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专题02 数列大题综合(新高考浙江专用)
一、解答题
1．（2023·浙江绍兴·统考模拟预测）已知数列
，
的前n 项和分别为
，
，
且
，
，当
时，满足
．
(1)求
；
(2)求
．
【答案】(1)
；
(2)
.
【分析】（1）由条件结合
与
的关系可求
；
（2）由递推关系证明
为等比数列，由此可求
的通项公式，再利用错位相减
法求和.
【详解】（1）因为
，
所以
，当
时，
，
又
，当
时，
，
所以
，当
时，
，
所以
；
（2）因为
，
所以
，
1
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所以
，又
，
所以数列
为以
为首项，公比为
的等比数列，
所以
，
所以
，
，
所以
，
所以
，
所以
，
所以
.
2．（2023·浙江·校联考模拟预测）已知等比数列
的前n 项和
，
为常
数.
(1)求
的值与
的通项公式；
(2)设
，数列
的前n 项和为
，求
.
【答案】(1)
；
(2)
【分析】（1）利用递推关系与等比数列的通项公式即可得出；
2
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（2）利用错位相减法求数列
的前
项和为
即可．
【详解】（1）解：当
时，
，
当
时，
，
是等比数列，
，即
，所以
，
数列
的通项公式为
；
（2）解：由（1）得
，
，
则
．
．
3．（2023·浙江绍兴·统考二模）设数列
的前
项和为
，数列
是首项
为1，公差为1 的等差数列，
(1)求数列
的通项公式；
(2)设
，求数列
的前
项和
.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据等差数列求得
，即
，再根据
与
的关
系采用相减法即可求得数列
的通项公式；
3
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（2）由题意得
，利用等比数列求和公式即可得数列
的前
项和
.
【详解】（1）
是首项为1，公差为1 的等差数列，
.
时，
也符合
（2）显然
于是
4．（2023·浙江·校联考模拟预测）已知正项等比数列
和数列
，满足
是
和
的等差中项，
.
(1)证明：数列
是等差数列，
(2)若数列
的前
项积
满足
，记
，求数列
的前
20 项和.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）利用等差数列的定义法判断即可.
（2）由（1）和
，求得
，
，然后表示出
的前20 项和
即可得出答案.
【详解】（1）由题知，
是等比数列，
设其公比为
，
4
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由
，
可得：当
时，
，
两式相减得，
，
故数列
是等差数列.
（2）由
知：
当
时，
，
又
，所以
，
由（1）设
的公差为
，
则
，
由
，
则
，
，
所以
.
即数列
的前20 项和为
.
5．（2023·浙江·校联考模拟预测）在公差不为零的等差数列
中，
，且
成等比数列，数列
的前
项和
满足
.
5
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(1)求数列
和
的通项公式；
(2)设
，数列
的前
项和
，若不等式
对任意
恒成立，求实数
的取值范围.
【答案】(1)
，
(2)
【分析】（1）设等差数列
的公差为
，根据等比中项的性质得到方程，求出
，即可求出
的通项公式，再根据
，作差得到数列
是首项
为
，公比为
的等比数列，即可得解；
（2）由（1）可得
，利用分组求和法求出
，令
，利
用作差法判断
的单调性，即可求出
，从而得到关于
的对数不等式，解
得即可.
【详解】（1）设等差数列
的公差为
，且
成等比数列，
，即
，解得
或
（舍去），
所以
.
数列
的前
项和
，
当
时，
，
当
时，
，
，
即数列
是首项为
，公比为
的等比数列，
.
6
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（2）由（1）可得
，
.
令
，
，
单调递增，
.
，
，
.
6．（2023·浙江·统考二模）如图，已知
的面积为1，点D，E，F 分别为线段
，
，
的中点，记
的面积为
；点G，H，I 分别为线段
，
，
的中点，记
的面积为
；…；以此类推，第n 次取中点后，得到的三角形面
积记为
．
(1)求
，
，并求数列
的通项公式；
(2)若
，求数列
的前n 项和
．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据相邻两个三角形的面积关系可得
，即可求解通项，
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（2）先利用并项求和法求得
为偶数的情况的和，再利用所得结论求得奇数的情况的
和，然后写成分段形式.
【详解】（1）由题意可知
,
，...，
由此可知
，故
是以公比为
的等比数列，所以
.
（2）由
得
，
，
当
为偶数时，
，
当
为奇数时，
，
故
.
7．（2023·浙江绍兴·统考模拟预测）已知等差数列
的前
项的和为
，且
，
，数列
满足
.
(1)求数列
的通项公式；
(2)设数列
的前
项和为
，集合
且
，求
中所有元
素的和.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设等差数列
的公差为
，根据已知条件可得出关于
、
的方程组，
解出这两个量的值，即可得出等差数列
的通项公式；
（2）计算得出
且
，可知、、、
、
都是集合
中的元素，
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计算出
，由
可知
、
、、都是集合
中的元素，由此
可得出的值.
【详解】（1）解：设等差数列
的公差为
，则
，①
又
，可得
，②
联立①②解得
，所以
.
（2）解：
，
所以
.
因为
，所以
，故、、、
、
都是集合
中的元素.
又
，则由
得
.
所以
、
、、都是集合
中的元素.
综上所述：
.
8．（2023·浙江·校联考二模）设数列
满足：
是
的等比中项.
(1)求
的值；
(2)求数列
的前20 项的和.
【答案】(1)1；
(2)6108.
【分析】（1）由已知求得
，然后由等比中项定义求解；
（2）由已知式得出奇数项加2 后成等比数列，而偶数项等于它前面的奇数项加1，因
此结合分组求和法、等比数列的前
项和公式求解．
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【详解】（1）由已知
，
，
又
是
的比例中项，所以
，即
，显然
且
，
故解得
；
（2）
是奇数时，
，
，
，而
，
所以数列
是等比数列，
．
9．（2023·浙江宁波·镇海中学校考模拟预测）已知数列
的前n 项和为
，
，且
．
(1)求数列
的通项；
(2)设数列
满足
，记
的前n 项和为
，若
对任
意
恒成立，求实数
的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由
得到
是首项为
，公比为
的等比数列，
从而求出通项公式；
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（2）由错位相减法得到
，进而得到不等式，即
恒成立，
分
三种情况，得到实数
的取值范围.
【详解】（1）当
时，
，∴
，
当
时，由
①，
得
②，
①－②得
，
，∴
，
∴
，
又
，
∴
是首项为
，公比为
的等比数列，
∴
．
（2）由
，得
，
所以
，
，
两式相减得
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，
所以
，
由
是
恒成立，
即
恒成立，
不等式恒成立；
时，
，得
；
时，
，得
；
所以
．
10．（2023·浙江·统考一模）已知数列
满足
，
，
．
(1)求
的取值范围；
(2)记
是
在区间
中的项的个数，求数列
的前m 项和
．
【答案】(1)
；
(2)
.
【分析】（1）根据等差数列的定义可得
，
，进而即得；
（2）由题可知
，进而
，然后根据求和公式即得.
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【详解】（1）因为
，
，即
，
所以数列
是首项为1，公差为3 的等差数列，
所以
，
同理可得
，
所以
；
（2）因为
，设
，则
，
又
，
是连续六个正整数构成的集合，
则对于给定的m，数列
恰有两项属于集合
，即
，
故
．
11．（2023·浙江宁波·统考二模）已知等比数列
的前n 项和
满足
．
(1)求首项
的值及
的通项公式；
(2)设
，求满足
的最大正整数n 的值．
【答案】(1)
，
(2)11
【分析】（1）根据
的关系即可求解，或者根据等比数列基本量的计算即可求解，
（2）由对数的运算性质化简
，即可利用函数的单调性求解.
【详解】（1）解法1：当
时，
，则
，即
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，
因为数列
是等比数列，所以公比为2，
当
时，
，即
，所以
，且
满足题意，
所以
的通项公式为
．
解法2：由题知，
，即
，
由①
代入②，得
，
解得
或
．（舍去），
所以
的通项公式为
．
（2）由（1）得
，所以
，所以
，
由
得
，即
，
令
，则
，
所以
在
时单调递增，且
，
而
，
所以满足条件的最大正整数
．
12．（2023·浙江温州·乐清市知临中学校考模拟预测）若分别从下表的第一、二、三列
中各取一个数，依次作为等比数列{
}的
，
，
；分别从下表的第一、二、三行
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中各取一个数，依次作为等差数列
的
，
，
．
第一列
第二列
第三列
第一行
1
4
7
第二行
3
6
9
第三行
2
5
8
(1)请写出数列{
}，{
}的一个通项公式；
(2)若数列{
}单调递增，设
，数列{
}的前n 项和为
．求证：
．
【答案】(1)
，
（或
、
、
）
(2)证明见解析
【分析】（1）根据表格数据，结合等差、等比数列定义分别写出一个通项公式即可；
（2）应用错位相减法、等比数列前n 项和公式求
，即可证结论.
【详解】（1）由题意，取
，可得公比
，则
，
取
，可得公差
，则
；
取
，可得公差
，则
；
取
，可得公差
，则
；
取
，可得公差
，则
.
（2）由{
}单调递增，
若
时，
，则
，
所以
，
两式相减，则
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，
所以
，而
，故
；
若
时，
，则
，
所以
，
两式相减，则
，
所以
，而
，故
.
综上，
.
13．（2023·浙江·校联考三模）记
为数列
的前
项和，已知
，且满足
.
(1)证明：数列
为等差数列；
(2)设
，求数列
的前
项和
.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）方法1：由
可得
，由累加法求出
，再证明数列
为等差数列；方法2：由
可得
，可证得
为常数数列，求出
，再证明数列
为等差
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数列；方法3：由
可得
，两式相减可明数列
为等差数列；
（2）由（1）知
，所以
，方法1：由并项求和法求出数列
的前
项和
；方法2：由错位相减求和求出数列
的前
项和
.
【详解】（1）方法1：
，
时，
，
累加得：
，
时也成立，
.
，
是等差数列
方法2：
，
，
为常数数列，
，
，
，
是等差数列.
方法3：
当
时，
①，
②，
-
②①可得：
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，
是等差数列，因为
.
（2）由（1）知
，所以
，
方法1：并项求和
当
为偶数时，
，
方法2：错位相减求和
①
②
-
①②：
14．（2023·浙江嘉兴·统考二模）已知
是首项为2，公差为3 的等差数列，数列
满足
.
(1)证明
是等比数列，并求
的通项公式；
(2)若数列
与
中有公共项，即存在
，使得
成立.按照从小到大的
顺序将这些公共项排列，得到一个新的数列，记作
，求
.
【答案】(1)证明见解析，
，
(2)
【分析】（1）利用等差数列与等比数列的定义即可求其通项公式；
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（2）利用通项公式找出公共项，再分组求和即可.
【详解】（1）由题意可得：
，
而
，变形可得：
，
故
是首项为3，公比为3 的等比数列.
从而
，即
.
（2）由题意可得：
，
，令
，
则
，此时满足条件，
即
时为公共项，
所以
.
15．（2023·浙江·永嘉中学校联考模拟预测）已知正项数列
的前
项和为
，且
满足
.
(1)求数列
的通项公式；
(2)若数列
为等比数列，且
，
，求数列
的前
项和
.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）首先利用
与
的关系结合已知条件等式推出数列
是等差数列，
从而求得数列
的通项公式；
（2）利用(1)求
，结合等比数列通项公式求得
的表达式，然后利用错位相减法
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求解即可．
【详解】（1）由
可得
，①
，②
由
可得：
，
，
，
又数列
为正项数列，
所以
，
因为
，所以
，
所以数列
为以1 为首项，公差为2 的等差数列，
故
.
（2）由(1)得：
，又
，
，
所以
，∵数列
为等比数列，设其公比为
，
则
，所以
，
所以
，
则
，③
，④
得：
，
20
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则
.
16．（2023·浙江·校联考模拟预测）已知数列
为等比数列，
是
与
的等差中项，
为
的前
项和．
(1)求
的通项公式及
；
(2)集合A 为正整数集的某一子集，对于正整数
，若存在正整数
，使得
，
则
，否则
．记数列
满足
，求
的前20 项和
．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由等比数列通项公式结合等差中项性质求基本量，即可由公式法写出通
项公式及
；
（2）解对数方程得
，即可求得A，即可对数列分组求和.
【详解】（1）设
的公比为
是
与
的等差中项，
，
，
∴
，
．
（2）由题意知，
，
又
，
，即
，
故
．
21
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又
，
．
17．（2023·浙江·模拟预测）已知
是公比为2 的等比数列，
为正项数
列，
，当
时，
．
(1)求数列
的通项公式；
(2)记
．求数列
的前n 项和
．
【答案】(1)
，
；
(2)
【分析】(1)利用等比数列通项公式求数列
的通项公式，再求数列
的通项公
式，利用累乘法求数列
的通项公式；
(2)利用组合求和法和错位相减法求数列
的前n 项和
．
【详解】（1）因为数列
为等比数列，公比为2，首项为
，
所以
，
所以
由
，推得
，
所以
，
，
，
，
，
22
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故
，又
，
所以当
时，
，又
，
所以
．
（2）由题可得
，
令
，
的前n 项和为
．
所以
，
，
相减得
，
所以
，
所以
．
令
，
的前n 项和为
，
则
，
综上，
．
18．（2023·浙江嘉兴·统考模拟预测）已知数列
是等差数列，且
，
.
(1)求数列
的通项公式；
(2)设
，求数列
的前
项和
.
【答案】(1)
(2)
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【分析】（1）根据等差数列列出方程求出
，平方即可得解；
（2）
，裂项后相加相消即可得解.
【详解】（1）设
，等差数列
的公差为
，
其中
，
，∵
即
，∴
∴
，即
故数列
的通项公式为
.
（2）
∵
∴
∴
.
19．（2023·浙江·校联考模拟预测）在数列
中
，
，在数列
中
，
.
(1)求证数列
成等差数列并求
；
(2)求证：
.
【答案】(1)证明见解析，
(2)证明见解析
【分析】（1）条件等式两边取倒数化简变形即可；
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（2）由累乘法求得
的通项公式，对不等式进行缩放，结合裂项相消求和即可证明.
【详解】（1）由
知
，
故
，
即
，数列
成等差数列，
所以
，所以
；
（2）由
，得
，
于是
所以
，
，
所以
.
20．（2023·浙江·校联考三模）已知数列
是以d 为公差的等差数列，
为
的前n 项和．
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(1)若
，求数列
的通项公式；
(2)若
中的部分项组成的数列
是以
为首项，4 为公比的等比数列，且
，求数列
的前n 项和
．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由
，可得
，后由等差数列性质可得公差，即可得通项公
式；
（2）由题可得
，
.后由
是以d 为公差的等差数列，
可得
数列
是以
为首项．4 为公比的等比数列，可求得数列
的通项公式，后
由分组求和法可得
的前n 项和
．
【详解】（1））因为
，所以
，
所以
.
所以
.
则数列
的通项公式为
.
（2）因为数列
是以首项为
，公比为4 等比数列.
所以
.
因为数列
是等差数列，所以
.
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化简得
.
因为
，所以
，即
.
所以
.
因为
，所以数列
是以
为首项．4 为公比的等比数列
所以
.
所以
.
则数列
的前n 项和
为：
.
21．（2023·浙江温州·统考二模）已知
是首项为1 的等差数列，公差
是
首项为2 的等比数列，
．
(1)求
的通项公式；
(2)若数列
的第
项
，满足__________（在①②中任选一个条件），
，则
将其去掉，数列
剩余的各项按原顺序组成一个新的数列
，求
的前20 项和
．
①
②
．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据等差和等比数列的通项公式，列出基本量方程组，即可求解；
27
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（2）若选择①，得
，可知剩下的项就是原数列的奇数项，代入等比数
列求和公式，即可求解；
若选择②，
，根据
，讨论
为奇数和偶数两种情况，即可判
断求解.
【详解】（1）设
的公差为
的公比为
，
因为
，所以
，
联立消
得
，解得
或
与
矛盾，
故
，代回计算得
，
所以
（2）若选①
，则有
，
所以
剩余的项就是原数列的奇数项，
相当于剩余的项
以2 为首项，4 为公比的等比数列，
所以
；
若选②
，则有
，
因为
，
所以当
时，对应的
为整数，满足，
当
时，对应的
不为整数，不满足，
所以
剩余的项就是原数列的奇数项，
相当于剩余的项
以2 为首项，4 为公比的等比数列，
所以
；
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22．（2023·浙江·统考二模）记
为正项数列
的前
项积，且
.
(1)求数列
的通项公式；
(2)证明：
.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）由等比数列的定义可得答案；
（2）由等比数列的前
项和公式可得答案.
【详解】（1）由
可得，
，即
，
又因为
，
所以
是首项为1，公比为2 的等比数列，
所以
；
（2）
，
所以
.
23．（2023·浙江温州·统考三模）图中的数阵满足：每一行从左到右成等差数列，每一
列从上到下成等比数列，且公比均为实数
.
29
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(1)设
，求数列
的通项公式；
(2)设
，是否存在实数
，使
恒成立，若存在，求出
的
所有值，若不存在，请说明理由.
【答案】(1)
；
(2)存在，
.
【分析】（1）设出第一行从左到右成等差数列的公差，再结合已知列出方程组求解，
然后用等差数列、等比数列的通项公式写出通项作答.
（2）由（1）的信息结合等比数列前n 项和公式求出
，再按奇偶分类讨论求解作答.
【详解】（1）设
，第一行从左到右成等差数列的公差为
，
则
，
由
，得
，即有
，
于是
，又
，解得
，因此
，
，
所以
，即
.
（2）由（1）知，
30
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当
为奇数时，不等式等价于
恒成立，而
恒成立，
则
；
当
为偶数时, 不等式等价于
恒成立，而
恒成立，则
，
因此
, 所以存在
，使得
恒成立.
24．（2023·浙江·统考二模）已知数列
满足：
，且对任意的
，
(1)求
，
的值，并证明数列
是等比数列；
(2)设
，求数列
的前
项和
.
【答案】(1)
，
，证明见解析
(2)
【分析】（1）根据数列定义，将
逐步展开为
，即可判断数列
是等比数列；
（2）根据分组求和即可求解
.
【详解】（1）
，
.
由题意得
，
31
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又
，所以数列
是等比数列.
（2）由（1）知
.
运用分组求和，可得
.
25．（2023·浙江绍兴·统考模拟预测）已知数列
满足
.
(1)求
的通项公式；
(2)设数列
满足
求
的前
项和
.
【答案】(1)
,
；
(2)
.
【分析】（1）先求出
再对
分奇偶两种情况讨论得解；
（2）先求出
时，
的前
项和
；再讨论当
时，且
为奇数时，当
时，且
为偶数时，
的前
项和
，即得解.
【详解】（1）根据题意可知
，
32
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所以
当
为奇数时，
，即
，
所以当
为偶数时，
；
当
为偶数时，
，即
，
所以当
为奇数时，
.
综上，
,
.
（2）由（1）可知当
为奇数时，若
，即
，解得
，
当
为偶数时，若
，即
，解得
，
所以
，当
时，
，
所以
.
当
时，且
为奇数时，
当
时，且
为偶数时，
33
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.
综上，
26．（2023·浙江·二模）记
为正数列
的前
项和，已知
是等差数列.
(1)求
；
(2)求最小的正整数
，使得存在数列
，
.
【答案】(1)1
(2)3
【分析】（1）根据题意可推得
，即得
，即可得答
案；
（2）利用（1）中结论可得
，结合基本不等式求得
，验证后
即得答案.
【详解】（1）由题意
是等差数列，设其公差为d，
则
，
则
，故
.
（2）由（1）可知
，一方面
，
故
，当且仅当
时，
取等号，
由于m 为正整数，故
，
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另一方面，
时，
﹐
满足条件，
综上所述，正整数m 的最小值是3．
27．（2023·浙江金华·统考模拟预测）设正项等比数列
的前
项和为
，若
，
．
(1)求数列
的通项公式；
(2)在数列
中是否存在不同的三项构成等差数列？请说明理由．
【答案】(1)
(2)不存在，理由见详解
【分析】（1）设
的公比为
，根据题意列方程组，从而求得
，
，
进而即可求得数列
的通项公式；
（2）结合（1）可得到
，假设存在三项
构成等差数列，从而根
据条件得到
，进而即可得到结论．
【详解】（1）设
的公比为
，
由
，两式相除并整理得
，
解得
或
（舍去），即
，
，
所以
．
（2）由（1）有
，
，所以
，
假设存在三项
构成等差数列，
则有
，即
，
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左右两边除以
，
，
等式左边为偶数，右边为奇数，该等式显然无解，
所以在数列
中不存在不同的三项构成等差数列．
28．（2023·浙江·校联考模拟预测）已知数列
的前
项和为
，且
．
(1)求
的通项公式；
(2)保持
中各项先后顺序不变，在
与
之间插入
个1，使它们和原数列的项构
成一个新的数列
，记
的前n 项和为
，求
的值（用数字作答）．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由
，得到
，求得
，结合
时，求得
，进而得到数列
的通项公式；
（2）根据题意，得到新数列
的前100 项，结合等差、等比数列的求和公式，即可
求解.
【详解】（1）解：由数列
的前n 项和为
，且
，
当
时，
，
所以
，
当
时，
，不符合上式，
所以数列
的通项公式为
．
（2）解：保持数列
中各项先后顺序不变，在
与
之间插入
个
1，
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则新数列
的前100 项为3，1，
，1，1，
，1，1，1，
，1，1，1，1，
，
，
，1，1，1，1，1，1，1，1，1，1，
则
．
29．（2023·浙江金华·统考模拟预测）已知数列
的前
项和
，
，且
.数列
满足
，
.
(1)求数列
，
的通项公式；
(2)将数列
中的项按从小到大的顺序依次插入数列
中，在任意的
，
之间
插入
项，从而构成一个新数列
，求数列
的前100 项的和.
【答案】(1)
，
(2)
【分析】（1）根据
与
的关系，可得出
，变形可得
.
然后根据等比数列的通项公式，即可得出
.由已知可得
，累乘法即可得
出
；
（2）设100 项中，来自于数列
中的有
项.根据已知可推得
，然后根据等差
数列以及等比数列的前
项和公式，即可得出答案.
【详解】（1）由已知可得，当
时，
有
，
，
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两式相减得：
.
又因为
，
所以，
，满足上式.
所以，
.
又
，
所以
是以4 为首项，2 为公比的等比数列，
所以
，即
.
又
，
所以
，所以
.
又
，
所以，当
时，有
，
，
，
，
，
两边同时相乘可得，
，
所以，
.
（2）设100 项中，来自于数列
中的有
项.
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若第100 项来自于
，则应有
，
整理可得，
，该方程没有正整数解，不满足题意；
若第100 项来自于
，则应有
，
整理可得，
.
当
时，有
不满足，
，故
，
所以，数列
中含有10 项数列
中的项，含有90 项数列
中的项.
所以，
.
30．（2023·浙江嘉兴·校考模拟预测）数列
满足
，
，
(1)若数列
是等比数列，求
及
的通项公式；
(2)若数列
满足：
，数列
的前
项和为
，求证：
.
【答案】(1)
，
(2)证明见解析
【分析】（1）先通过递推关系配凑出等比数列的结构，从而得到
，进而得出
的
通项公式；
（2）利用错位相减法求和并证明.
【详解】（1）由
可得，
，
又
，故
是首项为，公比为的等比数列，即
，
，
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于是
（2）由（1）知，
于是
，
则
，
两式相减：
，
即
，于是
，故
.
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