1
C.y
^ ＝－0.8x＋9
D.y
^ ＝－x＋11
【变式训练】
变式1.(多选)下列有关回归分析的结论中，正确的有( )
A.若经验回归方程为y
^ ＝5＋2x，则变量y 与x 正相关
B.运用最小二乘法求得的经验回归直线一定经过点(x，y)
C.决定系数R2的值越接近于1，表示回归模型的拟合效果越好
D.若散点图中所有点都在直线y＝0.93x－3.6 上，则样本相关系数r＝0.93
题型二 回归模型
命题点1 一元线性回归模型
【典例】1.氮氧化物是一种常见的大气污染物，如图为我国2014 年至2022 年氮氧化物排放量(单位：
万吨)的折线图，其中年份代码1~9 分别对应年份2014~2022.
已知
9
∑
i=1
yi≈12 000，❑
√
9
∑
i=1
( yi−y)
2≈1 100，❑
√
9
∑
i=1
(ti−t )
2≈7.7，
9
∑
i=1
tiyi≈51 800.
(1)可否用一元线性回归模型拟合y 与t 的关系？请分别根据折线图和样本相关系数加以说明；
(2)若根据所给数据建立经验回归方程y
^ ＝－138t＋2 025，可否用此方程来预测2025 年和2035 年我国的
氮氧化物排放量？请说明理由.
附：样本相关系数r＝
n
∑
i=1
ti yi−nt y
❑
√
n
∑
i=1
(ti−t )
2 n
∑
i=1
( yi−y)
2
.
命题点2 非线性回归模型
【典例】2.某大型现代化农场在种植某种大棚有机无公害的蔬菜时，为创造更大价值，提高亩产量，积
极开展技术创新活动.该农场采用了延长光照时间的方案，该农场选取了20 间大棚(每间一亩)进行试点，
得到各间大棚产量数据并绘制成散点图.光照时长为x(单位：小时)，大棚蔬菜产量为y(单位：吨/亩)，
记w＝ln x.
参考数据：
20
∑
i=1
xi
20
∑
i=1
yi
20
∑
i=1
wi
20
∑
i=1
xi
2
20
∑
i=1
yi
2
20
∑
i=1
wi
2
20
∑
i=1
xiyi
20
∑
i=1
wiyi
290
102.4
52
4 870
540.28
137
1 578.2
272.1
参考公式：y 关于x 的经验回归方程y
^
＝b
^x＋a
^中，b
^
＝
n
∑
i=1
xi yi−n x y
n
∑
i=1
xi
2−n x
2
，a
^
＝y －b
^
x.
(1)根据散点图判断，y＝a＋bx 与y＝c＋dln x 哪一个适宜作为大棚蔬菜产量y 关于光照时长x 的经验回
归方程类型(给出判断即可，不必说明理由)；
(2)根据(1)的判断结果及表中数据，建立y 关于x 的经验回归方程(结果保留小数点后两位)；
(3)根据实际种植情况，发现上述回归方程在光照时长位于6~14 小时内拟合程度良好，利用(2)中所求方
程估计当光照时长为e2小时时(e 为自然对数的底数)，大棚蔬菜的亩产量.
【变式训练】红蜘蛛是柚子的主要害虫之一，能对柚子树造成严重伤害，每只红蜘蛛的平均产卵数
y(个)和平均温度x(摄氏度)有关，现收集了以往某地的7 组数据，得到下面的散点图及一些统计量的值.
参考数据(z＝ln y)：
7
∑
i=1
xi
2
7
∑
i=1
xiyi
7
∑
i=1
xizi
x
y
z
5 215
17 713
714
27
81.3
3.6
(1)根据散点图判断，y＝bx＋a 与y＝cedx(其中e＝2.718…为自然对数的底数)哪一个更适合作为平均产
卵数y(个)关于平均温度x(摄氏度)的经验回归方程类型？(给出判断即可，不必说明理由)
(2)由(1)的判断结果及表中数据，求出y 关于x 的经验回归方程.
附：y
^
＝b
^x＋a
^中，b
^
＝
n
∑
i=1
( xi−x)( yi−y)
n
∑
i=1
( xi−x)
2
＝
n
∑
i=1
xi yi−n x y
n
∑
i=1
xi
2−n x
2
，a
^
＝y －b
^
x.
题型三 列联表与独立性检验
【典例】1.(2025·八省联考)为考察某种药物A 对预防疾病B 的效果,进行了动物(单位:只)试验,得到如下列联
表:
药物
疾病
合计
未患病
患病
未服用
100
80
s
服用
150
70
220
合计
250
t
400
(1)求s,t;
(2)记未服用药物A 的动物患疾病B 的概率为p,给出p 的估计值;
(3)根据小概率值α=0.01 的独立性检验,能否认为药物A 对预防疾病B 有效?
附:χ2=
n(ad −bc)
2
(a+b)(c +d )(a+c)(b+d ).
α
0.05
0.01
0.001
xα
3.841
6.635
10.828
【变式训练】(2025·绵阳诊断)近年来，随着深入贯彻新时代强军思想，越来越多的优秀青年学子献
身国防，投身军营，高考结束后，很多高考毕业生报考了军事类院校.从某地区学校的高三年级中随机
抽取了900 名学生，其中男生500 人，女生400 人，通过调查，有报考军事类院校意向的男生、女生各
100 名.
(1)完成给出的列联表，并分别估计该地区高三男、女学生有报考军事类院校意向的概率；
有报考意向
无报考意向
合计
男学生
女学生
合计
(2)根据小概率值α＝0.10 的独立性检验，能否认为学生有报考军事类院校的意向与性别有关？
参考公式及数据：χ2＝
n(ad −bc)
2
(a＋b)(c＋d )(a＋c)(b＋d )，n＝a＋b＋c＋d.
α
0.10
0.05
0.010
0.005
0.001
xα
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
【限时训练】（限时：60 分钟）
一、单项选择题(每小题5 分，共30 分)
1.下列两个变量中，成正相关的两个变量是( )
A.汽车自身的重量与行驶每公里的耗油量
B.正方形的面积与边长
C.花费在体育活动上的时间与期末考试数学成绩
D.期末考试随机编排的准考证号与期末考试成绩总分
2.为了研究性别与对乡村音乐态度(喜欢和不喜欢两种态度)的关系，运用2×2 列联表进行独立性检验，经
计算χ2＝8.01，则“性别与喜欢乡村音乐有关系”这个推断犯错误的概率不超过(参考数据：x0.005＝7.879，
x0.001＝10.828)( )
A.0.1%
B.0.5%
C.99.5%
D.99.9%
3.下表为2018 年—2023 年的中国数字经济规模(单位：万亿元)：
年份
2018
2019
2020
2021
2022
2023
年份代码x
1
2
3
4
5
6
中国数字经济规模y
31.3
35.8
39.2
45.5
50.2
53.9
则下列所给函数模型中比较适合这一组数据关系的是( )
A.y＝2x＋30
B.y＝30＋log2(x＋1)
C.y＝28×(
9
8)
x
D.y＝2x＋30
4.学校开设了游泳选修课.某教练为了解学生对游泳运动的喜好和性别是否有关，在全校学生中随机选取了
男、女生各n 人进行调查，并绘制了如图所示的等高堆积条形图.则( )
参考公式及数据：χ2＝
n(ad −bc)
2
(a＋b)(c＋d )(a＋c)(b＋d )，其中n＝a＋b＋c＋d.
α
0.1
0.01
0.001
xα
2.706
6.635
10.828
A.参与调查的女生中喜欢游泳运动的人数比不喜欢游泳运动的人数多
B.全校学生中喜欢游泳运动的男生人数比喜欢游泳运动的女生人数多
C.若n＝50，依据α＝0.01 的独立性检验，可以认为游泳运动的喜好和性别有关
D.若n＝100，依据α＝0.01 的独立性检验，可以认为游泳运动的喜好和性别有关
5.为了研究y 关于x 的线性相关关系，收集了5 组样本数据(见下表)：
x
1
2
3
4
5
y
0.5
0.9
1
1.1
1.5
若已求得经验回归方程为y
^
＝a
^x＋0.34，则下列选项中正确的是( )
附：样本相关系数r＝
n
∑
i=1
( xi−x)( yi−y)
❑
√
n
∑
i=1
( xi−x)
2❑
√
n
∑
i=1
( yi−y)
2
.
A.a
^＝0.21
B.当x＝8 时，y 的预测值为2.2
C.样本数据y 的第40 百分位数为1
D.去掉样本点(3，1)后，x 与y 的样本相关系数r 不会改变
6.某学校数学兴趣小组在探究姜撞奶随着时间变化的降温及凝固情况的数学建模活动中，将时间x(分钟)与
温度y(摄氏度)的关系用模型y＝c1e
c2 x(其中e 为自然对数的底数)拟合.设z＝ln y，变换后得到一组数据：
x
2
2.5
3
3.5
4
z
4.04
4.01
3.98
3.96
3.91
由上表可得经验回归方程z
^＝－0.062x＋a
^，则c1等于( )
A.－4
B.e－4
C.4.166
D.e4.166
二、多项选择题(每小题6 分，共12 分)
7.(2025·长春模拟)暑假结束后，为了解假期中学生锻炼身体情况，学生处对所有在校学生做问卷调查，并
随机抽取了180 人的调查问卷，其中男生比女生少20 人，并将调查结果绘制得到等高堆积条形图.在被调
查者中，下列说法正确的是( )
参考公式及数据：χ2＝
n(ad −bc)
2
(a＋b)(c＋d )(a＋c)(b＋d )，其中n＝a＋b＋c＋d.
α
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
xα
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
A.男生中不经常锻炼的人数比女生中经常锻炼的人数多
B.男生中经常锻炼的人数比女生中经常锻炼的人多8 人
C.经常锻炼者中男生的频率是不经常锻炼者中男生的频率的2 倍
D.根据小概率值α＝0.01 的独立性检验，可以认为假期是否经常锻炼与性别有关
8.某科技公司统计了一款APP 最近5 个月的下载量，如表所示，若y 与x 线性相关，且经验回归方程为y
^ ＝
－0.6x＋a
^，则( )
月份编号x
1
2
3
4
5
下载量y(万次)
5
4.5
4
3.5
2.5
A.y 与x 负相关
B.a
^＝5.6
C.预测第6 个月的下载量约为2.1 万次
D.残差绝对值的最大值为0.2
三、填空题(每小题5 分，共10 分)
9.(2025·汉中模拟)奶茶店老板对本店在12 月份出售热饮的杯数y 与当天的平均气温x(℃)进行线性回归分析，
随机收集了该月某4 天的相关数据(如表)，并由最小二乘法求得经验回归方程为y
^ ＝45－2x.表中有一个数
据看不清楚，请你推断出该数据的值为 .
气温x(℃)
10
6
2
－2
售出热饮的杯数y
24
■
42
48
10.在某病毒疫苗的研发过程中，需要利用基因编辑小鼠进行动物实验.现随机抽取100 只基因编辑小鼠对
该病毒疫苗进行实验，得到如下2×2 列联表(部分数据缺失)：
被某病毒感染
未被某病毒感染
合计
注射疫苗
10
50
未注射疫苗
30
50
合计
30
100
计算可知，根据小概率值α＝ 的独立性检验，认为 “给基因编辑小鼠注射该种疫苗能起到预防该
病毒感染的效果”.
附：χ2＝
n(ad −bc)
2
(a＋b)(c＋d )(a＋c)(b＋d )，其中n＝a＋b＋c＋d.
α
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
xα
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
四、解答题(共27 分)
11.(13 分)甲、乙两台机床生产同种产品，产品按质量分为一级品和二级品，为了比较两台机床产品的质量，
分别用两台机床各生产了200 件产品，产品的质量情况统计如表：
一级品
二级品
合计
甲机床
150
50
200
乙机床
120
80
200
合计
270
130
400
(1)甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少？(6 分)
(2)依据小概率值α＝0.01 的独立性检验，能否认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异？(7 分)
附：χ2＝
n(ad −bc)
2
(a＋b)(c＋d )(a＋c)(b＋d )，n＝a＋b＋c＋d.
α
0.05
0.01
0.001
xα
3.841
6.635
10.828
12.(14 分)为了了解高中学生课后自主学习数学时间x(分钟/天)和他们的数学成绩y(分)的关系，某实验小组
做了调查，得到一些数据，如表所示.
编号
1
2
3
4
5
学习时间x(分钟/天)
30
40
50
60
70
数学成绩y(分)
65
78
85
99
108
(1)求数学成绩y 与学习时间x 的样本相关系数(精确到0.001)；(5 分)
(2)请用样本相关系数说明该组数据中y 与x 之间的关系可用线性回归模型进行拟合，并求出y 关于x 的经
验回归方程，并由此预测每天课后自主学习数学时间为100 分钟时的数学成绩；(5 分)
(3)基于上述调查，某校提倡学生周末在校自主学习.经过一学期的实施后，抽样调查了220 位学生.按照是
否参与周末在校自主学习以及成绩是否有进步统计，得到2×2 列联表.依据表中数据及小概率值α＝0.001
的独立性检验，分析“周末在校自主学习与成绩进步”是否有关.(4 分)
没有进步
有进步
合计
参与周末在校自主学习
35
130
165
未参与周末在校自主学习
25
30
55
合计
60
160
220
参考数据：
5
∑
i=1
xiyi＝22 820，
5
∑
i=1
yi＝435，
5
∑
i=1
yi
2＝38 999，❑√11 540≈107.4，xi的方差为200.
方差：s2＝1
n
n
∑
i=1
( xi−x)
2，
样本相关系数：r＝
n
∑
i=1
( xi−x)( yi−y)
❑
√
n
∑
i=1
( xi−x)
2 n
∑
i=1
( yi−y)
2
.
经验回归方程y
^
＝b
^x＋a
^中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为b
^
＝
n
∑
i=1
( xi−x)( yi−y)
n
∑
i=1
( xi−x)
2
，a
^
＝y －b
^
x，
χ2＝
n(ad −bc)
2
(a＋b)(c＋d )(a＋c)(b＋d ).
α
0.10
0.05
0.010
0.005
0.001
xα
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
【尖子拔高训练】13 题5 分，14 题6 分，共11 分
13.某课外兴趣小组为研究数学成绩优秀是否与性别有关，通过随机抽样调查，得到成对样本观测数据的分
类统计结果，并计算得出χ2≈6.816，经查阅χ2独立性检验的小概率值和相应的临界值，知x0.01＝6.635，则
下列判断正确的是( )
A.若某人数学成绩优秀，那么他为男生的概率是0.010
B.每100 个数学成绩优秀的人中就会有1 名是女生
C.数学成绩优秀与性别有关，此推断犯错误的概率不大于0.01
D.在犯错误的概率不超过1%的前提下认为数学成绩优秀与性别无关
14.(多选)某地新开了一条夜市街，每晚平均客流量为2 万人，每晚最多能接纳的客流量为10 万人，主办公
司决定通过微信公众号和其他APP 进行广告宣传提高营销效果.通过调研，公司发现另一处同等规模的夜
市街投入的广告费x(单位：万元)与每晚增加的客流量y(单位：千人)存在如下关系：
x/万元
1
2
3
4
5
6
y/千人
5
6
8
9
12
20
现用曲线C：y
^
＝c
^
1＋c
^
2×2x拟合变量x 与y 的相关关系，并利用一元线性回归模型求参数c
^
1，c
^
2(精确到
0.01)，以所求经验回归方程C 为预测依据，则( )
参考数据：y＝10，
6
∑
i=1
xiyi＝257，
6
∑
i=1
xi
2＝91，
6
∑
i=1
2i＝126，
6
∑
i=1
(2
i)
2＝5 460，
6
∑
i=1
2iyi＝1 906.
附：一元线性回归模型参数的最小二乘估计公式：b
^
＝
n
∑
i=1
xi yi−n x y
n
∑
i=1
xi
2−n x
2
，a
^
＝y －b
^
x.
A.c
^
1＝5.82
B.曲线C 经过点(log221，10)
C.广告费每增加1 万元，每晚客流量平均增加3 000 人
D.若广告费超过9 万元，则每晚客流量会超过夜市街的接纳能力
