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高中数学重难点|基本不等式求最值的六种常规技巧(尖子生都在用)
摘要：本推文总结了利用基本不等式(也称"重要不等式"，“均值不等式”)求最值的六种常规思路。正常情况下，有这六个思路，应付高考就够用了。但是如果希望更上一层楼，走强基通道或竞赛途径，则境界偏低，可以移步另一篇推文《基本不等式应用的进阶技巧》。
Ⅰ、知识梳理
一．基本不等式常用的结论
1、 如果 ，那么 （当且仅当 时取等号）．
推论：（）．
2、 如果 ，则 （当且仅当 时取等号）．
推论：（）；．
3、（）．
二 ．利用基本不等式求最值的三个条件
（1）“一正”：各项必须为正数；
（2）“二定”：要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”：利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方．
三．利用基本不等式求最值的方法
1、直接法：条件和问题间存在基本不等式的关系．
2、配凑法：凑出“和为定值”或“积为定值”，直接使用基本不等式．
3、代换法：适用于条件最值中出现分式的情况．
类型 1：分母为单项式，利用“1”的代换运算，也称乘“1”法； 类型 2：分母为多项式时——方法 1（观察法）适合简单型，可以让两个分母相加看是否与给的分子成倍数关系；方法 2（待定系数法）适用于所有形式．如分母为 与 ，分子为 ，设 ，由 ，解得 ．
4、消元法：当题目中的变元比较多时，可以考虑削减变元，转化为双变量或者单变量问题．
5、构造不等式法：寻找条件和问题之间的关系，通过重新分配，使用基本不等式得到含有问题代数式的不等式，通过解不等式得出范围，从而求得最值．
Ⅱ、常考题型
题型一 直接法求最值
【例1】 已知 ，则 的最小值为（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
解：，
当且仅当 ，即 时等号成立．选 A．
【变式1-1】 已知正数 满足 ，则 的最大值为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
解：，
当且仅当 时等号成立．选 B．
【变式1-2】 已知 ，若 ，则 的最大值为（ ）
A． B． C． D．1
解：，
当且仅当 且 ，即 时等号成立．选 A．
【变式1-3】 已知 ，，则 的最小值是（ ）
A．1 B．4 C．7 D．
解：，
当且仅当 时上式等号成立．选 C．
【变式1-4】 已知 ，且满足 ，则 的最大值为___________．
解：，
当且仅当 时上式等号成立．
【变式1-5】 已知实数 满足 ，则 的最大值为（ ）
A． B． C． D．
解：
，
当且仅当 ，即 时上式等号成立．选 D．
【变式1-6】 若 ，，则 的最小值为（ ）
A．8 B．10 C．4 D．6
解：∵ ，
∴ ，
当且仅当 ，即 时上式等号成立．选 C．
【变式1-7】 若 均为正实数，则 的最大值为（ ）
A． B． C． D．
解：，
当且仅当 时上式等号成立．选 A．
题型二 配凑法求最值
【例2-1】 若函数 （）在 处取最小值，则 （ ）
A． B． C．3 D．4
解：，
当且仅当 ，即 （）时上式等号成立，故 ，最小值为 4．
选 C．（原文答案标“选D”，系笔误，见文末勘误第 1 条）
【例2-2】 设 ，求函数 的最大值．
解：，
当且仅当 ，即 时上式等号成立．
∴ 函数 的最大值为 ．
【变式2-1】 已知 ，则 的最大值为__________．
解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
当且仅当 ，即 时上式等号成立．
即 的最大值为 1．
【变式2-2】 已知实数 ，则 的最小值是（ ）
A．24 B．12 C．6 D．3
解：，
当且仅当 ，即 时等号成立．
∴ 的最小值是 24．选 A．
【变式2-3】 设 ，则 的最小值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
解：
，
当且仅当 同时 ，即 时上式等号成立．选 D．
【变式2-4】 设 ，则 的最小值为（ ）
A． B． C．4 D．
解：
，
当且仅当 ，即 时上式等号成立．选 A．
视频：给定条件下求最值
题型三 消元法求最值
【例3】 已知正实数 满足 ，则 的最大值为＿＿＿＿＿．
解：∵ （），
∴ ，
当且仅当 ，即 时， 取得最大值 ．
【变式3-1】 已知正数 满足 ，则 的最小值是（ ）
A．1 B．3 C．6 D．12
解：∵ ，
∴ ，
当且仅当 时上式等号成立．选 B．
【变式3-2】 设正实数 满足 ，则 的最大值为（ ）
A．0 B．2 C．1 D．3
解：∵ ，
∴ ，
当且仅当 ，即 时， 取得最小值 1，从而 取得最大值 1．选 C．
【变式3-3】 设正实数 满足 ，则当 取得最小值时， 的最大值为（ ）
A．0 B． C．2 D．
解：∵ ，
∴ ，
当且仅当 ，即 时，上式等号成立，此时 ，
∴ （ 时取等）．选 C．
【变式3-4】 已知 ，，则 的最小值是（ ）
A．14 B． C．8 D．
解：∵ ，
∴ 当且仅当 ，即 时上式等号成立．选 A．
题型四 乘“1”法求最值
【例4】 已知 ，，求 的最小值．
解：∵ ，
∴ 当且仅当 ，即 时上式等号成立．
∴ 的最小值为 2．
【变式4-1】 已知 ，且 ，则 的最小值为（ ）
A．2 B． C．8 D．9
解：∵ ，
∴ ，
当且仅当 ，即 时上式等号成立．
选 B．
【变式4-2】 若正数 满足 ，则 的最小值为（ ）
A． B． C．5 D．6
解：∵ ，
∴ ，
当且仅当 ，即 时上式等号成立．
选 B．
【变式4-3】 已知 ，且 ，则 的最大值为（ ）
A． B． C． D．
解：∵ ，
∴ ，
当且仅当 ，即 时上式等号成立．
选 D．
【变式4-4】 已知正数 满足 ，则 的最小值等于（ ）
A．4 B． C．8 D．9
解：∵ ，
∴ ，
当且仅当 ，即 时上式取等号．
选 D．
视频：凑项法和换元法
题型五 简化分母换元法求最值
【例5】 已知 ，且 ，则 的最小值为（ ）
A．9 B．10 C．11 D．
解：∵ ，
∴
，
当且仅当 ，即 时上式等号成立．
选 A．
【变式5-1】 设 为正数，且 ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
解：∵ ，
∴
，
当且仅当 ，即 时上式取等号．
选 A．
【变式5-2】 已知正实数 满足 ，则 的最小值是（ ）
A． B． C． D．
解：设 （），则 ，
由 ，即 ，
∴
，
当且仅当 ，即 ， 时上式等号成立．
选 A．
【变式5-3】 设 均为正实数，且 ，则 的最小值为（ ）
A．8 B．16 C．9 D．6
解：
，
当且仅当 ，即 时上式取等．
选 A．
【变式5-4】 实数 满足 ，则 的最小值是（ ）
A．4 B．6 C． D．
解：设 ，则 ，
∴
，
当且仅当 ，即 ，亦即 时上式等号成立．
选 D．
【变式5-5】 已知 ，且 ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．（原文空缺）
解：由 （），
∴
，
当且仅当 ，即 时上式等号成立．
选 A．
题型六 构造不等式法求最值
【例6】 若实数 满足 ，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
解：
，
当且仅当 ，即 时右边等号成立；当 时左边等号成立．
选 A．
【变式6-1】 已知 ，且 ，则 的最小值为（ ）
A．4 B．6 C．9 D．12
解：
，
当且仅当 ，即 时上式取得等号．
选 B．
【变式6-2】 若 ，且 ，则 的最小值为（ ）
A．9 B．16 C．49 D．81
解：
，
当且仅当 ，即 时， 取得最小值 81．
选 D．
【变式6-3】 若实数 满足 ，则 的取值范围为＿＿＿＿＿．
解：，
当且仅当 ，即 ，或 ，或 时上式取得最值．
∴ 的取值范围为 ．