习题解答 | 八一杯网络数学竞赛问题两则

在完成题目解答的同时，尽可能给出相关的背景知识介绍，同时感谢比赛组织者和命题者，这里附上相关的公众号供读者学习。这些题目的质量是比较高的，同时也有一定的难度，在解答的过程中查阅了相关的文献资料，已在文末罗列。

Gauss 权函数下的衰减与矩估计

数学组第六题　设 ，，并且

证明：

并且

背景知识　题设说明  与  都属于 Gauss 权测度下的  空间，可以把它看成一维 Gauss 加权 Sobolev 空间的基本问题 [1,2]。这里关键是 Gauss 权函数  满足 ：对含有  的量求导时会自动产生因子 ，从而把一阶导数信息转化为更强的矩估计。类似的 Gauss 分部积分结构也出现在 Hermite 多项式和 Ornstein–Uhlenbeck 算子中 [2]。

解答　先证明一个后面要反复使用的衰减引理。设  在  上局部绝对连续，，，并且几乎处处有 ，则 。事实上，对充分大的 ，可在  中选取 ，使 。于是

令 ，并记 。若  为复值函数，以下乘积取实部即可；实值情形则可直接计算。由于

故 。由 Cauchy–Schwarz 不等式，

题设又给出 ，所以衰减引理表明 。因为 ，便得到第一个结论

下面证明带有  的矩估计。对  求导可得

记 ，。在  上积分，并利用 ，得到

令 ，则 ，所以所有  都被同一个常数控制。由于  随  单调增加，令  即得

最后令 。因为  对  成立，刚刚得到的结论说明 。同时

右端可积，因为

再次应用衰减引理可得 。注意 ，故

三个结论全部得证。

保持外积的非零映射

数学组第七题　对  上的外积 ，设非零映射  满足

证明：存在正交矩阵 ，使得  对一切  成立。

背景知识　三维外积同时包含正交关系、面积和空间定向。若  是正交矩阵，则

因此真正保持外积的是  中的旋转，而不是含反射的全部 。把向量  对应到反对称矩阵  后，关系  还把外积与李代数  的李括号联系起来 [3]。本题没有预先假设  线性，所以必须从保外积条件中把线性恢复出来。

解答　记  为  的标准正交基。首先，由  可知

令 ，，。利用  及其循环关系，得到

先说明  均非零。若 ，上面的关系立即给出 。对任意 ，都存在  使 ，于是 。再任取 ，从子空间  中选取非零向量 ，则已经知道 ；又因 ，存在  使 ，故 。这将推出 ，与题设矛盾。因此  全部非零。

由  可知 ，循环地还可得三者两两正交。记其长度分别为 ，则上述三个等式给出 、、。因为 ，解得 。又因 ，所以  是一组正向标准正交基。

以  为列向量组成矩阵 ，则  且 。定义 。由于  保持外积， 仍满足保外积条件，并且 。以下证明  必为恒等映射。

若  且 ，则存在  使 ，因而 ； 时结论显然成立。因此  保持正交关系。向量  同时垂直于 ，所以  必平行于 。类似地，存在函数 ，使

由  得 。分别令  和 ，并使用 ，可知三个函数相同，统一记为 ，而且

接着确定一般向量的像。因为 ，可设 。比较 、 在  下的像，得到 、。另外两个坐标平面完全相同。再对任意  比较它与  的外积，可得

取 、。由于 ，保外积条件给出

结合 ，可知  还满足可加性 。因此  同时可加、可乘并固定 。若 ，写成 ，则 ，所以  单调递增。它固定所有有理数，再由有理数在实数中的稠密性可知  对每个实数  都成立。

于是 ，从而

事实上证明还给出了更强的结论 ，即 。

参考文献

[1] R. A. Adams and J. J. F. Fournier, Sobolev Spaces, 2nd ed., Academic Press, 2003.

[2] V. I. Bogachev, Gaussian Measures, Mathematical Surveys and Monographs, Vol. 62, American Mathematical Society, 1998.

[3] B. C. Hall, Lie Groups, Lie Algebras, and Representations: An Elementary Introduction, 2nd ed., Springer, 2015.