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重难05 万有引力与航天（三大概念、五类热点问题、卫星
发射与变轨、宇宙速度、卫星的追及相遇、多星模型等）
高考指导方向标
近三年考查趋势分析
近三年高考中，本专题通常考查1 题，分值约6 分。命题注重航天科技与实际情境
的结合，常以我国航天工程（如天问系列、北斗系统、空间站建设）为背景，考
查卫星运行参量比较、变轨过程能量分析、宇宙速度理解、卫星追及相遇问题及
双星、三星等多星系统模型。
核心方法聚焦
卫星参量（速度、角速度、周期、加速度）与轨道半径的关系；变轨过程中速
度、能量、机械能的变化规律；卫星追及相遇中的角度关系与时间计算；双星、
三星系统中向心力来源、周期与轨道半径的比例关系。
备考指导建议
熟练推导并记忆卫星参量公式；掌握变轨过程中“点火加速→离心”“点火减速
→向心”的物理机制；强化追及相遇问题中“最近”“最远”的角度关系列式；
注重多星模型中向心力合成与系统周期分析；关注我国航天最新成就，提升情境
理解与模型建构能力。
内容导航
速度提升
技巧掌握
手感养成
重难考向聚焦
锁定目标 精准打击：快速指明将要攻克的核心靶点，明确主攻方向
重难技巧突破
授予利器 瓦解难点：总结瓦解此重难点的核心方法论与实战技巧
重难保分练
稳扎稳打 必拿分数：聚焦可稳拿分数题目，确保重难点基础分值
重难抢分练
突破瓶颈 争夺高分： 聚焦于中高难度题目，争夺关键分数
重难冲刺练
模拟实战 挑战顶尖：挑战高考压轴题，养成稳定攻克难题的“题感”
1. 卫星的变轨和相关物理量的比较
1. 卫星变轨：1→2→3
①在1 轨道Q 点点火加速，万有引力不足以提供航天飞机做匀速圆周运动向心力，航天飞机做离心运动，
进入轨道2
②在2 轨道中，从Q 点到P 点飞行过程中，万有引力做负功，万有引力与航天飞机速度方向夹角大于
90°，航天飞机速度减小，动能减小，势能增加，机械能不变。
在2 轨道P 点处，万有引力大于航天飞机做匀速圆周运动向心力，如果不进行任何操作，航天飞机做向心
运动，沿着椭圆轨道2 运行回Q，从P 到Q，万有引力做正功，万有引力与航天飞机速度方向夹角小于
90°，航天飞机速度增加，动能增加，势能减小，机械能不变。
③在2 轨道P 点点火加速，当万有引力恰好能提供航天飞机做匀速圆周运动向心力，航天飞机将沿着3 轨
道运行，完成变轨操作
2. 各点物理量参数的关系
①线速度大小：v2Q>v1>v3>v2 P
②角速度关系：
③向心加速度关系：
④周期关系：T 1<T 2<T 3
⑤能量关系：E1<E2<E3
注意：卫星变轨的实质
两类变轨
离心运动
近心运动
变轨起因
卫星速度突然增大
卫星速度突然减小
受力分析
G<m
G>m
变轨结果
变为椭圆轨道运动或在较大半径圆轨
道上运动
变为椭圆轨道运动或在较小半径圆轨
道上运动
2 万有引力与航天中的追及相遇问题
1. 模型解读：
两卫星在同一轨道绕中心天体同向运动，要使后一卫星追上另一卫星，我们称之为追及问题。两卫星在不
同轨道绕中心天体在同一平面内做匀速圈周运动，当两星某时相距最近时我自们称之为两卫星相遇问题。
2. 模型分类：
（1）从相距最近到相距最近
①．两卫星的运转方向相同，且位于和中心连线的半径上同侧时，两卫星相距最近，从运动关系上，两卫
星运动关系应满足(ωA－ωB)t＝2nπ(n＝1，2，3，…)。
②．两卫星的运转方向相反，且位于和中心连线的半径上同侧时，两卫星相距最近，从运动关系上，两卫
星运动关系应满足(ωA+ωB)t＝2nπ(n＝1，2，3，…)。
注意：周期关系：－＝ n，(n＝1,2,3，…)
（2）从相距最近到相距最远
①．两卫星的运转方向相同，且位于和中心连线的半径上同侧时，两卫星相距最近，从运动关系上，两卫
星运动关系应满足(ωA－ωB)t′＝(2n－1)π(n＝1，2，3…)。
②．两卫星的运转方向相反，且位于和中心连线的半径上同侧时，两卫星相距最近，从运动关系上，两卫
星运动关系应满足(ωA+ωB)t′＝(2n－1)π(n＝1，2，3…)。
注意：周期关系：－＝n－，(n＝1,2,3，…)。
3. 双星模型和多星模型
1．双星模型
(1)模型构建：绕公共圆心转动的两个星体组成的系统，我们称之为双星系统，如图所示．
(2)模型特点：
①各自所需的向心力由彼此间的万有引力提供，即
G m1m2
L2
=m1ω1
2r1,G m1m2
L2
=m2ω2
2r2
.
②两颗星的周期及角速度都相同，即T 1=T 2,ω1=ω2 .
③两颗星的轨道半径与它们之间的距离关系为：r1+r2=L .
④两星到圆心的距离r1、r2与星体质量成反比，即＝.
⑤双星的运动周期：T＝2π.
⑥双星的总质量：m1＋m2＝.
2．三星模型
(1)三颗星体位于同一直线上，两颗质量相等的环绕星围绕中央星在同一半径为R 的圆形轨道上运行如图甲
所示．
运转的行星由其余两颗行星的引力提供向心力：
G m2
R1
2 +G
m2
(2 R1)2=ma
。两行星转动的方向相同，周
期、角速度、线速度的大小相等。
(2)三颗质量均为m 的星体位于等边三角形的三个顶点上。
三颗星体都绕三角形的中心做圆周运动，每颗行星运行所需向心力都由其余两颗行星对其万有引力的合力
来提供。
G m2
r2 cos30°+G m2
r2 cos30°= mR 2( 2π
T )2
这里 r=2 Rcos30° 。
三颗行星转动的方向相同，周期、角速度相等。
（建议用时：20 分钟）
1．（2025·天津·高考真题）2025 年5 月我国成功发射通信技术试验卫星十九号，若该系列试验卫星中A、
B 两颗卫星均可视为绕地球做匀速圆周运动，轨道半径
，则卫星A 比B（ ）
A．线速度小、角速度小
B．线速度小、运行周期小
C．加速度大、角速度大
D．加速度大、运行周期大
【答案】A
【详解】根据题意，由万有引力提供向心力有
解得
，
，
，
由于轨道半径
可得
，
，
，
故选A。
2．（2025·江西·高考真题）如图所示，Ⅰ和Ⅱ分别为神舟二十号飞船的近地圆轨道、椭圆变轨轨道，Ⅲ为
天和核心舱运行圆轨道，P、Q 为变轨点。不计阻力，飞船在轨道Ⅱ上从P 点到Q 点运动过程中，下列选
项正确的是（ ）
A．速率增大，机械能增大
B．速率减小，机械能减小
C．速率增大，机械能不变
D．速率减小，机械能不变
【答案】D
【详解】根据题意可知，飞船在轨道Ⅱ上从P 点到Q 点运动过程中，只有万有引力做负功，则机械能不变，
动能减小，即速率减小。
故选D。
3．（2025·全国卷·高考真题）“天都一号”通导技术试验卫星测距试验的成功，标志着我国在深空轨道精
密测量领域取得了技术新突破。“天都一号”在环月椭圆轨道上运行时，（ ）
A．受月球的引力大小保持不变
B．相对月球的速度大小保持不变
C．离月球越近，其相对月球的速度越大D．离月球越近，其所受月球的引力越小
【答案】C
【详解】AD．“天都一号”在环月椭圆轨道上运行时与月球的距离不断发生变化，根据
可知受
月球的引力大小发生变化，离月球越近，其所受月球的引力越大，故AD 错误；
B．根据开普勒第二定律可知“天都一号”在环月椭圆轨道上运行时相对月球的速度大小改变，近月点速
度最大，远月点速度最小，即离月球越近，相对月球的速度越大，故B 错误，C 正确。
故选C。
4．（2025·广东·模拟预测）2025 年5 月29 日凌晨1 时31 分，天问二号在西昌卫星发射中心成功发射。其
主要任务之一是完成对小行星2016HO3 的伴飞、取样并返回地球。如图所示，I 轨道和Ⅱ轨道为其中的两
个轨道，下列说法正确的是（ ）
A．天问二号在I 轨道上运行时加速度可能为零
B．天问二号在Ⅱ轨道上运行的周期大于在I 轨道上运行的周期
C．天问二号在Ⅱ轨道上通过P 点时的速度小于通过N 点时的速度
D．天问二号在I 轨道上通过P 点时的速度大于在Ⅱ轨道上通过P 点时的速度
【答案】D
【详解】A．天问二号在I 轨道上运行时做曲线运动，加速度不可能为零，选项A 错误；
B．天问二号在I 轨道上运行的半长轴大于在Ⅱ轨道上运行的半长轴，根据开普勒第三定律可知，天问二号
在I 轨道上运行的周期大于在Ⅱ轨道上运行的周期，选项B 错误；
C．天问二号从P 点到N 点做减速运动，在Ⅱ轨道上通过P 点时的速度大于通过N 点时的速度，选项C 错
误；
D．Ⅱ轨道相对于I 轨道是低轨道，由高轨道变轨到低轨道需要在切点位置减速，可知，天问二号在Ⅱ轨
道上通过P 点时的速度小于在I 轨道上通过P 点时的速度，选项D 正确。
故选D。
5．（2025·湖南湘西·一模）一着陆器经过多次变轨后登陆火星的轨迹变化如图所示，着陆器先在轨道Ⅰ上
运动，经过P 点时启动变轨发动机切换到圆轨道Ⅱ上运动，经过一段时间后，再次经过P 点时启动变轨发
动机切换到椭圆轨道Ⅲ上运动。轨道上的P、Q、S 三点与火星中心位于同一直线上，P、Q 两点分别是椭
圆轨道Ⅲ的远火星点和近火星点，且
。除了变轨瞬间，着陆器在轨道上运行时均处于无动力
航行状态。下列说法正确的是（ ）
A．若着陆器在轨道Ⅱ、Ⅲ上运行的周期分别为
和
，则
B．着陆器在轨道Ⅲ上从P 点无动力运动到Q 点的过程中机械能逐渐变大
C．若着陆器在轨道Ⅱ上运行的速度大小为v，则加速度大小为
D．着陆器在轨道Ⅱ上经过S 点的速度大于在轨道Ⅲ上经过Q 点的速度
【答案】C
【详解】A．根据开普勒第三定律，着陆器在轨道Ⅱ、Ⅲ运行的周期
，A 错误；
B．着陆器在轨道Ⅲ上从P 点运动到Q 点的过程中，只有万有引力做正功，机械能守恒，故B 错误；
C．在轨道Ⅱ上，由于轨道半径为0.75l，根据向心力公式，解得
，故C 正确；
D．根据
可知，轨道Ⅱ上经过S 点的速度小于经过Q 点圆轨道的速度，而从经过Q 点圆轨道
进入轨道Ⅲ需要在Q 点加速，所以着陆器在轨道Ⅱ上经过S 点的速度小于在轨道Ⅲ上经过Q 点的速度，故
D 错误。
故选C。
6．（2025·天津和平·模拟预测）某行星有两颗卫星的轨道半径之比约为1 2∶。根据以上信息可知这两颗卫
星的（ ）
A．线速度大小之比约为1 2∶
B．周期之比约为1 4∶
C．向心加速度大小之比约为4 1∶
D．向心力大小之比约为4 1∶
【答案】C
【详解】A．卫星绕行星运动时，由万有引力提供向心力，则有
解得
可得两颗卫星的线速度大小之比
，故A 错误；
B．卫星绕行星运动时，由万有引力提供向心力，则有
解得
可得两颗卫星的周期之比
，故B 错误；
C．卫星绕行星运动时，由万有引力提供向心力，则有
解得
可得两颗卫星的向心加速度大小之比
，故C 正确；
D．卫星绕行星运动时，由万有引力提供向心力，则有
因两卫星的质量关系不确定，不能比较向心力大小，故D 错误。
故选C。
7．（2025·四川·一模）2025 年5 月29 日，我国成功发射“天问二号”探测器，前往小行星2016H03 进行
探测，以期实现中国首次小行星采样并返回地球。假设探测器抵达小行星地表后，将一探测采样球以速度
竖直向上射出，经过时间
落到行星地表，进行采样。成功采样后，探测器升空进入小行星同步轨道绕
小行星做匀速圆周运动，与小行星同步伴飞一段时间后返回地球。只考虑探测器与小行星之间的万有引力，
小行星半径为
，自转周期为
，引力常量为
，小行星上没有空气，忽略小行星自转对表面重力加速度
的影响。求：
(1)小行星表面重力加速度的大小；
(2)小行星同步轨道距离行星表面的高度。
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）采样球以
做竖直上抛运动，经
时间落地，则
解得
（2）设小行星质量为
，探测器质量为
，则探测器在小行星地表上有
探测器在同步轨道上有
联立解得
（建议用时：20 分钟）
8．（2025·重庆·高考真题）“金星凌日”时，从地球上看，金星就像镶嵌在太阳表面的小黑点。在地球上
间距为d 的两点同时观测，测得金星在太阳表面的小黑点相距为L，如图所示。地球和金星绕太阳的运动
均视为匀速圆周运动，太阳直径远小于金星的轨道半径，则地球和金星绕太阳运动的（ ）
A．轨道半径之比为
B．周期之比为
C．线速度大小之比为
D．向心加速度大小之比为
【答案】D
【详解】A．太阳直径远小于金星的轨道半径，太阳直径忽略不计，根据题意结合几何知识可知地球和金
星绕太阳运动的轨道半径之比为
，故A 错误；
BCD．根据万有引力提供向心力有
解得
，
，
故可得周期之比为
；
线速度大小之比为
；
向心加速度大小之比为
；
故BC 错误，D 正确
故选D。
9．（2025·四川·高考真题）某人造地球卫星运行轨道与赤道共面，绕行方向与地球自转方向相同。该卫星
持续发射信号，位于赤道的某观测站接收到的信号强度随时间变化的规律如图所示，T 为地球自转周期。
已知该卫星的运动可视为匀速圆周运动，地球质量为M，万有引力常量为G。则该卫星轨道半径为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】设卫星转动的周期为
，根据题意可得
可得
根据万有引力提供向心力
可得
代入
可得
故选A。
10．（2025·辽宁丹东·模拟预测）“天问三号”是我国研发的火星探测器系统，计划于2028 年前后实施发
射，探研火星地质和内部结构特征。某研究人员提出研究方案：通过释放绕火星做圆周运动的卫星，可测
得火星半径R 和质量M。方案具体如下：已知火星的自转周期为
，卫星先在火星同步轨道上运行，此时
距火星表面的高度为h。接下来卫星经过几次变轨，直到在火星表面附近绕火星做匀速圆周运动，此时卫
星的运行周期为
。引力常量为G，不考虑其他天体对卫星的引力，忽略变轨过程中卫星质量变化，则下
列说法中正确的是（ ）
A．
B．该卫星在变轨后，机械能减小
C．根据研究方案，可以求出火星半径
D．根据研究方案，可以求出火星质量
【答案】BC
【详解】A．卫星在火星同步轨道上运行时的周期与火星的自转周期
相同。
由
得
因
故
，故A 错误；
B．卫星从高轨道变轨到低轨道需要减速，发动机对卫星做负功，故机械能减小，故B 正确；
C．由
得
所以
，故C 正确；
D．卫星在火星同步轨道上运行时，由
得
，故D 错误。
故选BC。
11．（2025·广东广州·一模）如图甲所示，航天员在半径为R 的某星球表面将一轻弹簧竖直固定在水平面
上，把质量为m 的小球P（可看作质点）从弹簧上端h 处（h 不为0）由静止释放，小球落到弹簧上后继续
向下运动直到最低点。从接触弹簧开始的小球加速度a 与弹簧压缩量x 间的关系如图乙所示，其中a0、h、
x0和引力常量G 为已知量，空气阻力不计。下列说法正确的是（ ）
A．该星球的质量为
B．该星球的第一宇宙速度为
C．小球在最低点处加速度大小为a0
D．弹簧的最大弹性势能为
【答案】B
【详解】A．由图乙可知，该星球表面的重力加速度为
，在星球表面，物体受到的万有引力等于物体的
重力，则有
解得该星球的质量为
，故A 错误；
B．在星球表面，重力等于万有引力，提供物体圆周运动的向心力，则有
解得该星球的第一宇宙速度为
，故B 正确；
C．若小球从弹簧原长处由静止释放，根据简谐运动的对称性可知，小球在最低点处加速度为a0。现小球P
从弹簧上端h 处由静止释放，到达最低点时弹簧压缩量增大，合力增大，则小球在最低点处加速度大于
a0，故C 错误；
D．由于x=x0时a=0，小球速度最大，继续向下运动，所以小球在最低点处时弹簧的压缩量大于x0，根据
小球和弹簧构成的系统机械能守恒可得，弹簧的最大弹性势能大于
，故D 错误。
故选B。
12．（2025·广东深圳·一模）开普勒定律不仅是对行星运动规律的精准总结，更将天文学从“定性描述”
推向“定量分析”，为万有引力定律的形成提供了逻辑阶梯。一颗绕太阳运行的小行星，其轨道近日点和
远日点到太阳的距离分别约为地球到太阳距离的5 倍和7 倍。关于该小行星，下列说法正确的是（ ）
A．公转周期约为36 年
B．从远日点到近日点加速度逐渐减小
C．在近日点与在远日点线速度大小之比为
D．在近日点与在远日点加速度大小之比为49:25
【答案】D
【详解】A．根据开普勒第三定律，公转周期
满足
，其中
为轨道半长轴。小行星的近日点距离
为
，远日点距离为
，半长轴
地球轨道半长轴为，周期为1 年，因此小行星周期为
即
，故A 错误
B．根据万有引力提供向心力，则有
解得
从远日点到近日点，小行星与太阳的距离逐渐减小，因此加速度逐渐增大，故B 错误；
C．根据开普勒第二定律，线速度与距离满足
因此线速度之比为
，故C 错误；
D．根据上述分析可知，加速度大小由
决定，近日点加速度为
远日点为
加速度之比为
，故D 正确。
故选D。
13．（2025·浙江杭州·一模）2024 年9 月，我国成功发射北斗卫星导航系统第60 颗卫星，标志着“北斗三
号”全球卫星导航系统建设的圆满收官。图（a）是西安卫星测控中心对某卫星的监控画面，图中左侧数
值表示纬度，下方数值表示经度，曲线是运行过程中，卫星和地心的连线与地球表面的交点（即卫星在地
面上的投影点，称为星下点）的轨迹展开图。该卫星运行的轨道I 近似为圆轨道，高度低于地球静止卫星
轨道，绕行方向如图（b）所示。一段时间后，卫星在轨道I、II 交点处通过快速喷气变轨到轨道II，如图
（c）所示，轨道II 为赤道平面圆轨道，I 为倾斜圆轨道，I、II 轨道高度相同。地球自转周期为24 小时，
卫星质量为
，卫星在轨道上运行的速率，不考虑喷气时卫星的质量变化。根据以上信息可以判断
（ ）
A．卫星在该轨道II 运行时比赤道上随地球自转的物体所受的向心力大
B．该卫星运行速度大于第一宇宙速度
C．该卫星运行周期为12 小时
D．喷气变轨时，卫星受到的冲量大小为
【答案】CD
【详解】A．向心力
，卫星与赤道上物体的质量未知，无法比较向心力大小，故A 错误；
B．第一宇宙速度是近地卫星的最大环绕速度，该卫星轨道高度低于地球静止卫星轨道，但仍大于地球半
径，故运行速度小于第一宇宙速度，B 错误；
C．由图（a）可知，该卫星绕地球转过两圈，地球自转一圈，所以
地球自转一圈时间为
，所以
，C 正确；
D．由图（a）可知，卫星在轨道Ⅰ运行时，轨道Ⅰ与赤道平面夹角为
，即与轨道Ⅱ的夹角为
，短
暂喷气使卫星由轨道Ⅰ变轨到轨道Ⅱ，根据动量定理有卫星受到冲量大小
解得
，故D 正确。
故选CD。
14．（2025·云南昆明·模拟预测）如图所示，空间站绕地球做匀速圆周运动，运动到
点时沿图中箭头所
指的径向短时间内快速向外喷射气体，从而变轨到图中虚线所示的椭圆轨道运行，空间站运行一周的时间
变长，则关于变轨后的空间站，以下说法中正确的是（ ）
A．椭圆轨道的半长轴小于圆轨道半径
B．在
点的速度方向与喷气方向相反
C．在
点的加速度与变轨前一样大
D．运行到椭圆轨道远地点时的机械能小于在圆轨道运行时的机械能
【答案】C
【详解】A．空间站变轨后的运动周期比变轨前的大，根据开普勒第三定律
可知，其变轨后的半长
轴大于原轨道半径，故A 错误；
B．变轨瞬间，在P 点因反冲运动，相当于瞬间获得背向地球的分速度，原沿切向的速度不变，原速度与
新获得的速度相互垂直，因此合速度变大，方向与箭头方向不共线，故B 错误；
C．在P 点变轨前后，空间站所受到的万有引力不变，根据牛顿第二定律
可得
，可知空间站变轨前、后在P 点的加速度相同，故C 正确。
D．变轨后瞬间的合速度大于变轨前瞬间的线速度，变轨瞬间，势能来不及变化，动能增大，机械能大于
变轨前。在椭圆轨道运行的过程中，只有万有引力做功，机械能不变。所以运行到椭圆轨道远地点时机械
能大于圆轨道运行时的机械能，故D 错误。
故选C。
15．（24-25 高一下·浙江金华·阶段练习）如图为神舟十五号的发射与交会对接过程示意图，图中Ⅰ为近地
圆轨道，其轨道半径可认为等于地球半径R，Ⅱ为椭圆变轨轨道，Ⅲ为天和核心舱所在轨道，其轨道半径
为nR，P、Q 分别为轨道Ⅱ与I、Ⅲ轨道的交会点。已知神舟十五号的质量为m，地球表面重力加速度为
g，引力常量为G。神舟十五号距地心为r 时，其引力势能表达式为
（式中M 为地球质量，G
为引力常量）。求：
(1)地球质量M；
(2)神舟十五号在轨道Ⅱ运动时的周期；
(3)要使神舟十五号从轨道Ⅰ迁移到轨道Ⅲ，所要提供的最小能量。
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）地球表面物体重力等于万有引力
所以
（2）
神舟十五号在Ⅰ轨道上有
根据开普勒第三定律有
轨道Ⅱ的周期
（3）在Ⅰ轨道上有
，
在Ⅲ轨道上有
，
神舟十五号从Ⅰ迁移到轨道Ⅲ过程中，飞船增加的机械能即神舟十五号所要提供的最小能量为
（建议用时：20 分钟）
16．（2025·浙江杭州·一模）某人造月球卫星近月点高度为
（
为月球半径），远月点高度为
，
已知在月球表面附近的重力加速度为
，忽略月球的自转，则（ ）
A．卫星远月点速度大于近月点速度
B．从近月点运动到远月点，卫星机械能增加
C．该卫星的最小加速度为
D．该卫星的运动周期为
【答案】C
【详解】A．卫星在椭圆轨道上运行时，根据开普勒第二定律，近月点速度最大，远月点速度最小，故远
月点速度小于近月点速度，故A 错误；
B．卫星仅受月球引力作用，机械能守恒，故从近月点到远月点机械能不变，故B 错误；
C．卫星经过远月点时所受万有引力最小，则加速度最小，故该卫星的最小加速度为
在月球表面有
联立解得
，故C 正确；
D．假设贴近月球表面的圆轨道上有一卫星，设该卫星的周期为
，则有
解得
卫星椭圆轨道的半长轴为
，根据开普勒第三定律有
解得椭圆轨道周期
，故D 错误。
故选C。
17．（2025·浙江台州·一模）在一次演习中，从赤道上的C 点发射导弹，精确击中北极点N。取无穷远处
为引力势能零点，质量为m 的物体在距离地心r 处具有的引力势能为
；物体在地球引力作用
下作椭圆运动（椭圆的光学性质：经过焦点的光线经表面反射后会通过另一焦点）时，其能量E 与椭圆半
长轴a 的关系为
，式中G 为引力常量；已知地球质量为M，半径
，要求发射所用的
能量最少，则（ ）
A．不考虑地球自转，当
时，发射的能量最小
B．不考虑地球自转，物体发射的能量最小时速度为
C．不考虑地球自转，物体发射的能量最小时速度方向与
夹角
D．考虑自转时，物体发射的最小速度大小为
【答案】BC
【详解】AB．导弹发射后，在地球引力作用下，将沿椭圆轨道运动，如果导弹能打到点
，则此椭圆一
定位于过地心
、北极点
和赤道上的发射点
组成的平面内，因此导弹的发射速度(初速度)必须也在此
平面内，地心
是椭圆的一个焦点。根据对称性，注意到椭圆上的
、
两点到焦点
的距离相等，故椭
圆的长轴是过
点垂直
的直线，即图上的直线
，椭圆的另一焦点必在
上。已知质量为
的物体
在质量为
的地球的引力作用下作椭圆运动时，物体和地球构成的系统的能量
(无穷远作为引力势能的
零点)与椭圆半长轴
的关系为
……①
要求发射的能量最少，即要求椭圆的半长轴
最短。根据椭圆的几何性质可知，椭圆的两焦点到椭圆上任
一点的距离之和为
，现
点到一个焦点
的距离是定值，等于地球的半径
，只要位于长轴上的另一焦
点到
的距离最小，该椭圆的半长轴就最小。显然，当另一焦点位于
到
的垂线的垂足处时，
到该
焦点的距离必最小。由几何关系可知
……②
设发射时导弹的速度为，则有
……③
联立①②③，解得
……④
由②可知
时，发射能量最少，A 错误，B 正确。
C．速度的方向在
点与椭圆轨道相切，根据椭圆知识，从椭圆上一点的切线的垂直线，平分两焦点到该
点连线的夹角
，从图中可以看出，速度方向与
的夹角
，C 正确。
D．由地球附近的物体受到的万有引力近似等于物体受到的重力，有
……⑤
联立④⑤两式，代入数据解得
……⑥
由于地球绕通过
的轴自转，在赤道上
点相对地心的速度为
……⑦
所以在地球自转的情况下，导弹发射的最小速度为
，D 错误。
故选BC。
18．（2025·河南信阳·一模）将一质量为
的物体分别放在地球的南、北两极时，该物体的重力均为
；
将该物体放在地球赤道上时，该物体的重力为
。假设地球可视为质量均匀分布的球体，半径为
，已
知引力常量为
，则由以上信息可得出（ ）
A．地球的质量为
B．地球同步卫星距地球表面的高度
C．地球自转的角速度为
D．地球的平均密度为
【答案】D
【详解】AC．设地球的质量为M，物体在赤道处有
物体在极地的重力等于万有引力，即
联立解得
，
故AC 错误；
B．设同步卫星质量为
，则
联立解得
故B 错误；
D．地球的平均密度为
故D 正确。
故选D。
19．（2025·吉林·一模）中国空间站正加紧建设和完善中，未来将形成“三大舱段”和“三艘飞船”的组
合体。如图所示，载人飞船A 和空间站B 都在各自圆形轨道上运动，若用轻杆连接（仅提供沿杆方向的
力），且A、B 与地心连线始终在一条直线上，不计A、B 间的引力大小，下列说法正确的是（ ）
A．轻杆对A 的力指向地心
B．轻杆对B 的力指向地心
C．轻杆连接后B 的线速度小于A 的线速度
D．轻杆连接后B 的线速度比连接前大
【答案】BD
【详解】C．没有用轻杆连接时，由万有引力提供向心力有
解得卫星绕地球运动的角速度大小为
由于
，则在没有用轻杆连接时，A 的角速度大于B 的角速度，当A、B 卫星用轻杆连接在一起时，
它们具有相等的角速度，由线速度与角速度关系有
可知
，C 错误；
D．由上述分析可知轻杆连接后一起运动的角速度大于在B 轨道上运动的卫星的角速度，小于在A 轨道上
运动的卫星的角速度，所以对A 来说其角速度减小，对B 来说其角速度变大，根据线速度与角速度关系有
可知，用轻杆连接后，A 的线速度减小，B 的线速度增大，D 正确；
AB．根据牛顿第二定律有
结合上述可知，对A 来说其角速度减小，对B 来说其角速度变大，则A 所受的万有引力大于其圆周运动需
要的向心力，B 所受的万有引力小于其圆周运动需要的向心力，所以轻杆对A 有背离地球的拉力，对B 有
指向地心的拉力，A 错误，B 正确。
故选BD。
20．（25-26 高三上·北京海淀·月考）太空电梯的原理与生活中的普通电梯十分相似。只需在地球同步轨道
上建造一个空间站，并用某种足够长也足够结实的“索道”将其与地面相连。如图所示，假设有一长度为
r 的太空电梯连接地球赤道上的固定基地与同步卫星轨道上的空间站a，整个太空电梯相对地面静止。卫星
b 与空间站a 的运行方向相同，某时刻二者距离最近，已知地球半径为R，自转周期为T，下列说法正确的
是（ ）
A．太空电梯各点向心力全部由万有引力提供，处于完全失重状态
B．太空电梯上各点线速度平方与该点离地球球心距离成反比
C．太空电梯靠近地球一端的角速度大于空间站a 的角速度
D．若经过时间t 之后，a、b 第一次相距最远，则卫星b 的周期为
【答案】D
【详解】A．太空电梯各点随地球一起做匀速圆周运动，角速度相同，只有在a 点完全失重
其余位置
，不是完全失重状态，故A 错误；
B．太空电梯上各点
所以线速度与该点离地球球心距离成正比，故B 错误；
C．太空电梯上各点的角速度与地球同步卫星的角速度相同，故C 错误；
D．若经过时间t 之后，a、b 第一次相距最远，则有
解得
，故D 正确。
故选D。
