习题解答 | 八一杯网络数学竞赛问题两则

在完成题目解答的同时，尽可能给出相关的背景知识介绍，同时感谢比赛组织者和命题者，这里附上相关的公众号供读者学习。这些题目的质量是比较高的，同时也有一定的难度，在解答的过程中查阅了相关的文献资料，已在文末罗列。

Gauss 权函数下的衰减与矩估计

数学组第六题　设，，并且

证明：

并且

背景知识　题设说明与都属于 Gauss 权测度下的空间，可以把它看成一维 Gauss 加权 Sobolev 空间的基本问题 [1,2]。这里关键是 Gauss 权函数满足：对含有的量求导时会自动产生因子，从而把一阶导数信息转化为更强的矩估计。类似的 Gauss 分部积分结构也出现在 Hermite 多项式和 Ornstein–Uhlenbeck 算子中 [2]。

解答　先证明一个后面要反复使用的衰减引理。设在上局部绝对连续，，，并且几乎处处有，则。事实上，对充分大的，可在中选取，使。于是

令，并记。若为复值函数，以下乘积取实部即可；实值情形则可直接计算。由于

故。由 Cauchy–Schwarz 不等式，

题设又给出，所以衰减引理表明。因为，便得到第一个结论

下面证明带有的矩估计。对求导可得

记，。在上积分，并利用，得到

令，则，所以所有都被同一个常数控制。由于随单调增加，令即得

最后令。因为对成立，刚刚得到的结论说明。同时

右端可积，因为

再次应用衰减引理可得。注意，故

三个结论全部得证。

保持外积的非零映射

数学组第七题　对上的外积，设非零映射满足

证明：存在正交矩阵，使得对一切成立。

背景知识　三维外积同时包含正交关系、面积和空间定向。若是正交矩阵，则

因此真正保持外积的是中的旋转，而不是含反射的全部。把向量对应到反对称矩阵后，关系还把外积与李代数的李括号联系起来 [3]。本题没有预先假设线性，所以必须从保外积条件中把线性恢复出来。

解答　记为的标准正交基。首先，由可知

令，，。利用及其循环关系，得到

先说明均非零。若，上面的关系立即给出。对任意，都存在使，于是。再任取，从子空间中选取非零向量，则已经知道；又因，存在使，故。这将推出，与题设矛盾。因此全部非零。

由可知，循环地还可得三者两两正交。记其长度分别为，则上述三个等式给出、、。因为，解得。又因，所以是一组正向标准正交基。

以为列向量组成矩阵，则且。定义。由于保持外积，仍满足保外积条件，并且。以下证明必为恒等映射。

若且，则存在使，因而；时结论显然成立。因此保持正交关系。向量同时垂直于，所以必平行于。类似地，存在函数，使

由得。分别令和，并使用，可知三个函数相同，统一记为，而且

接着确定一般向量的像。因为，可设。比较、在下的像，得到、。另外两个坐标平面完全相同。再对任意比较它与的外积，可得

取、。由于，保外积条件给出

结合，可知还满足可加性。因此同时可加、可乘并固定。若，写成，则，所以单调递增。它固定所有有理数，再由有理数在实数中的稠密性可知对每个实数都成立。

于是，从而

事实上证明还给出了更强的结论，即。

参考文献

[1] R. A. Adams and J. J. F. Fournier, Sobolev Spaces, 2nd ed., Academic Press, 2003.

[2] V. I. Bogachev, Gaussian Measures, Mathematical Surveys and Monographs, Vol. 62, American Mathematical Society, 1998.

[3] B. C. Hall, Lie Groups, Lie Algebras, and Representations: An Elementary Introduction, 2nd ed., Springer, 2015.