每一次举手发言都是勇气的体现!每一次认真听讲都是成长的积累"
!
!" !!
"#$%#!
!" !#
$%&'%
!"#
&'(
! # $%&'%()*#
!!
!!"!# "#$%&下列数是正数的是
! ! "
!"#
$"%
&"'#
("')
"! !"# !!"!$ '()$*%&给出下列说法#
!不带负号$ '%的数都是正数&
"在一个正数的前面加上负号$ '%'该正数
就变成了负数&
#不是正数的数一定是负数'不是负数的数一
定是正数&
$ % 是正数和负数的分界点&
% % 只表示没有&
& % 可以表示特定的意义'如% *等!
其中正确的是+"$&+!!填序号"
#!下列各数中是正数的是+ ,) #
- !- #
. !)%/!
,-!0.+&
是负数的是+ ')! '%!%)! '. #
1 +&既不是正
数也不是负数的是+%+!
')' ,) #
- ' - #
. ' )%/' '%!%)' ,-!0.'
'. #
1 '%!
&'(
# # +$,'%-./01234(5#
$! !"# !!"!$ )+,%&下列不是具有相反意义
的量的是
! " "
!"收入#%% 元和支出)% 元
$"答对# 题和答错) 题
&"超过%!%. 22和不足%!%- 22
("增大) 岁和减少) 元
%! $%& !!"!$ -./01,%&)%). 年3 月- 日'
纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争
胜利4% 周年阅兵仪式在天安门广场上庄严举
行'/. 架中国航空工业自主研制的国产直升
机飞越天安门广场上空'拉开阅兵仪
式序幕!如图"!若某架国产直升机上
升)4 2记作,)4 2'则下降#) 2应
记作
! # "
!",#0 2 $",#) 2 &"'#) 2 ("'#0 2
&!
!!"!$ +23$&北京时间)%). 年- 月#. 日#) 时
## 分'我国在酒泉卫星发射中心使用长征二号
丁运载火箭'成功将四维高景三号%) 星发射
升空'卫星发射任务获得成功极大增强了中国
商业遥感领域在全球范围内的核心竞争力!若
火箭发射点火前0 5记作'0 5'则火箭发射点
火后#% 5应记作
! ! "
!",#% 5 $",0 5
&"'#% 5 ("'0 5
'! '( !$%# )*
$+,-./01 我国古代数学名
著(九章算术)中对正负数的概念注有$今两算
得失相反'要令正负以名之%!如果向东走. 2'
记为,. 2'那么'#% 2表示
! ! "
!"向西走#% 2
$"向东走#% 2
&"向南走#% 2
("向北走#% 2
(!
!!"!# 4567&某运动项目的比赛规定'胜一场
记作,# 分'输一场记作'# 分!若某队经过一
场比赛后得到% 分'则该队在比赛中的结果
是+平局+!!填$胜了%$输了%或$平局%"
)! '( !$ 2 # )* 向指定方向变化用正数表示'向
指定方向的相反方向变化用负数表示!$体重
减少#!. 67%换一种说法可以叙述为$体重增
加+ '#!.+67%!
!*! '( !&%' )* 教室高-!/ 米'课桌高%!0 米'如
果以桌面为$基准%'正数表示超过桌面的高度'
那么教室顶部的高度记作+ ,)!4+米
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
*
*
!
" ! #
$%&
专注的眼神!紧握的笔杆!是课堂上最美的青春姿态"
!" "#
06%
!"#
&'( # 06%7819)*&%(:;#
!!
!!"!$ 89
:;,%&下列四个数中'既是整数
又是负数的是
! # "
!"/
$"'.!.
&"')
("%
"!
!!"!# -.<=;3$& '/!). 不属于
! " "
!"有理数
$"负数
&"负分数
("整数
#!
!!"!# >?@A;3B&关于$%%的说法'正确的是
! $ "
!"是整数'也是正数
$"是整数'但不是正数
&"不是整数'是正数
("是整数'但不是有理数
$!!!"!$ - . C D ; 3 $& 在)!/' '-' %' #
1 '
%!#%# %%#这. 个数中'正有理数有
! # "
!"# 个
$") 个
&"- 个
("/ 个
%!
!!"!$ +2,%&下列说法正确的是
! # "
!"正数和负数统称有理数
$"有理数是指整数*分数*正有理数*负有理数
和% 这五类数
&"一个有理数不是整数就是分数
("整数包括正整数和负整数
&!
!!"!$ E#,%&把下列各数填在相应的大括
号内!
#
) ' '-!#.'0'#
- ' '1'%' '#%%'.%"'14!
整数#++0! '1!%! '#%%!14+,!
分数#++#
) ! '-!#.!#
- !.%"+,!
非负数#++#
) !0!#
- !%!.%"!14+,!
负有理数#++ '-!#.! '1! '#%%+,!
!"#
'!
!!"!$ FGH$*%&在'#
- '))
1 '%' '#'%!/')'
'-' '0 这些数中'有理数有#个'自然数有
$ 个'分数有%个'则#'$ '%的值为! ! "
!"-
$")
&"#
("/
(!如图'关于甲*乙*丙三部分的数的个数'下列
说法正确的是
! ! "
!"甲*丙两部分都有无数个'乙部分只有一
个'是%
$"甲*乙*丙三部分都有无数个
&"甲*乙*丙三部分都只有一个
("甲部分只有一个'乙*丙两部分都有无数个
)! $+,-3456 请按要求在每空中写出两个相
应的有理数!
!#"既是正数也是分数#+%!-!#
) +&
!)"既不是负数也不是分数#+-!.%+&
!-"既不是分数也不是非负数#+ '#%%! '#)"答案
均不唯一#+!
!*!
!!"!# IJ,%&选择合适的数填在相应的横线
上!!每个数只能选用一次"
#.' '.'#!)'#
) '/#!.!
++小明是七年级学生'身高#0% 厘米'体重
+/#!.+千克!他每天坚持晨练-% 分钟'即
使冬天的早上温度达到+ '.+*'他也不怕'
坚持锻炼!他沿着学校/%% 米的跑道跑- 圈'
共+#!)+千米'大约用+#.+分钟'跑步时间
占整个晨练时间的+#
) +
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
"
*
*
++
+!
"#$
! ! "
每一道难题的攻克都是思维的锻炼!每一次理解的加深都是进步的阶梯"
!
!" #!
#)*+,#$-./!
!" !#
%<
!"#
&'(
! # %<()*78=>#
!!下列关于数轴的说法不正确的是
! $ "
!"数轴上的单位长度必须相等
$!数轴的正方向一定向右
&"数轴上的原点可以任意选取
("数轴是规定了原点*正方向和单位长度的
直线
"!
!!"!$ -./013$&下列四个数轴中'正确的
是
! " "
+++++!++++++++$
+++++&++++++++(
&'(
# # 06%?%<@A(9B#
#!
!!"!# =K$%&如图'数轴上表示') 的点是
! ! "
!"&
$"'
&"(
(")
)* !!"!# LM$%&如图'数轴上点*表示的
数可能是
! $ "
!"'#
$"'#
)
&"#
)
("#
$!
!!"!$ NO,%&在数轴上'原点及原点右边的点
表示的数是
! " "
!"正数
$"负数
&"非正数
(!非负数
%! !"# 下列说法正确的是
! " "
!".
0 无法用数轴上的点表示'因为. 不能被0
整除
$"数轴上距离原点) 个单位长度的点表示的
数是)
&"数轴上'在# 和- 之间只有一个数)
("数轴上表示'- 的点在原点左侧且距离原
点- 个单位长度
&!
!!"!$ PQRS;3B&如图'数轴的单位长度为
#'如果点*表示的数是'#'那么点+表示的
数是+-+!
)*
!"# !!"!$ -.TU;3$&若数轴上点
&表示的数为'#'点'与点&的距离为-'则
点'表示的数为+) 或'/+!
'!
!!"!$ VW=3$&如图'小芳在写作业时'不慎
将墨水滴在了数轴上'根据图中的数值'判断
墨水盖住的部分内含有的点表示的整数有
+4+个!
(!在数轴上画出表示下列各数的点#
-
) ' '.'%'-!0' '-' '#
) ' '# #
) !
解$如图所示!
)! '( !(%# )* 点*'+在数轴上的位置如图所
示'点,表示的数是'-!.'点-表示的数
是)!
!#" 点*表示的数是+ ')+'点+表示的数
是+/+&
!)"在数轴上表示出点,和点-&
!-"点*'+','-所表示的数中'哪些是负数-
解$")# 在数轴上表示出点,和点-!如图
所示$
"-# '-!.! ') 是负数
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
#
*
*
%&$'()*+,-(!"!
!
知识的魅力在于无穷无尽!学习的乐趣在于不断探索"
!")
!*!
!!"!$ 89
:;,%&如图'将刻度尺放在数轴
上'让- 82和. 82刻度线分别与数轴上表
示) 和/ 的两点重合对齐'则数轴上与% 82
刻度线对齐的点表示的数为
! # "
!"')
$"%
&"'#
("#
!!!如图'在数轴上有*'+','-四个点'分别表
示四个不同的数!若从这四个点中选一个点
作为原点'使得其余三个点表示的数中有两
个正数和一个负数'则这个点是
! $ "
!"点*
$"点+
&"点,
("点-
!"!已知小红*小刚*小明*小颖四人自南向北依
次站在同一条直线上!若把直线看作数轴'四
人所在的位置如图所示'则下列描述不正确
的是
! # "
!"数轴是以小明所在的位置为原点的
$"数轴采用向北的方向为正方向
&"小刚所在的位置对应的数可能是'.
-
(!小颖和小红间的距离为1 个单位长度
!#!安徽马鞍山市的精神是$聚山纳川'一马当
先%!若在正方形的四个顶点处标上$ 聚%
$山%$纳%$川%四个字'将正方形放置在数轴
上'其中$纳%$川%对应的数分别为') 和'#!
如图'现将正方形绕着顶点按顺时针方向在
数轴上连续翻转'第一次翻转后$聚%所对应
的数为%'则连续翻转后数轴上数) %). 对应
的字是+山+!
!$!
!!"!# FX,%&如图'数轴上有三点*'+',!请
回答#
!#"点*'+',所表示的数分别是多少-
!)"现在把数轴的原点取在点+处'其余都
不变'则点*'+',所表示的数分别是
多少-
追问#$若要使点*',都移动到点+'则点*'
,应怎样移动-
追问)$怎样移动*'+',中的两个点'才能使
三个点所表示的数相同'有几种移动方法-
解$"##由题中数轴!可知点*所表示的数是
'-!点+所表示的数是'#!点,所表示的数
是)!
")#如图!若点+为原点!则点*所表示的数
是')!点+所表示的数是%!点,所表示的
数是-!
追问#$若要使点*!,都移动到点+!则点*
应向右移动) 个单位长度!点,应向左移动
- 个单位长度!
追问)$有- 种移动方法!
!移动点+!,!点+向左移动) 个单位长度!
点,向左移动. 个单位长度%
"移动点*!,!点*向右移动) 个单位长度!
点,向左移动- 个单位长度%
#移动点*!+!点*向右移动. 个单位长度!
点+向右移动- 个单位长度!
!%! 789: !!"!# -.YZ$*%&如图'已知在纸
面上有一数轴!
操作一$
!#"折叠纸面'使表示# 的点与表示'# 的点
重合'则表示') 的点与表示+)+的点
重合!
操作二$
!)"折叠纸面'使表示'# 的点与表示- 的点
重合'回答下列问题#
!表示. 的点与表示+ '-+的点重合&
"表示#!. 的点与表示+%!.+的点重合&
#若数轴上*'+两点之间的距离为) %)0
!*在+的左侧"'且折叠后*'+两点重
合'求*'+两点分别表示的数!
解$")# #因为数轴上*!+两点之间的距离
为) %)0!且折叠后*!+两点重合!所以*!+
两点到折痕的距离均为# %#-!由!知折痕经
过数轴上表示# 的点!又点*在点+的左侧!
所以点*表示的数为'# %#)!点+表示的数
为# %#/
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
$
*
*
++
+!
"#$
! ! "
一起讨论难题!一起分享喜悦!青春因友谊而更加精彩"
!" "#
12%
!")
&'(
! # 12%()*7CD#
!!
!!"!# [=$%&) %). 的相反数是
! $ "
!") %).
$"') %).
&" #
) %).
("' #
) %).
)*
!!"!$ \]3$&若. 的相反数是)'则.
是
! $ "
!"'#
)
$"')
&"#
)
(")
"!如图'数轴上*'+两点表示的数互为相反数'
且点*与点+之间的距离为4 个单位长度'则点
*表示的数是+ '/+!
)* !!"!$ ^9_^;3B&如图'数轴!单位长度
为#"上有三个点*'+','若点*'+表示的数互为
相反数'则图中点,表示的数是+/+!
#!') #
) 和它的相反数之间的整数有+.+个!
$! '( !##%# )* 写出下列各数的相反数'并将这
些数连同它们的相反数在数轴上表示出来#
'/' '#!.'%'3
) !
解$ '/ 的相反数是/% '#!. 的相反数是#!.%%
的相反数是%%3
) 的相反数是'3
) !
在数轴上表示出各数!如图所示$
&'(
# # EFGH(IJ#
%!下列各式中'化简正确的是
! ! "
!"'! ,0" 9'0
$"'! '#1" 9'#1
&",! '3" 93
(",! ,." 9'.
&!
'( !#* ;# %* )* !!"!$ +23$&给出下列各组
数#! '# 与,! '#"&" ,! ,#"与'#&# '! ,/"
与'! '/"& $ ' ! ,#!1 " 与,! '#!1 "&
% '. ,! '4"/与'. '! ,4"/!其中互为相反
数的有
! ! "
!") 组
$"- 组
&"/ 组
(". 组
!"*
'!给出下列说法#!数轴上原点两侧的点表示的
数互为相反数&"互为相反数的两个数一定不
相等&#正数和负数互为相反数&$负数的相
反数是正数&% '. 的相反数一定是负数!其
中'正确的个数是
! ! "
!"#
$")
&"-
("/
(!已知. 与/互为相反数'/与0互为相反数'且
09'.'则. 的值为+ '.+!
)!如图'数轴上相邻两点间的距离均为#!
!#"如果点+与点1表示的数互为相反数'那
么点-表示的数是什么-
!)"如果点-与点2表示的数互为相反数'那
么点,表示的数是什么-
解$"##因为数轴上相邻两点间的距离均为#!
所以点+到点-的距离与点1到点-的距离
相等!
又因为点+与点1表示的数互为相反数!
所以点-表示的数是%!
")#因为数轴上相邻两点间的距离均为#!
所以点-到点1的距离与点2到点1的距离
相等!
又因为点-与点2表示的数互为相反数!
所以点1为数轴的原点!表示的数是%!
因为点,!1之间的距离是-!且点,在点1的
左边!
所以点,表示的数是'-
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
%
*
*
%&$'()*+,-(!"!
!
每一次尝试都是成长的契机!每一次挑战都是蜕变的开始"
!" ##
KLM
!"*
&'(
! # KLM()*734#
!!
!!"!% +`$%& '. 的绝对值是
! ! "
!".
$"'.
&"#
.
("'#
.
"!
!!"!$ ab3B&用符号语言表述$正数的绝对值
等于它本身%'正确的是
! $ "
!":.:9.++
$":.:9.!. ;%"
&":.:9'.++
(":.:9'.!. <%"
)* #
!!"!$ )+c$*%&若:.:9'.'则. 是
! " "
!"非负数
$"负数
&"正数
("非正数
)* )
!!"!# -.<=;,%&若:. :9:'. :'则
. 的值为+. 或'.+!
#!
!!"!$ +2,%&已知:.:9.':/:9'/' :.:;:/:'
用数轴上的点来表示.'/'正确的是
! # "
++ ++!+++++++++$
+++ +&+++++++++(
$! $+,-3456 写出一个绝对值大于# 的负有
理数#+ ')"答案不唯一#+!
%!计算#
!#" :')# :,:'0 :&
!)" :'. :':') :&
解$"## :')# :,:'0 :9)# ,0 9)1!
")# :'. :':') :9. ') 9-!
!-" :'-
) :=:'.
- :&
++++!/" :,%!%/ :>:'%!) :!
解$"-# :'-
) :=:'.
- :9-
) =.
- 9.
) !
"/# :,%!%/ :>:'%!) :9%!%/ >%!) 9%!)!
&'(
# # KLM(N'C#
&!
!!"!$ E#,%&若3为有理数'则式子) %). '
:3'1 :的最大值是
! $ "
!") %)/
$") %).
&") %)0
(") %)1
)* !!"!$ - . C D ; 3 $&当. 9+# + 时'
:# '.:,) 取得最小值'这个最小值是+)+!
'!
!!"!$ 89,%&若:. ') :,:/'/ :9%'则. ,/
的值是多少-
解$因为:. ') :,:/'/ :9%!且:. ') :"%!
:/'/ :"%!
所以. ') 9%!/'/ 9%!
所以. 9)!/9/!
所以. ,/9) ,/ 90!
&'(
$ # KLM(O+#
(!
!!"!$ -..K1,%&)%). 年1 月) 日'第九届
$瑶海杯%全国青少年女子足球邀请赛开幕!
工作人员在开赛前随机检测/ 个足球'其中超
过标准质量的克数记为正数'不足标准质量的
克数记为负数'从质量角度看'下列最接近标
准的是
! # "
+ !++++ $++++ &++++
(
)!
!!"!$ +2,%&一天上午'出租车司机王师傅在
东西走向的路上行驶'如果规定向东为正'向
西为负'出租车从早上出发到将最后一位乘客
送到目的地的行车里程如下! 单位#千米"#
,#.' '-' ,#)' '##' '#-' ,-' '#)' '#4!
那么王师傅将最后一位乘客送到目的地时'出
租车共行驶了多少千米-
解$由题意!得这天上午出租车行驶的路程为
:,#. :,:'- :,:,#) :,:'## :,:'#- :,
:,- :,:'#) :,:'#4 :9#. ,- ,#) ,## ,
#- ,- ,#) ,#4 941"千米#!
答$王师傅将最后一位乘客送到目的地时!出
租车共行驶了41 千米
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
&
*
*
++
+!
"#$
! ! "
在挫折中学会坚强!在困难中学会勇敢!成长让我们更强大"
!
!" $!
01#234!
!"$
&'(
! # P+%<QR06%(ST#
!!
!!"!# bd$%&数轴上表示数.'/的点如图所
示'下列判断正确的是
! ! "
!". </
$". ;/
&"/<%
(". ;%
"!
!!"!$ )+3B&有理数. 在数轴上的位置如图
所示'则.' '.' '# 的大小关系是
! # "
!"'. <. <'#
$"'. <'# <.
&". <'# <'.
(". <'. <'#
#!
!!"!$ -.eZY$*%&在数轴上表示下列各数'
并用$ <%连接起来!
-' ') #
) '%' '#' '! ')"':-!. :!
解$ '" ')# 9)!:-!. :9-!.!
在数轴上表示各数!如图所示$
由数轴!可得') #
) <'# <% <'" ')# <- <
:-!. :!
$!在.'/'0三个有理数中'.'/都是负数'0是正
数'且:/:;:.:;:0:!
!#" 在数轴上标出表示.' /' 0的点的大致
位置&
!)"比较.'/'0的大小!
解$"##如图所示$
")#/<. <0!
&'(
# # P+>UQR06%(ST#
%!
!!"!# 8f$%&下列四个数中'最大的数是
! ! "
!")
$"')
&"#
)
("'#
)
&!
!!"!# g97h&若一个有理数满足#它的绝对值
大于它的相反数'则这个有理数可以是! # "
!"%
$"'/
&")
("')
'!甲地海拔为-% 2'乙地海拔为)% 2'丙地海拔
为'. 2!甲*乙*丙三地中最高处为+甲+地'
最低处为+丙+地!
&'(
$ # P+KLMQRVW'%(ST#
(!
!!"!# iU$%&如表记录了某日我国四个城市
的平均气温#
城市
北京
哈尔滨
威海
香港
气温4*
')!0
'#3!4
/!)
#4!1
其中'平均气温最低的城市是
! $ "
!"北京
$"哈尔滨
&"威海
("香港
)!比较下列各组数的大小#
!#" '4 和'1!4&
!)" ')
- 和'%!0&
!-" ,! '0
1 "与'! ,3
#%"&
!/" ''与':'-!#/ :!
解$"##因为:'4 :94!:'1!4 :91!4!4 ;1!4!
所以'4 <'1!4!
")#因为:')
- :9)
- !:'%!0 :9%!0!)
- ;%!0!
所以')
- <'%!0!
"-# ," '0
1 # 9'0
1 ! '" ,3
#%# 9'3
#%!
因为:'0
1 :90
1 !:'3
#% :93
#%! 3
#% ;0
1 !
所以'0
1 ;'3
#%!即," '0
1 # ;'" ,3
#%#!
"/# ':'-!#/ :9'-!#/!
因为:'':9'!:'-"#/ :9-"#/!';-"#/!
所以''<'-"#/!即''<':'-!#/ :
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
'
*
*
%&$'()*+,-(!"!
!
青春的成长如同破茧成蝶!经历磨砺!方能展翅高飞"
!"$
!*! '( !#& ;# %* )* 下列说法正确的是
! " "
!"有最大的正整数
$"有最小的有理数
&"有最大的有理数
("有绝对值最小的数
!!!
!!"!$ jk3$&若规定.3"表示大于3的最小
整数'如.." 90'. '#!4" 9'#'则下列结论
错误的是
! ! "
!". '-!#" 9'/
$".)!)" 9-
&".%" 9#
(". -
) " 9)
!"! </=->? !!"!# 0l$%&在# 个标准大气
压下'四种晶体的熔点如表所示'则熔点最高
的是
! " "
晶体
固态氢
固态氧
固态氮
固态酒精
熔点4*
').3
')#4
')#%
'##1
!"固态氢
$"固态氧
&"固态氮
("固态酒精
!#! @#AB !!"!$ +23$&若.'/为有理数'. <
%'/;%'且:. :;:/:'则.'/' '.' '/的大小
关系是
! " "
!"'/<. </<'.
$"'/</<. <'.
&". <'. <'/</
(!. <'/</<'.
!$!下列大小关系正确的是
! $ "
!"% <'! '#
) " <':'-
/ :<,! ')
- " <'! ,#
) "
$"':'-
/ :<,! ')
- " <'! ,#
) " <% <'! '#
) "
&"'! '#
) " <':'-
/ :<% <,! ')
- " <'! ,#
) "
("'! ,#
) " <,! ')
- " <':'-
/ :<% <'! '#
) "
!%!
!!"!$ jk3B&写出所有绝对值大于# 且不大
于. 的负整数#+ ')! '-! '/! '.+!
!&!在'%!/)# 1 中用数字- 替换其中的一个非
零数字后'所得的数最小'则被替换的数字是
+)+!
!'!有两只蚂蚁在如图所示的数轴上爬行'蚂蚁
甲从图中点*的位置沿数轴向右爬了/ 个单
位长度到达点,处'蚂蚁乙从图中点+的位置
沿数轴向左爬了4 个单位长度到达点-处!
!#"在图中描出点,'-的位置&
!)"点5到点,与点-的距离相等'在数轴
上描出点5的位置'并把点*'+','-'5
所表示的数用$ <%连接起来!
解$"##由题意!得点,表示的数为%!点-表
示的数为'-!在数轴上描出点,!-的位置!
如图# 所示$
图#
")#因为点5到点,与点-的距离相等!
所以点5表示的数为'#!.!
在数轴上描出点5的位置!如图) 所示$
图)
把点*!+!,!-!5所表示的数用& <'连接起
来!得'/ <'- <'#!. <% <.!
!(! C?DE !!"!# mkmn;,%&请阅读材料'并
解决问题!
比较两个数的大小的方法#若比较'33
)%# 与
'.#
#%#的大小'利用绝对值法直接比较这两个
负数的绝对值的大小要涉及分数的通分'计
算量大'可以使用如下的方法改进!
解#因为33
)%# <#
) ' .#
#%# ;#
) '所以33
)%# <.#
#%#'即
:'33
)%# :<:'.#
#%# :'所以'33
)%# ;'.#
#%#!
!#"上述方法是先通过找中间量+ #
) +来比
较出33
)%#与.#
#%#的大小'再根据$两个负数
比较大小'+绝对值+大的反而小%得到
结果' 把这种方法叫作借助中间量比
较法&
!)" 利用上述方法比较'/.
#)0 与'4%
)/- 的
大小!
解$")#因为/.
#)0 ;#
- ! 4%
)/- <#
- !
所以/.
#)0 ;4%
)/-!即:'/.
#)0 :;:'4%
)/- :!
所以'/.
#)0 <'4%
)/-
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
(
*
*
++
+!
"#$
! ! "
不积跬步!无以至千里!不积小流!无以成江海!贵在坚持"
!
56 !!
#)278!
!"'
9:
! # A,%LOXY#
!!
!!"!$ E#,%&若. 9'# /
1 '则有理数. 在数
轴上对应的点的位置表示正确的是
! $ "
!
++
$
&
++
(
"!.'/在数轴上对应点的位置如图所示'化简
:. ,/:的结果是
! ! "
!"'. '/
$". ,/
&". '/
("/'.
#!*'+',是数轴上的三个点'点*'+表示的数分
别是# 和-!若点,到点+的距离等于点*到
点+的距离的两倍'则点,表示的数是! " "
!"1
$"#
&"'#
("1 或'#
9:
# # P+%<QRST#
$!
!!"!$ jk,%&如图'四个有理数在数轴上的对
应点分别为&'(''')'若点&''表示的有理
数互为相反数'则图中表示绝对值最小的数的
点是
! # "
!"点&
$"点'
&"点(
("点)
%!
!!"!$ l+op;,%&数.'/'0在数轴上对应点的
位置如图所示'且:. :;:0:'把0' '0'.'/' '/
按照从小到大的顺序排列'正确的是
! " "
!"0<'/<'0</<.
$"'/<0<. <'0</
&"'/<0<. </<'0
("'/<0<'0<. </
9:
$ # %Z[\]M#
&!
!!"!$ q93$&在数轴上表示整数的点称为整
点'某数轴的单位长度是# 82'若在这条数轴上
任意画出一条长为) %). 82的线段*+'则线段
*+盖住的整点个数是+) %). 或) %)0+!
'!
!!"!# -.<=;3$&如图'把一根木棒
放在数轴上'数轴的# 个单位长度为
# 82'木棒的左端与数轴上的点*重
合'右端与数轴上的点+重合!
!#"若将木棒沿数轴水平向右移动'则当它的
左端移动到点+处时'它的右端在数轴上
表示的数为)%&若将木棒沿数轴水平向左
移动'则当它的右端移动到点*处时'它
的左端在数轴上表示的数为.'由此可得
木棒的长为+.+82!
!)"图中点*表示的数为+#%+'点+表示的
数为+#.+!
!-"根据!#"!)"的启发'请你借助数轴这个工
具帮助小红解决下列问题!
一天'小红问爷爷的年龄'爷爷说#$ 我若
是你现在这么大'你还要/% 年才出生&你
若是我现在这么大'我已经是#). 岁的老
寿星了'哈哈0%请求出爷爷现在的年龄!
解$"-# 借助数轴!把小红与爷爷的年龄差看
作木棒*+的长!如图$
当把&爷爷是小红这么大'看作当点+移动到
点*处时!点*所表示的数为'/%!
当把&小红是爷爷这么大'看作当点*移动到
点+处时!点+所表示的数为#).!
可知爷爷比小红大"#). ,:'/% :# >- 9
.."岁#!
所以爷爷现在的年龄为#). '.. 91%"岁#
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
)
*
*
%&$'()*+,-(!"!
!
每一个伟大的未来!都始于一个勇敢的梦想!始于当下"
!
!" %!
01#2;<!
!" !#
06%(^>
!"'
&'(
! # 06%(^>>U#
!!
!!"!# E#3B&根据有理数的加法法则'计算
! ')" ,! '-"的过程正确的是
! # "
!",!- ,)"
$",!- ')"
&"'!- ,)"
("'!- ')"
"!
!!"!$ g93$&如图'数轴上*'+两点所表示的
两个数的和为
! $ "
!"#
$"'#
&")
("'-
#!
!!"!$ )+c$*%&如果两个有理数之和等于
零'那么这两个有理数必须
! # "
!"都是零
$"相等
&"互为相反数
("有一个数是零
$!
!!"!$ -.rs$t*%&若. 的相反数是/'则. ,
/ 等于+%+!
%!计算#
!#"% ,! '#
) "&
+++!)"! '#!)." ,! '. -
/ "&
解$"##% ," '#
) # 9'#
) !
")#" '#!).# ," '. -
/ # 9'"# #
/ ,. -
/ # 9
'1!
!-"! '#
- " ,#
) &
+++!/"! '#)" ,#% #
- !
解$"-# " '#
- # ,#
) 9," #
) '#
- # 9," -
0 '
)
0 # 9#
0 !
"/#" '#)# ,#% #
- 9'"#) '#% #
- # 9'# )
- 9
'.
- !
&'(
# # 06%^>(O+#
&! '( !))%$ )* !!"!$ +23$&若规定向东走为
正'小明从学校出发先走了,/% 米'又走了
'#%%米'则此时小明的位置在学校的! # "
!"西面/% 米处
$"东面/% 米处
&"西面0% 米处
("东面0% 米处
'! $+,-./01 !!"!$ uv,%&在(九章算术注)
中用不同颜色的算筹!注#小棍形状的记数工具"
分别表示正数和负数!白色表示正数'黑色表示
负数"'图# 所表示的是,)# ,! '-)" 9'##的
计算过程'则图) 所表示的是
! ! "
!"! '#-" ,! ,)-" 9#%
$"! '-#" ,! ,-)" 9#
&"! ,#-" ,! ,)-" 9-0
("! ,#-" ,! ')-" 9'#%
!"+
(!下列问题情境'不能用加法算式') ,#% 表示
的是
! " "
!"水位先下降) 82'再上升#% 82后的水位变
化情况
$"某日最低气温为') *'温差为#% *'该日
的最高气温
&"用#% 元购买) 元文具后找回的零钱
("数轴上表示') 与#% 的两个点之间的距离
)! !"# !!"!$ )+w+;3B&数轴上点*表示的
数是'-'将点*在数轴上移动1 个单位长度
得到点+'则点+表示的数是
! $ "
!"/
$"/ 或'#%
&"'#%
("'/ 或#%
!*! '( !*"%+ )*
$+,-3456 已知两个有理
数相加'和小于每一个加数'请写出满足上述
条件的一个算式#+" ')# ," '-# 9'. "答
案不唯一!只要是两个负数相加即可#+!
!!!
!!"!$ -./#;3$&定义一种新运算#'其规
则为.#/9#
. ,#
/'如)#- 9#
) ,#
- 9.
0 '那
么/#! '-"的值是+ '#
#)+
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
*
!
*
++
+!
"#$
! ! "
教室里的专注!操场上的奔跑!图书馆里的沉思!都是青春的印记"
!" "#
06%(^>_`a
!"+
&'(
! # 06%(^>_`a#
!!
!!"!$ +23$&. ,! '-" ,#) 9. ,#) ,! '-"
这个运算运用了
! ! "
!"加法交换律
$"加法结合律++
&"加法交换律和加法结合律
("以上都不对
"!
!!"!# -./0xy$t*%&在计算#
- '#
/ ,##
/ ,
)
- 时'下面四种方法运算过程正确且比较简便
的是
! " "
!"! #
- ,##
/ " ,! )
- '#
/ " +
$"! #
- ,)
- " ,!##
/ ,#
/ "
&"! )
- '#
- " ,!##
/ '#
/ "+
("! #
- ,)
- " ,!##
/ '#
/ "
#!
!!"!$ 893$&绝对值大于# 且小于-!. 的所
有整数的和为+%+!
$!计算#
!#"
@#AB ! ,.3" ,! ')#" ,! ')3" ,)#&
解$" ,.3# ," ')## ," ')3# ,)#
9(" ,.3# ," ')3#) ,(" ')## ,)#)
9-% ,%
9-%!
"另解见答案册#
!)"! ')!4" ,! '-!0" ,! '#!." ,- -
. &
解$" ')!4# ," '-!0# ," '#!.# ,- -
.
9" ')!4# ," '-!0# ," '#!.# ,-!0
9(" '-!0# ,-!0) ,(" ')!4# ," '#!.#)
9% ," '/!-#
9'/!-!
!-"! '-
/ " ,#
) ,-
. ,! '#
) " ,! '#
/ "!
解$" '-
/ # ,#
) ,-
. ," '#
) # ," '#
/ #
9(" '-
/ # ," '#
/ #) ,( #
) ," '#
) #) ,-
.
9'# ,% ,-
.
9')
. !
&'(
# # 06%^>_`a(O+#
%!七!#"班第一学期班费收支情况如下!收入为
正'支出为负"# ,).% 元' '.. 元' '#)% 元'
,1 元!该班期末时班费结余为!学期开始时
班费为% 元"
! ! "
!"4) 元
$"4. 元
&"-. 元
(!3) 元
&!
!!"!$ z{|}6$*%&某市客运管理部门对$五
一%黄金周假期五天的客流变化量做了不完全
统计'数据如下!用正数表示客流量比前一天
上升数'用负数表示客流量比前一天下降数"#
日期
# 日
) 日
- 日
/ 日
. 日
变化4万人次
)%
')
'.
3
-
与/ 月-% 日相比'. 月/ 日的客流量
! # "
!"上升了3 万人次
$"下降了. 万人次
&"上升了)) 万人次
("下降了1 万人次
'!
!!"!$ jk3$&足球比赛中'根据场上攻守形
势'守门员会在门前来回跑动!如果向前记作
正数'返回则记作负数'一段时间内'某守门员
的跑动情况记录如下!单位#2"# ,1' '-' ,4'
,/' '0' '4' ,#/' '#.!!假定开始计时时'
守门员正好在球门线上"
!#"守门员最后是否回到球门线上-
!)"如果守门员离开球门线的距离超过#% 2
!不包括#% 2"'那么对方球员挑射极可能
造成破门!问#在这一时间段内'对方球员
有几次挑射破门的机会- 简述理由!
解$"## " ,1# ," '-# ," ,4# ," ,/# ,
" '0# ," '4# ," ,#/# ," '#.#
9(" ,1# ," ,4# ," ,/# ," ,#/#) ,
( " '-# ," '0# ," '4# ," '#.#)
9-- ," '-)# 9# ;%!
故守门员最后没有回到球门线上!
")# 对方球员有- 次挑射破门的机会!理由
如下$
根据题意可得!守门员每次离开球门线的距离
分别为1 2!" ,1# ," '-# 9/"2#!/ ," ,4# 9
#)"2#!#) ," ,/# 9#0"2#!#0 ," '0# 9
#%"2#!#% ," '4# 9) " 2#!) ," ,#/# 9
#0"2#!#0 ," '#.# 9#"2#!
其中超过#% 2" 不包括#% 2# 的是#) 2!
#0 2!#0 2!
所以对方球员有- 次挑射破门的机会
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
*
%&$'()*+,-(!"!
!
迎着风的方向!更适合展翅翱翔!我不畏惧千万人的阻挡!只怕自己轻易地投降"
!"+
(!
!!"!$ dG~;3$&如图是一种
转盘型密码锁'每次开锁时需要
先把表示$%%的刻度线与固定盘
上的标记线对齐'再按顺时针或逆时针方向旋
转带有刻度的转盘三次!例如'按逆时针方向
旋转- 个小格记为$ ,-%'此时标记线对准的
数是-'再顺时针旋转) 个小格记为$ ')%'再
逆时针旋转/ 个小格记为$ ,/%'锁可以打开'
那么开锁密码就可以记为$ ,-' ')' ,/%'此
时标记线对准的刻度线表示的数是$.%!一组
开锁密码为$ '#.' ,3' ,/%'锁打开时标记线
对准的刻度线表示的数是
! # "
!")
$"')
&"-4
("-1
)!
!!"!# =k;,%&如图'小明设计了一个计
算程序'并按此程序进行了计算'若开始输入
的数为'1'则最后输出的数为+ '#4+!
!*!
!!"!$ ,%&探索规律#
!# ,! ')" 9+ '#+&
"# ,! ')" ,- ,! '/" 9+ ')+&
## ,! ')" ,- ,! '/" ,. ,! '0" 9 '-&
根据以上计算结果'猜想# ,! ')" ,- ,
! '/" ,1 ,33 ,! '#%%" 9+ '.%+!
!!!
!!"!$ 89,%&阅读并解答下列问题!
计算# '. .
0 ,! '3 )
- " ,#1 -
/ ,! '- #
) "!
解# '. .
0 ,! '3 )
- " ,#1 -
/ ,! '- #
) "
9.! '." ,! '.
0 "/ ,.! '3" ,! ')
- "/ ,
!#1 ,-
/ " ,.! '-" ,! '#
) "/
9.! '." ,! '3" ,#1 ,! '-"/ ,.! '.
0 " ,
! ')
- " ,-
/ ,! '#
) "/ 9% ,! '.
/ " 9'.
/ !
上面这种解法叫拆项法!用这种方法完成下
面的计算!
! ') %). .
0 " ,! ') %)/ )
- " ,/ %.% )
- ,
! '# #
) "!
解$" ') %). .
0 # ," ') %)/ )
- # ,/ %.% )
- ,
" '# #
) #
9(" ') %).# ," '.
0 #) ,(" ') %)/# ,
" ' )
- #) ,"/ %.% , )
- # ,(" '# # ,
" '#
) #)
9(" ') %).# ," ') %)/# ,/ %.% ," '##) ,
(" '.
0 # ," ')
- # ,)
- ," '#
) #)
9% ," '/
- #
9'/
- !
!"! C?DE !!"!$
9,%&在学习完$有理数的
加法% 后'小米同学对运算产生了浓厚的兴
趣!借助有理数运算的学习经验'自主探究新
定义运算!
小米设计一种新运算$$%'即对任意有理数
.'/'满足如下规律#.$/9:. ,/:'称此种运
算为$ 绝佳% 运算!例如'. $! ')" 9:. ,
! ')" :9-&! ')"$/ 9:! ')" ,/ :9)!
2探究一#两个数$绝佳%运算3
!#"填空#!-$! '/" 9+#+&
"! '/"$- 9+#+!
请你认真思考上述运算'归纳出$绝佳%
运算是否满足交换律- 说明理由!
!)"若-$391'则39+/ 或'#%+!
2探究二#三个数$绝佳%运算3
!-"小米同学想类比有理数的加法结合律'
判断$绝佳%运算是否满足结合律!
请你帮助她验证等式.0 $ ! '1"/ $
! '4" 90$.! '1"$! '4"/是否成立'
并归纳出$绝佳%运算是否满足结合律!
解$"-#0$" '1# 9:0 ," '1# :9:'# :9#!
#$" '4# 9:# ," '4# :9:'1 :91!
所以左边9(0$" '1#)$" '4# 91%
" '1#$" '4# 9:'1 ," '4# :9:'#. :9
#.!0$#. 9:0 ,#. :9:)# :9)#!
所以右边90$(" '1#$" '4#) 9)#!
因为左边%右边!
所以等式(0$" '1#)$" '4# 90$(" '1#$
" '4#)不成立!&绝佳'运算不满足结合律
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
"
!
*
++
+!
"#$
! ! "
这一秒不放弃希望!下一秒就会迎来曙光!只要心中怀揣梦想!就一定能看见那道光"
!" ##
06%(b>
!"&
&'(
! # 06%(b>>U#
!!
!!"!$ -.CD;3$&! '1" '! '4"的结果是
! " "
!"'#
$"#.
&"'#.
("#
"!
!!"!# ~+;3$&比') %). 小# 的数是
! # "
!"') %)/
$") %)/
&"') %)0
(") %)0
#!
!!"!$ d,%&下列算式计算正确的有! $ "
% '- #
) 9- #
) &% '! '#
- " 9#
- &! ,#
. " '% 9
#
. &! '#
. " ,% 9#
. !
!"# 个
$") 个
&"- 个
("/ 个
$!
!!"!$ 9;,%&小林同学在计算'#.
/ '&
时'误将'&看成了,&'从而算得结果是.
) '
请你帮助小林算出正确结果#+ '#%+!
%!计算#
!#"- '! '-"&
++++ !)" #
) '-&
解$"##- '" '-# 9- ,- 90!
")# #
) '- 9#
) ," '-# 9') #
) !
!-") ':'- :&
++++ !/"/!4 '! '.!0"&
解$"-# ) ':'- :9) '- 9) ," '-# 9'#!
"/#/!4 '" '.!0# 9/!4 ,.!0 9#%!/!
!."! '/ #
) " '. -
/ &
++++ !0" :'#!4 :':'0!) :!
解$".#" '/ #
) # '. -
/ 9" '/ #
) # ," '. -
/ # 9
'"/ #
) ,. -
/ # 9'#% #
/ !
"0# :'#!4 :':'0!) :9#!4 '0!) 9#!4 ,
" '0!)# 9'"0!) '#!4# 9'/!/!
&'(
# # 06%b>(O+#
&! $%&
!!"!$ -.I13$&$玉兔号% 是我国
首辆月球车'它和着陆器共同组成$ 嫦娥三
号%探测器!$玉兔号%月球车能够耐受月球表
面的最低温度是'#4% **最高温度是#.% *'
则它能够耐受的温差是
! " "
!"'#4% *
$"#.% *
&"-% *
("--% *
'!
!!"!$ 9#;3B&小明在线上商城购买学习
用品'结账后得到如图的小票'其中包装费和
优惠券的费用被污染了'根据小票信息'你认
为包装费和优惠券分别可能为
! ! "
!") 元和.% 元
$") 元和.) 元
&"- 元和.- 元
("/ 元和.# 元
(!
!!"!$ U3B&如图'根据机器零件的设计图纸
!单位#22"'按设计要求生产出的该机器零件
尺寸最大相差+%!%)+22!
)!
!!"!$ 3$&以地面为基准'!处高为,)". 米'
$处高为'#1"4 米'&处高为'-)"/米"问#
!#"!处比$处高多少米-
!)"$处与&处哪个地方高- 高多少米-
解$"## 由题意!得,)!. '" '#1!4# 9)!. ,
#1!4 9)%!-"米#!
所以!处比$处高)%!- 米!
")# '#1!4 ;'-)!/!
所以$处高!
" '#1!4# '" '-)!/# 9" '#1!4# ,-)!/ 9
#/!0"米#!
所以$处比&处高#/!0 米
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
#
!
*
%&$'()*+,-(!"!
!
梦想是注定孤独的旅行!路上少不了质疑和嘲笑!但那又怎样!哪怕遍体鳞伤!也要活得漂亮" ++
!"&
!*!
!!"!$ ,%&如果三个数中任意两个相邻的
数之差的绝对值不超过#'那么称这三个数
为一组$平稳数%!下列各组数中是$平稳数%
的是
! " "
!"#' '#' ')
$"'-' '#' ')
&"#'-')
("'#'%'#
!!! '( !)+%$ )* !!"!$ $;,%&第-- 届夏
季奥林匹克运动会在法国巴黎举行!如图'将
. 个城市的国际标准时间!单位#时" 在数轴
上表示'那么开幕式的巴黎时间1 月)0 日#3
时-% 分对应的是
! $ "
!"纽约时间1 月)0 日#/ 时-% 分
$"伦敦时间1 月)0 日#4 时-% 分
&"北京时间1 月)1 日- 时-% 分
("首尔时间1 月)0 日- 时-% 分
!"!
!!"!$ dG~$3$&下列描述正确的是
! # "
!"如果. <% </'且:.:;:/:'那么. ,/;%
$"如果. <% </'且:.:;:/:'那么. '/;%
&"如果. <% </'且:.:;:/:'那么/'. ;%
("如果. <% </'且:.:;:/:'那么. ,/;/
!#!
!!"!$ 93$&设.3/表示不超过3的最大整
数' 如. #!33 / 9#' . '#!%)/ 9 ')' 则
. ')!// '. '%!0/ 9+ ')+!
!$!计算#. #
. '. #
0 '! '/!)" '! '.
0 "/!
解$. #
. '( #
0 '" '/!)# '" '.
0 #)
9.!) '" #
0 ,/!) ,.
0 #
9.!) '(/!) ," #
0 ,.
0 #)
9.!) '.!)
9%!
!%!
!!"!$ +2t*%&已知:. :9-' :/:9)'
且. ,/;%'那么. '/的值是多少-
解$因为:. :9-! :/:9)!所以. 9- 或'-!
/9) 或')!又因为. ,/;%!所以. 9-! /9)
或')!当. 9-!/9') 时!. '/9.%当. 9-!
/9) 时!. '/9#!故. '/的值为. 或#!
!&! FGDE !!"!$ dG;3$&数轴上两点之
间的距离等于这两点所表示数的差的绝对
值'也就是等于较大的数减去较小的数所得
的差!如图'*+9% '! '#" 9#'+,9) '% 9
)'*,9) '! '#" 9-!
!#"数轴上点&''表示的数分别为'3 和#'
则线段&'9+#%+&
!)" 数轴上点5'1表示的数分别为'0 和
'-'则线段519+-+&
!-"数轴上的两个点之间的距离为.'其中一
个点表示的数为)'另一个点表示的数为
#'求#的值!
解$"-#由题可得:#') :9.!
所以#') 9. 或'.!所以#91 或'-
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
$
!
*
++
+!
"#$
! ! "
青春是一场大雨!即使感冒了!还盼望回头再淋它一次!那是一种无法复刻的痛快"
!" $#
^,bc\_`
!",
&'(
! # de`fg(hH&^H#
!!
!!"!$ -.eZY$*%&把4 '! ,/" ,! '0" '! '."
写成省略括号和加号的形式是
! ! "
!"4 '/ '0 ,.+++++
$"4 '/ '0 '.
&"4 ,/ '0 ,.+++++
("4 ,/ '0 '.
&'(
# # 06%(^,bc\_`#
"!
!!"!$ nw;3$&把! ')" '! ,-" '! '." ,
! '/"统一为有理数加法运算'正确的是
! $ "
!"! ')" ,! ,-" ,! '." ,! '/"
$"! ')" ,! '-" ,! ,." ,! '/"
&"! ')" ,! ,-" ,! ,." ,! ,/"
("! ')" ,! '-" ,! '." ,! ,/"
#!
!!"!$ E#,%&若. 是最小的正整数'/是最大
的负整数'0是绝对值最小的数'则. '/'0的
值为
! # "
!"#
$"%
&")
(") 或%
$!
!!"!$ ^93$&定义新运算.$/9:. '/:'.'
则! '."$- 9+#-+!
%!计算#
!#"! ')%" ,! ,-" '! '." '! ,1"&
解$" ')%# ," ,-# '" '.# '" ,1#
9" ')%# ," ,-# ," ,.# ," '1#
9(" ')%# ," '1#) ,(" ,-# ," ,.#)
9" ')1# ," ,4#
9'#3!
!)" '. '! '##" ,1
- '! ')
- "!
解$ '. '" '### ,1
- '" ')
- #
9'. ,## ,1
- ,)
-
9" '. ,### ," 1
- ,)
- #
90 ,-
93!
&! $HI-JKL/; !!"!$ ' ,%&阅读下面的解
题过程并解决问题!
计算#.-!)1 '! '#4" ,! ')#" ,/0!1- '
! ,#." ,)#!
解#原式9.-!)1 ,#4 ')# ,/0!1- '#. ,)#
!第一步"
9!.-!)1 ,/0!1-" ,!)# ')#" ,
!#4 '#."!第二步"
9#%% ,% ,-!第三步"
9#%-!
!#"计算过程中'第一步把原式化成+省略括
号和加号+的形式'体现了数学中的+转
化+思想'为了计算简便'第二步应用了
+加法交换律和结合律+&
!)"根据以上解题技巧计算# ')# )
- ,- #
/ '
! ')
- " '! ,#
/ "!
解$")# ')# )
- ,- #
/ '" ')
- # '" ,#
/ #
9')# )
- ,- #
/ ,)
- '#
/
9" ')# )
- ,)
- # ,"- #
/ '#
/ #
9')# ,-
9'#4!
&'(
$ # ^,bc\_`(O+#
'!
!!"!$ FX¡¢&/ 路公交车到!站下了#. 人上
了#1 人'到了$站又下了#- 人'车上还有
)# 人'则/ 路公交车上原有
! # "
!")# 人
$"## 人
&"-) 人
(")) 人
(!
!!"!$ £3$&如图'小李在某运动!??中'设
定了每天的步数目标为4 %%% 步'该!??用目
标线上方或下方的柱状图表示每天超过或少
于目标数的步数!单位#步"'如- 日'小李少于
目标数的步数为.%% 步'则从) 日到. 日这四
天中小李一共走了+-- %/%+步!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
%
!
*
%&$'()*+,-(!"!
!
愿你眼里有光!心中有爱!永远带着笑容!奔赴属于自己的星光"
!",
)!
!!"!# -.)ZY$*%&观察前- 个图形'利用得
到的计算规律'得到第/ 个图形的计算结果为
! " "
#
)
-
/
9%
)
')
-
/
9.
'- '#
0
.
9'-
'- '#
'0 .
9-
!"'-
$"'.
&".
("3
!*!
!!"!# ¤A¥k;,%&若有理数.'/'0'6 满足
6 <0<% </<.'则以下四个结论中'正确的
是
! " "
!". ,/,0,6 一定是正数
$". ,/'0'6 可能是负数
&"/'. '0'6 一定是负数
(". '/'0'6 一定是正数
!!!
!!"!$ +2e$3$&幻方是中国
古代传统游戏!如图是根据幻
方改编的$幻圆% 游戏'将'/'
'-' ')' '#'%'#')'- 分别填
入图中的圆圈内'使横*竖以及内外两圈上的
/ 个数字之和都相等!已知图中&''分别表
示一个数'则& ,' 9+ ') 或-+!
!"!
!!"!$ 9,%&近几年来'我国新能源汽车产
销量都大幅增加'小明家新换了一辆新能源
纯电汽车'他连续1 天记录了每天行驶的路
程!如表"'以.% 62为标准'超过.% 62的记
为$ ,%'不足.% 62的记为$ '%'刚好.% 62
的记为$%%!
第一天第二天第三天第四天第五天第六天第七天
路程462
'0
'#%
'#4
,)/
,))
,-%
,)4
!#"这1 天里行驶路程最多的一天比最少的
一天多+/4+62&
!)"请求出小明家的新能源汽车这七天平均
每天行驶了多少千米&
!-"已知汽油车每行驶#%% 62需用汽油1
升'汽油价4 元4升'而新能源汽车每行
驶#%% 62耗电量为#. 度'每度电为%!0
元'请估计小明家换成新能源汽车后一个
月的行驶费用比原来节省多少元!!按
-% 天'且日均行驶路程以!)"中所求结果
计算"
解$")#由题意!得" '0# ," '#%# ," '#4# ,
" ,)/# ," ,))# ," ,-%# ," ,)4# 9'-/ ,
#%/ 91%"62#!1% >1 ,.% 90%"62#!
答$小明家的新能源汽车这七天平均每天行
驶了0% 62!
"-#用汽油的费用为0% =-% >#%% =1 =4 9
# %%4"元#!用电的费用为0% =-% >#%% =
#. =%!0 9#0)"元#!# %%4 '#0) 94/0"元#!
答$估计小明家换成新能源汽车后一个月的
行驶费用比原来节省4/0 元!
!#! FGDE !!"!$ +23$&对于含绝对值的算
式'在有些情况下'可以不需要计算出结果也
能将绝对值符号去掉'例如# :1 '0 :91 '0&
:0 '1 :91 '0&:#
) '#
- :9#
) '#
- &:#
- '#
) :9
#
) '#
- !
观察上述式子的特征'解答下列问题#
!#"把下列各式写成去掉绝对值符号的形式
!不用写出计算结果"#
!:)- '/1 :9+/1 ')-+&
":)
- ')
. :9+)
- ')
. +!
!)"当. ;/时' :. '/:9+. '/+&当. </
时':. '/:9+/'.+!
!-"计算#:#
) '#:,:#
- '#
) :,:#
/ '#
- :,1 ,
: #
) %)0 ' #
) %). :!
解$"-# :#
) '# :,:#
- '#
) :,:#
/ '#
- :,* ,
: #
) %)0 ' #
) %). :
9# '#
) ,#
) '#
- ,#
- '#
/ ,* , #
) %). '
#
) %)0
9# ' #
) %)0
9) %).
) %)0
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
&
!
*
++
+!
"#$
! ! "
无论黑夜多么漫长!白昼总会到来#无论生活多么艰难!希望总在前方"
!
!" &!
01#2=>!
!" !#
06%(i>
!"(
&'(
! # 06%(i>>U#
!!
!!"!$ q9¦q;,%&若! '-" =(的运算结果
为正数'则(内的数字可以为
! " "
!")
$"#
&"%
("'#
"!
!!"!# uvu=;,%&下列各式计算结果为负数
的是
! # "
!". '! '-"
$". ,! '-"
&". =! '-"
(!! '." =! '-"
#!下列说法错误的是
! " "
!"一个数同% 相乘'仍得%
$"一个数同# 相乘'仍得原数
&"一个数同'# 相乘'得原数的相反数
("互为相反数的两数之积为#
$!
!!"!$ +23$&在)' '-'/' '. 这四个数中'任
取两个数相乘'所得积的最大值是+#.+!
%!计算#
!#"! ,0" =! '#"&
!)"! '-0" =.
0 &
解$ "##" ,0# =" '## 9'"0 =## 9'0!
")#" '-0# =.
0 9'"-0 =.
0 # 9'-%!
!-"! ')
- " =! '3
#%"& !/"%!. =! '%!0"&
解$ "-#" ')
- # =" '3
#%# 9)
- =3
#% 9-
. !
"/#%!. =" '%!0# 9'"%!. =%!0# 9'%!-!
!." '- .
1 =%&
!0"#1
#) =! '%!4"!
解$ ".# '- .
1 =% 9%!
"0##1
#) =" '%!4# 9#1
#) =" '/
. # 9'"#1
#) =/
. # 9
'#1
#.!
&'(
# # j%#
&!
!!"!# §$%&:'- :的倒数是
! $ "
!"-
$"#
-
&"'-
("'#
-
'!下列说法正确的是
! # "
!"#
/ 与'%"). 互为倒数
$"#
/ 与'/ 互为倒数
&"%"# 与#% 互为倒数
(!% 的倒数是%
(!
!!"!# <=;¨7&若.'/互为倒数'则
! # "
!". ,/9%
$". ,/9#
&"./9#
("./9%
)!
!!"!$ F©Uª;,%&定义#乘积为'# 的两个数
互为负倒数'如# '-
/ =/
- 9'#'则'-
/ 与/
- 互
为负倒数!那么') )
- 的负倒数是+ '-
4 +!
!"(
!*!
!!"!$ -.eZY$3B&有理数.'/在数轴上对
应点的位置如图所示'下列结论正确的是
! " "
!"./;%
$". ,/<%
&":.:;:/:
(". '/<%
!!!
!!"!$ u v 3 $&已知两个有理数.'/'如果
./<% 且. ,/;%'那么
! " "
!". ;%'/;%
$". <%'/;%
&".'/同号
(".'/异号'且正数的绝对值较大
!"!
!!"!$ F©,%&按如图所示的程序计算'如果输
入的数是')'那么输出的数是+ '#0)+!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
'
!
*
%&$'()*+,-(!"!
!
只要功夫深!铁杵磨成针!只要我们肯努力!就没有跨不过去的坎"
!" "#
06%(i>_`a
!#"
&'(
! # 06%(i>_`a#
!!计算!# '#
) ,#
- ,#
/ " =! '#)"时'为避免通
分可以运用的运算律是
! ! "
!"分配律
+++
$"乘法结合律
&"乘法交换律
+++
("乘法结合律和交换律
"!为了使计算简便'可以根据乘法交换律和结合律
把%@). =! '#
4 " =/ =%!4 写成+"%!). =/# =
(" '#
4 # =%!4)+!
#!计算#
!#"! ')." =! '0" =! '%!%/"&
解$" ').# =" '0# =" '%!%/#
9'"). =0 =%!%/#
9'(0 ="). =%!%/#)
9'"0 =##
9'0!
!)"! '#
) ,#
0 '-
4 ,.
#)" =! ')/"!
解$" '#
) ,#
0 '-
4 ,.
#)# =" ')/#
9" '#
) # =" ')/# ,#
0 =" ')/# ," '-
4 # =
" ')/# ,.
#) =" ')/#
9#) '/ ,3 '#%
91!
$! $HI-JKL/; !!"!$ «93$&阅读下面题目
的运算过程'并解决下列问题!
计算##1 =). '0 =). ,1 =! ')" '#- =).!
解#原式9#1 =). '0 =). '#- =). ,1 =! ')"!
9!#1 '0 '#-" =). ,1 =! ')""
9! ')" =). ,1 =! ')"#
9'.% '#/$
9'-0!%
!#"上述计算过程'在第+%+ 步出现错误!填
序号"'本题运算的正确结果是+ '0/+&
!)"运用上述解法'计算# '4 =! '))
1 " ,#0 =
! '))
1 " '0 =))
1 !
解$")# '4 =" '))
1 # ,#0 =" '))
1 # '0 =))
1
9" '4 ,#0 ,0# =" '))
1 #
9#/ =" '))
1 #
9'//!
&'(
# # EW06%1i#
%!
!!"!$ g93$&下列各式中'积为正数的是
! " "
!") =- =/ =! '."
$") =! '-" =! '/" =! '."
&"! ')" =! '-" =% =! '."
(!! ')" =! '-" =! '/" =! '."
&!
!!"!$ ¬ # ¬ n ; , %&四个有理数相乘'/ =
! '%!." =! '#%" =!'其中一个有理数被墨
迹盖住了'若积为负数'则被墨迹盖住的有理
数可能是
! # "
!"%
$"41
&"'##
##-
("%!%%% .#
'!
!!"!# ®,%&绝对值大于#!. 且不大于- 的
所有整数的乘积为
! " "
!"%++
$"'/+
&"'-0+
("-0
(!
!!"!$ + 2 , %&已知& 9! '#" =! ')" =
! '-" =.''9! ')-" =! '-/" =! '/."!若
. 为负数'则&''的值
! ! "
!"大于%
$"小于%
&"等于%
("
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
无法确定
(
!
*
++
+!
"#$
! ! "
你现在的努力!是为了将来有更多的选择!是为了让自己拥有更广阔的天空"
!#"
)!
!!"!$ ¯°DK;,%&欢欢在计算-
4 =!& '#
- "
时'由于粗心没看见小括号'算成了-
4 =& '
#
- '欢欢的计算结果比原式的结果
! $ "
!"不变
$"小
&"大
("无法判断
!*!
!!"!$ ±²eZ6$*%&) %). 个有理数相乘'
如果积为%'那么这) %). 个有理数
! $ "
!"全部为%
$"至少有一个为%
&"只有一个为%
("有两个数互为相反数
!!!
!!"!$ 89
:;,%&若) %). =)/ 9#'则) %). =
). 的结果可表示为
! # "
!"#,#
$"#,) %)/
&"#,) %).
("#,).
!"!
!!"!$ -.eZY$*%&已知.'/'0'6 为/ 个不
相等的整数'且./06 9#)'则. ,/,0,6 的
最小值是+ '/+!
!#!计算#
!#" ! '# #
) " =! '# #
- " =! '# #
/ " =
! '# #
. " =! '# #
0 "&
解$ " '# #
) # =" '# #
- # =" '# #
/ # =
" '# #
. # =" '# #
0 #
9'-
) =/
- =.
/ =0
. =1
0
9'1
) !
!)"-% =! #
) ')
- ,-
. " '##!1 =) #
) ,##!1 =
#)!.!
解$-% =" #
) ')
- ,-
. # '##!1 =) #
) ,##!1 =
#)!.
9-% =#
) '-% =)
- ,-% =-
. ,##!1 ="#)!. '
) #
) #
9#. ')% ,#4 ,##!1 =#%
9#- ,##1
9#-%!
!$!
!!"!# uv3$&定义一种新的运算$#%'规定
有理数.#/9/./'如)#- 9/ =) =- 9)/!
!#"-#! '/"的值是多少-
!)"! ')"#!0#-"的值是多少-
解$"##-#" '/# 9/ =- =" '/# 9'/4!
")#" ')##"0#-#
9" ')##"/ =0 =-#
9" ')##1)
9/ =" ')# =1)
9'.10!
!%! FGDE !!"!$ +2,%&学习了有理数的乘法
后'老师给同学们出了这样一道题目#
计算#/3 )/
). =! '."'看谁算得又快又对!
小明的解法#原式9# )/3
).
=! '." 9'# )/3
.
9
')/3 /
. !
小军的解法#原式9!/3 ,)/
)." =! '." 9
/3 =! '." ,)/
). =! '." 9')/3 /
. !
!#"对于以上两种解法'你认为谁的解法较好-
!)"小强认为还有更好的方法#把/3 )/
).看作
!.% '#
)."'请把小强的解法写出来!
!-"请你用最合适的方法计算#3 .
0 =! '-"!
解$"##小军的解法较好!
")#/3 )/
). =" '.#
9".% '#
).# =" '.#
9.% =" '.# '#
). =" '.#
9').% ,#
.
9')/3 /
. !
"-#3 .
0 =" '-#
9"#% '#
0 # =" '-#
9#% =" '-# '#
0 =" '-#
9'-% ,#
)
9')3 #
)
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
)
!
*
%&$'()*+,-(!"!
!
就算没有人为我鼓掌!至少我还能够自我欣赏!为自己鼓掌!为自己喝彩"
!" ##
06%(k>
!##
&'(
! # 06%(k>>U#
!!
!!"!# ¯°$%&计算! ')#" >! '1" 的结果等
于
! $ "
!"'-
$"-
&"'#
-
("#
-
"!
!!"!$ ab3B&.
1 的倒数除以. 的倒数'商是
! " "
!"1
).
$"#
1
&".
("1
#!下列计算正确的是
! " "
!"% >! '-" 9'-
$"! ')" >! ')" 9'#
&"! '-0" >! '3" 9'/
("! ,0" >! ')" 9'-
$!
!!"!$ ³U´µ;3B&如果两个数的商为正数'
那么下列结论一定正确的是
! # "
!"这两个数的和为正数
$"这两个数的差为正数
&"这两个数的积为正数
("这两个数都为正数
%!
!!"!$ +23$&某同学在计算! '#0" >. 时'误将
$ >%号看成$ ,%号'结果是'#)'则! '#0" >.
的正确结果是+ '/+!
&!如果.'/均是非零的自然数'那么#
. >/+ 9+
#
/>.!!填$ ;%$ <%或$ 9%"
'!计算#
!#"! '-
) " >-
/ &+!)"! '##
0 " >! '1
4 "&
解$"##" '-
) # >-
/ 9'" -
) =/
- # 9')!
")#" '##
0 # >" '1
4 # 9##
0 =4
1 9//
)#!
!-"0% >! '#)
. "&+!/"! '#/
#." >! '#!1."!
解$"-#0% >" '#)
. # 9'0% =.
#) 9').!
"/#" '#/
#.# >" '#!1.# 9" '#/
#.# =" '/
1 # 94
#.!
&'(
# # 06%(i,kc\_`#
(!计算! '-)" >/ =! '4"的结果是
! # "
!"#
$"'#
&"0/
("'0/
)!
!!"!$ ±²c$3$&与算式! '." >#
. =! '."
的结果相等的算式是+!"$+!!填序号"
!! '." =. =! '."&
"! '." =! '." >#
. &
#! '." >. #
. =! '."/&
$! '." >. #
. >! '."/!
!*!计算#
!#" 1
0 >! '#
0 " =-
#/&
解$1
0 >" '#
0 # =-
#/
9'1
0 =0 =-
#/
9'1 =-
#/
9'-
) !
!)"#)!. =4 >! '#)!." =4!
解$#)!. =4 >" '#)!.# =4
9'#%% >#)!. =4
9'4 =4
9'0/
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
*
"
*
++
+!
"#$
! ! "
少年的路途漫漫!风藏温柔!路有繁花!慢慢来!一切美好皆会如期奔赴"
!##
!!!
!!"!$ ¶9·¸;3$&若$0%是一种数学运算符
号'并且#0 9#')0 9) =# 9)'-0 9- =) =# 90'
/0 9/ =- =) =# 9)/'1'则.%0
/40的值为
! # "
!".%
/4
$"/30
&") /.%
(")0
!"!
!!"!$ +2,%&有理数.'/在数轴上的对应点
的位置如图所示!若:.:;:/:'则下列结论一
定成立的是
! " "
!!. '/;%
$!. ,/;%
&!./;%
(!/
. <#
!#!
!!"!$ +3$&$五月天山雪'无花只有寒%反
映出地形对气温的影响!大致海拔每升高#%%
米'气温约下降%!0 *!有一座海拔为) -.% 米
的山'在这座山上海拔为-.% 米的地方测得气
温是0 *'则此时山顶的气温约为+ '0"或零
下0#+*!
!$!
$+,-3456 !!"!$ ¹º3$&有一种游戏叫
作$二十四点%'其规则是#将四个有理数!每个
数都要用且只用一次"进行加减乘除运算'使其
结果等于)/!现有四个数-' '.'0' '4'请写出
一个$二十四点%算式#+" '. ,0 >-# =" '4#
"答案不唯一!如(0 =" '4#) >" '. ,-##+!
!%!计算#! '." >! '# )
1 " =/
. =! ') #
/ " ># -
/ !
解$" '.# >" '# )
1 # =/
. =" ') #
/ # ># -
/
9" '.# =" '1
3 # =/
. =" '3
/ # =/
1
9'". =/
. # =" 1
3 =3
/ =/
1 #
9'/ =#
9'/!
!&!
!!"!$ )+,%&如图'小明有. 张写着不同数
的卡片' 请你按要求抽出卡片' 完成下列
各题#
'-
+
'.
+
%
+
,-
+
,/
!#"从中抽出) 张卡片'使这) 张卡片上的数
的乘积最大'则应抽取哪) 张卡片- 最大
值是多少-
!)"从中抽出) 张卡片'使这) 张卡片上的数
相除的商最小'则应抽取哪) 张卡片- 最
小值是多少-
解$"##抽取写着'- 和'. 的卡片时乘积最
大!最大值为#.!
")# 抽取写着'. 和,- 的卡片时相除的商
最小!最小值为'.
- !
!'! FGDE !!"!$ -.»:$t*%&在学
习化简一个数. 的绝对值的过程
中'可以这样分类#当. ;% 时':.:9
.&当. 9% 时' :.:9%&当. <% 时' :.:9'.!
请用这种方法解决下列问题!
!#"当. 9- 时' .
.
9+#+&当. 9') 时'
.
. 9++ '#+&
!)"已知.'/是有理数'当./;% 时'试求.
. ,
/
/的值&
!-"
@#AB 已知.'/'0是非零有理数'满足
. ,/,09% 且.
.
, /
/ , 0
0 9#'求
/,0
.
,. ,0
/ ,. ,/
0 的值!
")#因为.!/是有理数!所以当./;% 时!分
两种情况讨论$
当. ;%!/;% 时! .
.
, /
/ 9.
. ,/
/9# ,
# 9)%
当. <%!/<% 时! .
.
, /
/ 9 .
'. , /
'/99
'# '# 9')!
所以当./;% 时! .
. , /
/的值为) 或')!
"-#因为. ,/,09%!
所以/,09'.!. ,09'/!. ,/9'0!
所以/,0
.
,. ,0
/ ,. ,/
0 9'.
. ,'/
/ ,'0
0!
因为. ,/,09% 且.
. , /
/ , 0
0 9#!
所以.!/!0中有两个为正数!一个为负数!
不妨设. ;%!/;%!0<%!
所以'.
. ,'/
/ ,'0
0 9'# ," '## ,# 9'#!
"另解见答案册
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
#
!
"
*
%&$'()*+,-(!"!
!
成长是悄悄褪去稚嫩!一边跌跌撞撞!一边慢慢自愈!与平凡的自己和解"
!"#
!"#$
!"#$%&'()*+,-
已知!!!"#!!"!"$%#
"$#若! &"!求!"的值$
解!因为!!!"#"!"!"$%"所以! "# 或'#"""
$% 或'$%#
因为! &""所以! "# 或'#"""'$%"
当! "#"""'$% 时"!""# (# '$%$ "'#%#
当! "'#"""'$% 时"!""# '#$ (# '$%$ "#%#
综上"!"的值为'#% 或#%#
")#若!"*%!求!! '"!的值$
解!因为!!!"#"!"!"$%"所以! "# 或'#"""$%
或'$%#
因为!"*%"所以! "#"""'$% 或! "'#"""$%#
当! "#"""'$% 时"!! '"!"!# '# '$%$ !"$##
当! "'#"""$% 时"!! '"!"!# '#$ '$%!"$##
综上"!! '"!的值为$##
"+#若!!"同号!求!
"的值的倒数$
解!因为!!!"#"!"!"$%"所以! "# 或'#"""
$% 或'$%#
因为!""同号"所以! "#"""$% 或! "'#"""
'$%#
当! "#"""$% 时" !
""#
$% "+
, "它的倒数为,
+ #
当! "'#"""'$% 时" !
"" '#
'$% "+
, "它的倒数为
,
+ #综上" !
"的值的倒数为,
+ #
"-#若!! '"!""'!!求! ."的值#
解!因为!!!"#"!"!"$%"所以! "# 或'#"""
$% 或'$%#
因为!! '"!""'!"所以! '"!%"即!!""
所以! "# 或'#"""$%#
当! "'#"""$% 时"! .""# '#$ .$% "-#
当! "#"""$% 时"! .""# .$% "$##
综上"! ."的值为- 或$#
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
#
!"#
%&'(
!"#./$%'0123
小明的妈妈在某模具厂工作!厂里规
定每个工人每周要生产某种模具)/%
个!计划每天生产-% 个!但由于种种
原因!实际每天生产量与计划量相比
有出入#下表是小明妈妈某周的生产情况"超产
记为正%减产记为负#&
星期
一
二
三
四
五
六
日
差值$个
./
'$
'-
.0
'$+
.1
%
"$#小明妈妈本周实际生产模具多少个'
解!#$$# ./$ .# '$$ .# '-$ .# .0$ .
# '$+$ .# .1$ .% "/ '$ '- .0 '$+ .
1 "#")/% .# ")/##个$"
答!小明妈妈本周实际生产模具)/# 个#
")#该厂实行(每日计件工资制)!每生产一个
模具可得工资# 元!若超额完成任务!则超
过的部分每个另奖+ 元$若没有完成任务!
则少生产一个倒扣) 元!小明妈妈这一周的
工资总额是多少元'
解!)/# (# .#/ .0 .1$ (+ .#$ .- .$+$ (
# ')$ "$ 1,)#元$"
答!小明妈妈这一周的工资总额是$ 1,) 元#
"+#在")# 的条件下!!若将实行(每日计件工
资制)改为实行(每周计件工资制)!则在此
方式下小明妈妈这一周的工资与按日计件的
工资哪一个更多' 请说明理由#
解!!按日计件的工资更多#理由如下!
若实行%每周计件工资制&"则小明妈妈这一周
的工资总额为)/# (# .# (+ "$ 1+-#元$或
)/% (# .# (## .+$ "$ 1+-#元$#
因为$ 1,) &$ 1+-"所以按日计件的工资
更多#
"若按(每周计件工资制) 的方式!小明妈
妈这一周的工资要想达到$ /%# 元!则她一
周需要生产多少个模具'
解!" # $ /%# ')/% (# $ 2# # .+ $ "
$-#个$")/% .$- ")0-#个$"
答!她一周需要生产)0- 个模具#
#若按(每日计件工资制) 的方式!且某周
中的星期一至星期六每天生产模具的个数
分别是-,!+/!-+!-%!-$!+#!小明妈妈这一
周的工资要想达到$ /%+ 元!则她星期日需
要生产多少个模具'
解!#星期一至星期六的工资总额为#-, .
+/ .-+ .-% .-$ .+#$ (# .#, (+ ') (
) .+ (+ .$ (+ '- ()$ "$ -1+#元$"所以
星期日的工资为$ /%+ '$ -1+ "++%#元$"
++% '-% (# "0% # 元$"0% 2## .+ $ "
$%#个$"-% .$% ",%#个$"
答!她星期日需要生产,% 个模具
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
#
!
!
"
33
34
!"#
! ! "
书桌藏着来日方长!笔尖写满岁岁年年!默默努力!自有万丈星光相拥"
!
!" '!
01#2=?!
!" !#
06%(ir
!#)
&'(
! # ir()*#
!!
!!"!$ -.eZY$3$&! '." #)所表示的含义是
! " "
!"'. 乘以#)
$". 个#) 相乘
&"#) 个'. 相加
("#) 个'. 相乘
&'(
# # 06%ir(_`>U#
"!
!!"!$ -.µ¼t3$&与! ')" -相等的是
! " "
!"! '-" )
$"'-)
&")-
("')-
#!
!!"!$ jk,%&在! '#
- ")' '))' '/!%#' ':,/ :'
'! ')"'! '."-中'负数共有
! # "
!") 个
$"- 个
&"/ 个
(". 个
$!
!!"!# ½$$%&所有放射性物质都有自己的半
衰期!半衰期是放射性物质的质量缩减为原来
的一半所用的时间'是一个不变的量!质量为
#的放射性物质'经历了- 个半衰期后的质量
为
! " "
!"#
- #
$"#
/ #
&"#
0 #
("#
4 #
%!计算#
!#"! '/" - 9+ '0/+&
!)" '! ')
. " - 9+ 4
#).+&
!-"! '- #
) " - 9+ '-/-
4 +&
!/"! #
) " ) =! '%!." - 9+ '#
-)+!
&'(
$ # sir(c\_`#
&!! ')" ) ,)) 9
! " "
!"%
$")
&"/
(!4
'!式子'.) ,! ')" >! #
) " ) 中有以下三种运
算#!乘方&"加法&#除法!对其运算顺序排
序正确的是
! $ "
!"!"#
$"!#"
&""#!
("#!"
(!
!!"!# +23B&如图是一个数值转换机'若输入
. 的值为')'则输出的结果应为
! ! "
!"'/
$"/
&"4
("'4
)!
!!"!$ uv,%&要使算式'-)(.! '-") '! ')"-/
的计算结果最小'则在$(%里填入的运算符号
应是
! # "
!",++
$"'
&"=+++(">
!*!
!!"!% ¾¿$%&定义一种新运算#'规定运算
法则为###$ 9#$ '#$!#'$ 均为整数'且
#%%"!例#)#- 9)- ') =- 9)'则! ')" #
) 9+4+!
!!!计算#
!#" '#) %). >! '#
) ") ,! '#
4 " =0&
解$ '#) %). >" '#
) # ) ," '#
4 # =0
9'# >#
/ ," '#
4 # =0
9'# =/ ," '#
4 # =0
9'/ '-
/
9'/ -
/ !
!)"! ')" ) '!# '%!/" =#
- =!) '-)"&
解$" ')# ) '"# '%!/# =#
- =") '-)#
9/ '-
. =#
- =" '1#
9/ ,1
.
9. )
. !
!-" '0) =! '1
#) '#-
-0 ,.
0 "!
解$ '0) =" '1
#) '#-
-0 ,.
0 #
9" '-0# =" '1
#)# '" '-0# =#-
-0 ," '-0# =.
0
9)# '" '#-# '-%
9)# ,#- '-%
9/
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
#
"
*
%&$'()*+,-(!"!
!
青春从不缺遗憾与迷茫!但热爱可抵岁月漫长!勇敢奔赴每一场山海"
!#*
!"! '( !$&%# )* 当#为负数时'下列结论成立
的是
! " "
!"'#) 9:#) :
$":#- :9#-
&":'#- :9':#- : ("'#) 9':#) :
!#!
!!"!$ jk3$&计算! ')" ) %)0 ,! ')" ) %). 的
结果为
! # "
!"')) %)0 $"')) %).
&")) %).
(")) %)0
!$!
!!"!$ -..l1,%&规定#将3
$ 97记为!3'
7" 9$!例如#/- 90/'则!/'0/" 9-!若! ')'
." 9)'!/' '4" 9-'则!/'."的值为! # "
!"%
$"#
&")
("/
!%! $+,-./01 !!"!$ ÀS¨$3$&
据(易经)记载'远古时期'人们通
过在绳子上打结来记录数量!如
图'一位母亲在从右到左依次排列
的绳子上打结'并采用七进制.如!).#-" 1 9
) =1- ,. =1) ,# =1# ,-/用来记录孩子自出
生后的天数'由图可知'孩子自出生后的天数
是+.0.+!
!&!计算#
!#"! '#". '. '- =! ')
- ") '# #
- >! ')")/&
解$" '##. '( '- =" ')
- #) '# #
- >" ')#))
9'# '" '- =/
3 '/
- =#
/ #
9'# '" '/
- '#
- #
9'# ,.
-
9)
- !
!)" '.) =:# '#3
#. :,-
/ =.! '/
- " ) ')-/!
解$ '.) =:# '#3
#. :,-
/ =(" '/
- # ) ')-)
9'). =/
#. ,-
/ ="#0
3 '4#
9')%
- ,-
/ =#0
3 '-
/ =4
9')%
- ,/
- '0
9'## #
- !
!'! MNOP !!"!$ @93$&2概念学习3规定#求若
干个相同的有理数!均不等于%"的除法运算叫
作除方'如) >) >)'! '-" >! '-" >! '-" >
! '-"等!类比有理数的乘方'我们把) >) >
) 记作)#'读作$) 的圈- 次方%'! '-" >
! '-" >! '-" >! '-" 记作! '-" $'读作
$ '- 的圈/ 次方%!一般地'把.8.8.818.
$
个
!.%%"记作. '读作$. 的圈$ 次方%!
2初步探究3直接写出计算结果#)# 9+ #
) +&
! '#
) " $ 9+/+!
2深入思考3我们知道'有理数的减法运算可
以转化为加法运算'除法运算可以转化为乘
法运算'有理数的除方运算如何转化为乘方
运算呢-
如#! '-" $ 9! '-" >! '-" >! '-" >
! '-" 9! '-" =! '#
- " =! '#
- " =! '#
- " 9
! '#
- " )!
!#"仿照上面的算式'将下列运算结果直接
写成幂的形式#! ')" & 9+" '#
) # /+'
! '#
- " % 9+" '-# -+&
!)"归纳如下#一个非零有理数. 的圈$ 次方
写成幂的形式是+" #
. # $ ')+&
!-"计算#)/ >)- ,! '4" =)%!
解$"-#)/ >)- ," '4# =)%
9)/ >4 ," '4# =" #
) # -
9- ," '##
9)
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
$
"
*
++
+!
"#$
! ! "
风吹过课间与操场!少年心事温柔滚烫!平凡日常!藏着独有的浪漫"
!" "#
tlu%>
!#$
&'(
! # +tlu%>-.KLMRS(%#
!! $%& !!"!# zU$%&)%). 年/ 月#3 日'全球
首次$人机共跑% 半程马拉松在北京开跑!本
次比赛全程约)# 公里'这意味着采用双足步
态的人形机器人要完成约). 万次精密关节运
动!将数据$).% %%%%用科学记数法表示为
! ! "
!")!. =#%.
$")!. =#%/
&"). =#%/
("%!). =#%0
"!
!!"!$ -..l13B&截至)%). 年#% 月底'中国
第三代自主超导量子计算机$本源悟空%'已
向世界提供量子算力服务超一年444#0- 个
国家和地区的用户访问超- 0%% 万次'刷新了
我国自主量子算力服务规模纪录!其中数据
$- 0%% 万%用科学记数法表示为
! " "
!"-!0 =#%-
$"- 0%% =#%/
&"-0 =#%0++
("-!0 =#%1
#!
!!"!$ -.TU;3B&)%). 年安徽省政府工作报
告指出'全省地区生产总值增长.!4"'经济总
量跨上. 万亿元台阶'粮食产量4-0!3 亿斤'再
创历史新高!其中数据4-0!3 亿用科学记数法
表示为
! $ "
!"4!-03 =#%##
$"4!-03 =#%#%
&"4!-03 =#%3
("4-0!3 =#%4
$!
!!"!$ ±²ÁÂ;H7&一个数用科学记数法表
示为. =#%$'若. 9$'则. 的值可以是! # "
!"%!)
$"#!)
&")
("#)
%!
!!"!# dG$%&)%). 年. 月)3 日'行星探测工
程天问二号探测器在西昌卫星发射中心成功
发射'开启对近地小行星)%#0AB- 的探测与
采样返回之旅!已知该小行星与地球的最近距
离约为月球远地点距离的/. 倍'月球远地点
距离约为/ =#%. 62'则该小行星与地球的最
近距离约为
! # "
!"#!4 =#%. 62
$"#!4 =#%0 62
&"#!4 =#%1 62
("#!4 =#%#% 62
&!据科学家测算'用# 吨废纸造出的再生好纸相
当于%!- C%!/ 亩森林木材的造纸量!某市今
年大约有0!1 =#%/ 名初中毕业生'每名毕业
生离校时大约有#) 千克废纸'若他们都把废
纸送到回收站生产再生好纸'则至少可使多少
亩森林免遭砍伐- !用科学记数法表示"
解$由题意!得废纸回收量为0!1 =#%/ =#) 9
4!%/ =#%."千克# 94%/"吨#!
所以使森林免遭砍伐的最少亩数是4%/ =
%!- 9)/#!)!
用科学记数法表示为)!/#) =#%)!
答$至少可使)!/#) =#%) 亩森林免遭砍伐!
&'(
# # vwtlu%>-.(%#
'!
!!"!# Ã2$%&下列四个数中'最大的是! " "
!"0!#4 =#%4
$"0!)4 =#%4
&"0!#4 =#%3
("0!)4 =#%3
(!光年是天文学上的一种距离单位'一光年是指
光在一年内走过的路程' 约等于3!/0 =
#%#) 62'下列正确的是
! " "
!"3!/0 =#%#) '#% 93!/0 =#%##
$"3!/0 =#%#) '%!/0 93 =#%#)
&"3!/0 =#%#)是一个#) 位数
("3!/0 =#%#)是一个#- 位数
)!下列用科学记数法表示的数原来分别是什
么数-
!#")!). =#%.&
!)" '0!-) =#%-&
!-"赤道长约/ =#%/ 千米&
!/"按-0. 天计算一年有-!#.- 0 =#%1 秒!
解$"##)!). =#%. 9)!). =#%% %%% 9)). %%%!
")# '0!-) =#%- 9'0!-) =# %%% 9'0 -)%!
"-#/ =#%/ 9/ =#% %%% 9/% %%%!
"/#-!#.- 0 =#%1 9-!#.- 0 =#% %%% %%% 9
-# .-0 %%%
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
%
"
*
%&$'()*+,-(!"!
!
不必追赶别人的脚步!每个人花期不同!安静沉淀!自会慢慢闪闪发光"
!
56 #!
@8ABCDE01#2FB!
!#$
9:
! # x;yyzH1^{z:|1^#
!!计算#/
- '! '4
1 " ') '#
- '#
1 !
解$/
- '" '4
1 # ') '#
- '#
1
9/
- ,4
1 ') '#
- '#
1
9" /
- '#
- # ," 4
1 '#
1 # ')
9# ,# ')
9%!
9:
# # }~yy&~%(%1[\#
"!计算#! '4" =#) =! '%!#)." =! '.
0 "!
解$" '4# =#) =" '%!#).# =" '.
0 #
9'"4 =%!#).# ="#) =.
0 #
9'# =#%
9'#%!
9: $
yyz_`g_+_`a
j%{:(%1[\#
#!计算#/. =! ')." =1
4 =! '##
#." >! '#
) " ) =
! '# #
1 "!
解$/. =" ').# =1
4 =" '##
#.# >" '#
) #) =
" '# #
1 #
9/. =" ').# =1
4 =" '##
#.# =/ =" '4
1 #
9'"/. =##
#.# ="). =/# =" 1
4 =4
1 #
9'-- =#%% =#
9'- -%%!
$!计算#! '#
) =-
) " =! ')
- =/
- " =! '-
/ =
.
/ " =1 =! ') %).
) %)0 =) %)1
) %)0 " !
解$" '#
) =-
) # =" ')
- =/
- # =" '-
/ =
.
/ # =* =" ') %).
) %)0 =) %)1
) %)0 #
9 ' #
) = -
) = )
- = /
- = -
/ = .
/ =* =
) %).
) %)0 =) %)1
) %)0
9'#
) =) %)1
) %)0
9') %)1
/ %.) !
9:
% # :ayy$+{+:a#
%!计算#
!#"! 1
3 '.
0 ,1
#4" =-0 '0 =#!/. ,-!3. =0&
解$" 1
3 '.
0 ,1
#4# =-0 '0 =#!/. ,-!3. =0
91
3 =-0 ," '.
0 # =-0 , 1
#4 =-0 ,0 =
" '#!/. ,-!3.#
9)4 '-% ,#/ ,0 =)!.
9)4 '-% ,#/ ,#.
9)1!
!)" '-
) =! '-
. ") ') .
#3 =#3
/- =! '# #
) " ,! /
. ") =
! '-
) "!
解$ '-
) =" '-
. # ) ') .
#3 =#3
/- =" '# #
) # ,
" /
. #) =" '-
) #
9'-
) =(" '-
. # ) ') .
#3 =#3
/- ," /
. # ))
9'-
) =" 3
). '/-
#3 =#3
/- ,#0
).#
9'-
) =" 3
). ,#0
). '##
9'-
) =%
9%
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
&
"
*
++
+!
"#$
! ! "
学习的苦是短暂沉淀!熬过细碎疲惫!终会遇见属于自己的万里晴空"
9: &
yyoW%:VW{W
%(&{(Zf#
&!计算#33 #1
#4 =! '3"!
解$33 #1
#4 =" '3#
9"#%% '#
#4# =" '3#
9#%% =" '3# ," '#
#4# =" '3#
9'3%% ,#
)
9'433 #
) !
9:
' # yyk%?k%j#
'!
!!"!$ -./013$&阅读材料'回答问题!
计算#! '#
-%" >! )
- '#
#% ,#
0 ')
. "!
解#方法一+原式9! '#
-%" >.! )
- ,#
0 " '! #
#% ,
)
. "/ 9! '#
-%" >! .
0 '#
) " 9! '#
-%" >#
- 9'#
#%!
方法二+原式的倒数为! )
- '#
#% ,#
0 ')
. " >
! '#
-%" 9! )
- ' #
#% ,#
0 ')
. " =! '-% " 9
')% ,- '. ,#) 9'#%'故原式9'#
#%!
根据材料用适当的方法计算#
! '#
/)" >! #
0 '-
#/ ,)
- ')
1 "!
解$原式的倒数为" #
0 '-
#/ ,)
- ')
1 # >" '#
/)#
9" #
0 '-
#/ ,)
- ')
1 # =" '/)#
9'1 ,3 ')4 ,#)
9'#/!
故原式9'#
#/!
9:
( # yy1z(f+|-.#
(!
!!"!$ Ä0G;3$&阅读理解#
计算!# ,#
) ,#
- ,#
/ " =! #
) ,#
- ,#
/ ,#
. " '
!# ,#
) ,#
- ,#
/ ,#
. " =! #
) ,#
- ,#
/ "时'若把
! #
) ,#
- ,#
/ "与! #
) ,#
- ,#
/ ,#
. "分别看作一
个整体'再利用分配律进行运算'可以大大简
化难度!过程如下#
解#设! #
) ,#
- ,#
/ " 为*'! #
) ,#
- ,#
/ ,#
. "
为+'
则原式9!# ,*"+'!# ,+"*9+,*+'*'
*+9+'*9#
. !
请用上面的方法计算#!# ,#
) ,#
- ,#
/ ,#
. ,
#
0 " =! #
) ,#
- ,#
/ ,#
. ,#
0 ,#
1 " '!# ,#
) ,
#
- ,#
/ ,#
. ,#
0 ,#
1 " =! #
) ,#
- ,#
/ ,#
. ,
#
0 "!
解$设#
) ,#
- ,#
/ ,#
. ,#
0 9&! #
) ,#
- ,#
/ ,
#
. ,#
0 ,#
1 9'!
则原式9"# ,&#''"# ,'#&
9',&''&'&'
9''&!
因为''&9#
) ,#
- ,#
/ ,#
. ,#
0 ,#
1 '" #
) ,
#
- ,#
/ ,#
. ,#
0 # 9#
1 !
所以原式9#
1
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
'
"
*
%&$'()*+,-(!"!
!
落日漫过教学楼!晚风捎来温柔!琐碎的校园日常!皆是青春最好模样"
!
GHIJKL!
!#'
GH(
! # _`"GH#
!!计算#! ,#-
#1" ,! '-!." '0 '! ,)!." '! '0" ,
! ,/
#1"!
解$" ,#-
#1# ," '-!.# '0 '" ,)!.# '" '0# ,
" ,/
#1#
9#-
#1 '-!. '0 ')!. ,0 ,/
#1
9"#-
#1 ,/
#1# ," '-!. ')!.# ," '0 ,0#
9# ," '0# ,%
9'.!
GH(
# # _`
#
"! $HI-JKL/; !!"!$ g9,%&阅读下面的解
题过程并解答问题!
计算#! '#." >! '#
) =).
- " >#
0
解#! '#." >! '#
) =).
- " >#
0
9! '#." >! ').
0 " =0!第一步"
9! '#." >! ')."!第二步"
9'-
. !!第三步"
!#"上面解题过程有两处错误#第一处是第+二
+步'错误原因是+没有按同级运算从左至
右运算+&第二处是第+三+步'错误原因是
+符号弄错+!
!)"请写出正确的解答过程!
解$")#" '#.# >" '#
) =).
- # >#
0
9'#. >" ').
0 # =0
9#. =0
). =0
9#%4
. !
!#'
IJ(
! # XY#
#!!#"用$ ;%$ <%或$ 9%填空!
!:') :,:- :+ ;+:') ,- :&
":/ :,:- :+ 9+:/ ,- :&
#:'#
) :,:'#
- :+ 9+:'#
) ,! '#
- " :&
$:'. :,:% :+ 9+:'. ,% :!
!)"通过!#"中的大小比较'猜想并归纳出:.:,
:/:与:. ,/:的大小关系'并说明.'/满足什
么关系时':.:,:/:9:. ,/:成立!
解$")#根据"## 中的结论可得到:. :,:/:"
:. ,/:!
当.!/同号或其中一个数为% 时!
:.:,:/:9:. ,/:成立!
IJ(
# # ?06%_`09( aY#
$!
!!"!# -.<=;H7&2问题呈现3我们
知道'# ,) ,- ,1 ,$ 9$!# ,$"
)
'那
么如何求#- ,)- ,-- ,1 ,$-的值-
2观察思考3 请你仔细观察'找出下面图形与
算式的关系#
2归纳猜想3
!#"#- ,)- ,-- ,/- ,.- 9+)).+&
!)"#- ,)- ,-- ,/- ,1 ,$- 9($"$ ,##
)
))+&
2拓展应用3
!-"##- ,#)- ,#-- ,1 ,)%-的值为/# %1.+
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
(
"
*
++
+!
"#$
! ! "
接纳偶尔的笨拙与失落!少年自有韧劲!翻山越岭!奔赴理想与远方"
!
!" (!
MN#!
!#'
&'(
! # ¡¢%?£¤%#
!!下列语句中的数据是近似数的是
! " "
!"七!)"班有./ 名学生
$"足球比赛开始时每队各有## 名球员
&"杨老师在银行存入# %%% 元
("我国最长的河流是长江'全长约0 -%% 62
"!某教学楼共有. 层'每层的楼梯都是)4 级台
阶'经测量'每级台阶的高度约为#) 82'从而
求出教学楼的高度约为#0!4 2!在这个问题
的数字中'属于准确数的有+)+个'分别是
+.!)4+&属于近似数的有+ ) + 个' 分别
是+#)!#0!4+!
&'(
# # ¥¢¦#
#!
!!"!# -.TU;3B&自然常数D的出现使得我们
能够更好地描述和理解自然界和现实世界中的
增长* 衰减和变化过程!其数值约为# D9
)!1#4 )4# 4)4 /.3 %/. )-. -0% )41 /1# -.)1'
下列对自然常数D取近似数正确的是! ! "
!")!1!精确到十分位"
$")!1#!精确到%!%#"
&")!1#3!精确到千分位"
(")!1#4 )!精确到%!%%% #"
$!!!"!$ + 2 , %&小飞身高的测量值近似为
#!1# 2'若小飞的身高记为32'根据四舍五
入法'他的实际身高范围是
! # "
!"#!1)3)#!4
$"#!1%. <3<#!1#.
&"#!1%.)3<#!1#.
("#!1%.)3)#!1#.
%!
!!"!# -.<=;3$&(红楼梦)是我国古代四大
名著之一'全书共1-# %#1 个字'把这个数改
写成精确到万位的近似数是+1!- =#%. +!
!用科学记数法表示"
&!
!!"!$ Ä03$&在)%). 年## 月# 日进行的江
苏省城市足球联赛!简称$苏超%"决赛南通对
泰州的比赛中'南京奥体中心现场观众约有
0!)/ 万人'再创$苏超% 观赛人数纪录!其中
0!)/万精确到了+百+位!
'!用四舍五入法'按要求对下列各数取近似数#
!#"-4 %0-!精确到千位"&
!)"%!/%- %!精确到百分位"&
!-"%!%)4 00!精确到%!%%% #"&
!/"-!./4 0!精确到十分位"!
解$"##-4 %0-*-4 %%%!
")#%!/%- %*%!/%!
"-#%!%)4 00*%!%)4 1!
"/#-!./4 0*-!.!
(!杰杰与欢欢讨论有关近似数的问题!
杰杰# $ 如果把- /34 精确到千位' 可得到
- %%%!%
欢欢#$不'我的想法是先把- /34 取近似数为
- .%%'再把- .%% 用四舍五入法精确到千位'
得到/ %%%!%
杰杰#$11%
你怎样评价杰杰与欢欢的说法-
解$杰杰的说法正确!欢欢的说法不正确!
因为取一个数精确到某一位的近似数时!应对
紧邻这一位后面的第一个数字进行四舍五入!
而后面的数字不用考虑!
)!圆柱形的汽油贮藏罐的高度约为#)!. 2'底
面圆的半径为4 2!
!#"求这个贮藏罐的容积&!'取-!#/"
!)"如果每%!%%# 2- 的汽油重%!4 67'求此贮藏
罐贮满汽油后'里面贮藏汽油的质量!!结果
精确到万位'并用科学记数法表示"
解$"##9*-!#/ =4) =#)!. 9) .#)"2-#!
答$这个贮藏罐的容积约为) .#) 2-!
")#) .#) >%!%%# =%!4 9) %%3 0%%*)!%# =
#%0"67#!
答$此贮藏罐贮满汽油后!里面贮藏汽油的质
量约为)!%# =#%0 67
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
)
"
*
%&$'()*+,-(!"!
!
时光缓缓向前!青春热烈纯粹!那些努力的日子!终会成为岁月勋章"
!
#OPQ!
RSTUV!
!#+
!!"!$
93$&
问题背景
某校组织学科竞赛'学校编程社团为每位考生的准考证号设计二维码!二维码的图案由一系列黑白
相间的方块!黑色代表#'白色代表%"组成'形成一串二进制序列'用于存储各种类型的数据!
查阅资料一
十进制'即$逢十进一%'使用% C3 十个数字记数'基数为#%!基数#% 常省略不写"!例如'十进制数
- 3). 表示- 个千'3 个百') 个十'. 个一的和'可得式子#- 3). 9- =#%
- ,3 =#%
) ,) =#%
# ,. =#%
%
!规定#当.%% 时'.
% 9#"'可见'一个数可以表示成各数位上的数字与基数的幂的乘积之和的
形式!
二进制'即$逢二进一%'各数位上的数字只有% 和#'基数为)!例如'二进制数#%#%% 简记为
!#%#%%" )!角标) 为基数'除十进制数外'基数不能省略"'可利用上述方法将其转化为十进制数#
(
)
#%#%%
) 9# =)
/ ,% =)
- ,# =)
) ,% =)
# ,% =)
% 9)%!
查阅资料二
根据二进制数$逢二进一%的原则'可以用) 连续去除十进制数'直到商为% 为止'然后逆序取余数'
得到二进制数!例如#
可得)% 9!#%#%%" )!
上述方法可以推广为把十进制数转换为%进制的算法!!除以%取余数"
制作二维码
考生准考证号%)%1#4##)/ 的二维码图形和制作说明如图# 所示!
图) 是未完成的小张同学的准考证号的二维码'完成下列问题#
!#"2图形感知3根据图# 的制作示意图'把小张同学的考场号二进制数#%#%# 在图) 中填涂出来&
!)"2转化计算3根据图) 的二维码图形'求小张同学所在的年级和班级&
!-"2实践操作3已知小张同学的准考证座位号是#- 号'请先转化计算'再完善二维码制作!
图#
++++
图)
解$"##观察题图# 可知!黑色小正方形表示数字#!白色小
正方形表示数字%!故小张同学的考场号二进制数#%#%# 表
示如图# 所示!
")#根据题图) 的二维码图形!小张同学所在的年级对
应的二进制数是#%%#!"#%%## ) 9# =)- ,% =)) ,% =)# ,
# =)% 93!即3 年级%
小张同学所在的班级对应的二进制数是##%!"##% # ) 9# =
)) ,# =)# ,% =)% 90!即0 班!
"-#所以#- 9"##%## )!即座位号所对应的二进制数是##%#!
补全的二维码如图) 所示!
*
#
*
++
+!
"#$
! ! "
以笔墨为舟!以时光为桨!在漫长求学路上!慢慢沉淀!慢慢蜕变成长"
+
+++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
+++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++
+++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++
!
WXYZ5[!
!#+
有理数.'/'0'6 在数轴上的对应点的位置如图
所示!
+基础设问,
!#"若. 9'-'则数. 的绝对值*相反数与倒数
的和等于+#1
- +!
!)"若09-'把数0对应的点向右移动- 个单位
长度'与数6 对应的点重合'则6 9+0+& 把
数0对应的点向左移动- 个单位长度'与数
/对应的点重合'则/9+%+!
+能力设问,
!-"若. 是最大的负整数'/是绝对值最小的有
理数'0是最小的正整数'求. ,/,0的值!
解$依题意!得. 9'#!/9%!09#!
所以. ,/,09" '## ,% ,# 9%!
!/"若. 9'/!.'6 9.!/'先写出大于'/!. 且
小于.!/ 的所有整数'再计算出它们的和!
解$大于'/!. 且小于.!/ 的所有整数为
'/! '-! ')! '#!%!#!)!-!/!.!
它们的和为" '/# ," '-# ," ') # ,
" '## ,% ,# ,) ,- ,/ ,. 9" '/ ,/# ,
" '- ,-# ," ') ,)# ," '# ,## ,% ,. 9
% ,% ,% ,% ,% ,. 9.!
!."若:.:9.'/
) 9/'求. ,/的值!
解$由:.:9.!/
) 9/!得. 9. 或'.!/9) 或
')!
由题图可知!. </!所以. 9'.!
当. 9'.!/9') 时!. ,/9" '.# ," ')# 9
'1%
当. 9'.!/9) 时!. ,/9" '.# ,) 9'-!
综上!可知. ,/的值为'1 或'-!
!0"若. 是不等于% 的有理数'求. ':.:
).
的值!
解$分情况讨论如下$
若. ;%!则. ':.:
).
9. '.
).
9%!
若. <%!则. ':.:
).
9. '" '.#
).
9#!
所以. ':.:
).
的值为% 或#!
!1"请你在数轴上任意找一个点为原点'则数
.'/'0'6 的大小顺序是什么- 改变原点的位
置'则这/ 个数的大小顺序会改变吗- 这说
明了数轴的什么性质-
解$数.!/!0!6 的大小顺序是. </<0<6!
改变原点的位置!数.!/!0!6 的大小顺序不
会改变!这说明数轴上不同的两个点表示的
数!右边的点表示的数总比左边的点表示的
数大!
!4"给出下列/ 个推断#!如果.6 ;%'那么一定
会有/0;%&"如果.6 <%'那么一定会有
/0<%&#如果/0;%'那么一定会有.6 ;%&
$如果/0<%'那么一定会有.6 <%!所有合
理推断的序号是+!$+'并说明理由!
解$理由如下$
如果.6 ;%!那么.!/!0!6 都同号!
所以一定会有/0;%!!正确%
如果.6 <%!那么. <%!6 ;%!但/!0的符号
不能确定!
所以不一定会有/0<%!"错误%
如果/0;%!那么/!0同号!但.!6 的符号不
能确定!
所以不一定会有.6 ;%!#错误%
如果/0<%!那么/<%!0;%!所以. <%!
6 ;%!
所以一定会有.6 <%!$正确
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
#
*
%&$'()*+,-(!"!
!
烦恼藏在晚风里!心事藏在草稿纸!少年纯粹的日子!简单且闪闪发光"
!#+
!!
!!"!# +`$%&在')'%')'. 这四个数中'最小
的数是
! ! "
!"')
$"%
&")
(".
"!!!"!# Dd$%& 从'. *上升了. *后的温度'
在温度计上显示正确的是
! $ "
#!
!!"!# +`$%&安徽省)%). 年第一季度工业用
电量为.)#!1 亿千瓦时'其中.)#!1 亿用科学
记数法表示为
! # "
!".)#!1 =#%4
$".!)#1 =#%3
&".!)#1 =#%#%
("%!.)#1 =#%##
$!
!!"!% ÅÆÇ$%&下列各数都是用四舍五入法得
到的近似数'其中精确到十分位的是
! $ "
!")/
$")/!%
&")/!%%
(")/%
%!!!"!% CÈ$%&若#'$ 互为倒数'且满足#,
#$ 9-'则$ 的值为
! $ "
!"#
/
$"#
)
&")
("/
&!
!!"!# iU$%&)%). 年. 月'基于$三进制% 逻
辑的芯片研制成功!与传统的$二进制% 芯片
相比'三进制逻辑芯片在特定的运算中具有更
高的效率!二进制数的组成数字为%'#!十进
制数)) 化为二进制数#)) 9# =)/ ,% =)- ,
# =)) ,# =)# ,% =)% 9#%##%)!规定#当.%%
时'.% 9#"!传统三进制数的组成数字为%'#'
)!十进制数)) 化为三进制数#)) 9) =-) ,
# =-# ,# =-% 9)##-!将二进制数#%##)化为三
进制数为
! ! "
!"#%)-
$"#%#-
&"##%-
("#)-
'!
!!"!# +`$%&计算#:'.:'! '#" 9+0+!
(!
!!"!# «É$%&为响应$ 体重管理年% 有关倡
议'小敏对自己的体重进行了跟踪统计!为方
便记录'他将体重增加#!. 67记作,#!.'那么
体重减少# 67应记作+ '#+!
)!
!!"!% FG$%&比较大小# ')
- + <+ '/
3 !!填
$ ;%$ <%或$ 9%"
!*!
!!"!% Ê#$%&若! . '#" ) ,:/') :9%'则
./9+)+!
!!! $+,-3456 !!"!% Ël$%&小华探究$幻
方%时'提出了一个问题#如图'将%' ')'
'#'#') 这五个数分别填在五个小正方形
内'使横向三个数之和与纵向三个数之和相
等'则填入中间位置的小正方形内的数可以
是+%"答案不唯一#+!!写出一个符合题意
的数即可"
!"!
!!"!# zU$%&如图是谢尔宾斯基地毯图案的
形成过程!按此规律下去'第&个图形中黑色
三角形的个数是+-."或)/-#+!
!#!
!!"!# Dd$%&一道习题及其错误的解答过程
如下#
计算#! '0" =! #
) ,)
- '.
0 "!
解#! '0" =! #
) ,)
- '.
0 "
9'0 =#
) ,0 =)
- '0 =.
0 11第一步
9'- ,/ '.11第二步
9'/!11第三步
请指出在第几步开始出现错误'并选择你喜
欢的方法写出正确的解答过程!
解$原解题步骤从第一步开始出现错误!正确
解答过程如下$
" '0# =" #
) ,)
- '.
0 #
9" '0# =#
) ," '0# =)
- '" '0# =.
0
9'- '/ ,.
9')
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
"
#
*
++
+!
"#$
! ! "
别辜负清晨的朝阳与深夜的星光!认真生活!就会被生活温柔以待"
!#&
!!"!# ÌÍ,%&2综合与实践3体重调查
素材#
党和国家非常重视青少年的身心健康'采取多种举措增强青少年体质'世界卫生组织给出了一个
标准体重的计算方法#男性标准体重! 67" 9! 身高! 82" '4%" =1%"'女性标准体重! 67" 9
!身高!82" '1%" =0%"'标准体重E#%"范围内为正常体重'标准体重E#%" CE)%"范围内
为体重过重或过轻'标准体重E)%"以上为肥胖或体重不足!
素材)
0% 分钟各项运动消耗热量表
运动
骑车
快跑
慢跑
爬楼梯
游泳
热量变化4千卡
'#4/
'1%%
'0..
'/4%
'# %-0
素材-
常见食物摄入热量表
食物
炸薯片
方便面
猪肉
巧克力
曲奇饼
基围虾
热量变化4!千卡4#%% 7"
,0#)
,/1)
,4#0
,.40
,.//
,#)0
任务#
七年级男生小明身高#0. 82'体重1% 67'女生小勤身高#.4 82'体重/4 67'通过上述材料说明小
明和小勤的体重状况!
任务)
小明所在活动小组有0 名成员!都是男生"'他们的体重情况统计如下!超出标准体重的百分比
记为正'不足标准体重的百分比记为负"#
编号
#
)
-
/
.
0
体重指标
'##!#"
,)#!-"
%!4"
,#%!1"
')!0"
,#1!0"
体重状况
过轻
肥胖
正常
过重
正常
过重
根据上表中统计数据分析该小组0 名同学的体重状况!在表中填写$正常% $过重% $过轻% $肥
胖%或$体重不足%"!
任务-
针对目前中学生中肥胖率偏高的实际情况'李老师和同学们一同分析了形成这些问题的原因'多
数学生喜欢吃炸薯片*汉堡等含高糖*高脂和高热量的食品'还有一些学生根本就不正常吃饭'根
据素材)'- 提供的信息'请给小明及所在小组同学提出一些关于饮食方面的建议'并制订适合他
们的体育锻炼方案!
解$任务#+男生身高#0. 82的标准体重为"#0. '4%# =1%" 9.3!."67#!
"1% '.3!.# >.3!. =#%%"*#1!0"!
因为#1!0"在,#%" C,)%"范围内!所以小明的体重状况为过重%
女生身高#.4 82的标准体重为"#.4 '1%# =0%" 9.)!4"67#!
因为"/4 '.)!4# >.)!4 =#%%"* '3!#"!
'3!#"在'#%" C#%"范围内!所以小勤的体重状况为正常!
任务-+答案不唯一!合理即可!如!饮食方面!少吃炸薯片-巧克力等高糖-高脂和高热量的食
品!多吃蔬菜和水果%体育锻炼方面!建议每天坚持跑步!争取每周进行一次游泳运动等!
QRST #
#
#
*
%&$'()*+,-(!"!
!
青春是热烈的奔赴!是无声的坚持!熬过风雨!前路皆是坦荡与光亮"
!
!" #!
"#$!
!" !#
$%&'()
!"#
%&'
# # $%&'()#
!!
!!"!# "#$%&'(任意三个连续自然数!若最
小的是"!则最大的数可表示为
" ! #
!"#"
$"" %&
'"" %#
("" %)
"! !" !$% #$ % %& !!"!$ )*)+,-.(与偶数#
"#*##相邻的两个偶数分别是
" " #
!"#+& 和#%&
$"#+# 和#%#
'"##和,#
("##+# 和##%#
#! !" !&% '()* '"+",%& 若一个三位数的百位
数字为$!十位数字为-!个位数字为%!则这个
三位数可以表示为
" " #
!!$%
$!&--$%%
'!&--$%&-%
(!&--"$%%#
$! !" !$% #$ ( %& !!"!# /01*,-.(如表是
#-#. 年/ 月的月历!若本周二对应的日期用$
")!$!#,!且$为整数#表示!则下周一对应
的日期可以表示为0$%/0!"用含$的式子
表示#
日
一
二
三
四
五
六
&
#
)
,
.
/
1
2
3
&-
&&
&#
&)
&,
&.
&/
&1
&2
&3
#-
#&
##
#)
#,
#.
#/
#1
#2
#3
)-
%&'
! # $%&'(*+,-./#
%!若一个长方形的长为$45!宽为%45!则这个
长方形的周长为
" ! #
!""$%%#45
$""#$%%#45
'"#"$%%#45
("$%45
%&
!!"!# 234 5(已知长方形的周长是
#- 45!一边长是" 45!则这个长方形的面积是
" ! #
!"""#- +"#45#
$"#-" 45#
'"""&- +"#45#
("&-" 45#
&!用"! &表示两个数! 加法交换律可表示成
0" %&6&%"0!
'! -./01234
!" !#" 56 '%+",%&
!!"!# 06
45(圆形方孔钱是我国古钱币的突出代表!如
图!一枚圆形方孔钱的外圆半径为'!中间方孔
边长为"!求圆形方孔钱的面积!
解!由题意得"圆的面积为!'
#"中间方孔的面
积为"#"所以圆形方孔钱的面积为!'
# +"#!
%&'
$ # $%&'()0123$#
(!
!!"!$ 785.(智慧农业广泛应用智能机器人!
某品牌智能机器人的一个机械手平均每分钟
采摘&- 个苹果!若该机器人搭载#个机械手
"#*&#!则该机器人平均每分钟采摘的苹果
个数为
" # #
!"/#
$"#%&-
'"/-#
("&-#
)!
!!"!$ 905.(一种商品每件标价为" 元!按标价
的2 折出售!则每件商品的售价是0-!2"0元!
!*!
!!"!# 2:;<,45(某班男生人数占学生人
数的..(!女生有" 人!则本班学生总数有
0#-
3 "0人
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
!
$
#
*
!
" ! #
$%&'()
人间忽晚!山河已秋!少年不惧岁月长!彼方尚有荣光在悄然等候"
!" "#
4)+5!6
!"#
%&'
# # 4)+0789:;#
!!下列说法正确的是
" " #
!!&
$不是一个代数式
$!- 是代数式
'!) 6!'
# 是一个代数式
(!单独一个字母" 不是代数式
"!
!!"!# =>?@,-.(下列代数式中符合书写要
求的是
" ! #
!") &
# "&
$"" 7&
'"".- +"#元
("+&"&
%&'
! # $4)+'()<=>#
#!
!!"!# A0B0,45(若买一个足球需#元!买
一个篮球需* 元!则买) 个足球和# 个篮球共
需
" ! #
!".#* 元
$"/#* 元
'"")#%#*#元
(""##%)*#元
$!
!!"!$ C@5.(下列代数式中!能表示$$与%
的差的平方%的是
" " #
!"$
# +%
#
$""$+%# #
'"$
# +%
("$+%
#
%!
!!"!$ D:5.(按一定规律排列的代数式&"!
)"!."!1"!3"!'!第* 个代数式是
" $ #
!""#* +&#"
$""#* %&#"
'""* %&#"
("# -#."
&!
!!"!# 3EFGH,4I(排球赛的积分规则为&比
赛中以) +-"胜) 局负- 局# 或者) +& 取胜
的球队积) 分!负队积- 分(比赛中以) +# 取
胜的球队积# 分!负队积& 分!若某球队以) +&
胜了" 场!以) +# 胜了&场!以- +) 负了+
场!则这支球队的积分为
" ! #
!")" %#&%+
$")" %#&++
'")" %#&
(")" %)&%+
'! !" !$) 7 " %& !!"!# =>JKLM45(某商店
将某种服装按成本价每件" 元提高.-(标价!
又以八折优惠卖出!则这种服装每件的售价是
0"#& %.-($ 82-(#或&!#"$0元!
(!
!!"!# NOP5QR(某树苗原始高度为/- 45!如
图是该树苗的高度与生长月数的有关数据示
意图!假设一段时间内该树苗高度的变化与月
数保持此关系!用式子表示生长* 个月时!它
的高度应为0#/- %&-*$045!
)!
!!"!# S:-.(一辆汽车以,千米-时的速度行
驶!从.地到/地需要0小时!若该汽车的行驶
速度在原来的基础上增加#千米-时!那么提
速后从.地到/地需要的时间比原来减少
0#0+ ,0
,%#$0小时!
!*!
!!"!# TUVWX54I(如图!正方形./12的
边长为"!根据图中数据!用含"!&的代数式
表示阴影部分的面积为0&
# "# +#&0!
%&'
$ # 4)+'(0?@#
!!!
!!"!# :Y4I(下列对代数式&
$+) 的意义表
述错误的是
" ! #
!"$的倒数与) 的差
$"& 除以$的商与) 的差
'"比$的倒数大) 的数
("比$的倒数小) 的数
!"! -./089:; 同一个式子可以表示不同的
含义!例如/* 可以表示长为/!宽为* 的长方
形的面积!也可以表示更多的含义!请你给
/* 再赋予一个含义&0笔记本每本/ 元"买*
本的价钱#答案不唯一$0
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
!
%
#
*
!"#$%&'()*%!"+
+
日子平淡细碎!时光温柔缓慢!好好生活!慢慢相遇!静静生长"
!"&
!#!$美好安徽!迎客天下%!某校组织了师生%人
来到三河古镇划船游玩!租用的每条船可乘
坐$人!师生全部上船后!发现租用的游船只
剩一个空位!用含$!%的代数式表示该校租
用游船的数量为
" $ #
!"%%&
$ 条00
$"" %
$%&#条
'"%+&
$ 条00
("" %
$+&#条
!$! -./0'(34 !!"!$ Z[\],4I(我国在清
朝学堂的课本) 代微积拾级* 中用$ 五
丁二
#
二
丙三# 二七
甲二乙二%来表示代数式3#
. ++
)
# %"#&
#
#1 !观
察其中的规律!则$ 二
甲三# 三
乙二%表示的代数式
是
" ! #
!""#
# %&
)
)
$""#
) +&
)
#
'"")
# %&
#
)
("")
# +&
#
)
!%!
!!"!# ^[45(某书店开展促销活动&将原价
为$元的一批图书以-!1"$+#-#元的价格出
售!下列说法中!能正确表达这批图书促销方
法的是
" ! #
!"在原价的基础上打1 折后再减去#- 元
$"在原价的基础上打) 折后再减去#- 元
'"在原价的基础上减去#- 元后再打1 折
("在原价的基础上减去#- 元后再打-!1 折
!&!
!!"!# A0-.(下面四个代数式中!不能表示
图中阴影部分面积的是
" # #
!"$
# %)$%/
$""$%)#"$%## +#$
'")"$%## %$
#
("$
# %.$
!'!
!!"!# W_$M`.(有一大捆粗细均匀的钢筋!
现要确定其总长度!先称出这捆钢筋的总质
量为" 千克!再从中截出&- 米长的一段钢
筋!称出这段钢筋的质量为&千克!那么这捆
钢筋的总长度为0&-"
&0米!
!(!
!!"!% a05.(如图是& 个纸杯和若干个叠放
在一起的纸杯的示意图!在探究纸杯叠放在
一起后的总高度4与杯子数量* 的变化规律
的活动中!我们可以获得以下数据"字母#!
请选用适当的字母表示4605 %"*0!
"杯子底部到杯沿底边的高5(#杯口直径2(
$杯底直径3(%杯沿高"!
!)!
!!"!$ b[5.(如图所示!用黑白两色棋子摆
图形!以此规律!第* 个图形中黑色棋子的个
数为0)* %&0!"用含* 的代数式表示#
"*! <=>? !!"!# =>cde45(某超市在春节
期间实行如下优惠&
一次性购物
优惠办法
少于#-- 元
不予优惠
低于.-- 元但
不低于#-- 元
九折优惠
等于.-- 元或
超过.-- 元
其中.-- 元部分给予九折优惠!
超过.-- 元部分给予八折优惠
"&# 王老师一次性购物/-- 元!他实际付款
0.)-0元(
"##若某顾客在该超市一次性购物$元!当$
低于.-- 但不低于#-- 时!他实际付款
0-!3$0元( 当$等于.-- 或超过.--
时!他实际付款0 %,.- %# $+.--$ 8
-!2&#或#-!2$%.-$$0元!"用含$的代
数式表示
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
#
&
#
*
00
0+
,-./01
! ! "
所有坚持都不会白费!埋头努力的时光!都在悄悄铺垫未来的惊喜"
!" ##
4)+5"6
!"&
%&'
# # AB+#
!!
!!"!# =>fg,45(下列式子是单项式的有
" ! #
" ,$(
# +,$
#%( 00$ )"#&+(
% -(
& "(
00' # %$!
!") 个
$", 个
'". 个
("/ 个
"!
!!"!# 234I(单项式+"#&
#+
1
的系数和次数分
别是
" # #
!"1!,
$"+1!.
'"&
1 !,
("+&
1 !.
#!
-./089:; 一个单项式含有字母$和
%!系数是#! 次数是/! 这个单项式可以
是0#$
)%
)# 答案不唯一$ 0!
%&'
! # CB+#
$!
!!"!# dhid,4I(下列代数式中!是多项式
的是
" " #
!"#"#
$")
2 ## +.*
'"$%6
("+#
) ,0
%!
!!"!# Yjklm5L4I(多项式#$
) +.$+)$
# %
, 的二次项系数是
" " #
!"+.
$"+)
'")
("#
&!
!!"!# =>cn,4I(多项式+#"#&%"&%& 是
" ! #
!"三次二项式0000$"二次三项式
'"三次三项式0000("五次三项式
%&
!!"!# 7opqrLM4I( 若多项式#$%+
)$%1 %!是二次四项式!则$!%可以是
" " #
!"+$
#%
$".%
'",$%
#
("$
#%
#
'! !" !$&'% %& 根据多项式的特征填空!
多项式
,$+) "
) %"&%&
) +$
) %%
. "
# %.&
# +#"
#&
# +&
项
,$" +) "
)""&"&
)
+$
)"%
. "
#".&
#" +#"
#&
#"
+&
次数
&
)
.
,
常数项
+)
-
-
+&
几次几项式
一次
二项式
三次
三项式
五次
二项式
四次四项式
(!
!!"!# s[45(若代数式#$9#9+"#%)#$%1 是
关于$的三次二项式!则#的值为0 +)0!
)!若一个多项式的每一项的次数都相等!则称
该多项式为$ 齐次多项式%!如&#$
) +)$
#%%
%
) 是$齐次多项式%!若$
#%+#$
)%
# %.$
#%
* %
)$%
, %%
. 是$齐次多项式%!则#!* 的值分别
为0,")0!
%&'
$ # D+#
!*!下列说法错误的是
" ! #
!!#是单项式也是整式
$!&
# "#+*#是多项式也是整式
'"整式一定是单项式
(!整式不一定是多项式
!!!
!!"!# tuvw,45(将下列各式的序号填入
相应的大括号中&
"##*!#$
# +)%
#
#
!$"# %&+&!% +&
$%%
#!
&-!' +)
#"!(#$
) %.!)$
#%!
单项式&+0"&)0!',!
多项式&+0#$(0!',!
三次多项式&+0(0!',!
整式&+0"#$&()0!',
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
!
'
#
*
!"#$%&'()*%!"+
+
少年眼底藏星河!心中藏山海!不惧前路漫漫!只为奔赴心中理想"
!"*
!"!如果一个多项式的次数是.!那么这个多项
式的每一项的次数
" ! #
!"都等于.
$"都小于.
'"都不大于.
(!都不小于.
!#! @A$
!!"!# x[45(下列说法正确的是
" # #
!"&
# !$
#的系数是&
#
$"##"&
)的次数是/
'"$%&
)
是单项式
("#$+.$
# %1 是二次三项式
!$! -./0'(34 !!"!$ yz:{,4I(我国古代
数学著作)周髀算经*中提到!冬至-小寒-大
寒-立春-雨水-惊蛰-春分-清明-谷雨-立夏-
小满-芒种这十二个节气中!在同一地点测量
每个节气正午时同一根杆的日影长!发现每个
节气与它后一个节气的日影长的差近似为定
值!若这个定值为3"3 *-#尺"这里的尺是我
国古代长度单位#!立春当日的日影长为&-!.
尺!则在下列对于立夏当日日影长"单位&尺#
的近似值的代数式-此代数式的一次项系数和
常数项的判断中!都正确的是
" " #
!""/3 %&-!.#!/!&-!.
$"" +/3 %&-!.#! +/!&-!.
'""/3 +&-!.#!/!&-!.
("" +/3 +&-!.#!/! +&-!.
!%!
!!"!# s[45(已知多项式+)"3 &%."2 &
# +
1"1&
) %' %&3"&
3!
"&#根据这个多项式的排列规律!你能确定
这个多项式是几次几项式吗.
"##这个多项式的第六项和第七项分别是
什么.
解!#&$ 观察可知"多项式+)"3 &%."2 &
# +
1"1&
) %' %&3"&
3 的每一项的次数都是&-"
共有3 项"所以这个多项式是十次九项式!
##$ 观察可知"该多项式每一项的次数都是
&-"且奇数项的系数符号是负号"偶数项的系
数符号是正号" 所以第* 项为# +&$ *##* %
&$"&- +*&
*"
所以这个多项式的第六项是&)", &
/"第七项
是+&.")&
1!
!&! BCDE !!"!% |65. & }(已知整式
7&"*$
* %"* +&$
* +& %' %"&$%"-!其中
*!"* +&!'!"- 为自然数!"* 为正整数!
且* %"* %"* +& %' %"& %"- 6.!下列说法&
"满足条件的整式7中有. 个单项式(
#不存在任何一个*!使得满足条件的整式7
有且仅有) 个(
$满足条件的整式7共有&/ 个!
其中正确的个数是
" # #
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
!"-
$"&
'"#
(")
!"*
EFGH
23,-4567894:
已知关于$的整式" 989+)#$
) %"8+)#$
# +8!
"&#若此整式是单项式!求8的值(
解!因为关于$的整式# 989+)$ $
) %# 8+
)$$
# +8是单项式"
所以989+) 6- 且8+) 6-"所以86)!
"##若此整式是二次多项式!求8的值(
解!因为关于$的整式# 989+)$$
) %#8+)$$
# +8
是二次多项式"
所以989+) 6- 且8+)$-"所以86+)!
")#若此整式的常数项与单项式+$
#%的系数
互为相反数!求8的值(
解!单项式+$
#%的系数为+&" 由题意可知
+8%# +&$ 6-"所以86+&!
",#若此整式是二项式!求8的值!
解!因为关于$的整式# 989+)$$
) %#8+)$$
# +8
是二项式"
所以"989+) 6- 且8+)$-"8$-(
#8+) 6- 且989+)$-"8$-(
$86- 且989+)$-"8+)$-#分类讨论$(
所以8的值是+) 或-
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
!
(
#
*
00
0+
,-./01
! ! "
告别浮躁与慌张!沉下心慢慢来!平凡的日子也能开出温柔的花"
!" $#
4)+0I
!%+
%&'
# # J4)+0I#
!!
!!"!$ @:5.(当$6# 时!代数式#$+) 的值
为
" $ #
!"&
$"1
'"+&
("+.
"!
!!"!# =>cde45(当" 6#!&6+) 时!代数式
"" +&# # %#"&的值为
" $ #
!"&)
$"#1
'"+.
("+1
#!
!!"!# =>~P545(按照如图所示的计算程
序!若$6#!则输出的结果是
" # #
!"&/
$"#/
'"+&/
("+#/
$!
!!"!$ 7o5.(已知$
# %#$6,!则代数式1 +
$
# +#$的值为0)0!
%&'
! # J4)+0I03$#
%!
!!"!$ 45(人在运动时!心跳速率通常和人
的年龄有关!如果用$表示一个人的年龄!用%
表示正常情况下这个人在运动时所能承受的
每分钟心跳的最多次数!假设%与$存在关系
式&%6,
. "##- +$#!
"&#正常情况下!一个&. 岁的少年在运动时!
所能承受的每分钟心跳的最多次数是
多少.
"##一个.- 岁的人运动时!)- 秒钟心跳的最
多次数为/- 次!他有危险吗. 请说明你的
理由!
解!#&$当$6&. 时"
%6,
. ###- +$$ 6,
. 8###- +&.$ 6&/,"
即正常情况下"一个&. 岁的少年在运动时"所
能承受的每分钟心跳的最多次数是&/,!
##$他没有危险!理由如下!
当$6.- 时"%6,
. ###- +$$ 6,
. 8###- +
.-$ 6&)/!
因为他运动时")- 秒心跳的最多次数是/- 次"
所以他每分钟心跳的最多次数是&#- 次!
因为&)/ *&#-"所以他没有危险!
!%+
&!
!!"!# :EWLX5.(下列代数式中!满足
表中条件的是
" ! #
$
-
&
#
)
代数式的值
+)
+&
&
)
!"+$+)
$"$
# %#$+)
'"#$+)
("$
# +#$+)
'!
!!"!#
n4I(规定&对任意有理数对/"!&0!都
有/"!&0 6"# %)&%#!例如&有理数对/ +.!
+#0 6" +.## %) 8" +## %# 6#&!若有理数对
/ +#!&0 6*!则有理数对/*! +#0 60110!
(!已知多项式.6# -#.$
# %# -#/$%#和/6
# -#/$
# %# -#.$%#!下列三个判断中一定正
确的是0"0!"填序号#
"当$6& 时!.6/!0
#当$6+& 时!.%/6-!
$当$为任意有理数时! /的值总大于.
的值!
)!
!!"!# =>~5.(某设计公司设计出如图
所示的一个商标图案"图中阴影部分#!其中
9&!9#分别为半圆的圆心!长方形的长为#!宽
为*!
"&# 用含#!* 的代数式表示商标图案的面
积)(
"##当#6&#!* 62 时!求面积) 的值!"结果
保留!#
解!#&$ 由题意可知" 商标图案的面积) 6
&
# #* %&
# !8# #
# $ # %&
# !8# *
# $ # 6&
# #* %
&
2 !## %&
2 !*#!
##$当#6&#"* 62 时"
) 6&
# 8&# 82 %&
2 ! 8&## %&
2 ! 82# 6
#/!%,2
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
!
)
#
*
!"#$%&'()*%!"+
+
校园的烟火很温柔!朋友相伴!灯火温柔!青春本就是最好的馈赠"
!
() #!
"#$*+,-./!
!%+
00规律探究题主要包含数式规律探究题和图形规
律探究题!解决这类题的关键点和难点是寻找各数式"
图形与序号之间的共同规律!并用含* 的代数式表示
出来#其中* 为序号$!有了这个规律!对于任意指定序
号上的数式"图形等!只需将* 的值代入即可求解!
01
# # K)L=0M/NO#
!!
!!"!% b[5.(观察下列各数&)!2!&2!)2!'!按
此规律!第. :1 个数可能为
" # #
!",2!.2!/2
$".2!12!32
'"1/!&./!)&/
("12!&.2!)&2
"!
!!"!# #w4I(如图是
从& 开始按箭头方向
排列的有序数阵!从)
开始! 把位于同一列
且在拐角处的两个数
提取出来组成有序数
对&")!. # ! " 1!&- # ! " &)!&1 # ! " #&!#/ # !
")&!)1 # ! '! 如果单另把每个数对中的第
& 个或第# 个数按顺序排列起来研究!就会发
现其中的规律!请写出第* 个数对&0%*#* %
&$ %&"#* %&$ # %&&0!
#!
!!"!# A00,4I(观察下列等式&"&# )
# 6
&
& %&
# ( "## )
. 6&
# %&
&-( ")# )
2 6&
) %&
#,(
",# )
&& 6&
, %&
,,('!
根据上述等式的规律!解答下列问题&
"&#写出第. 个等式&0 )
&, 6&
. %&
1-0!
"##写出第* 个等式&
)
)* +& 6&
* %
&
*#)* +&$0!
"用含* 的代数式表示#
")#应用你发现的规律!计算& )
. %)
&1 %)
). +
&
&- + &
&-# + &
,#- 60)
, 0!
01
! # KD+L=0M/NO#
$!!!"!$ g:5.(观察#$!,$
#!/$
)!2$
,!'!根
据这些式子的变化规律!可得第* 个式子
为0#*$
*0!
%! !" !&*'( %& !!"!# W,45(根据表格!回
答问题&
$
'
+#
+&
-
&
#
'
+#$%.
'
3
1
.
)
"
'
)$%2
'
#
.
2
&&
&
'
"&#" 60&0(&60&,0!
"##表中+#$%. 的值的变化规律是&$的值每
增加&! +#$%. 的值就减少0#0!
类似地!请写出)$%2 的值的变化规律&
0$的值每增加&")$%2 的值就增加)0!
")#请直接写出一个含$的代数式+.$%/0!
要求$的值每增加&!代数式的值就减小
.!且当$6# 时!代数式的值为+,!
&!
!!"!# =>cde45("&# 例&代数式"" %&# # 表
示"!&两数和的平方!
仿照上例填空&代数式"# +&
#表示0""&两数
平方的差0!
代数式"" %&#"" +&#表示0""&两数的和与
两数的差的积0!
"## 试计算当"!&取不同数值时!"# +&
# 及
"" %&#"" +&#的值!填入表格中!
" 6.!&6&
" 6+,!&6#
" 6+)!&6+/
"
# +&
#
#,
&#
+#1
"" %&#"" +&#
#,
&#
+#1
")#我的发现&0"# +&
# 6#" %&$ #" +&$ 0!
"用含"!&的式子表示#
",#用你发现的规律计算&12!).# +#&!/.#!
解!#,$12!).# +#&!/.#
6#12!). %#&!/.$ 8#12!). +#&!/.$
6&-- 8./!1
6. /1-
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
!
*
$
*
00
0+
,-./01
! ! "
慢慢变好!默默优秀!不慌不忙沉淀自己!时光自会馈赠所有温柔"
01
$ # KPQL=0M/NO#
'! F(G04( !!"!$ H5.(醇是一类由碳-氢-
氧元素组成的有机化合物!如图是这类物质前
四种化合物的分子结构模型图!其中
代表碳
原子! 代表氧原子! 代表氢原子!第& 种如图
& 有, 个氢原子!第# 种如图# 有/ 个氢原子!
第) 种如图) 有2 个氢原子!第, 种如图, 有
&- 个氢原子''按照这一规律!第3 种化合
物的分子结构模型中氢原子的个数是" " #
!"&2
$"#-
'"##
("#,
(!
!!"!# =>5L4I(如图!按照图形变化的规
律!第# -#/ 个图形中黑色正方形的个数是
" # #
!"& -�$"& -&)00'") -)/00(") -)3
)!
!!"!$ j5.(如图!图& 有# 个三角形!记作
"& 6#(图# 有) 个三角形!记作"# 6)(图) 有
/ 个三角形!记作") 6/(图, 有&& 个三角形!
记作", 6&&( 按此方法继续下去! 则"* 6
0#* +&$ # %#0!" 结果用含* 的代数式表
示#
!*!
!!"!$ =>H,45(如图!已知圆环内直径为
"!外直径为&!将&- 个这样的圆环一个接一
个环套环地连成一条锁链!那么这条锁链拉
直后的长度为03" %&0!"用含"!&的代数
式表示#
!!!
!!"!# =>cn,45(如图!一张桌子每边可以
坐# 人!一共可以坐2 个人!用这种相同的桌
子拼成一排!
"&#, 张桌子拼成的长条桌可以坐0#-0人!
. 张桌子拼成的长条桌可以坐0#,0人!
"##用含* 的代数式表示* 张桌子拼成的长
条桌可以坐多少人!
")#如果提供/) 张这样的桌子拼成长条桌!
那么能坐多少人.
##$由#&$知"* 张桌子拼成的长条桌可以坐
#,* %,$人!
#)$当* 6/) 时",* %, 6, 8/) %, 6#./"故
能坐#./ 人!
!"!
!!"!# =>H,45(用同样大小的两种不同
颜色的正方形纸片!按如图方式拼正方形!
第& 个图形中有& 个正方形(
第# 个图形有& %) 6, 个小正方形(
第) 个图形有& %) %. 63 个小正方形(
第, 个图形有& %) %. %1 6&/ 个小正方形(
''
"&#根据上面的发现可猜想& %) %. %1 %' %
"#* +&# 60 *# 0( " 用含* 的代数式
表示#
"##请根据你的发现计算&
"& %) %. %1 %' %33(
#&-& %&-) %&-. %' %#33!
解!##$"由#&$ 可知"& %) %. %1 %' %33
共有#33 %&$ 7# 6.- 个数相加"故& %) %
. %1 %' %33 6.-# 6# .--!
#&-& %&-) %&-. %' %#33
6& %) %. %' %#33 +#& %) %. %' %33$
6&.-# +.-#
6## .-- +# .--
6#- ---
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
!
!
$
*
!"#$%&'()*%!"+
+
偶尔迷茫很正常!停下脚步调整方向!依旧向阳而生!温柔前行"
!
!" !!
2$34!
!" !#
RSTUB
!%"
%&'
# # TUB#
!!
!!"!# F4I(下列单项式中!"&
)的同类项是
" $ #
!")"&
)
$"#"#&
)
'"+"#&
#
("")&
"!
!!"!# =>?@,-.(下列各组式子中!不是同
类项的是
" # #
!"), 与,)
$"+#* 与)*#
'"+-!&##* 与&
) ##*
("##*) 与*##)
#!
!!"!% n5.(已知单项式)"#&与+#"#&
* +&是
同类项!则* 60#0!
$!
-./089:; 写出一个与+&
# $
,%
) 是同类项
的单项式&0#$
,%
)#答案不唯一$0!
%!指出下列多项式中的同类项&
"&# +"/&
. %&
/+
. %"/&
. +#-&
/+
.(
解! +"/&
. 与"/&
. 是同类项"&
/+
. 与+#-&
/+
.是
同类项!
"##)$
#%6
) %$
#6
) %2 +&-&6
)$
# %&2!
解!$
#6
) 与+&-&6
)$
# 是同类项"2 与&2 是同
类项!
%&'
! # RSTUB#
&!
!!"!# =>cde-.(如图!两个边长为$的正方
形的面积之和为
" # #
!"2$
$"$
#
'"#$
,
("#$
#
'!
!!"!# =>4I(下列计算正确的是
" ! #
!"#" %.&61"&
$"/$
) +#$6,$
#
'"$%
# %)$%
# 6,$%
#
("3"&+2"&6&
(!!!"!# 064I(若+)$
)%
# 与$
*%的和是一个单
项式!则#!* 的值分别是
" " #
!"-!)
$"&!)
'"-! +)
("+,!&
)!合并同类项&
"&#.%%#
) %+#%(
解!.%%#
) %+#%6#. %#
) +#$%6&&
) %!
"## +)" %#&+/" %& +)&+.(
解! +)" %#&+/" %& +)&+.
6# +)" +/"$ %##&+)&$ %# +. %&$
6# +) +/$" %## +)$&%# +. %&$
6+3" +&+,!
")# +#$
#%%)$%
# %)$
#%+)$%
#(
解! +#$
#%%)$%
# %)$
#%+)$%
#
6# +#$
#%%)$
#%$ %#)$%
# +)$%
#$
6# +# %)$$
#%%#) +)$$%
#
6$
#%!
",##$
# +.$
) +,$%. %/$+$
# %.$
) +2(
解!#$
# +.$
) +,$%. %/$+$
# %.$
) +2
6# +.$
) %.$
)$ %##$
# +$
#$ %# +,$%/$$ %
#. +2$
6# +. %.$$
) %## +&$$
# %# +, %/$$%#. +2$
6$
# %#$+)!
".#") +."#&%)"&
# +)&
) %#&
) +)&
#" +."#&+#")!
解!") +."#&%)"&
# +)&
) %#&
) +)&
#" +."#&+#")
6# ") +#") $ %# +."#&+."#&$ %#)"&
# +
)&
#"$ %# +)&
) %#&
)$
6#& +#$ ") %# +. +.$ "#&%#) +)$ "&
# %
# +) %#$&
)
6+") +&-"#&+&
)
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
!
"
$
*
00
0+
,-./01
! ! "
白纸写下梦想!笔墨书写成长!青涩年华里!努力是唯一的底气"
!%%
!*!
!!"!# 45( 已知小明的年龄是#!爸爸的
年龄比小明年龄的) 倍少,!妈妈的年龄比小
明年龄的# 倍多1!则他们三人的年龄和为
" # #
!")#%2000
$",#+.
'".#%)000
("/#%)
!!!
!!"!$ ,4I(若$为有理数!则9$9+$
表示的数是
" # #
!"正数
$"非正数
'"负数
("非负数
!"!
!!"!# A 0 4 5(如果多项式)$
# +1$
# %$%
8
#$
# +. 中不含$
#项!那么8的值为
" # #
!"#00 $"+#00 '"-00
("# 或+#
%&
!!"!# j,4I(多项式#$
) +
)$
# %#$%& 与+#$
) +)$
# %. 相加!化简后不
含的项是
" # #
!"常数项
$"一次项
'"二次项
("三次项
!#!数学课上!张老师出了这样一道题目&当" 6&
# !
&6+# 时!求多项式1") %)"#&%)") %/")&+
)"#&+&-") +/")&+& 的值!解完这道题后!小
阳指出&$" 6&
# !&6+# 是多余的条件!% 师
生讨论后!一致认为小阳的说法是正确的!请
你说明小阳的说法是正确的理由!
解!1") %)"#&%)") %/")&+)"#&+&-") +
/")&+&
6#1 %) +&-$") %#) +)$"#&%#/ +/$")&+&
6+&"
所以该多项式的值为常数"与""&的取值
无关"
所以小阳的说法是正确的!
!$!
-./0HI:; 已知.6#"#+& &%&
#! /6
)",&%&
* %&!再从条件"-条件#中选择一个
作为已知条件!求#!* 的值!
条件"&.与/的差是一个单项式!
条件#&.与/的和等于.",&%#&
#!
解!选择条件"!
因为.与/的差是一个单项式"
所以#"#+&&与)",&为同类项"&
# 与&
* %&为同
类项"
所以#+& 6,"* %& 6#"所以#6."* 6&!
选择条件#!
因为.与/的和等于.",&%#&
#"
所以#"#+&&与)",&为同类项"&
# 与&
* %& 为同
类项"
所以#+& 6,"* %& 6#"所以#6."* 6&!
!%! JKDE !!"!# fH,45(我们知道!,$+
#$%$6", +# %&#$6)$!类似地!我们把" %
&看成一个整体!则," " %&# +#" " %&# %
"" %&# 6", +# %&#"" %&# 6)"" %&#!$整
体思想%是中学数学解题中的一种重要的思
想方法!它在多项式的化简与求值中应用极
为广泛!
尝试应用&"&#把"" +&##看成一个整体!合并
."" +&## %,"" +&## +1"" +&## 60##" +
&$#0(
"##把" %&看成一个整体!合并1"" %&# # +
/"" %&# %#"" %&# # +,"" %&#(
")#若" 6&+&!求代数式1"" +&# ) %,"" +
&# ) %, " " +&# , %) " " +&# ) +. " &+
"# , %&& 的值!
解!##$1#" %&$ # +/#" %&$ %##" %&$ # +
,#" %&$
6#1 %#$#" %&$ # +#/ %,$#" %&$
63#" %&$ # +&-#" %&$!
#)$因为" 6&+&"所以" +&6+&!
1#" +&$) %,#" +&$) %,#" +&$, %)#" +
&$) +.#&+"$, %&&
6#1 %, %)$#" +&$ ) %#, +.$#" +&$ , %&&
6&,#" +&$ ) +#" +&$ , %&&
6&, 8# +&$ ) +# +&$ , %&&
6+&, +& %&&
6+,
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
!
#
$
*
!"#$%&'()*%!"+
+
四季轮换!岁月安然!少年一路向阳!把烦恼丢在风里自在前行"
!" "#
VWX
!%%
%&' # VWX#
!!
!!"!# =>>e4I(下列各式中!去括号正确
的是
" ! #
!")"$%## 6)$%#
$"+#"$+&# 6+#$+#
'"+"#$+)# 6+#$%)
(". +"$%%# 6. +$%%
"!
!!"!$
n45(下列变形中!不正确的是
" ! #
!"" %"&%++3# 6" %&%++3
$"" +"&++%3# 6" +&%++3
'"" +&+"++3# 6" +&+++3
("" %&+" +++3# 6" %&%+%3
#!去括号& +#"," +.&# %" +)+%6# 60 +2" %
&-&+)+%60!
$!先去括号!再合并同类项!
"&# +)"#" +.# %/"(
解! +)##" +.$ %/"
6+/" %&. %/"
6&.!
"##)$+1.$+" &
# $+,#2(
解!)$+%.$+# &
# $+,$&
6)$+#.$+&
# $%,$
6)$+.$%&
# $+,
6#) +. %&
# $$+,
6+)
# $+,!
")#/"# +,"&+,"#"# %&
# "&#(
解!/"# +,"&+,##"# %&
# "&$
6/"# +,"&+2"# +#"&
6#/ +2$"# %# +, +#$"&
6+#"# +/"&!
",# +)"#$
# +$%# %,"$
# %$%+/#!
解! +)##$
# +$%$ %,#$
# %$%+/$
6+/$
# %)$%%,$
# %,$%+#,
6+#$
# %1$%+#,!
!%(
%!
!!"!# => {,-.(在计算7+".$
# +)$+/#
时!明明同学将括号前面的$ +% 号抄成了
$ %%号!得到的运算结果是+#$
# %)$+,!则
多项式7是
" $ #
!!+1$
# %/$%#
$!+1$
# +/$+#
'!+1$
# %/$+#
(!+1$
# +/$%#
&!若""$
# +#$%%%
## +" +"$
# %&$%%#%
## 6/$
# +
3$%%+%
#!则"!&!+的值分别是
" ! #
!!)! +1! +&
$!+)!1! +&
'!)!1! +&
(!+)! +1!&
'! L$MN 若"!&互为相反数!则"," +)&# +
")" +,&# 60-0!
(!
!!"!# 0645(有理数"!&!+在数轴上的对应
点的位置如图所示!
"&#用$ *%或$ ;%填空&
++&0 *0-!" +&0 ;0-!" %+0 *0-!
"##化简&9++&9%9" +&9%9" %+9!
解!##$ 9++&9%9" +&9%9" %+9
6++&+#" +&$ %#" %+$
6++&+" %&%" %+
6#
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
+!
$
$
*
00
0+
,-./01
! ! "
不必焦虑当下平庸!每一次坚持与付出!都在雕刻更好的自己"
!" ##
YWX
!%(
%&' # YWX#
!!下列添括号正确的是
" ! #
!"" %&6+"" +&#
$"" +&6+"" %&#
'"+" %&6+"" +&#
("+" +&6+"" +&#
"!将多项式#"&+,"# +."&%3"# 的同类项分别
结合在一起错误的是
" # #
!""#"&+."&# %" +,"# %3"##
$""#"&+."&# +","# +3"##
'""#"&+."&# %"3"# +,"##
(""#"&+."&# +","# %3"##
#!
!!"!# =>fg,45(在化简计算中!$
# +"%
# +
$%%# 6$
# %$+"00#!括号中应该填的代数
式为0%
# %%0!
$!
!" !#*'( %& 不改变多项式.")&+#"&%)"&
) +
#&
#的值!按要求添上括号&
"&#把前两项括到括号前带有$ %% 号的括号
里!后两项括到括号前带有$ +% 号的括
号里(
"## 把后三项括到括号前带有$ +% 号的括
号里(
")#把四次项括到括号前带有$ %% 号的括号
里!二次项括到括号前带有$ +% 号的括
号里!
解!#&$.")&+#"&%)"&
) +#&
# 6#.")&+#"&$ +
# +)"&
) %#&
#$!
##$ .") &+#"&%)"&
) +#&
# 6.") &+##"&+
)"&
) %#&
#$!
#)$.") &+#"&%)"&
) +#&
# 6#.") &%)"&
)$ +
##"&%#&
#$!
!%(
%!
!!"!# A0B0,45(下列去括号或添括号的变
形中!正确的是
" ! #
!"#" +")&++# 6#" +)&++
$")" %#"#&+&# 6)" %,&+&
'"" %#&+)+6" %"#&+)+#
("#+* %" +&6#+"* %" +&#
&!
!!"!# =>~5.(当$6& 时!代数式:$
) %
;$%& 的值为# -#/!则当$6+& 时!代数式
:$
) %;$%& 的值为
" ! #
!"+# -#.
$"# -#.
'"+# -#,
("+# -#)
'!
!!"!# 0645(若#+$6#!* %%6)!则"#+*# +
"$%%# 60 +&0!
(! <=>? 观察下列各式&
&%) 6& 8, %) 61!
)%" +&# 6) 8, +& 6&&!
.%, 6. 8, %, 6#,!
,%" +)# 6, 8, +) 6&)!
"&#"%&60," %&0(
"##若"$&!请判断"%&与&%" 的值是否相等!
并说明理由!
解!##$不相等!理由如下!
因为"%&6," %&"&%" 6,&%""
所以"%&+&%" 6#," %&$ +#,&%"$ 6," %
&+,&+" 6)" +)&6)#" +&$!
又因为"$&"所以)#" +&$ $-"所以"%&$
&%
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"!
%
$
*
!"#$%&'()*%!"+
+
晚风温柔!落日温柔!少年的心动与坚持!藏在岁岁年年日常里"
!" $#
D+Z[
!%(
%&'
# # \]^_]`a#
!!将多项式)"#&%&
) +#"&
# +") 按字母" 的升
幂排列正确的是
" $ #
!"&
) +#"&
# %)"#&+")
$"") %)"#&+#"&
# %&
)
'"+") +)"#&%#"&
# +&
)
("+") %)"#&+#"&
# %&
)
"!把多项式#"&
# +."#&+1 %")&
) 按字母&的降
幂排列!第三项是0 +."#&0!
%&'
! # D+0Z[93$#
#!
!!"!# =>cn,45(将式子#"#%*# +)"#+
#*#化简!结果为
" ! #
!"+#%1*
$"+#+,*
'"+#%2*
("+#%,*
$!
!!"!$ =>H,45(某中学计划在冬至来临之
前!组织七年级学生进行包饺子比赛!七"&#
班学生若每组2 人!则能分#组!且余下, 人(
若每组&# 人!则少分一组!且最后一组人数不
满!每组&# 人时!不满的那一组人数为" $ #
!"#2 +,#
$"&# +,#
'"&/ +,#
("#- +,#
%!化简&
"&#) 8# +1.$+#" &
# $+)# %#$
#2(
解!) 8# +%.$+## &
# $+)$ %#$
#&
6/ +#.$+$%/ %#$
#$
6/ +.$%$+/ +#$
#
6+#$
# +,$!
"###"#&+&
# "&#"&
# +/"#&# %)""&
# +#"#&#!
解!#"#&+&
# #&#"&
# +/"#&$ %)#"&
# +#"#&$
6#"#&+/"&
# %)"#&%)"&
# +/"#&
6#"#&%)"#&+/"#&+/"&
# %)"&
#
6+"#&+)"&
#!
%&'
$ # D+0bcJI#
&! -OP0QRS(6 下面是小彬同学进行整式化
简的过程!请认真阅读并完成相应任务!
)")$%+$
## +#"#$
# +$%#
63$%+)$
# +",$
# +#$%#000第一步
63$%+)$
# +,$
# +#$%
第二步
61$%+1$
#!
第三步
"&#"第一步化简的依据是0分配律0(
#以上化简步骤中!第0二0步开始出现
错误!这一步错误的原因是0去括号后"
括号内的第二项没有变号0!
"##请写出该整式正确的化简结果!并计算当
$6+&!%6+&
&&时!该整式的值!
解!##$)#)$%+$
#$ +###$
# +$%$
63$%+)$
# +#,$
# +#$%$
63$%+)$
# +,$
# %#$%
6+1$
# %&&$%!
当$6+&"%6+&
&&时"
原式6+1 8# +&$ # %&& 8# +&$ 8# +&
&&$ 6
+1 %& 6+/!
'!先化简!再求值&
"&#
!" !&"'$+%,%&
#$%+) " $
#%+$%
# # %
#"$
#%+$%
# +$%#!其中$为最小的正整
数!%为最大的负整数(
解!#$%+)#$
#%+$%
#$ %##$
#%+$%
# +$%$
6#$%+)$
#%%)$%
# %#$
#%+#$%
# +#$%
6$%
# +$
#%!
由题意"得$6&"%6+&"
则原式6& 8# +&$ # +&# 8# +&$ 6& %& 6#!
"##!!"!$ 2 : 4 I( )"&
# +1."# &%# " "&
# +
&
# # %"&
#2 %/"# &!其中9#" %& 9%",&+
## # 6-!
解!由9#" %& 9%#,&+#$ # 6-"
得#" %& 6-",&+# 6-"
解得" 6+&
# "&6&
# !
)"&
# +%."#&%##"&
# +&
# $ %"&
#& %/"#&
6)"&
# +#."#&%#"&
# +& %"&
#$ %/"#&
6)"&
# +#."#&%)"&
# +&$ %/"#&
6)"&
# +."#&+)"&
# %& %/"#&
6"#&%&"
当" 6+&
# "&6&
# 时"
原式6# +&
# $ # 8&
# %& 63
2
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
!
&
$
*
00
0+
,-./01
! ! "
成长一半烟火一半理想!一边认真读书!一边热爱世间所有温柔"
!%)
(!
!!"!# 4I(若.6#$
# %$%&!/6$
# %$!则
.!/的大小关系是
" $ #
!".*/
$".;/
'".6/
("不能确定
)!
!!"!# =>~5.(若.!/都是四次多项式!
则.%/一定是
" # #
!"八次多项式
$"次数不低于, 的多项式
'"四次多项式
("次数不高于, 的多项式或单项式
!*!
!!"!# 0645(代数式#"$
#%%$%
## +#"$
#%+
$# +#$%
# %#$的值
" $ #
!"由$的取值确定
$"由%的取值确定
'"由$!%的取值共同确定
("与$!%的取值都无关
!!!
!!"!# ¡¢£¤,4I(如图!两个面积分别为/!
&) 的图形叠放在一起!两个阴影部分的面积
分别为"!&"" ;&#!则#"" +&# # +"&+"# # %
#""# +"# +#""# +&#的值为0/)0!
!"!
!!"!$ =>cn,45(已知一个三角形院墙!第
一条边长为"." %#&#米!第二条边比第一条边
长"" +&#米!第三条边比第二条边短#" 米!
"&#第二条边长为0#/" %&$0米!第三条边
长为0#," %&$0米!" 用含有"!&的式
子表示#
"##当" 6#!&6& 时!这个三角形的周长是多
少米.
")#在"## 的条件下!围成院墙的材料#- 米
以内收费每米&2- 元!超过#- 米的部分
每米收费&.- 元!请问围成这个三角形的
院墙至少要花费多少钱.
解!##$这个三角形的周长为
#." %#&$ %#/" %&$ %#," %&$
6." %#&%/" %&%," %&
6&." %,&"
当" 6#"&6& 时"原式6&. 8# %, 8& 6)- %
, 6),"
即这个三角形的周长是), 米!
#)$因为), *#-"所以围成这个三角形的院
墙至少要花费#- 8&2- %#), +#-$ 8&.- 6
) /-- %# &-- 6. 1--#元$!
!#! TUVW !!"!# C¥45(在如图所示的数轴
"缺原点# 上.点表示数"!/点表示数&!1
点表示数+!&是最小的正整数!且"!+满足
9" %# 9%"++1# # 6-!
"&#" 60 +#0!&60&0!+6010!
"##点.! /! 1开始在数轴上运动!若点.以
每秒& 个单位长度的速度向左运动!同
时!点/和点1分别以每秒# 个单位长
度和每秒, 个单位长度的速度向右运
动!设0秒过后!点.与点/之间的距离
表示为./!点.与点1之间的距离表示
为.1!点/与点1之间的距离表示为
/1!则./60)0%)0!.160.0%30!
/160#0%/0!"用含0的代数式表示#
追问!)/1+#./的值是否随着时间0的变化
而改变. 若改变!请说明理由(若不变!请求
其值!
解!追问0不变!
)/1+#./6)##0%/$ +##)0%)$ 6/0%&2 +
/0+/ 6&#
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
!
'
$
*
!"#$%&'()*%!"+
+
跨越题海与迷茫!坚守初心与向往!少年的征途永远星辰大海"
!%)
EFGH
,-401;<
已知.6#$
) %)"$+%!/6&$
) +)$%#%+&""!&
为常数#!
"&#求.+#/(
解!.+#/6##$
) %)"$+%$ +##&$
) +)$%
#%+&$
6#$
) %)"$+%+#&$
) %/$+,%%#
6## +#&$$
) %#)" %/$$+.%%#!
"##若.+#/的结果不含三次项!求&的值(
解!因为.+#/的结果不含三次项"
所以# +#&6-"所以&6&!
")#若.+#/的值与$的值无关!求"" +&# +
"#" %&#的值(
解!因为.+#/的值与$的值无关"
所以# +#&6- 且)" %/ 6-"所以&6&"" 6+#"
所以#" +&$ +##" %&$ 6" +&+#" +&6
+" +#&6+# +#$ +# 8& 6-!
",#若" 6+&
) !&6# 且9$%# 9%"%+&# # 6-!
求.+#/的值!
解!因为" 6+&
) "&6#"
所以.+#/6## +#&$$
) %#)" %/$$+.%%
# 6+#$
) %.$+.%%#!
因为9$%#9%#%+&$# 6-"所以$6+#"%6&"
所以.+#/6+# 8# +#$ ) %. 8# +#$ +
. 8& %# 6)
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
!
!%,
)def
,=>?@,-./01"4AB
!!若" %&6.!求"" %&# # +,"" %&#的值!
解!因为" %&6."
所以#" %&$ # +,#" %&$ 6.# +, 8. 6.!
"!已知.6)$
# +)$%#%+,$%!/6/$
# +1$%
)%%$%!当$%%6.!$%6+& 时!求#.+/
的值!
解!因为.6)$
# +)$%#%+,$%"/6/$
# +
1$%)%%$%"
所以#.+/6##)$
# +)$%#%+,$%$ +#/$
# +
1$%)%%$%$ 6/$
# +/$%,%+2$%+/$
# %
1$+)%+$%6$%%+3$%!
当$%%6."$%6 +& 时"#.+/6$%%+
3$%6. +3 8# +&$ 6. %3 6&,!
#!有这样的一道题$如果代数式." %)&的值为
+,!那么代数式#"" %&# %,"#" %&# 的值
是多少.%爱动脑筋的小李同学这样来解&原
式6#" %#&%2" %,&6&-" %/&!我们把." %
)&看成一个整体!把式子." %)&6+, 的两
边都乘# 得&-" %/&6+2!仿照上面的解题
方法!完成下面问题&
)简单应用*
"&#已知"# %" 6)!则"# %" +2 60 +.0(
"##已知" +&6+#!求)"" +&# +" %&%3
的值(
)拓展提高*
")#已知"# %#"&6+.!"&+#&
# 6+)!求代
数式#"# %)"&%#&
#的值!
解!##$)#" +&$ +" %&%3
6)#" +&$ +#" +&$ %3
6##" +&$ %3"
当" +&6+# 时"
原式6+# 8# %3 6+, %3 6.!
#)$#"# %)"&%#&
#
6#"# %,"&%#&
# +"&
6##"# %,"&$ +#"&+#&
#$
6##"# %#"&$ +#"&+#&
#$"
当"# %#"&6+.""&+#&
# 6+) 时"
原式6# 8# +.$ +# +)$ 6+&- %) 6+1
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
!
(
$
*
00
0+
,-./01
! ! "
珍惜当下的时光!珍惜同窗相伴!青春短暂!岁岁皆是珍贵"
!
#567!
.8,-!
!%,
!! -./0X'BC !!"!$ =>45(一个三位数!百
位上的数字为"!十位上的数字为&!个位上的
数字为+!这个三位数可以用代数式表示为
&--" %&-&%+!接下来我们探究能被3 整除的
三位数的特征!
)举例说明*"&# 请写出两个能被3 整除的三
位数&03#10!0)/3 #答案不唯一$0!
)一般探究* "## 由特例!提出猜想&如果" %
&%+能被3 整除!那么这个三位数就能被
3 整除!请在下列括号内填空!补全下面的
推理过程&
&--" %&-&%+633" %" %3&%&%+
6" %&%+%"033" %3&0#
6" %&%+%3 #&&" %&$"!
因为" %&%+能被3 整除!并且"式是3
的倍数!也能被3 整除!所以它们的和一定
能被3 整除!因此猜想成立!
)类比推广*")# 继续探索能被3 整除的多位
数的特征!写出你发现的规律!"不需要说
明理由#
解!#)$规律!一个多位数"如果各个数位上的
数字之和能被3 整除"那么这个多位数一定能
被3 整除!
"! -./0X'BC !!"!# 3E¦6,4I( 下面是馨
馨同学的数学笔记!请仔细阅读并完成相应的
任务!
一定能整除吗+
%发现问题&
#&$任意写一个两位数'
##$交换这个两位数的十位数字和个位数字!
又得到一个新的两位数'
#)$这个新的两位数与原来两位数的和一定
能被&& 整除!
%数学思考&
举例(例"&, %,& 6..!.. 7&& 6.'例##. %
.# 611!11 7&& 61'例$0000000!
/问题解决0
设一个两位数的十位上的数字是"!个位上的
数字是&!
则原数与新数的和为"&-" %&# %"&-&%"# 6
&&" %&&&6&&"" %&#!
所以这个两位数与得到的新数的和能被&&
整除!
任务&
"&# 仿照例子!将/数学思考0 中例$补充完
整&0,2 %2, 6&)#"&)# 7&& 6&##答案不
唯一$0!
"##一个三位数!它的百位数字为"!十位数字
为&!个位数字为+!若把它的百位数字与
个位数字对调!将得到一个新的三位数!
计算原数与新数的差!这个差能被&& 整除
吗. 为什么.
解!##$这个三位数与得到的新数的差能被&&
整除!理由如下!
一个三位数的百位数字为""十位数字为&"个
位数字为+"
所以这个三位数可表示为&--" %&-&%+"
把这个三位数的百位数字与个位数字对调"
将得到一个新的三位数"为&--+%&-&%""
所以原数与新数的差为
#&--" %&-&%+$ +#&--+%&-&%"$
6&--" %&-&%++&--++&-&+"
633" +33+
6&" +3+$"
所以这个三位数与得到的新数的差能被&&
整除
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
!
)
$
*
!"#$%&'()*%!"+
+
生活有低谷也有暖阳!放平心态!稳步前行!万事皆有圆满结局"
!
() !!
2$+9:;<!
!%,
01
# # gh4iJI#
!!
!!"!# =>fg,4I(先化简!再求值&,$%+#" )
# $
# +
)$%%#%
## %)"$
# +#$%#!其中$6)!%6+&
# !
解!,$%+## )
# $
# +)$%%#%
#$ %)#$
# +#$%$
6,$%+)$
# %/$%+,%
# %)$
# +/$%
6,$%+,%
#"
当$6)"%6+&
# 时"
原式6, 8) 8# +&
# $ +, 8# +&
# $
#
6+/ +
& 6+1!
"!
!!"!# s[4I(已知.6$
) %#$+&!/6#$
) +
$%%#!
"&#当$6&!%6+) 时!求/的值(
"##用含$!%的代数式表示,.+#/(
")#若,.+#/的值与$无关!求%的值!
解!#&$当$6&"%6+) 时"
/6#$
) +$%%# 6# 8&) +& 8# +)$ %# 6# %
) %# 61!
##$,.+#/
6,#$
) %#$+&$ +###$
) +$%%#$
6,$
) %2$+, +,$
) %#$%+,
62$%#$%+2!
#)$,.+#/62$%#$%+2 6#2 %#%$$+2!
因为,.+#/的值与$无关"
所以2 %#%6-"所以%6+,!
01
! # jklmnopq4iJI#
#!
!!"!# =>fg,4I(先化简!再求值&# " "# %
#"&# +)")"&+"## +/"#!其中9" 96&! 9&96
&
# !且" ;&!
解!##"# %#"&$ +)#)"&+"#$ +/"#
6#"# %,"&+3"&%)"# +/"#
6+"# +."&!
因为9"96&"9&96&
# "所以" 6<&"&6<&
# "
又因为" ;&"所以" 6+&"&6<&
# !
所以当" 6+&"&6&
# 时"
原式6+"# +."&6+# +& $ # +. 8# +&$ 8
&
#
6+& %.
#
6)
# (
当" 6+&"&6+&
# 时"
原式6+"# +."&6+# +& $ # +. 8# +&$ 8
# +&
# $ 6+& +.
# 6+1
# !
$!
!!"!# §¨©,4I(我们定义&对于数对" "!
&#!若" %&6"&!则称""!&#为$和积等数对%!
如&因为# %# 6# 8#! +) %)
, 6+) 8)
, !所以
"#!##!" +)!)
, #都是$和积等数对%!
"&# 下列数对中! 是$ 和积等数对% 的是
0"$0("填序号#
"")!&!.#(#" )
, !&#($" +&
# !&
) #!
"##若"#!*#是$和积等数对%!求代数式,1#* %
#+# " #* +)#2 +# ")## +#*# %/##
的值!
解!##$ , % #* %#+# # #* +)$& +# #)## +
#*$ %/##
6,#* %,#+2##* +)$ +/## %,* %/##
6,#* %,#+2#* %#, +/## %,* %/##
6+,#* %,#%,* %#,"
因为# #" *$ 是, 和积等数对-" 所以# %
* 6#*"
所以原式6+,#* %,##%*$ %#,
6+,#* %,#* %#,
6#,
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
!
*
%
*
00
0+
,-./01
! ! "
以渺小启程!以努力收官!青涩少年!终会在时光里悄然绽放"
0
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
!
=>?@(A!
!%$
用一根绳子围成一个长" 5!宽&5的长方形!
)基础设问*
"&#下列说法可以用#"" %&#表示的是" ! #
!"" 的# 倍与&的和
$"" 与&的# 倍的和
'"" 与&的和的# 倍
("# 与" 的乘积与&的和
"##写出一个与+#"&是同类项的单项式&0"&#答
案不唯一$0!
")#多项式+#""# +#"&%&
## 去括号后的结果
是0 +#"# %,"&+#&
#0!这个结果是0二0
次0三0项式!这个结果按字母&的降幂排
列是0 +#&
# %,"&+#"#0!
",#在围成的长方形中!分别以它的两个顶点为
圆心!&5为半径作两个不重叠的四分之一
圆!如图所示!
"用代数式表示阴影部分的面积(
#当" 6&-!&6, 时!求阴影部分的面积!
"结果保留!#
解!#,$ "题图中阴影部分的面积为#"&+
&
# !&
#$5#!
#当" 6&-"&6, 时"
阴影部分的面积为"&+&
# !&
# 6# ,- +
2!$5#!
)能力设问*
".#若有理数"!&在数轴上的位置如图所示!且+
为最大的负整数!化简&9" +&9+#9&+" %+9%
#9&++960" %&%,0!
"/#若" 6&!则用绳子围成的是正方形!下列图
形都是由同样大小的正方形按一定规律组成
的!其中第"个图形中一共有. 个正方形!第
#个图形中一共有&# 个正方形!第$个图形
中一共有#& 个正方形''按此规律排列!则
第)个图形中正方形的个数为03/0!
)拓展设问*
"1#若"!&!#组成一个三位数"&#!阅读下列材
料!判断三位数"&#能否被1 整除!
割尾法&三位数"&#割掉末位数字#得两位数
"&!再用"&减去#的# 倍所得的差为"&+##!若
"&+##是1 的倍数!则"&#能被1 整除!
举例&对于三位数)/,!割掉末位数字, 得)/!
)/ +, 8# 6#2!因为#2 是1 的倍数!所以)/, 能
被1 整除!
/类比解决0尝试用$割尾法%判断,.. 能否
被1 整除!
/推理验证0已知三位数"&#!
"请用含"!&!#的代数式表示$割尾法%后
所得的差"&+##(
#现在对材料中的判断方法$若"&+##是
1 的倍数!则"&#能被1 整除% 进行验证!下
面是思路分析!
分析&要说明"&#能被1 整除!需把"&#表示
成1 的倍数!已知"&--" %&-&%#6
&-"&-" %&# %#"=#!因为"&+##是1 的倍
数!所以可设"&+##6"中的代数式618
"8为整数#"==#!只需把"==#式变形代入"=#
式即可!
请根据上述分析写出推理过程!
解!#1$)类比解决*能!理由如下!
对于三位数,.." 割掉末位数字. 得,."
,. +. 8# 6).!因为). 是1 的倍数"所以
,.. 能被1 整除!
)推理验证* "因为"&6&-" %&"所以"&+
##6&-" %&+##!
#设"&+##6&-" %&+##618"所以&-" %
&618%##"
所以"&--" %&-&%#6&-#&-" %&$ %
#6&-#18%##$ %#61-8%#=#&-8%
)#$"
所以"&#能被1 整除
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
!
!
%
*
!"#$%&'()*%!"+
+
课间的喧闹!午后的暖阳!普通的校园时光!拼凑完整的青春"
!%$
!!
!!"!% ª[5.(计算#" %)" 的结果正确的是
" $ #
!"."
$"/"
'"."#
("/"#
"!
!!"!% 905.(下列对代数式+)$的意义表述
正确的是
" ! #
!"+) 与$的和
$"+) 与$的差
'"+) 与$的积
("+) 与$的商
#!
!!"!$ n5.(观察下列单项式& +$%!$
# %
)!
+$
)%
.!$
,%
1!'!探究发现其中规律!你认为从
左到右第&. 个单项式是
" " #
!"+$
&.%
#1 0$"+$
&.%
#3 0'"$
&)%
#1
("$
&)%
#3
$! -./0X'BC !!"!' «¬5.(在月历上!某些
数满足一定的规律!如图是某年2 月份的月
历!任意选择其中所示的含, 个数的方框部
分!设右上角的数为"!则下列叙述中正确的
是
" # #
日
一
二
三
四
五
六
&
#
)
,
.
/
1
2
3
&-
&&
&#
&)
&,
&.
&/
&1
&2
&3
#-
#&
##
#)
#,
#.
#/
#1
#2
#3
)-
)&
!!左上角的数为" %&
$!左下角的数为" %1
'!右下角的数为" %2
(!方框中, 个位置的数相加!结果是, 的倍数
%! -./089:; !!"!$ ¡¢5.(请写出单项式
"#&的一个同类项&0&&"#&#答案不唯一$0!
&!
!!"!$ H/5.(近年来!我省依托乡村>镇建
设!打造农村电商新产业!提高了农民收入!某
农户通过网上销售传统手工艺品布老虎!利
润由原来的每个#- 元增加到2- 元!该农户通
过网上售出" 个布老虎!则他的利润增加了
0/-"0元"用含" 的代数式表示#!
'!
!!"!' 05.®¯(/观察思考0
/规律发现0
请用含* 的式子填空&
"&#第* 个图案中$'%的个数为0)*0(
"##第& 个图案中$(%的个数可表示为& 8#
#
!
第# 个图案中$(%的个数可表示为# 8)
#
!
第) 个图案中$(%的个数可表示为) 8,
#
!
第, 个图案中$(%的个数可表示为, 8.
# ''
第* 个图案中$ (% 的个数可表示为
0*#* %&$
#
0!
(!
!!"!$ °±5.(定义&若一个三位数的十位数字
减去个位数字的差恰好等于百位数字!则这个
三位数叫做$极差数%!例如!三位数#)&!因为
) +& 6#!所以它是$极差数%!
/理解定义0
三位数#/. 是否为$极差数%. 0不是0!"填
$是%或$不是%#
/建模推理0
"&#设一个$极差数%的百位-十位-个位数字分
别为"!&!+!则" 与&!+的关系式为0&+
+6"0!
"##任意一个$极差数%都能被&& 整除吗. 为
什么.
解!##$设一个,极差数-为"&+#""&"+为正整数$"
所以&++6""&6" %+"
所以"&+6&--" %&-&%+
6&--" %&-#" %+$ %+
6&--" %&-" %&-+%+
6&&-" %&&+
6&&#&-" %+$"
因为""&"+为正整数"所以&-" %+为正整数"
所以&&#&-" %+$能被&& 整除"
即任意一个,极差数-都能被&& 整除
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
!
"
%
*
00
0+
,-./01
! ! "
不卑不亢!安静努力!在自己的节奏里!慢慢发光!慢慢成长"
!%$
!!"!# ²h³´,4I(综合与实践&探究规律可以从简单情形入手!
/温故知新0小明在学习)鸡蛋饼的分割*后!先复习巩固相关知识!然后整理成如下笔记&
"&#抽象数学问题&* 条直线最多可以将平面分割成几个区域.
"如图&!画图探究!数据整理!并补全表格&
分割线条数*
&
#
)
,
.
'
区域个数.*
#
,
1
&&
&/
'
#结论&.* 60& %*#* %&$
#
0!"用含* 的代数式表示#
/探究新知0复习巩固相关知识后!小明又探究了新问题&* 个圆最多可以将平面分割成几个
区域.
"##类比探究&
"如图#!画图探究!数据整理!并补全表格&
圆的个数*
&
#
)
,
'
区域个数.*
#
,
2
&,
'
#探究&.*与* 之间的关系式为0.* 6# %*#* +&$0!
/实践应用0
")#七年级& 班有,, 名同学!在元旦晚会上!班级买了一个长方体大蛋糕!小明给大家提了这样
一个问题&谁能用最少的刀数分蛋糕"大小不限!只能竖直或平行于蛋糕面切#!使每位同学
都能分到一块. 写出你的分割方案!并简要说明!
解!##$"第) 个图如图所示!
#)$分割方案! 先竖直于蛋糕面切, 刀"再平行于蛋糕面切) 刀!理由!将一个长方体蛋糕竖直方
向切, 刀最多可切割成&& 块"然后平行蛋糕面的水平方向切) 刀得, 层蛋糕"每层有&& 块"所
以共切成蛋糕有&& 8, 6,,#块$"使每位同学都能分到一块!#或先竖直于蛋糕面切/ 刀"再平行
于蛋糕面切& 刀!理由略$
Y)Z[ %
#
%
*
!"#$%&'()*%!"+
+
岁月无声!成长有序!那些熬过的辛苦!都会化作未来的底气"
!
!"#!
"#!
!" !#
$%
!"#
$%&
# # $%&'(#
!!
!!"!# "#$%&'()下列各式中!属于方程的
是
" ! #
!"# $" %&# '(
)"*"$(
+"*"%& ,-
."*"%& '/
$%&
$ # $%&)#
"!
!!"!$ "#'()下列方程中!以"'( 为解的方
程是
" " #
!"#"%( '("$&
)""
* '("
+"*""$(# '#""$&# %*
.""$# '("*"%&#
#!
!!"!$ "#$%&'()关于"的方程#"$$$& '
- 的一个解是"'&!则* -*0 %# %$' " # #
!"* -*1
)"* -*0
+"* -*/
."* -*#
$%&
! # *$%#
$!
!!"!# *+,-&'.)观察图形!根据图中包含
的等量关系!下列方程不正确的是
" ! #
!""$#2 '*3 $*"
)"*3 $*"%"'#2
+"#2 %*"'*3 %"
."*3 $"$*"'#2
%!
!!"!# /0(1)学校准备添置一批课桌椅!原订
购0- 套!每套&-- 元!店方表示$如果多购!可
以优惠!结果校方购了1* 套!每套减价( 元!
但商店获得同样多的利润!求每套课桌椅的成
本!设每套课桌椅的成本为"元!则可列方程
为
" " #
!"1*"&-- %"# '0-"&-- $( %"#
)"0-"&-- %"# '1*"&-- %( %"#
+"0-"&-- $"# '1*"&-- %( $"#
."&-- %"
0-
'&-- %( %"
1*
&!
!!"!$ 2341)若单项式(#%
"$* 与%1#%
*"%& 是
同类项!可以得到关于"的方程为4"$* '
*"%&4!
'! !"#$%&'( !!"!# 56(1)%孙子算经&中记
载了这样一道题$今有三人共车!二车空'二人
共车!九人步!问车几何( 其译文为$有若干人
乘车!若每( 人同乘一车!最终剩余* 辆空车'
若每* 人同乘一车!最终剩下3 人因无车可乘
而步行!问有多少辆车( 为解决此问题!设共有
"辆车!可列方程为4(!"%*" '*"$34!
(!根据题意!设未知数并列出方程!
"&#小聪对小明说$)我是0 月份出生的!我的
年龄的* 倍加上&-!正好是我出生的那个
月的总天数!你猜我几岁(*
"*#已知两个正方形!大正方形的边长比小正
方形的边长多/!大正方形的面积比小正
方形的面积多(-!求这两个正方形的边长
各是多少!
解#!&"设小聪"岁!0 月份的总天数为(-$根
据%小聪的年龄的* 倍加上&-$等于(-&$列得
方程*"$&- '(-!
!*"设小正方形的边长为"$则大正方形的边
长为"$/!
根据%大正方形的面积比小正方形的面积多
(-& $列得方程!"$/" * %"
* '(-
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
$
%
)
!
" ! #
$%&'(&')
心有暖阳!何惧风霜!少年满怀希望!便会所向之处皆是晴朗"
!" "#
+,&-./0
!"#
$%&
# # +,&-./0#
!!
!!"!$ 789:;&'.)在匀速直线运动中!物体
的路程&+速度'+时间(之间的关系为('&
'!
变形可得'('&!那么其变形的依据是" " #
!"等式的基本性质&
)"等式的基本性质*
+"等式的基本性质(
."等式的基本性质#
"!
!!"!$ "#<,=('.)已知# '$!下列等式不一
定成立的是
" " #
!"# $& '$$&
)"*# '$$*
+"*# '*$
."# %$'-
#!
!!"!$ >?@A&'.)已知# $# '$$/!下列判
断正确的是
" $ #
!"# ,$
)"# '$
+"# 5$
."无法判断
$! )* !$% +,-. !!"!$ 789BC&'.)设)
*
)
*)
*分别表示三种不同的物体!它们的质
量分别为#!$!%!现用天平称了两次!情况如图
& 所示"天平均平衡#!并由此得到如图* 的结
论!这一过程反映的代数基本事实用含字母#!
$!%的式子可表示为若# '$$$'%$则# '%4!
图&444444 444图*
%!
!!"!$ DE'.)已知/# $2$'($$&-!利用等式
的基本性质求# $$的值!
解#/# $2$'($$&-$
等式的两边同时减去($$
即/# $2$%($'($%($$&-$
得/# $/$'&-$
等式的两边同时除以/$
得# $$'*!
$%&
$ # 12+,&-./0)34$%#
&!
!!"!% FG(1)若代数式"%( 的值为/!则"等
于
" # #
!"2
)"%2
+"*
."%*
'!
!!"!# 23'.)下列方程的变形中!正确的是
" $ #
!("$0 '-!变形为"$* '-'
""$1 '/ %("!变形为#"'%*'
# %* '#"!变形为"'%*'
$*"
/ '(!变形为*"'&/!
!"!$
)""#
+"!"$
."!"#
(!利用等式的基本性质解下列方程并检验$
"&#/ %"'%*'
解#两边都减/$得%"'%1$
两边都除以%&$得"'1!
检验#把"'1 代入原方程$得左边'%*$
左边'右边$所以"'1 是原方程的解!
"*#("%-!0 '%(!& %*"'
解#两边都加上*"$-!0$得/"'%*!/$
两边都除以/$得"'%-!/!
检验#把"'%-!/ 代入原方程$得左边'%*!&$
右边'%*!&$左边'右边$所以"'%-!/ 是原
方程的解!
"(# %(
* "$( '%&-'
解#两边都减去($得%(
* "'%&- %($
即%(
* "'%&(!
两边都除以%(
* $得"'*0
( !
检验#把"'*0
( 代入原方程$得左边'%(
* 6
*0
( $( '%&-$右边'%&-$左边'右边$
所以"'*0
( 是原方程的解!
"## &
* )'&
/ )%&!
解#两边都减去&
/ )$得(
&-)'%&!
两边都除以(
&-$得)'%&-
( !
检验#把)'%&-
( 代入原方程$得左边'&
* 6
! %&-
( " '%/
( $右边'&
/ 6! %&-
( " %& '%/
( $
左边'右边$
所以)'%&-
( 是原方程的解
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
%
%
)
!"#$%&'()*%!"+
+
褪去年少的浮躁!学会安静沉淀!在平淡日子里积攒温柔与力量"
!"&
*!
!!"!$ "#H?&'.)已知#"'#*!下列等式变
形不一定成立的是
" " #
!"$$#"'$$#*
)""'*
+""%#"'"%#*
." #"
#* $& ' #*
#* $&
!)!
!!"!# 23'()设) "* ) #* ) $* 分别表示三
种不同物体!如图!前两架天平保持平衡!如
果要第( 架天平也平衡!那么)(* 处应放
)#*的个数为
" ! #
!"*
)"(
+"#
."/
!!!
!!"!# "#IF&JK)若#!$!%为互不相等的实
数!且#
/ # $&
/ %'$!则下列结论正确的是
" ! #
!"# %%'#"$%##
)"# %$'/"# %%#
+"# %$'#"$%%#
."# %%'/"# %$#
-.
!"#$/%01
若等式)'+ 可以变
形为%&
( )$# '%&
( + %$!则下列结论一定
成立的是
" $ #
!"# '$
)"#!$互为倒数
+"# $$'-
."7#7'%7$7
!"!
!!"!$ "#H?&'()整式)"$+ 的值随"的
取值不同而不同!如表是当"取不同值时对
应的整式的值$
"
%*
%&
-
&
*
)"$+
%&*
%2
%#
-
#
则关于"的方程%)"%+ '2 的解为"'%&4!
!#! !23$456&7 !!"!$ L2LM&'()在利用
等式的基本性质解方程("%( '*"%( 时!小
华同学是这样解的$
解$方程两边同时加上(!得("%( $( '*"%
( $(!!
化简!得("'*"!
方程两边同时除以"!得( '*!"
所以此方程无解!
"&#上述过程中!第!步的依据是4等式的
基本性质&4!
"*#请分析小华第"步产生错误的原因$
4方程("'*"两边同时除以"$但"可能
为-$而- 不能作为除数4!
"(#写出正确的解题过程!
解#!("("%( '*"%($
方程两边同时加上($得("'*"$
方程两边同时减去*"$得("%*"'-$
所以"'-!
!$! !89 !!"!# 23KN) *-*0 年# 月*# 日是
第十一个)中国航天日*!今年主题为)七秩
问天路!携手探九霄*!某校以此来激励同学
们积极参加学校飞行社团的航空航天知识学
习!截止到# 月底!参加)固定翼* 社团的人
数比去年同期增加#-,!参加)旋翼*社团的
人数比去年同期增加&/,!设去年# 月底参
加)固定翼*社团学习的有# 人!参加)旋翼*
社团学习的有$人!
"&#今年参加)固定翼*和)旋翼*社团的总人
数为4&!## $&!&/$4'"用含#!$的代
数式表示#
"*#若今年参加)固定翼*和)旋翼*社团的总
人数比去年增加(-,!求#
$的值!
解#! * " 由题意得&!## $&!&/$'! & $
(-,"!# $$"$
&!## $&!&/$'&!(# $&!($$
等式两边同时减去!&!(# $&!&/$"$
得-!&# '-!&/$$
等式两边同时除以-!&$$得#
$'(
*
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
&
%
)
44
4+
,-./0./1
! ! "
书本丈量远方!脚步奔赴理想!年少的努力!是最珍贵的行囊"
!
!" $!
'(')"#*+,-!
!" !#
1256789:);<;=$%
!"&
$%&
# # ;<;=$%&'(#
!!
!!"!$ LO'.)下列方程中!是一元一次方程的
是
" " #
!""$**'#
)"("$/ '&
+""
* %#"'&
."*
"'0
"!
!!"!$ :P'.)若")%&#"7)7$/ '- 是关于"
的一元一次方程!则)的值为4 %&4!
$%&
$ # 56#
#!下列解方程的过程中!移项错误的是
" # #
!!方程*"$0 '%( 变形为*"'%( $0
)!方程*"%0 '%( 变形为*"'%( $0
+!方程("'# %"变形为("$"'#
.!方程("'# $"变形为("%"'#
$%&
! # 1256);<;=$%#
$!方程("'*"$1 的解是
" $ #
!""'#
)""'%#
+""'1
.""'%1
%!
!!"!$ Q?'.)若多项式# $/ 与*# %2 互为相
反数!则# 的值为
" $ #
!"%&
)"-
+"&
."*
&!解下列方程$
"�"$* '/"%1'4"*#& %*
/ "'( $2
/ "!
解#!&"移项$得0"%/"'%1 %*!
合并同类项$得"'%3!
!*"移项$得%*
/ "%2
/ "'( %&!
合并同类项$得%*"'*!
两边同除以%*$得"'%&!
$%&
% # 1289:);<;=$%#
'!
!!"!$ RFS%&'.)解方程("%*""%(# '/
时!去括号正确的是
" ! #
!!("%*"%( '/
)!("%*"%0 '/
+!("%*"$( '/
.!("%*"$0 '/
(!
!23$456&7
)* !$$'" -.
解方程
#""%&# %"'/""$&
* # 的步骤如下$!去括
号!得#"%& %"'/"$&
* '"移项!得#"%"%
/"'&
* $&'#合并同类项!得%*"'(
* '$两
边同除以%*!得"'%(
# !经检验!"'%(
# 不
是原方程的解!说明解题过程有错误!其中开
始出错的步骤是
" # #
!"!
)""
+"#
."$
*!
!!"!# "#TUV('()若式子*""%*# 与式子
("#"%&# $3 的值相等!则"的值为
" " #
!"&
)"%&
+"-
."*
!)!解下列方程$
"&#/"**$&# '2*%1'
解#去括号$得&-*$/ '2*%1!
移项$得&-*%2*'%1 %/!
合并同类项$得**'%&*!
两边同除以*$得*'%0!
"*#*"%#""%/# '( %/"!
解#去括号$得*"%#"$*- '( %/"!
移项$得*"%#"$/"'( %*-!
合并同类项$得("'%&1!
两边同除以($得"'%&1
(
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
'
%
)
!"#$%&'()*%!"+
+
雾会散!路会亮!所有迷茫终会消散!少年自有属于自己的荣光"
!"$
!!!
!!"!# WX'()若方程*"$& '%& 的解也是
关于"的方程& %*""%## '* 的解!则# 的
值为
" ! #
!"%&
)"&
+"%(
*
."%&
*
!"!
!!"!$ LO'()小文同学晚上写数学作业!在
解方程) %/"$& '*"%#*时!将) %/"*中的
负号抄漏了!解出"'*!则方程正确的解为
" ! #
!!"'2
1
)!"'1
2
+!"'%1
0 44
.!"'%0
1
!#!
!!"!$ OYZ3&'.)如图!表示( 6( 的数表!数
表每个位置所对应的数都是& 或* 或(!定义
#%$为数表中第# 行第$列的数!例如!数表
第( 行第& 列所对应的数是*!所以(%& '*!
若*%& '"*"$&#%*!则"的值为
" $ #
!"- 或*
)"& 或*
+"& 或-
."& 或(
!$!
!!"!# 2341)按下面图示的程序计算!若开
始输入"的值为正数!最后输出的结果为&(!
则满足条件的"的值为4(
# 或/
* 或04!
!%! :;<= 解方程$-!*"*"%&# %-!&"("$
&# '-!#!
解#
方程两边都乘&-$得*!*"%&" %
!("$&" '#!
去括号$得#"%* %("%& '#!
移项$得#"%("'# $* $&!
合并同类项$得"'1!
去括号$得-!#"%-!* %-!("%-!& '
-!#!
移项$得-!#"%-!("'-!# $-!* $-!&!
合并同类项$得-!&"'-!1!
两边同除以-!&$得"'1!
!&!
!!"!$ [X41)一题多解是培养我们发散思维
的重要方法!方程)0"#"%(# $*"( %#"# '
("#"%(# $/*可以有多种不同的解法!观察
此方程!假设#"%( '*!
"&# 原方程可变形为关于*的方程$40*%
**'(*$/4!通过先求*的值!从而可得
"'4*4'
"*#利用上述方法解方程$&2""%&# %*""%
&# '&*""%&# %(""$&#!
解#!*"设"%& '*$则原方程可变形为&2*%
**'&**%(!*$*"!
去括号$得&2*%**'&**%(*%0!
移项'合并同类项$得1*'%0!
两边同除以1$得*'%0
1 !
所以"%& '%0
1 $解得"'&
1 !
!'! 01>? 观察下列两个等式$* %&
( '
* 6&
( $&!/ %*
( '/ 6*
( $&8给出定
义$我们称使等式# %$'#$$& 成立的一对有理
数#!$为)共生有理数对*!记为"#!$#8如数对
"*!&
( #!"/!*
( #都是)共生有理数对*!
"&#数对" %*!&#!"(! &
* # 中是)共生有理数
对*的是4!($&
* "4'
"*# 若" #!(# 是) 共生有理数对*! 则# 的
值为4 %*4'
"(# 若# 是)共生有理数对* 中的一个有理
数!求这个)共生有理数对*!
解#!(" 设另一个有理数为"$分两种情况
讨论#
!当%共生有理数对& 是!"$#" 时$则有"%
# '#"$&$移项'合并同类项$得%("'/$
两边同除以%($得"'%/
( $
所以%共生有理数对&是! %/
( $#"(
"当%共生有理数对& 是!#$"" 时$则有# %
"'#"$&$移项'合并同类项$得%/"'%($
两边同除以%/$得"'(
/ $
所以%共生有理数对&是!#$(
/ "!
综上$所求% 共生有理数对& 为! %/
( $#" 或
!#$(
/ "
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
(
%
)
44
4+
,-./0./1
! ! "
温柔对待生活!认真对待学业!平凡的日常!也藏着无限温柔"
!" "#
128>?);<;=$%
!"$
$%&
# # )@>?&;<;=$%#
!!
!!"!# WX'()方程&
( "$&
0 '&
# 的解是
" # #
!""'&
# 44
)""'%&
# 44
+""'#44
.""'%#
"!将方程*"%&
/
%"%&
(
'& 去分母!得0"%( %
/"%/ '&/!错在
" $ #
!"分母的最小公倍数找错
)"去分母时!漏乘某项出错
+"去分母时!分子部分没有加括号
."去分母时!各项所乘的数不同
#!
!!"!$ "#\]&'.)在解方程/"%&
(
'*"$&
*
%
* %"
0
时!去分母正确的是
" ! #
!""/"%&# '"*"$&# %"* %"#
)"*"/"%&# '("*"$&# %* %"
+"&-"%& '0"$& %* $"
."*"/"%&# '("*"$&# %"* %"#
$! )* !()"'* -. 若"与* 的差的&
# 是& 的相反
数!则"的值为4 %*4!
%!解下列方程$
"&#*%*
0
'*
( $&'
"*## %"
*
%*"$&
(
'#!
解#!&"去分母$得*%* '**$0!
移项$得*%**'0 $*!
合并同类项$得%*'2!
两边同除以%&$得*'%2!
!*"去分母$得(!# %"" %*!*"$&" '*#!
去括号$得&* %("%#"%* '*#!
移项$得%("%#"'*# %&* $*!
合并同类项$得%1"'&#!
两边同除以%1$得"'%*!
&! !23$456&7 !!"!$ ^X41)课堂上!老师
设计了用合作的方式完成解方程的)接力游
戏*!规则$解方程的同学每人只能看到前一人
给的式子!并只完成解方程的一步变形!即前
一个同学完成一步!后一个同学接着前一个同
学的步骤进行下一步变形!直至解出方程!请
根据下面的)接力游戏*回答问题!
接力游戏
老师$("$&
#
%& '/"%#
(
!
甲$ ( " ("$& # %& '
#"/"%##!
乙$3"$( %& '*-"%&0!
丙$ 3"%*-"' %&0 %
( $&!
丁$ %&&"'%*-!
戊$"'%*-
&&
&&&&&&&&&&!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
&&&&&&&&&&
&&&&&&&&&&&&&&&&&
!
"&#在)接力游戏*中!乙同学是根据4"4进
行变形的!"填序号#
!等式的基本性质44"分配律
"*#在)接力游戏*中!自己负责的一步出现错
误的是4甲'丁'戊4!
"(#请在题中虚框中写出正确的求解过程!
解#!("去分母$得(!("$&" %&* '#!/"%#"!
去括号$得3"$( %&* '*-"%&0!
移项$得3"%*-"'%&0 %( $&*!
合并同类项$得%&&"'%1!
两边同除以%&&$得"'1
&&!
$%&
$ # )@AB&;<;=$%#
'!
!!"!$ "#H?&'()把方程("
-!* %& '*"
-!(的分
母化为整数可得方程
" " #
!"(-"
*
%&- '*-"
(
)"(-"
*
%& '*-"
(
+"(-"
*
%&- '*"
(
."("
* %& '*"
(
(! :;<= 解方程$ "
-!* %("%*
-!/
'&!
解#原方程可变形为&-"
*
%(-"%*-
/
'&!
去分母$得/-"%*!(-"%*-" '&-!
去括号$得/-"%0-"$#- '&-!
移项$得/-"%0-"'&- %#-!
合并同类项$得%&-"'%(-!
两边同除以%&-$得"'(!
!另解见答案册
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
"
*
%
)
!"#$%&'()*%!"+
+
青春没有标准答案!全力以赴!真诚热烈!就是最好的答卷"
!*)
*!
!!"!$ _X'.)若单项式&
( #)$
( 与%*#*$
+的和仍
是单项式!则关于"的方程"%1
+
%& $"
) '& 的解
为
" # #
!""'%*(
)""'*(
+""'%*3
.""'*3
!)!
!!"!$ 23'()对于两个不相等的有理数#!
$!我们规定符号9:;,#!$- 表示#!$两数中
较大的数!例如9:;, %#!(- '(!按照这个规
定!关于"的方程9:;, %&!"- '/
* "%* 的解
为
" # #
!""'#
(
)""'*
/
+""'#
( 或"'*
/
.""'(
#
!!!
!!"!$ "#$%&'()小军同学利用
去分母解关于"的方程*"%&
*
'
"$)
*
%& 时!方程右边的%& 没有
乘*!因而求得方程的解为"'(!则)的值和
方程的正确解分别为
" $ #
!!*!"'*
)!*!"'(
+!(!"'*
.!(!"'(
!"!已知关于"的方程)$"
( '# 的解是关于"
的方程"%)
(
%*"%#
#
'"
0 %& 的解的* 倍!则
)的值为4-4!
!#! !"@
:;<= !!"!$ "#TU`(a1)若关于
"的方程*-"$)
(
'* $"%+-
0
! 无论-为何
值!它的解总是"'*!则)$+ '4 %&4!
!$!解下列方程$
"&#-!&"
-!* %-!-&"%-!-&
-!-0
'"%&
( '
解#原方程可化为"
* %"%&
0
'"%&
( !
去分母$得("%!"%&" '0"%*!
去括号$得("%"$& '0"%*!
移项'合并同类项$得%#"'%(!
两边同除以%#$得"'(
# !
"* # !!"!$ " # \ ] & ' .) "%*
* -*# $
"
* -*/ $
"$*
* -*0 '0!
解#原方程变形可得"%*
* -*# %* $ "
* -*/ %* $
"$*
* -*0 %* '-$"%* %* 6* -*#
* -*#
$"%* 6* -*/
* -*/
$
"$* %* 6* -*0
* -*0
'-$
化简得"%# -/-
* -*#
$"%# -/-
* -*/
$"%# -/-
* -*0
'-$
!"%# -/-"!
&
* -*# $ &
* -*/ $ &
* -*0" '-!
因为
&
* -*# $ &
* -*/ $ &
* -*0'-$
所以"%# -/- '-$所以"'# -/-!
!%! AB>? !!"!$ "#`U('()用)(* 定义一
种新运算$对于任意有理数# 和$!规定#(
$'#$
* $*#$$#!例如$&(( '& 6(* $* 6& 6
( $& '&0!
"&#" %##(&
* '4 %34'
"*#化简" &
# "#(('
"(#若".%&
* #(" %(# '.%&!求.的值!
解#!*"! &
# ""((
'&
# "6(* $* 6&
# "6( $&
# "
'3
# "$0
# "$&
# "
'#"!
!("!.%&
* "(! %(" '.%&$.%&
*
6! %( " * $
* 6.%&
*
6! %(" $.%&
*
'.%&$
3.%3
*
%(!.%&" $.%&
*
'.%&$
两边同乘*$得3.%3 %0!.%&" $.%& '*.%*$
去括号$得3.%3 %0.$0 $.%& '*.%*$
移项$得3.%0.$.%*.'%* $3 %0 $&$
合并同类项$得*.'*$
两边同除以*$得.'&
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
)
&
)
44
4+
,-./0./1
! ! "
晨光唤醒梦想!夜色收纳努力!日复一日坚持!终会遇见繁花"
!*(
;CDE
,2,-./0345#
已知关于"的方程("%)
*
%"$)
(
'/
0 !
"&#
=C5D; 若)'%&!求该方程的解'
解#当)'%& 时$原方程为("$&
*
%"%&
(
'/
0 !
去分母$得(!("$&" %*!"%&" '/!
去括号$得3"$( %*"$* '/!
移项'合并同类项$得1"'-!
两边同除以1$得"'-!
"*#
/%.EFD; 若"'/ 是方程的解!求&
* )* $
*)的值'
解#把"'/ 代入方程$得&/ %)
*
%/ $)
(
'/
0 !
去分母$得(!&/ %)" %*!/ $)" '/!
去括号$得#/ %()%&- %*)'/!
移项'合并同类项$得%/)'%(-!
两边同除以%/$得)'0$
所以&
* )* $*)'&
* 60* $* 60 '(-!
"(#
G=D; 某同学在解该方程时!误将) /
0 *
看作) 0
/ *得到方程的解为"'&!求)的值'
解#由题意$得"'& 是方程("%)
*
%"$)
(
'0
/
的解$
所以( %)
*
%& $)
(
'0
/ !
去分母$得&/!( %)" %&-!& $)" '0 60!
去括号$得#/ %&/)%&- %&-)'(0!
移项'合并同类项$得%*/)'&!
两边同除以%*/$得)'%&
*/!
"##
H=D; 若该方程的解与方程"$&
*
'( $
"%0
#
的解相同!求)的值'
解#解方程"$&
*
'( $"%0
#
$得"'#$
所以"'# 是方程("%)
*
%"$)
(
'/
0 的解!
把"'# 代入("%)
*
%"$)
(
'/
0 $ 得&* %)
*
%
# $)
(
'/
0 $解得)'*(
/ !
"/#
=IJKD; 若该方程的解与方程1"'
%*""$(#的解互为相反数!求)的值'
解#解方程1"'%*!"$("$得"'%*
( !
解方程("%)
*
%"$)
(
'/
0 $得"'/!)$&"
1
!
因为原方程的解与方程1"'%*!"$("的解互
为相反数$
所以/!)$&"
1
%*
( '-$
解得)'%&
&/!
"0#
L%=D; 若该方程有正整数解!求整数)
的最小值!
解#由!/"知方程的解为"'/!)$&"
1
$
因为该方程有正整数解$所以)$& 必须能被1
整除!
又)为整数$所以)$& 的最小值为1$所以)
的最小值为0
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
&
)
!"#$%&'()*%!"+
+
学会和遗憾握手言和!少年总要经历风雨!方能拥抱万里山河"
!
./0123'!
!*"
./&
# # 12+,&-./0FG"HI#
!!下列等式变形正确的是
" $ #
!!如果&'$
* $#!那么$'&%#
*
)!如果"'**$&!那么)"'*)*$&
+!如果"%( '*%(!那么"%*'-
.!如果)"')*!那么"'*
./&
$ # );<;=$%"HI#
类型&4移项时未变号
"!解方程$#"%* '( %*"!
解#移项$得#"$*"'( $*!
合并同类项$得0"'/!
两边同除以0$得"'/
0 !
类型*4去括号时未变号或漏乘
#!解方程$*""%/# %("2 %*"# '&#!
解#去括号$得*"%&- %*# $0"'&#!
移项$得*"$0"'&# $*# $&-!
合并同类项$得2"'#2!
两边同除以2$得"'0!
$!解方程$(
* .""%*
( # $#
( / '(!
解#去括号$得(
* !"%*
( $#
( " '(!
去括号$得(
* "%& $* '(!
移项$得(
* "'( $& %*!
合并同类项$得(
* "'*!
两边同乘以*
( $得"'#
( !
类型(4去分母时漏乘常数项
%!解方程$"%"$*
(
'* %"%&
* !
解#去分母$得0"%*!"$*" '&* %(!"%&"!
去括号$得0"%*"%# '&* %("$(!
移项$得0"%*"$("'&* $( $#!
合并同类项$得1"'&3!
两边同除以1$得"'&3
1 !
&!解方程$*""$##
(
$/"%&
0
'&!
解# 去分母$得#!"$#" $!/"%&" '0!
去括号$得#"$&0 $/"%& '0!
移项$得#"$/"'0 %&0 $&!
合并同类项$得3"'%3!
两边同除以3$得"'%&!
类型#4去分母时忽略分数线的括号作用
'!解方程$*"%/
(
%("%&1
#
'%& %/"
*
!
解#去分母$ 得# !*"%/" %( !("%&1" '
%0!& %/""!
去括号$得2"%*- %3"$/& '%0 $(-"!
移项$得2"%3"%(-"'%0 $*- %/&!
合并同类项$得%(&"'%(1!
两边同除以%(&$得"'(1
(&!
类型/4解含小数的方程出错
(!解方程$ "
-!1 %-!&1 %-!*"
-!-(
'&!
解#原方程可化为&-
1 "%&1 %*-"
(
'&!
去分母$得(-"%1!&1 %*-"" '*&!
去括号$得(-"%&&3 $&#-"'*&!
移项'合并同类项$得&1-"'&#-!
两边同除以&1-$得"'&#
&1
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
"
&
)
44
4+
,-./0./1
! ! "
目光所及皆是温柔!心之所向皆是光亮!少年自在!岁岁安然"
!
!" !!
'(')"#456!
!" !#
JKLCMN%LC
!**
$%&
# # JKLC#
!!
!!"!$ bXcd&41)一块长方形土地的周长为
&2 米!长比宽的* 倍多( 米!设宽为"米!则可
列方程为
" ! #
!!"$"( $"# '&2
)!*"$"( $"# '&2
+!*"*"$(# $"'&2
.!*"*"$( $"# '&2
"!
!!"!$ C2ef&41) 有一个底面半径为&- <9!
高为(- <9的圆柱形大杯中存满了水!把水倒
入一个底面直径为&- <9的圆柱形小杯中!刚
好倒满&* 杯!则小杯的高为
" $ #
!"0 <9
)"2 <9
+"&- <9
."&* <9
#!
!!"!$ "#IF&'.)实施乡村振兴战略是新时
代)三农*工作总抓手!安徽作为农业大省!正
在奋力推动乡村振兴!某村制定农户养殖奖励
方案!每平方米每月补助金为&- 元!如图!王
大爷计划利用长(/ 米的竹篱笆!围成一个长
边靠墙"长边不能超过墙的长度#的长方形养
鸡场!墙的长度为&# 米!围成的养鸡场的长比
宽多* 米!
"&#王大爷能围成符合要求的养鸡场吗( 说
明理由!
"*#如果能围成!那么他每月能领取养殖补助
金多少元(
解#!&"能!理由如下#
设王大爷围的养鸡场的宽为"米$则长为!"$
*"米!
由题意$得"$"$!"$*" '(/$
解得"'&&$则"$* '&($
而&# 5&($所以王大爷能围成符合要求的养
鸡场!
!*"由!&"可知$长方形养鸡场的面积为&& 6
&( '&#(!米*"$
&#( 6&- '& #(-!元"$
所以王大爷每月能领取养殖补助金& #(- 元!
$%&
$ # N%LC#
$! !"#$%&'( !!"!# g@h(1)%九章算术&中
有一个问题$)今有凫起南海!七日至北海'雁
起北海!九日至南海!今凫雁俱起!问何日相
逢(*"凫$野鸭!所提问题即)野鸭与大雁从南
海和北海同时起飞!经过多少天能够相遇(*#
如果设经过"天能够相遇!根据题意!得
" # #
!"&
1 "$&
3 "'&44
)"&
1 "%&
3 "'&
+"1"$3"'&4
."3"%1"'&
%! !"#$%&'( !!"!# i?(1)我国元朝朱世
杰所著的%算学启蒙& 中!记载了这样一个问
题$)良马日行二百四十里!驽马日行一百五十
里!驽马先行一十二日!问良马几何追及之(*
其大意是$跑得快的马每天走*#- 里!跑得慢
的马每天走&/- 里!慢马先走&* 天!问快马几
天可追上慢马( 据此可知快马追上慢马的天
数是
" ! #
!"/ 天
)"&- 天
+"&/ 天
."*- 天
&!
!!"!$ "#\]&'.)小明一家人去电影院看电
影!路上预计用时*/ 分钟!但由于堵车!结果
实际车速比预计的每小时慢&- 千米!且路上
多用了/ 分钟!那么小明预计车速为多少(
解#设预计车速为"千米/时$则实际车速为
!"%&-"千米/时$
由题意得*/
0-"'*/ $/
0-
!"%&-"$
解得"'0-!
答#小明预计车速为0- 千米/时
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
#
&
)
!"#$%&'()*%!"+
+
慢慢消化情绪!悄悄提升自己!少年的底气!源于默默地耕耘"
!**
'!
!!"!$ RFj0&'.)小华+乐乐在#-- 米的环形跑
道上练习长跑!已知小华的速度为&2- 米/分!乐
乐的速度为**- 米/分!两人同时同地!同向出
发!当乐乐第一次回到起点后!他立即原路返
回"反向跑#!直到两人相遇!则从两人开始跑
步到两人相遇的时间为4*4分钟!
(! :;<= !!"!$ kP41)如果一个长方形内部
能用一些正方形铺满!既不重叠!又无缝隙!就
称它为)优美长方形*!如图所示!)优美长方
形*0123的周长为*0!则正方形4 的边长
为4/4!
*!!!"!# lm41)一张( <9宽的长方形纸条有
灰色和白色两面!小颖折该纸条得到如图
所示的图形!已知图中四个灰色的梯形是
一模一样的!则原来的长方形纸条长度为
40/4<9!
!)! :;<=
已知甲+乙两人在一条
*-- 米的环形跑道上练习跑步!现
在把跑道分成相等的# 段!即两条
直道和两条弯道的长度相同!其中
直道为01! 23! 弯道为
12!03!如图所示!甲平
均每秒跑# 米!乙平均每
秒跑0 米!若甲+乙两人
分别从0!2两处同时相
向出发!请回答$
"&#多少秒后两人首次相遇( 请说出此时他
们在跑道上的具体位置!
"*#首次相遇后!又经过多长时间他们再次
相遇(
"(#他们第&- 次相遇时!在哪一段跑道上(
解#!&"设"秒后两人首次相遇!
根据题意$得#"$0"'*--
* $解得"'&-!
甲跑的路程为# 6&- '#-!米"!
答#&- 秒后两人首次相遇$此时他们在直道
01上$且离1点&- 米!
!*"设又经过*秒两人再次相遇!
根据题意$得#*$0*'*--$解得*'*-!
答#首次相遇后$又经过*- 秒他们再次相遇!
!("第& 次相遇$总用时&- 秒$
第* 次相遇$总用时&- $*- 6& '(-!秒"$
第( 次相遇$总用时&- $*- 6* '/-!秒"$
))
第&- 次相遇$总用时&- $*- 63 '&3-!秒"$
则此时甲跑的圈数为&3- 6# =*-- '(!2$
*-- 6-!2 '&0-!米"$
所以他们第&- 次相遇时$在弯道03上!
!另解见答案册"
!!! MNOP !!"!$ GY0n&41)以下是
两张不同类型火车").)))次*
表示动车!)>)))次*表示高铁#
的车票示意图$
"&#根据车票中的部分信息填空$该列动车
和高铁4同向4"填)相向* 或)同向*#
而行!该列动车比高铁发车早4&4?!
"*#已知该列动车和高铁的平均速度分别为
*-- @9A?!(-- @9A?!两列火车的长度不
计!高铁比动车早到& ?!求!!)两地之
间的距离!
"(#在"*#的条件下!求高铁出发多少小时后
两车相距&-- @9!
解#!*"设!$)两地之间的距离为"@9!
根据题意$得"
*-- % "
(-- '& $&$
解得"'& *--!
答#!$)两地之间的距离为& *-- @9!
!("设高铁出发*小时后两车相距&-- @9!
当高铁还未追上动车时$*--!*$&" %(--*'
&--$解得*'&(
当高铁追上动车后$(--*%*--!*$&" '&--$
解得*'((
当高铁到达)地后$*-- ! *$&" '& *-- %
&--$解得*'#!/!
答#当高铁出发& ? 或( ? 或#!/ ? 后两车相
距&-- @9
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
$
&
)
44
4+
,-./0./1
! ! "
山河辽阔!人间烟火!少年追风赶月!不负时光!不负自己初心"
!" "#
OPLCMQRLC
!*%
$%&
# # OPLC#
!! )* !()+ Q * -. 某储户存入定期为& 年的人
民币/ --- 元" 当时& 年定期存款利率为
&!/-,#!设到期后银行应向储户支付现金
"元!则所列方程正确的是
" # #
!""%/ --- '/ --- 6&!/-,
)""$/ --- '/ --- 6&!/-,
+""$/ --- '/ --- 6"& $&!/-,#
.""$/ --- 6&!/-, '/ ---
"!甲将& --- 元存入银行一年!到期后取出& -*/元!则
他获得的利息是4*/4元!这种存款的年利率
为4*!/,4!乙存入银行若干元!年利率为*!
/,!一年到期后得到的利息是1/- 元!设乙存
入"元!则可列方程为4& 6*!/,"'1/-4!
$%&
$ # QRLC#
#! )* !()+ Q % -. !!"!$ >?@A&'.)如图是小
明用直观分析策略解决销售问题时画的框图!
若设成本价为"!根据此框图对应的等量关系!
所列方程正确的是
" $ #
!""& %&-,#"02-, %"'*2
)""& $&-,#"02-, %"'%*2
+""%"& %&-,#"02-, '*2
.""%"& $&-,#"02-, '%*2
$!
!!"!$ "#IF&'()某书店推出两种购书方案$
!单买!每本按标价&- 元销售'
"会员制!缴纳*- 元会员费后!每本按标价的
八折销售!
当两种方案费用相等时!小明购买图书" $ #
!"2 本
)"3 本
+"&- 本
."&& 本
%!
!!"!$ oX'.)一件服装标价*-- 元!若以六折
销售!仍可获利*-,!则这件服装的进价是
" # #
!"&-- 元
)"&-/ 元
+"&-2 元
."&&2 元
-. 某种商品的进价为&2 元!标价为"元!
由于该商品积压!商店准备按标价的八折销
售!可保证利润率达到*-,!则标价为" " #
!"*0 元
)"*1 元
+"*2 元
."*3 元
&!
!!"!$ pq41)已知某商店有两个进价不同的计
算器都卖了2- 元!其中一个盈利0-,!另一个
亏损*-,!在这次买卖中!这家商店
" " #
!"不盈不亏
)"盈利&- 元
+"亏损&- 元
."盈利/- 元
'!
!!"!# 23'.)某商店用1- --- 元的资金购进
!!)两种商品共0-- 件!这两种商品的进价与
标价见下表$
类型
进价/"元/件#
标价/"元/件#
!
&/-
**-
)
&--
&/-
"&#求该商店购进!商品的数量!
"*#该商店为了促销!决定推出优惠活动!!商
品在标价的基础上打八折!)商品在标价
的基础上打九折!当0-- 件商品销售完时!求
该商店获得的总利润!"总利润'总售价%
总进价#
解#!&" 设该商店购进"件!商品$则购进
!0-- %""件)商品!
根据题意$得&/-"$&--!0-- %"" '1- ---$
解得"'*--!
答#该商店购进*-- 件!商品!
!*"根据题意$得总利润为**- 6-!2 6*-- $
&/- 6-!3 6!0-- %*--" %1- ---
'**- 6-!2 6*-- $&/- 6-!3 6#-- %1- ---
'(/ *-- $/# --- %1- ---
'&3 *--!元"!
答#该商店获得的总利润为&3 *-- 元
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
%
&
)
!"#$%&'()*%!"+
+
每一次刷题的坚持!每一次深夜的奋斗!都在铺垫未来的繁花"
!*%
(!
!!"!$ rXst&'.)某潮玩店清仓热门动漫BC
盲盒手办!推出两种促销方案$
!直接按定价七折出售"无任何额外优惠#!
此时卖出每个盲盒会亏损#- 元'
"先按定价的九折结算!再叠加平台)满&--
元减&- 元*的优惠"九折后的金额满足)满就
减*条件#!此时卖出每个盲盒会盈利/- 元!
则该盲盒手办的定价为4/--4元!
*!
!!"!$ "#H?&'.)某书店购进甲+乙两种书
刊共2- 本!其中甲书刊进价&- 元/本!售价
*- 元/本!乙书刊进价2 元/本!售价&( 元/本!
且全部销售完后总利润为//- 元!
"&#求甲+乙两种书刊分别购进多少本!
"*#第二次书店购进与上次一样多的甲+乙两
种书刊!由于两种书刊进价都比上次优惠
了&-,!书店准备对甲书刊进行打折销
售!乙书刊价格不变!全部售完后总利润
为/0- 元!求甲书刊打了几折!
解#!&" 设甲书刊购进"本$ 则乙书刊购进
!2- %""本!
根据题意得!*- %&-" "$!&( %2" !2- %"" '
//-$
解得"'(-$则2- %(- '/-!
答#甲书刊购进(- 本$乙书刊购进/- 本!
!*"设甲书刊打了*折!根据题意$得
(- 6**- 6*
&- %&- 6!& %&-,"+ $/- 6*&( %
2 6!& %&-,"+ '/0-$
解得*'3!
答#甲书刊打了九折!
!)! MNOP !!"!$ Q?41)某商场经销!!)两
种商品!!种商品每件售价为0- 元!利润率
为/-D')种商品每件进价为/- 元!售价为
2- 元!
"&#!种商品每件进价为4#-4元!每件)
种商品的利润率为40-,4!
"*#若该商场同时购进!!)两种商品共1-
件!售完之后恰好总利润为& /2- 元!求
购进!种商品多少件!
"(#在)春节*期间!该商场只对!!)两种商
品进行如下的优惠促销活动$
打折前一次性购物总金额
优惠措施
少于等于#-- 元
不优惠
超过#-- 元!但不超过
0-- 元
按总售价打九折
超过0-- 元
其中0-- 元以内的部分
打八折!超过0-- 元的
部分打七五折
按上述优惠条件!若小明一次性购买!!)两
种商品!优惠后付款总额为/(& 元!则没有优
惠促销时!小明在该商场购买同样的商品要
付多少元(
解#!*"设购进!种商品*件$则购进)种商
品!1- %*"件!
由题意$得!0- %#-"*$!2- %/-"!1- %*" '
& /2-$解得*'/*!
所以购进!种商品/* 件!
!("设没有优惠促销时$小明在该商场购买
同样的商品要付# 元!
!当打折前一次性购物总金额超过#-- 元$但
不超过0-- 元时$
-!3# '/(&$解得# '/3-!
"当打折前一次性购物总金额超过0-- 元时$
0-- 6-!2 $! # %0--" 6-!1/ '/(&$ 解得
# '002!
综上$没有优惠促销时$小明在该商场购买同
样的商品要付/3- 元或002 元
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
&
&
)
44
4+
,-./0./1
! ! "
风遇山止!船到岸停!人遇成长自渡!在岁月里慢慢丰盈内心"
!" ##
>SLCTUVLC
!*%
$%&
# # WXY>SLC#
!!甲+乙+丙三村合修一条公路!计划出工2# 人!
按(E#E1出工!求各村出工的人数!
!设甲+乙+丙三村分别派("人+#"人+1"人!
依题意得("$#"$1"'2#!"设甲村派"人!
依题意得"$#
( "$1
( "'2#!#设乙村派"人!
依题意得(
# "$"$1
# "'2#!其中!正确的有
" $ #
!"& 个
)"* 个
+"( 个
."- 个
"! !89
:;<=
!!"!# uv41)在%国家空间
科学中长期发展规划"*-*#1*-/- 年#&中!明
确了我国空间科学发展目标!提出我国拟突破
的)极端宇宙*)时空涟漪*)日地全景*)宜居
行星*)太空格物*/ 大科学主题!某班老师在
进行相关科普时!让#2 名学生从这/ 大科学
主题中各自选择一个喜欢的主题!最终选择
)极端宇宙*)时空涟漪*)日地全景*)宜居行
星*)太空格物*的人数比是*E(E*E#E&!那么
喜欢)宜居行星*主题的人数是多少(
解#
设选择%极端宇宙&%时空涟漪&%日
地全景& %宜居行星& %太空格物& 的人数分别
是*"$("$*"$#"$"!
由题意得*"$("$*"$#"$"'#2$解得"'#$
则#"'&0$
所以喜欢%宜居行星&主题的人数是&0!
由题意$得喜欢%宜居行星&主题的人数
是#2 6
#
* $( $* $# $& '#2 6&
( '&0!
$%&
$ # UVLC#
#!
!!"!$ "#TU`('.)整理一批图书!由& 个人
整理要#- ? 完成!现计划由"人先整理( ?!再
增加* 人和他们一起整理2 ?!完成这项工作
的(
# !假设每个人的工作效率都相同!则可列
方程$4("
#- $2!"$*"
#-
'(
# 4!
$!一个三位数!十位上的数字是百位上的数字的
* 倍!百位+个位上的数字的和比十位上的数
字大*!且个位+十位+百位上的数字的和是
&#!则这个三位数是4(0/4!
%!
!!"!$ oX>o&'.)工业园区某机械厂的一个
车间主要负责生产螺丝和螺母!该车间有工人
## 人!其中女工人人数比男工人人数的* 倍
少&- 人!每个工人平均每天可以生产螺丝/-
个或者螺母&*- 个!
"&#该车间有男工人+女工人各多少人(
"*#已知一个螺丝与两个螺母配套!为了使每
天生产的螺丝螺母恰好配套!应该分配多
少工人负责生产螺丝!多少工人负责生产
螺母(
解#!&" 设该车间有男工人"人$则女工人有
!*"%&-"人!
由题意可得"$!*"%&-" '##$
解得"'&2$则*"%&- '*0!
答#该车间有男工人&2 人$女工人*0 人!
!*"设应分配*个工人生产螺丝$则!## %*"
个工人生产螺母!
由题意可得/-*6* '&*-!## %*"$
解得*'*#$则## %*'*-!
答#应该分配*# 个工人生产螺丝$*- 个工人生
产螺母!
&!
!!"!$ lm41)某校组织知识竞赛!共设*- 道
选择题!各题分值相同!每题必答!下表记录了
( 名参赛同学的得分情况$
参赛者
答对题数
答错题数
得分
!
*-
-
&--
)
&3
&
3#
+
&-
&-
#-
"&#每答对一道题得4/4分!答错一道题扣
4&4分!
"*#参赛者.得了22 分!他答对了多少道题(
解#!*"设参赛者.答对了"道题$则答错了
!*- %""道题!
根据题意$得/"%!*- %"" '22$
解得"'&2!
答#参赛者.答对了&2 道题
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
'
&
)
!"#$%&'()*%!"+
+
保持热爱!奔赴山海!在青涩年华里!认真活着!温柔生长"
!*+
'! :;<= 一游泳池计划注入一定体积的水!按
每小时/-- 9( 的速度注水!注水* ? 时!注水
口发生故障!停止注水!经*- 9FG 抢修后!注
水速度比原来提高了*-D!结果比预定的时
间提前了&- 9FG 完成注水任务!则计划注入
水的体积为
" " #
!"# --- 9(
)"* /-- 9(
+"* --- 9(
."/-- 9(
(!
!!"!$ lm'.)小云在某月的月历中圈出了相
邻的三个日期#!$!%!并求出它们的和为(-!
则这三个日期在月历中的排布不可能是
" $ #
44
44
44
!4444 )
+444 .
*!
!!"!# ^X
B&'.)某公园门票价格规定如
下表$
购票张数
& H/-
/& H&--
&-- 以上
单张票价
&( 元
&& 元
3 元
某校七年级"&#"*#两个班共&-# 人去游园!其
中"&#班有#- 多人!不足/- 人!经估算!若两个
班以班为单位购票!则一共应付& *#- 元!问$
"&#两个班各有多少名学生(
"*# 如果两个班联合起来!作为一个团体购
票!可省多少钱(
"(#如果七"&# 班单独组织去游园!作为组织
者的你如何购票才最省钱(
解#!&"设七!&" 班有"名学生$则七!*" 班有
!&-# %""名学生!
根据题意$得&("$&&!&-# %"" '& *#-$
解得"'#2$所以&-# %"'/0!
答#七!&" 班有#2 名学生$七!*" 班有/0 名
学生!
!*"& *#- %3 6&-# '(-#!元"!
答#如果两个班联合起来$作为一个团体购票$
可省(-# 元!
!("/& 6&& '/0&!元"$#2 6&( '0*#!元"$
因为/0& ,0*#$所以如果七!&"班单独组织去
游园$购买/& 张门票最省钱!
!)! !"#$RS'( !!"!$ w('.)对联是中华传
统文化的瑰宝!对联装裱后!如图所示!上+下
空白处分别称为天头和地头!左+右空白处统
称为边!一般情况下!天头长与地头长的比是
0E#!左+右边的宽相等!均为天头长与地头长
的和的&
&-!某人要装裱一副对联! 对联的长
为&-- <9!宽为*1 <9!若要求装裱后的长是
装裱后的宽的# 倍!求边的宽和天头长!
解#设天头长为"<9$因为天头长与地头长的
比是0E#$所以地头长为*
( "<9$
则边的宽为
&
&-!"$*
( "" '
&
0 "!<9"$装裱
后的长为*
( "$
"$&-- '! /
( "$
&--"!<9"$装裱
后的宽为&
0 "$
&
0 "$*1 '! &
( "$
*1"!<9"!
由题意可得/
( "$&-- '! &
( "$*1" 6#$
解得"'*#$所以&
0 "'#!
答#边的宽为# <9$天头长为*# <9!
!!! TU+V
甲+乙两人想共同承包一项工程!
甲单独做(- 天完成!乙单独做*- 天完成!合
同规定不超过&/ 天完成!超期即构成违约!
甲+乙两人商量后签订了该合同!
"&#在不违约的情况下!两人能否完成此项
工程( 为什么(
"*#现两人合作完成了该项工程的1/,!因
别处有急事!必须调走一人!若调走甲!
能否在不违约的情况下完成此项工程(
若调走乙呢( 为什么(
解#!&"能!理由如下#
设甲'乙合作需要"天完成!
由题意$得! &
(- $&
*-""'&$解得"'&*!
因为&* ,&/$所以甲'乙两人能在不违约的
情况下完成此项工程!
!*"若调走甲$能在不违约的情况下完成此
项工程!理由如下#
设两人合作完成该项工程的1/,用了*天!
由题意$得! &
(- $&
*-"*'(
# $解得*'3!
剩下的由乙单独做需要的时间是&
# =&
*- '
/!天"!
因为3 $/ '&# ,&/$所以调走甲$能在不违
约的情况下完成此项工程!
若调走乙$不能在不违约的情况下完成此项
工程!理由如下#
因为剩下的由甲单独做需要的时间是&
# =
&
(- '1!/!天"$而3 $1!/ '&0!/ 5&/$所以调
走乙$不能在不违约的情况下完成此项工程
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
(
&
)
44
4+
,-./0./1
! ! "
校园晚风温柔!少年眉眼晴朗!细碎的美好!填满平淡的时光"
!
78 #!
9:;$<,56=!
!*,
44!&"设直接未知数#一般情况下$题中问
什么就设什么!
44!*"设间接未知数#特殊情况下$若设直
接未知数难以列出方程$则可设另一个相关
的量为未知数$通过这个未知数求出题中要
求的量!
44!(" 设辅助未知数#在某些复杂的问题
中$未知量的个数较多$甚至看似缺条件$这
时可以尝试设辅助未知数$为已知条件和所
求未知量%架设桥梁&!
>?
# # Z[\]^B#
!!
!!"!$ xy41)萌萌将(-- 9I浓度未知的酒精
与*-- 9I浓度为#/,的酒精混合!混合后的
酒精浓度为1/,!则(-- 9I酒精的浓度是
" ! #
!"2-,
)"2/,
+"3-,
."3/,
"!
!!"!$ lm'.)有一些相同的房间需要粉刷!一
天( 名师傅去粉刷2 个房间!结果其中有#- 9*
墙面未来得及粉刷'同样的时间内/ 名徒弟粉
刷了3 个房间的墙面!每名师傅比徒弟一天多
粉刷(- 9*的墙面!
"&#求每个房间需要粉刷的墙面面积'
"*#张老板现有(0 个这样的房间需要粉刷!若请
& 名师傅带* 名徒弟去!则需要几天完成(
"(# 已知每名师傅+徒弟每天的工资分别是
3/ 元+1/ 元!张老板要求在( 天内完成
(0 个房间的粉刷!问如何在这2 个人中雇
用人员最合算( 请直接写出你的雇佣方
案!"被雇工人要求$他们必须同时开工!同
时收工!不可无故在工作期间辞掉某个人#
解#!&" 设每个房间需要粉刷的墙面面积为
"9*!
由题意$得2"%#-
(
'3"
/ $(-$解得"'/-$所以
每个房间需要粉刷的墙面面积为/- 9*!
!*"由!&" 得$每名师傅每天粉刷的墙面面积
为2 6/- %#-
(
'&*-!9*"$ 每名徒弟每天粉刷
的墙面面积为&*- %(- '3-!9*"$
& 名师傅带* 名徒弟粉刷(0 个房间需要/- 6
(0 =!&*- $3- 6*" '0!天"!
所以若请& 名师傅带* 名徒弟去$需要0 天
完成!
!("雇佣方案#雇* 名师傅和# 名徒弟!
!详细解析见答案册"
>?
$ # Z_\]^B#
#! !89 *-*0 赛季苏超联赛于# 月&& 日拉开
帷幕!开幕式上*3- 个机器人完成大规模集群
演出!在一次小规模表演彩排中!开场阶段参
加表演的所有机器人排成( 排!每排机器人个
数相等!当音乐推进至高潮部分!表演队形变
化成工字队形!# 个机器人出列!在舞台最前
排成领舞!* 个机器人在领舞后面排成竖列
"前后站成& 列#!剩下的机器人与领舞排平行
组成工字队形!若工字队形的最后一排机器人
个数是原队形每排机器人个数的* 倍少&!求
小规模表演彩排中开场阶段参加表演的机器
人的总个数!
解#设原队形每排有"个机器人$则机器人总
个数为("!
由题意可得("%0 '*"%&$
解得"'/$所以小规模表演彩排中开场阶段参
加表演的机器人的总个数为("'( 6/ '&/!
>?
! # Z`a]^B#
$!某音乐厅五月初决定在暑假期间举办学生专
场音乐会!入场券分为团体票和零售票!其中
团体票占总票数的*
( !若提前购票!则给予不
同程度的优惠!在五月份!团体票每张&* 元!
共售出团体票的(
/ '零售票每张&0 元!共售出
零售票的一半!如果在六月份!团体票按每张
&0 元出售!并计划在六月份售出全部余票!那
么零售票应按每张多少元定价才能使这两个
月的票款收入持平(
解#设总票数有# 张$六月份零售票按每张
"元定价!
根据题意$得&*! *
( #,(
/ " $&0*!& %*
( "#,&
* + '
&0* *
( #,!& %(
/ "+ $!& %*
( "#,&
* "$
化简得*#
/ # $2
( # '0#
&/# $&
0 #"$因为总票数# 5
-$所以*#
/ $2
( '0#
&/ $&
0 "$解得"'&3!*!
答#六月份零售票应按每张&3!* 元定价$才能
使这两个月的票款收入持平
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
*
&
)
!"#$%&'()*%!"+
+
不必羡慕他人光芒!深耕自己的天地!终会迎来专属的璀璨"
!
./0123@!
!*,
01&
# # >bcdef&g2#
!!某新华书店暑假期间推出售书优惠方案$!一
次性购书不超过*-- 元!不享受优惠'"一次
性购书超过*-- 元但不超过#-- 元一律打九
折'#一次性购书超过#-- 元一律打八折!如
果黄聪一次性购书共付款(*# 元!那么黄聪所
购书的原价是
" ! #
!"(0- 元
)"#-/ 元
+"(*# 元或(0- 元
."(0- 元或#-/ 元
"!
!!"!$ "#\]&'.)数轴是初中数学的一个重
要工具!利用数轴可以将数与形完美地结合!
如图!数轴上的点0!1对应的数分别是%# 和
&*!5!6是数轴上的动点!
"�!1两点之间距离为4&04!
"*#若点5以* 个单位长度/秒的速度从点0
出发向点1运动!同时点6从点1出发匀
速向点0运动!经过/ 秒相遇!求点6的
运动速度!
"(#若点5从点0出发!以* 个单位长度/秒
的速度向右运动!设运动时间为(秒!是否
存在某个时刻(!恰好使得点5到点0的
距离是点5到点1的距离的( 倍( 若存
在!请求出(的值'若不存在!请说明理由!
解#!*" 设点6的运动速度为"个单位长
度/秒!
根据题意$得/!* $"" '&0$解得"'&!*$
所以点6的运动速度为&!* 个单位长度/秒!
!("存在!
由题意可知$(秒时点5对应的数为%# $*(!
当点5在点1的左侧时$ 则*('( * &* %
! %# $*("+$解得('0(
当点5在点1的右侧时$则*('(! %# $*(%
&*"$解得('&*!
综上所述$当(的值为0 或&* 时$恰好使得点
5到点0的距离是点5到点1的距离的( 倍!
01&
$ # >hijLC#
#!某中学为全体学生办理了学生团体住院医疗
保险!保险公司按下表级距分段计算给付住院
医疗保险金!
级数
被保险人住院医疗费用级距
保险公司
给付比例
&
& --- 元及以下部分
//,
*
& --- 元以上至# --- 元部分
0-,
(
# --- 元以上至1 --- 元部分
1-,
#
1 --- 元以上至&- --- 元部分
2-,
/
&- --- 元以上至(- --- 元部分
3-,
0
(- --- 元以上部分
3/,
注$在保险期间!被保险人按上述标准累计自付金
额超过0 --- 元部分!保险公司按&--,标准给付
例如$若住院医疗费为( /-- 元!则保险公司
应给付的保险金为& --- 6//, $"( /-- %
& ---# 60-, '//- $& /-- '* -/-"元#!则自
付医疗费为( /-- %* -/- '& #/-"元#!
"&#若住院医疗费为& --- 元!则自付医疗费
为4#/-4元'
若住院医疗费为# --- 元!则保险公司应
给付保险金为4* (/-4元'
若住院医疗费为1 --- 元!则保险公司应
给付保险金为4# #/-4元!自付医疗费为
4* //-4元!
"*#刘茜同学生病住院!保险公司给付了( &*-
元的住院医疗保险金!刘茜的住院医疗费
是多少(
"(#李强同学生病住院!他的父母共自付医疗
费0 --- 元!保险公司至少为李强同学给
付了保险金多少元(
解#!*"由* (/- ,( &*- ,# #/- 及!&"的结论可知#
刘茜的住院医疗费大于# --- 元小于1 --- 元$
设刘茜的住院医疗费是"元!
根据题意$得& --- 6//, $!# --- %& ---" 6
0-, $!"%# ---" 61-, '( &*-!
解得"'/ &--!
答#刘茜的住院医疗费是/ &-- 元!
!("当住院医疗费为(- --- 元时$自付的费用
为(- --- %!& --- 6//, $( --- 60-, $
( --- 61-, $( --- 62-, $*- --- 63-," '
/ &/-!元"!
因为0 --- 5/ &/-$
所以李强同学住院医疗费大于(- --- 元!
设李强同学住院医疗费为*元!
根据题意$ 得*%*& --- 6//, $( --- 6
0-, $( --- 61-, $( --- 62-, $*- --- 6
3-, $!*%(- ---" 63/,+ '0 ---!
解得*'#1 ---!
#1 --- %0 --- '#& ---!元"!
答#保险公司至少为李强同学给付了保险金
#& ---元
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
)
'
)
44
4+
,-./0./1
! ! "
时光不语!静待花开!静下心沉淀!所有美好都会如约而至"
!
!" %!
@(')"#A*+,-!
!" !#
k<;=$%l
!*#
$%&
# # k<;=$%mln&'(#
!!下列方程中!是二元一次方程的是
" $ #
!!"*'&
)!"$&
*'*
+!*'"%&
.!"
* %*$( '-
"!
!!"!$ ^X41)下列方程组中!是二元一次方程
组的是
" ! #
!!("$7'&!
&-"%(*
{
'%3
)!"*'#!
"$**
{
'0
+!
"%*'*!
&
"%(*'%1
{
#
.!"$**'#!
1"%3*
{
'/
#!若"
*)%& %**
+ %& '( 是关于"!*的二元一次方
程!则")%+# * -*/ '4 %&4!
$%&
$ # *k<;=$%mln#
$!
!!"!# z0(1)手工社团的同学制作两种手工
艺品!和)!需要用到彩色纸和细木条!单个
手工艺品材料用量如表!
类别
材料
彩色纸/张
细木条/捆
手工艺品!
/
(
手工艺品)
*
&
如果一共用了&1 张彩色纸和&- 捆细木条!问
他们制作的两种手工艺品各有多少个( 设手
工艺品!有"个!手工艺品)有*个!则"和*
满足的方程组是
" $ #
!"/"$(*'&1!
*"$*
{
'&-
)"/"$(*'&-!
*"$*
{
'&1
+"/"$**'&1!
("$*
{
'&-
."/"$**'&-!
("$*
{
'&1
%! !"#$%&'(
!!"!# {d(1)中国古代数学
著作%九章算术& 中记载了这样一个题目$今
有善田一亩!价三百'恶田七亩!价五百!今并
买一顷!价钱一万!问善+恶田各几何( 其大意
是$今有良田& 亩价值(-- 钱'劣田1 亩价值
/-- 钱!今合买良+劣田& 顷"&-- 亩#!价值
&- ---钱!问良田+劣田各有多少亩( 设良田
为"亩!劣田为*亩!则可列方程组为" # #
!"
"$*'&--!
(--"$/--
1 *
{
'&- ---4
)"
"$*'&--!
(--*$/--
1 "
{
'&- ---
+""$*'&--!
(--"$/--*
{
'&- ---
.""$*'&--!
(--*$/--"
{
'&- ---
&!一道习题如下$
从甲地到乙地有一段上坡与一段平路!如果保持
上坡每小时走( @9!平路每小时走# @9!下坡每
小时走/ @9!那么从甲地到乙地需/# 9FG!从乙
地到甲地需#* 9FG!甲地到乙地全程是多少(
小红将这个实际问题转化为二元一次方程组
问题!设未知数"!*!已经列出一个方程"
( $
*
# '/#
0-!则另一个方程正确的是
" " #
!""
# $*
( '#*
0-
)""
/ $*
# '#*
0-
+""
# $*
/ '#*
0-
.""
( $*
# '#*
0-
'!
!!"!# |}'()用&- 块大小+形状完全相同的
小长方形木板拼成如图所示的一个大长方形!
如果设每块小长方形木板的长和宽分别是
"<9和*<9!那么下列方程组错误的是" ! #
!"*"'&*-!
"$(*
{
'&*-
)"*"'&*-!
"$**'/
{
*
+"*"'"$(*!
"$(*
{
'&*-
."*"'"$(*!
"$**
{
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
'&*-
!
'
)
!"#$%&'()*%!"+
+
生活偶有失意!前路偶有坎坷!心怀希望!就永远不会被打败"
!" "#
2opq)k<;=$%l
!*#
$%&
# # k<;=$%l&)#
!!
!!"!$ OYF~&'.)表& 为二元一次方程#&"$
$
&*'%
&的部分解!表* 为二元一次方程#* "$
$
**'%
*的部分解!则方程组
#&"$$
&*'%
&!
#*"$$
**'%
{
*
的解
为
" " #
表&444
4表*
" %&
&
*
(
*
&
%&
%*
%(
4
"
-
&
*
(
* %*
%&
-
&
!""'%&!
*
{ '&
)""'&!
*
{ '%& +""'*!
*
{ '%* .""'(!
*
{ '&
$%&
$ # 2opq)k<;=$%l#
"!
!!"!$ "#IF&'.)由"
* %*
( '& 可以得到用"
表示*的式子是
" ! #
!"*'("%*
*
)"*'(
* "%&
*
+"*'( %(
* "
."*'(
* "%(
#!!!"!$ ^ X ) 对于二元一次方程组
22!!
"%(*'1!
{
"
将!式代入"式!消去*可以得
"%("$0 '1!则方程!是
" # #
!"*'"%*
)"*'"$*
+""'**%&
.""'**$&
$!
!!"!$ F&41)下面是某学习小组的# 名
成员合作完成的方程组的解题过程!解题过程
中开始出现错误的同学是
" $ #
!"甲
)"乙
+"丙
."丁
%!
!!"!# LO'.)已知(#1 "%*$
&1与%&
/ #* $
*"$(*是
同类项!则"和*的值分别为
" " #
!"/ 和&
)"& 和/
+"%& 和/
."%/ 和&
&!
!!"!$ LG'.)如果方程组
*"$(*'1!
*'*"
{
%(
的解也
是方程("$)*%2 '- 的一个解!则)的值
为4*4!
'!用代入法解下列方程组$
"&#
*"$#*'/!!
"'& %*'
{
"
4"*#
*"%(*'(!!
"$**'%*!
{
"
解#!&"把"代入!$得*!& %*" $#*'/$解得
*'(
* !
把*'(
* 代入"$得"'%&
* !
所以
"'%&
* $
*'(
*
!
!*"由"$得"'%* %**!#
把#代入!$得*! %* %**" %(*'($解得*'
%&!
把*'%& 代入#$得"'-!
所以
"'-$
*'%&
{
!
(! )* !(("'* -. 关于"!*的二元一次方程组
*"$#*'%&&!
0"%/*
{
'3
的解为
"'$!
*'%(
{
!
求#!$的值!
解# 把
"'$$
*
{ '%(
代入二元一次方程
组
*"$#*'%&&$
0"%/*'3
{
$
得
*$%(# '%&&$!
0$$&/ '3$
{
"
由"$得$'%&!把$'%& 代入!$得# '(!
所以# '($$'%&
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
"
'
)
44
4+
,-./0./1
! ! "
一页页书本!一点点进步!日积月累!终会跨过山海见曙光"
!*&
*!!!"!$ ?
& ' .) 已知"*"$*%(#* $
7"%(*%/7'-!则*
"的值为
" # #
!!&
)!%&
+!*
.!%*
!)!!!"!$ ^ X ( a 1)已知"'&!
*
{ '%& 是方程组
#"$$*'/!
$"%#*
{
'& 的解!则"# $$#"# %$#的值是
" # #
!"/
)"%/
+"*/
."%*/
!!! !"#$WXYZ 请设计一个二元一次方程组!
使它的解为"'#!
*'(
{
!
"&#你设计的二元一次方程组是4 "$*'1$
"%*
{
'& 4
4!答案不唯一"4!
"*#你还能设计一个这样的二元一次方程组吗(
答$4能4"填)能*或)不能*#'如果能!请
再写一个$4 *"$*'&&$
("%**
{
'0 !答案不唯一"4!
"(#这样的二元一次方程组有4无数4个!
!"!!!"!$ ' .) 已知关于"! *的方程组
#"$/*'&/!!
#"%$*'%*!
{
" 由于甲看错了方程!中的
# 得到方程组的解为"'%(!
*'%&
{
!乙看错了方程
"中的$得到方程组的解为"'/!
*'#
{
!若按正确
的#!$计算!则原方程组的解为4
"'&#$
*'*3
{
/
4!
!#!用代入法解方程组$
#""%*%&# '("& %*# %*!
"
* $*
( '*
{
!
解#整理$得#"%*'/$!
("$**'&*!
{
"
由!$得*'#"%/!#
将#代入"$得("$*!#"%/" '&*$解得"'*!
将"'* 代入#$得*'(!
所以"'*$
*'(
{
!
!$!!!"!$ W X ' .) 已知关于"! *的方程组
#"$$*'&!
*"%*
{
'&
和#"%$*'/!
"$**
{
'(
的解相同! 求#
和$的值!
解#由题意得题中的两个方程组与方程组
*"%*'&$
"$**
{
'( 的解相同!
解方程组*"%*'&$
"$**'(
{
$ 得"'&$
*'&
{
!
将"'&$
*
{ '& 代入#"$$*'&$
#"%$*'/
{
$得# $$'&$
# %$'/
{
$
解得# '($
$'%*
{
!
!%! AB>? !!"!$ &'.)对于未知数为
"!*的二元一次方程组!如果方程组的解"!*
满足7"%*7'&!我们就说方程组的解"与*
具有)邻好关系*!
"&#请写出一个"与*具有)邻好关系*的二元
一次方程组$4 "%*'&$
"$*
{
'/ !答案不唯一"4!
"*#方程组"$**'1!
"%*
{
'&
的解"与*是否具有
)邻好关系*( 说明你的理由!
"(# 若方程组*"%*'0!
#"$*'0
{
)的解"与*具有
)邻好关系*!求)的值!
!*" 方程组"$**'1$
"%*
{
'&
的解具有% 邻好关
系&!理由如下#
解方程组"$**'1$
"%*'&
{
$ 得"'($
*'*
{
$
7"%*7'&$符合条件$所以方程组的解"与*
具有%邻好关系&!
!("解方程组*"%*'0$
#"$*'0)
{
$得"')$&$
*'*)%#
{
!
因为方程组的解"与*具有%邻好关系&$
所以7)$& %!*)%#" 7'&$即7/ %)7'&$
所以/ %)'& 或/ %)'%&$
所以)'# 或0
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
#
'
)
!"#$%&'()*%!"+
+
把烦恼留给过往!把温柔留给当下!少年一路向阳!自在坦荡"
!" ##
2rsq)k<;=$%l
!*&
$%& # 2rsq)k<;=$%l#
!!
!!"!$ LG41)用加减法解方程组"$*'%(!!
("$*'0!
{
"
由" %!消去未知数*!所得到的一元一次方
程是
" # #
!"*"'3
)"*"'(
+"#"'3
."#"'(
"!
!!"!$ X'.)若方程)"$+*'0 的两组解是
"'&!
*
{ '& 和"'*!
*'%&
{
!则)!+ 的值分别为" # #
!"#!*
)"*!#
+"%#! %*
."%*! %#
#!用加减法解方程组*"$*'2!!
"%*'&
{
"
的步骤如下$
"&#! $"!得("'3!解得"'(!
"*#! %" 6*!得(*'0!解得*'*!
所以"'(!
*'*
{
!
则下列说法正确的是
" " #
!"步骤"&#"*#都不对
)"步骤"&#"*#都对
+"本题不适宜用加减法
."加减法不能用两次
$!
!!"!$ LO'.)用加减法解二元一次方程组
"%*'/!!
*"%(*'(
{
"时!下列方法中能消元的是
" ! #
!"! 6* $"
)"! 6" %*# %"
+"! 6( $"
."! 6" %(# $"
%!
:;<= 若# $*$'2!(# $#$'&2!则# $$的
值为4/4!
&!利用加减法解下列方程组$
"&# "%*'*!
*"$*'1
{
'44444"*# #"$2*'&*!
("%**'/
{
'
解#!&" "%*'*$!
*"$*'1!
{
"
! $"$得("'3$解得"'(!
将"'( 代入"$得* 6( $*'1$解得*'&!
所以"'($
*'&
{
!
!*" #"$2*'&*$!
("%**'/!
{
"
" 6#$得&*"%2*'*-!#
! $#$得&0"'(*$解得"'*!
将"'* 代入"$得0 %**'/$解得*'&
* !
所以
"'*$
*'&
*
{
!
"(# (""%&# '*$/!
/"*$&# '(""%/
{
#'4"##
"
( %*
# '&!
("%#*'*
{
!
解#!("将原方程组整理$得("%*'2$!
("%/*'*-!
{
"
! %"$得#*'%&*$解得*'%(!
把*'%( 代入!$得("$( '2$解得"'/
( !
所以"'/
( $
*'%(
{
!
!#"
"
( %*
# '&$!
("%#*'*!
{
"
由!$得#"%(*'&*!#
" 6($得3"%&**'0!$
# 6#$得&0"%&**'#2!%
% %$$得1"'#*$解得"'0!
将"'0 代入"$得( 60 %#*'*$解得*'#!
所以"'0$
*'#
{
!
'!
!!"!# C22&41)现定义某种运算)**!对给
定的两个有理数#!$有#*$'*# %$!
"&#求" %*#*" %##的值'
"*#若"*(*'%#!*"**'*!求"**的值!
解#!& " 由题意$ 得! %* " * ! %# " '* 6
! %*" %! %#" '-!
!*"由"*(*'%#$*"**'*$得*"%(*'%
#$#"%*'*!
即解方程组*"%(*'%#$!
#"%*'*$
{
"
" 6( %!$得&-"'&-$解得"'&!
把"'& 代入"$得# %*'*$解得*'*!
所以"'&$
*'*
{
!
所以"**'&** '& 6* %* '-
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
$
'
)
44
4+
,-./0./1
! ! "
云朵温柔!晚风治愈!在匆匆时光里!好好读书!好好长大"
!*$
(!!!"!$ _X'.)已知方程组*# %($'&(!
(# $/$'(-!
{
3 的
解
是
# '2!(!
$'&!*
{
!
则
方
程
组
*""$*# %("*%&# '&(!
(""$*# $/"*%&# '(-!
{
3 的解是
" $ #
!""'2!(!
*'&!
{
*
)""'&-!(!
*'*!
{
*
+""'0!(!
*'*!
{
*
.""'&-!(!
*'-!
{
*
*!小明说"'%&!
*
{ '*
为关于"!*的方程#"$$*'
&- 的解!小惠说"'*!
*
{ '%&为关于"!*的方程
#"$$*'&- 的解!两人谁也不能说服对方!如
果你想让他们的解都正确!那么需要添加的条
件是
" ! #
!"# '&*!$'&*
)"# '3!$'&-
+"# '&-!$'&&
."# '&-!$'&-
!)!!!"!$ :P:X&'()若关于"!*的二元一
次方程组("%/*$1 '-!
0"$#*
{
%/ '- 无解!则# 的值
为4 %&-4!
!!!
!!"!$ OYF~&'.)已知关于"!*的方程组
"$)*'1!!
)"%*'* $)!
{
"将此方程组的两个方程左
右两边分别对应相加!得到一个新的方程!当
)每取一个值时!就有一个方程!这些方程有
一个公共解!这个公共解为4 "'/$
*
{ '%#4!
!"!已知关于"!*的方程组
)%
(
)
+ "%(*'&-!!
#"$ ()$
(
)
+ *'&*!
{
"
将! 6* %"能消去"!将" $!能消去*!求)!
+ 的值!
解#因为将! 6* %"能消去"$
所以*!)%+" %# '-$即)%+ '*!
因为将" $!能消去*$
所以%( $!()$+" '-$即()$+ '(!
解方程组)%+ '*$
()$+ '(
{
$得
)'/
# $
+ '%(
#
!
!#!
!!"!$ " # I F & ' .)已知关于"!*的方程
组
("%/
* *'-
* $(!
%/
* "$(*'%(-%&
!
"&#若-'*!求这个方程组的解!
"*# 若这个方程组的解满足"$*'2!求-
的值!
解#! & " 当-'* 时$ 这个方程组可化
为
("%/
* *'#$
%/
* "$(*'%1
$
整理$得
0"%/*'2$!
%/"$0*'%&#$
{
"
! 60$得(0"%(-*'#2$#
" 6/$得%*/"$(-*'%1-$$
# $$$得&&"'%**$解得"'%*!
把"'%* 代入"$得&- $0*'%&#$解得*'
%#!
所以当-'* 时$这个方程组的解为
"'%*$
*'%#
{
!
!*"
("%/
* *'-
* $($%
%/
* "$(*'%(-%&$
&
% $&$得&
* "$&
* *'%/
* -$*$
因为"$*'2$所以%/
* -$* '#$
解得-'%#
/ !
!$! 01>?
!!"!$ WX'.)已知关于"!*的二
元一次方程组
-"$*'1!
("%*
{
'-
有正整数解!其中-
为整数!则-
* %& 的值为
" ! #
!"%*
)"(
+"%* 或#
."( 或
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
&/
%
'
)
!"#$%&'()*%!"+
+
所有难熬的时刻!都是成长的勋章!跨过去!前路皆是繁花似锦"
!" $#
tuvw&$q)k<;=$%l
!%)
$%& # tuvw&$q)k<;=$%l#
!!解下列两个方程组$ !
"'*$#!
/"$1*
{
'%3
和
"
2"$3*'*(!
&1"%0*'1#
{
!
较为简单的解法应为" " #
!"均用代入法
)"!用代入法!"用加减法
+"均用加减法
.!!用加减法!"用代入法
"!
!!"!$ U('.)在进行解二元一次方程组的
复习时!李老师给出方程组
*"%*'%&!!
/"%*'/!
{
"
请
同学们用自己喜欢的方法解这个方程组!
小丽和小华解方程组的部分过程如下表$
小丽$" %!!得("'0!
小华$由"得("$"*"%*# '/!#
把!代入#!得("%" %&# '/!
"&#小丽解方程组的过程4正确4!小华解方
程组的过程4不正确4!"在横线处填写
)正确*或)不正确*#
"*# 请你用喜欢的方法解二元一次方程
组$
("%**'&!
0"%**'&(
{
!
解#!*"
("%**'&$$
0"%**'&($
{
%
% %$$得("'&*$解得"'#!
把"'# 代入$$得&* %**'&$解得*'&&
* !
所以
"'#$
*'&&
*
{
!
#!解下列方程组$
"&# -!/"$-!1*'(/!
"$-!#*'#-
{
'
解#原方程组可化为/"$1*'(/-$!
/"$**'*--$
{
"
! %"$得/*'&/-$解得*'(-!
把*'(- 代入"$得/"$0- '*--$解得"'*2!
所以"'*2$
*'(-
{
!
"*# ("*%*# '"$&!
*""%&# '/*%2
{
'
解# (!*%*" '"$&$!
*!"%&" '/*%2!
{
"
由!$得"'(*%1!#
将#代入"$得*!(*%1 %&" '/*%2$解得
*'2!
将*'2 代入#$得"'&1!
所以"'&1$
*'2
{
!
"(#
:;<= "$*
(
'(*%&
2
'*"$(*
&&
'
解#原方程组可化为
"$*
(
'(*%&
2
$
"$*
(
'*"$(*
&&
!
化简$得2"%3*'%&3$!
/"%3*'%**!
{
"
! %"$得("'($解得"'&!
把"'& 代入"$得/ %3*'%**$解得*'(!
所以"'&$
*'(
{
!
!另解见答案册"
"##
:;<=
"$*'(-!
30, 6"$0#, 6*'(-, 63*
{
!
解# "$*'(-$!
30, 6"$0#, 6*'(-, 63*!"
{
4
化简"$得30"$0#*'(- 63*!#
! 630 %#$得(**'(- 6#$解得*'&/
# !
把*'&/
# 代入!$得"$&/
# '(-$解得"'&-/
# !
所以
"'&-/
# $
*'&/
#
!
!另解见答案册
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
"
&
'
)
44
4+
,-./0./1
! ! "
以初心抵漫长岁月!以努力赴人生盛宴!少年前行!自带光芒"
!
78 $!
@(')"#A4BC,-!
!%(
>?
# # xyopq#
44当方程组某一项中含有相同的整式时$通常将
此项看成一个整体$利用整体代入消元法解方程组!
!!阅读材料$ 善思考的小军在解方程组
*"$/*'(!!
#"$&&*'/
{
"时!采用了一种)整体代入* 的
解法!
解$将方程"变形为#"$&-*$*'/!即*"*"$
/*# $*'/!#
把方程!代入#!得* 6( $*'/!解得*'
%&!
把*'%& 代入!!得"'#!
所以原方程组的解为"'#!
*'%&
{
!
请你模仿小军的) 整体代入* 法解方程
组("%**'/!
3"%#*'&3
{
!
解# ("%**'/$!
3"%#*'&3$
{
"
将方程"变形为3"%0*$**'&3$即(!("%
**" $**'&3!#
将方程! 代入#$ 得( 6/ $**'&3$ 解得
*'*!
把*'* 代入!$得"'(!
所以方程组的解为"'($
*'*
{
!
"!解方程组$
("$**%* '-!
("$**$&
/
%*"'%*
/
{
!
解#
("$**%* '-$!
("$**$&
/
%*"'%*
/ !
{
"
由!$得("$**'*!#
把#代入"$得(
/ %*"'%*
/ $解得"'&
* !
把"'&
* 代入#$得(
* $**'*$解得*'&
# !
所以
"'&
* $
*'&
#
{
!
>?
$ # rsz<{3q#
44解系数较大的二元一次方程组时$常先根据系
数特点对方程组进行加减变形化简$再进行消元!
#! :;<= 阅读下列解方程组的方法!然后回答
问题!
解方程组$ &3"$&2*'&1!!
&1"$&0*'&/!
{
"
解$! %"!得*"$**'*!即"$*'&!#
# 6&0!得&0"$&0*'&0!$
" %$!得"'%&!把"'%& 代入#!得*'*!
所以"'%&!
*'*
{
!
请你仿照上面的解法解方程
组$ * -*0"%* -*/*'* -*#!
* -*#"%* -*(*'* -**
{
!
解#
* -*0"%* -*/*'* -*#$!
* -*#"%* -*(*'* -**!
{
"
! %"$得*"%**'*$即"%*'&!#
" %# 6* -*($得"'%&!
把"'%& 代入#$得*'%*!
所以"'%&$
*'%*
{
!
* -*0"%* -*/*'* -*#$!
* -*#"%* -*(*'* -**!
{
"
! %"$得*"%**'*$即"%*'&!
所以"'& $*!#
把#代入"$得* -*#!& $*" %* -*(*'* -**$
即*'%*!
把*'%* 代入#$得"'%&!
所以"'%&$
*'%*
{
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
'
'
)
!"#$%&'()*%!"+
+
操场跑道藏热血!课桌笔墨藏理想!青春烟火!温柔且滚烫"
>?
! # |}~q#
$!
!!"!$ 41)阅读理解$#!$!%!4 是实数!我们
把符号
#
$
% 4
称为* 6* 阶行列式!并且规定
#
$
% 4
'# 64 %$6%! 如
*
(
%*
%&
'* 6
" %&# %( 6" %* #!二元一次方程组
#&"$$
&*'%
&!
#*"$$
**'%
{
*
的解可以利用* 6* 阶行列式
表示为"'3"
3!*'3*
3'其中3'
#&
$
&
#*
$
*
!3"'
%
&
$
&
%
*
$
*
!3*'
#&
%
&
#*
%
*
!问题$对于用上面的
方法解二元一次方程组
*"$*'&!
("%**
{
'&*
时!说法
错误的是
" $ #
!"3'
*
&
(
%*
'%1
)"3"'%&#
+"3*'*1
."方程组的解为
"'*!
*
{ '%(
>?
% # <q#
44解两个方程中都含有相同结构的整式的二元
一次方程组时$常通过换元法使问题化繁为简!
%!
!!"!$ "#$%&41)已知关于"!*的方程组
#&"$$
&*'%
&!
#*"$$
**'%
{
*
的解为
"'/!
*'0
{
!
则关于"!*的方
程组
/#&"$($
&*'#%
&!
/#*"$($
**'#%
{
*
的解为
" $ #
!"
"'&!
*
{ '*
)"
"'2!
*
{ '2
+"
"'#!
*
{ '2
."
"'#!
*
{ '(
&! !23$456&7 -阅读材料.小明同学在解方
程组
*"$(*
#
$*"%(*
(
'1!
*"$(*
(
$*"%(*
*
'2
时!发现如果直接用
代入法或加减法求解!运算量都比较大!聪明
的他想到如果把方程组中的"*"$(*#看作一
个整体!把"*"%(*# 看作另一个整体!通过换
元!可以简化运算!以下是他的解题过程$
令)'*"$(*!+ '*"%(*!
则原方程组可化为
)
# $+
( '1!
)
( $+
* '2
!
解得
)'0-!
+ '%*#
{
!
所以
*"$(*'0-!
*"%(*'%*#
{
!
解得
"'3!
*'&#
{
!
所以原方程组的解为
"'3!
*'&#
{
!
-解决问题. 请你参考小明同学的做法!解方
程组$
"$*
(
$"%*
/
'*!
"$*
(
%"%*
/
'%&
!
解#令)'"$*
( $+ '"%*
/ $
则原方程组可化为
)$+ '*$
)%+ '%&
{
!
解得
)'&
* $
+ '(
*
!
所以
"$*
(
'&
* $
"%*
/
'(
*
$
解得
"'3
* $
*'%(
{
!
所以原方程组的解为
"'3
* $
*'%(
{
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
(
'
)
44
4+
,-./0./1
! ! "
允许自己偶尔懈怠!却不能放弃前行!调整状态!继续向阳出发"
!
!" &!
@(')"#A456!
!" !#
>LC7N%LCLC
!%(
$%&
# # >LC#
!! )* !((& Q ( -. !!"!$ >?'.))市长杯*青少年
校园足球联赛的比赛规则是$胜一场得( 分!平一
场得& 分!负一场得- 分!某校足球队在第一轮比
赛中赛了3 场!只负了* 场!共得&1 分!那么该队
胜了几场!平了几场( 设该队胜了"场!平了*
场!根据题意可列方程组为
" # #
!""$*'1!
("$*
{
'&1
)""$*'3!
("$*
{
'&1
+""$*'1!
"$(*
{
'&1
.""$*'3!
"$(*
{
'&1
"! :;<= 一份试卷共*/ 道题!每道题都给出四
个答案!其中只有一个是正确的!要求学生把正
确答案选出来!每道题选对得# 分!不选或选错
扣& 分!如果一个学生得3- 分!那么他选对了
几道题(
解#设他选对了"道题$不选或选错了*道题!
根据题意$得"$*'*/$
#"%*'3-
{
!解得"'*($
*'*
{
!
答#他选对了*( 道题!
!另解见答案册"
$%&
$ # N%LC#
#!甲+乙两人分别从相距*- @9的!!)两地出发!
相向而行!如图是小华绘制的甲+乙两人两次运
动的情形!设甲的速度是"@9A?!乙的速度是
*@9A?!根据题意可列方程组为*!/"$**'*-$
"$*
{
$&& '*- 4
!相应的变形方程组也正确"4!
$! :;<= 从!地到)地全程*3- @9!前一路
段为国道!其余路段为高速公路!已知一辆汽
车在国道上行驶的速度为0- @9A?!在高速公
路上行驶的速度为&-- @9A?!该辆汽车从!地
开往)地一共行驶了(!/ ?!求!!)两地间国
道和高速公路长分别是多少千米!
解#设!$)两地间国道和高速公路长分别是
"@9$*@9!
依题意$得
"$*'*3-$
"
0- $ *
&-- '(!/
{
$解得"'3-$
*'*--
{
!
答#!$ )两地间国道和高速公路长分别是
3- @9$*-- @9!
!另解见答案册"
$%&
! # LC#
%! !"#$%&'( !!"!# kP(1) 我国古代数学
著作%算法统宗& 中记载$)今有绫三尺!绢四
尺!共价四钱八分'又绫七尺!绢二尺!共价六
钱八分!问$绫+绢各价若干(* 大意为$三尺绫
和四尺绢共值四钱八分'七尺绫和二尺绢共值
六钱八分!则绫+绢每尺各值多少( 已知一钱
等于十分!则每尺绢的价格是404分!
&! !89 !!"!$ OYF~&'.) )太空育种* 是种
子被宇航员带入太空!经历一段太空环境后!
再返回地球进行培育的育种方法!是将辐射+
宇航+育种和遗传等学科综合的高新技术!经
太空育种后的鲜花花期更长+花朵更鲜艳+价
格也较高!我国培育成功的太空育种鲜花)延
丹& 号*山丹丹价格为*3 元/盆!)太空玫瑰*
价格为33 元/盆!为美化环境!公园计划购买
这两种太空育种鲜花共*-- 盆!若购买这两种
鲜花的总价为3 (-- 元!请计算购买)延丹&
号*山丹丹和)太空玫瑰*的盆数!
解#设购买%延丹& 号&山丹丹"盆$购买%太空
玫瑰&*盆$
可列方程组"$*'*--$
*3"$33*'3 (--
{
$解得"'&/-$
*'/-
{
!
答#购买%延丹& 号&山丹丹&/- 盆$购买%太空
玫瑰&/- 盆
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
*
'
)
!"#$%&'()*%!"+
+
日子慢慢走!成长慢慢来!不慌不忙!才是少年最好的姿态"
!%"
'! )* !("*'" -. !!"!$ oX>o&'.)哥哥和弟
弟在#-- 米的环形跑道上慢跑!若两人同时同
地!反向出发!则# 分钟相遇'若同时同地!同
向出发!#- 分钟哥哥追上弟弟!则哥哥每分
钟跑
" # #
!"// 米
)"#/ 米
+"/- 米
."#- 米
(!在一次有&* 支球队参加的足球循环赛中"每
两队必须赛一场#!规定胜一场得( 分!平一场
得& 分!负一场得- 分!某队在这次循环赛中
所胜场数比所负场数多*!结果得&2 分!那么
该队胜了
" $ #
!"( 场
)"# 场
+"/ 场
."0 场
*!
!!"!$ "#$%&'.)*-*/ 年&& 月*/ 日!神舟
二十二号飞船应急发射成功!开启了中国航天
事业的新篇章!某中学为了培养学生科技创新
意识!开设了)蓝天梦想家*航模兴趣社团!计
划购进!!)两种航模!据了解!购买& 件!型
航模和* 件)型航模需2-- 元!购买* 件!型
航模和( 件)型航模需& (-- 元!
"&#求!!)两种航模每件分别为多少元'
"*#张老师欲同时购买两种航模!在采购时恰
逢商家推出优惠活动!两种航模均打九折
出售!这次采购预计共花费33- 元!请问张
老师有哪几种购买方案(
解#!&"设!型航模每件"元$)型航模每件
*元!
根据题意$得"$**'2--$
*"$(*'& (--
{
$解得"'*--$
*'(--
{
!
答#!型航模每件*-- 元$)型航模每件(-- 元!
!*"设购买)件!型航模$+ 件)型航模!
根据题意$得*-- 6-!3)$(-- 6-!3+ '33-$
所以+ '&& %*)
(
!
因为)$+ 均为正整数$所以)'&$
+{
'( 或)'#$
+ '&
{
!
所以张老师共有* 种购买方案$
方案&$购买& 件!型航模$( 件)型航模(
方案*$购买# 件!型航模$& 件)型航模!
!)! TU+V 阅读下列材料$
%张丘建算经&是一部数学问题集!
其内容+范围与%九章算术& 相仿!
其中提出并解决了一个在数学史上非常著名
的不定方程问题!通常称为)百鸡问题*$)今
有鸡翁一!值钱五'鸡母一!值钱三'鸡雏三!
值钱一!凡百钱买鸡百只!问鸡翁+母+雏各
几何(*
译文$每一只公鸡值五文钱!每一只母鸡值三
文钱!每三只小鸡值一文钱!现在用一百文钱
买一百只鸡!问这一百只鸡中!公鸡+母鸡+小
鸡各有多少只(
结合你学过的知识!解决下列问题$
若设母鸡有"只!公鸡有*只!
"&#!小鸡有4!&-- %"%*"4只!买小鸡一
共花费4&-- %"%*
(
*或!&-- %("%/*"+
4文钱'"用含"!*的式子表示#
"根据题意!列出一个含有"!*的方程$
4("$/*$&-- %"%*
(
'&--4!
"*#若对)百鸡问题* 增加一个条件$母鸡数
量比公鸡数量的# 倍多* 只!求此时公
鸡+母鸡+小鸡各有多少只!
"(#除了问题"*#中的解之外!请你再直接写
出两组符合)百鸡问题*的解!
解#!*" 母鸡有"只$公鸡有*只$则小鸡有
!&-- %"%*"只!
根据题意$ 得
"'#*$*$
("$/*$&-- %"%*
(
'&--
{
$解
得"'&2$
*'#
{
!
所以&-- %"%*'12!
答#母鸡有&2 只$公鸡有# 只$小鸡有12 只!
!("公鸡有- 只$母鸡有*/ 只$小鸡有1/ 只(
公鸡有2 只$母鸡有&& 只$小鸡有2& 只!!答
案不唯一"
提示#将("$/*$&-- %"%*
(
'&-- 化简$得
"'*/ %1
# *!当*'- 时$"'*/$&-- %"%*'
1/(当*'# 时$"'&2$&-- %"%*'12(当*'
2 时$"'&&$&-- %"%*'2&(当*'&* 时$"'
#$&-- %"%*'2#(当*'&0 时$"'%($不符
合题意!故除了问题!*" 中的解之外$以下(
组答案$ 写出其中任意两组即可$ 答案不
唯一!
!公鸡有- 只$母鸡有*/ 只$小鸡有1/ 只(
"公鸡有2 只$母鸡有&& 只$小鸡有2& 只(
#公鸡有&* 只$母鸡有# 只$小鸡有2# 只
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
)
(
)
44
4+
,-./0./1
! ! "
心有繁花!目有星光!不惧世事纷扰!专注自己!稳步前行"
!" "#
>XLC>SLC
!%*
$%&
# # >XLC#
!!
!!"!# _X'.)某中学现有学生/-- 人!计划一
年后女生在校生增加(,!男生在校生增加
#,!这样!在校学生将增加(!0,!那么该校
现有女生和男生人数分别是
" # #
!"*-- 和(--
)"(-- 和*--
+"(*- 和&2-
."&2- 和(*-
"! )* !(*%'(* -. 小源的爸爸在种植黄桃的期
间!发现黄桃树出现了炭疽病!他打算配一些农
药来喷洒治病!要用含药(-,和1/,的两种药
液!配制含药/-,的药液&2 @J!则含药(-,和
1/,的两种药液分别需取4&-4@J和424@J!
#!
!!"!$ ^X41)茶叶是我省西南地区的特产!某
村部分青年返乡创业生产销售!!)两种茶
叶!去年年初制订的计划是完成总销售利润
*-- 万元"经过努力!其中生产销售!种茶叶
的利润比原计划增加/D!生产销售)种茶叶
的利润比原计划增加&/D!实际生产销售的
总利润为**/ 万元!他们去年生产销售!!)两
种茶叶实际完成的销售利润各多少万元(
解#设他们去年计划生产销售!种茶叶的销售
利润为"万元$)种茶叶的销售利润为*万元!
根据题意$
得
"$*'*--$
!& $/,""$!& $&/,"*'**/
{
$
解得
"'/-$
*'&/-
{
$
所以!& $/,""'!& $/," 6/- '/*!/$!& $
&/,"*'!& $&/," 6&/- '&1*!/!
答#他们去年生产销售!$)两种茶叶实际完
成的销售利润分别为/*!/ 万元$&1*!/ 万元!
$%&
$ # >SLC#
$! !"#$%&'(
!!"!% G(1)我国古代%算法
统宗&里有这样一首诗)我问开店李三公!众
客都来到店中!一房七客多七客!一房九客一
房空!*诗中后面两句的意思是$如果每一间客
房住1 人!那么有1 人无房可住'如果每一间
客房住3 人!那么就空出一间客房!设有客房"
间!客人*人!则可列方程组为
" ! #
!"
1"%1 '*!
3 "
(
)
$&
'
{
*
)"
1"%1 '*!
3 "
(
)
%&
'
{
*
4
+"
1"$1 '*!
3 "
(
)
$&
'
{
*
."
1"$1 '*!
3 "
(
)
%&
'
{
*
%! !"#$RS'(
)* !("*'( -. 冰糖葫芦是中
国传统小吃!起源于南宋!冰糖葫芦一般是用
竹签串上山楂!再蘸以糖浆制作而成!现将一
些山楂分别串在若干根竹签上!如果每根竹签
串/ 个山楂!还剩余# 个山楂'如果每根竹签
串2 个山楂!还剩余1 根竹签!则这些竹签有
4*-4根!
&!
!!"!$ '.)工厂为某活动生产一批纪念品!
每套纪念品中包含了& 个玩偶和* 个钥匙扣!
已知一共有3 名工人参与制作!每人每天能制
作玩偶*- 个或者钥匙扣/- 个!为了使生产的
玩偶和钥匙扣刚好配套!工厂需要安排多少名
工人制作玩偶!多少名工人制作钥匙扣(
解#设安排"名工人制作玩偶$*名工人制作钥
匙扣!
可列方程组
"$*'3$
* 6*-"'/-*
{
$
解得
"'/$
*'#
{
!
答#工厂需要安排/ 名工人制作玩偶$# 名工
人制作钥匙扣
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
(
)
!"#$%&'()*%!"+
+
年少的勇气最可贵!不惧困难!不畏迷茫!勇敢奔赴每段旅程"
!%*
'!
!!"!# (1)神舟二十号发射窗口时间恰
逢第十个)中国航天日*!为激发青少年探索
浩瀚宇宙的兴趣!学校组织3-- 名师生乘车前
往航空科技馆参观!计划租用#/ 座和0- 座两
种客车"两种客车都要租#!若每名师生都有
座位且每辆客车都没有空座位!则租车方案有
" " #
!"( 种
)"# 种
+"/ 种
."0 种
(!
!!"!# 0C(1)某文物考古研究院用&E&复原
的青铜蒸馏器进行了蒸馏酒实验!用复原的青
铜蒸馏器蒸馏粮食酒和芋头酒!需要的原材料
与出酒率"出酒率'出酒量
糟醅量6&--,#如下表$
类别
原材料
出酒率
粮食酒
粮食糟醅"含大米+糯米+
谷壳+大曲和蒸馏水#
(-,
芋头酒芋头糟醅"含芋头+小曲和蒸馏水#
*-,
如果第一次实验分别蒸馏出粮食酒和
芋头酒共&0 千克'第二次实验分别蒸
馏出粮食酒和芋头酒共(0 千克!且所
用的粮食糟醅量是第一次的* 倍!芋
头糟醅量是第一次的( 倍!
"&#求第一次实验分别用了多少千克粮食糟
醅和芋头糟醅!
"*#
:;<= 受限于当时的生产条件!古代青
铜蒸馏器的出酒量约为现代复原品的
2-,!若粮食糟醅中大米占比约为&
# !请
问!在古代要想蒸馏出这两次实验得到的
粮食酒总量!需要准备多少千克大米(
解#!&"设第一次实验用了"千克粮食糟醅和
*千克芋头糟醅!
由题意$得(-,"$*-,*'&0$
(-, 6*"$*-, 6(*'(0
{
$
解得"'#-$
*'*-
{
!
答#第一次实验用了#- 千克粮食糟醅和*- 千
克芋头糟醅!
!*"设需要大米)千克!
由题意$得)=&
# 6(-, 62-, '(-, 6( 6#-$
解得)'(1!/!
答#需要准备(1!/ 千克大米!
!另解见答案册"
*!某工厂计划生产甲+乙两种季节性产品!在春
季中!甲种产品售价为/- 千元/件!乙种产品
售价为(- 千元/件!生产这两种产品需要!!)
两种原料!
!种原料A"吨A件#
)种原料/"吨/件#
甲产品
#
*
乙产品
(
&
每个季节该厂能获得!种原料&*- 吨!)种原
料/- 吨!
"&#如何安排生产!才能恰好使两种原料全部
用完( 此时总产值是多少万元(
"*#在夏季中甲种产品售价上涨&-,!而乙种
产品售价下降&-,!并且要求甲种产品比
乙种产品多生产*- 件!如何安排甲+乙两
种产品的生产!能使总产值是& *0# 千元(
解#!&"设生产甲种产品"件'乙种产品*件!
根据题意$得#"$(*'&*-$
*"$*'/-
{
$
解得"'&/$
*'*-
{
!
/- 6&/ $(- 6*- '1/- $0-- '& (/-!千元"$
& (/- 千元'&(/ 万元!
答#生产甲种产品&/ 件'乙种产品*- 件才能
恰好使两种原料全部用完$此时总产值是&(/
万元!
!*"设生产甲种产品)件'乙种产品+ 件!
根据题意$
得)%+ '*-$
!& $&-," 6/-)$!& %&-," 6(-+ '& *0#
{
$
解得)'**$
+ '*
{
!
此时消耗!原料** 6# $* 6( '3#!吨"$
消耗)原料** 6* $* 6& '#0!吨"$
因为3# ,&*-$#0 ,/-$所以这样安排可行!
答#生产甲种产品** 件'乙种产品* 件$能使总产
值是& *0# 千元
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
"
(
)
44
4+
,-./0./1
! ! "
秋去春来!时光辗转!在书香里沉淀自我!在岁月里慢慢蜕变"
!
78 !!
DE56=FG64"-!
!%%
>?
# #
h>q#
!!!!)两地间的路程为*- @9!甲+乙两人同时
相对而行!* ? 后相遇!相遇后甲就返回!地!
乙仍向!地前进!甲回到!地时!乙离!地还
有* @9!
"&#设甲的速度为"@9A?!乙的速度为*@9A?!
在下列线段图中的括号内填入适当代
数式!
"*#求甲+乙两人的速度!
解#!&"如图所示!
!*"根据!&"中线段图$得*"$**'*-$
* $**$**'*-
{
$
解得"'/!/$
*'#!/
{
!答#甲的速度为/!/ @9A?$乙的
速度为#!/ @9A?!
"!老师在黑板上出了一道题$ !! )两地相距
#0 千米!甲骑自行车从!地前往)地!速度为
每小时&/ 千米!& 小时后!乙骑摩托车也沿相
同的路线从!地前往)地!速度为每小时#-
千米!乙出发多长时间后能追上甲(
为了更好地理解题意!老师设出未知数"!并
画出了如下线段图!
请你按照老师的思路写出完整的解答过程!
追问$若乙到达)地后立即返回!返回途中与
甲相遇的地点距!地多少千米(
解#设乙出发"小时后能追上甲!
根据题意$得#-"'&/"$&/ 6&$解得"'-!0!
答#乙出发-!0 小时后能追上甲!
追问#设乙出发*小时后$在返回途中与甲
相遇!
根据题意$得#-*$&/ 6& $&/*'#0 6*$解得
*'&!#$所以&/ $&/ 6&!# '(0!千米"!
答#若乙到达)地后立即返回$返回途中与甲
相遇的地点距!地(0 千米!
>?
$ # *>q#
#!
!!"!$ _XKN)某水果店*-*/ 年第一季度苹果
和橙子的总销售额为2 --- 元!第二季度两种
水果的销售额均有增长!其中苹果销售额增长
了&/,!橙子销售额增长了*-,!
"&#设*-*/ 年第一季度苹果销售额为)元!
橙子销售额为+ 元!请用含)!+ 的代数式
填写下表'
季度
苹果
销售额/元
橙子
销售额/元
总销
售额/元
第一季度
)
+
2 ---
第二季度
&!&/)
&!*+
&!&/)$&!*+
"*#已知第二季度总销售额比第一季度增加
了& #-- 元!求第二季度苹果和橙子的销
售额分别是多少元!
解#!*"由题意$得)$+ '2 ---$
&!&/)$&!*+ '2 --- $& #--
{
$
解得)'# ---$
+ '# ---
{
$ 所以&!&/)'# 0--$&!*+ '
# 2--!
答#第二季度苹果销售额为# 0-- 元$橙子销
售额为# 2-- 元!
$!
!!"!$ %'.)健康营养师用甲+乙两种原料
为运动员的康复训练配制营养品!已知每克甲
原料含-!# 单位蛋白质和-!2 单位铁!每克乙
原料含& 单位蛋白质和-!2 单位铁!
"&#依据题意!填写下表!
项目
甲原料"克
乙原料*克
蛋白质/单位
4-!#"4
4*4
铁/单位
4-!2"4
4-!2*4
"*#如果一个运动员每餐需要(* 单位蛋白质
和#- 单位铁!那么每餐含甲+乙两种原料
各多少克恰好能满足运动员的需要(
解#!*"设每餐含甲原料"克$乙原料*克恰好
能满足运动员的需要!
根据题意$得-!#"$*'(*$
-!2"$-!2*'#-
{
$
解得"'(-$
*'*-
{
!
答#每餐含甲原料(- 克$乙原料*- 克恰好能
满足运动员的需要
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
#
(
)
!"#$%&'()*%!"+
+
落日余晖洒向校园!少年心事随风远航!温柔岁月!慢慢成长"
!
' !" (!
H(')"#A*+,-!
!" !#
)<;=$%l
!%%
$%&
# # <;=$%l&'(#
!!下列方程组中!是三元一次方程组的是" ! #
!"
"
* %*'&!
*$7'-!
"7
{
'*
)"
&
"$*'&!
&
*$7'*!
&
7$"
'0
+"
# $$$%$4 '&!
# %%'*!
$%4
{
'(
."
)$+ '&2!
+ $('&*!
($)
{
'-
$%&
$ # )<;=$%l#
"!下列四组数值中!是方程组
"$**$7'-!
*"%*%7'&!
("%*%7
{
'*
的
解的是
" ! #
!!
"'-!
*'&!
7
{ '%*
)!
"'-!
*'-!
7
{ '&
+!
"'-!
*'%&!
7
{ '-
.!
"'&!
*'%*!
7
{ '(
#!解方程组
("%*$*7'(!
*"$*%/7'&&!
1"$*%/7'&
{
!
若要使运算简便!
消元的方法应选取
" " #
!"先消去"
)"先消去*
+"先消去7
."以上说法都不对
$! :;<= !!"!$ '.)若
"$*'/!
*$7'0!
"$7'1
{
!
则"$*$
7'434!
%!解下列方程组$
"&#
"%*$7'-!
#"$**$7'(!
*/"$/*$7'0-
{
'
解#
"%*$7'-$!
#"$**$7'($"
*/"$/*$7'0-$
{
#
" %!$得("$(*'($即"$*'&$$
# %!$得*#"$0*'0-$即#"$*'&-$%
% %$$得("'3$解得"'(!
把"'( 代入$$得( $*'&$解得*'%*!
把"'($*'%* 代入!$得( $* $7'-$
解得7'%/!
所以
"'($
*'%*$
7'%/
{
!
"*#
("$**$/7'*!
"%**%7'0!
#"$**%17'(-
{
'
解#
("$**$/7'*$!
"%**%7'0$"
#"$**%17'(-$
{
#
! $"$得#"$#7'2$即"$7'*!$
" $#$得/"%27'(0!%
$ 6/ %%$得&(7'%*0$解得7'%*!
把7'%* 代入$$得"'#!
把"'#$7'%* 代入!$得&* $**%&- '*$解
得*'-!
所以
"'#$
*'-$
7'%*
{
!
"(#
("%*$7'&-!
"$**%7'0!
"$*$*7'&1
{
'
解#
("%*$7'&-$!
"$**%7'0$"
"$*$*7'&1$
{
#
! $"$得#"$*'&0$$
" 6* $#$得("$/*'*3$%
$ 6/ %%$得&1"'/&$解得"'(!
把"'( 代入$$得*'#!
把"'($*'# 代入!$得3 %# $7'&-$
解得7'/$所以
"'($
*'#$
7'/
{
!
"##
*"$#*%(7'*!
#"$1*$7'(!
2"$(*%*7'%/
{
!
解#
*"$#*%(7'*$!
#"$1*$7'($"
2"$(*%*7'%/$
{
#
" %! 6*$得%*$17'%&!$
" 6* %#$得&&*$#7'&&!%
由$得*'17$&!&
把&代入%$得&&!17$&" $#7'&&$解得7'-!
把7'- 代入&$得*'&!
把*'&$7'- 代入!$得*"$# %- '*$
解得"'%&!
所以
"'%&$
*'&$
7'-
{
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
$
(
)
44
4+
,-./0./1
! ! "
放下无谓的内耗!专注当下生活!简单自律!便是人间好光景"
!" "#
<;=$%l&g2
!%+
!!
!!"!$ {d'.)为确保信息安全!信息
需要加密传输!发送方由明文+密文"加密#!
接收方由密文+明文"解密#!已知加密规则
为$明文#!$!%!对应密文# $&! %# $*$$#!
$$(%$3!若接收方收到密文1!&*!**!则解密
得到的明文为
" $ #
!"0!*!1
)"*!0!1
+"0!1!*
."1!*!0
"!
!!"!$ [X&41)有一份选择题试卷共六道
小题!其得分标准是$一道小题答对得2 分!答
错得- 分!不答得* 分!某同学共得了*- 分!
则他
" ! #
!"至多答对一道小题
)"至少答对三道小题
+"至少有三道小题没答
."答错两道小题
#! )* !("# Q * -. 一个三位数!各个数位上的
数字之和为&-!百位上的数字比十位上的数
字大&!若百位上的数字与个位上的数字对
调!所得新数比原数的( 倍还大0&!则原来的
三位数是4*&14!
$!若一个三角形的周长为*#!其中两条边的长度
之和比第三条边的长度多#!而它们的差是第三
条边的长度的&
/ !设其中两条边的长度分别为"!
*!则三角形中最短的一条边的长度为404!
%!在春节来临之际!某购物商城推出!!)!+三种
礼盒!若购买!礼盒( 盒+)礼盒* 盒和+礼盒
* 盒!则需付人民币* *-- 元'若购买!礼盒# 盒+
)礼盒( 盒和+礼盒/ 盒! 则需付人民币
( &/- 元"李老板预计购买!礼盒/ 盒+)礼盒
# 盒和+礼盒2 盒!则共需付人民币4# &--4元"
&!小明从家到学校的路程为(!( 千米!其中有一
段上坡路+一段平路和一段下坡路!如果保持
上坡路每小时行( 千米!平路每小时行# 千
米!下坡路每小时行/ 千米!那么小明从家到
学校用& 小时!从学校到家要## 分钟!求小明
家到学校上坡路+平路+下坡路各是多少千米!
解#设小明家到学校上坡路是"千米$平路是*
千米$下坡路是7千米!
依题意$得
"$*$7'(!($
"
( $*
# $7
/ '&$
7
( $*
# $"
/ '##
0-
$
解得
"'*!*/$
*'-!2$
7'-!*/
{
!
答#小明家到学校上坡路是*!*/ 千米'平路是
-!2 千米'下坡路是-!*/ 千米!
'!
!!"!# GY &'()某动物保护机构要给需要
救助的动物准备!!)!+三种类型的食物共
(&- 份!现安排#- 名志愿者来准备这些食物!
每名志愿者只能准备同一种类型的食物!且要
求每名志愿者满工作量!根据以下表格信息!
回答问题!
食物类型
!
)
+
每名志愿者准备量/份
0
2
3
"&# 如果+类型食物安排了&0 名志愿者!那
么!!)两种类型食物各需多少名志愿者(
"*#现要求每种类型的食物至少安排&& 名志
愿者!求三种类型的食物各需安排多少名
志愿者!写出所有可行的方案!
解#!&"设!类型食物需"名志愿者$)类型食
物需*名志愿者$
由题意$得"$*'#- %&0$
0"$2*'(&- %&0 63
{
$解得"'&($
*'&&
{
!
答#!类型食物需&( 名志愿者$)类型食物需
&& 名志愿者!
!*"设!类型食物需安排# 名志愿者$)类型
食物需安排$名志愿者$+类型食物需安排%
名志愿者$
由题意$得# $$$%'#-$!
0# $2$$3%'(&-$
{
"
! 63 %"$得(# $$'/-!#
因为#,&&$$,&&$%,&&$结合#式$可知# 的
取值可以为&&$&*$&(!
所以令# '&&$则$'&1$%'&*$满足题意(令
# '&*$则$'&#$%'&#$满足题意(令# '&($
则$'&&$%'&0$满足题意!
所以可行的方案有( 种#
!!$)$+三种类型食物需分别安排&&$&1$&*
名志愿者(
"!$)$+三种类型食物需分别安排&*$&#$&#
名志愿者(
#!$)$+三种类型食物需分别安排&($&&$&0
名志愿者
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
%
(
)
!"#$%&'()*%!"+
+
少年的征途不畏风霜!心怀赤诚与热爱!步步生花!岁岁晴朗"
4
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
!
IJKL7M!
!%,
体育与健康是学校素质教育的重要组成部分!
为活跃校园氛围!培养学生团队合作的精神!某
校计划开展七年级趣味运动会!
-基础设问.
"&#七"&#班计划购买甲+乙两种型号的羽毛球
拍共(- 副!已知甲种型号的羽毛球拍每副
/- 元!乙种型号的羽毛球拍每副#- 元!若购
买甲+乙两种型号的羽毛球拍共花费& (0-
元!求甲+乙两种型号的羽毛球拍各买了多
少副!
解#设甲种型号的羽毛球拍买了"副$乙种
型号的羽毛球拍买了*副$
依题意$得"$*'(-$
/-"$#-*'& (0-
{
$解得"'&0$
*'&#
{
!
答#甲种型号的羽毛球拍买了&0 副$乙种型
号的羽毛球拍买了&# 副!
"*#王老师组织七"*#班的学生打扫操场!其中
男生*/ 人!女生&1 人!如果让男生单独打
扫!需要/ ?!如果让女生单独打扫!需要
1!/ ?!如果让男生+女生一起打扫& ?!再由
男生单独完成剩余的部分!那么男生共打扫
了多长时间(
解#设男生共打扫了"?$则
&
/ $ &
1!/ $"%&
/
'&$解得"'&(
( !
答#男生共打扫了&(
( ?!
-能力设问.
"(#趣味运动会表演需要使用一种圆柱形小鼓!
在劳动课上杨老师带领七"/# 班/- 名学生
进行制作! 该班男生人数比女生人数少
0 人!并且每名学生每小时可制作* 个鼓身
或剪0 个鼓面!求男生和女生各有多少人!
追问&#老师组织全班学生制作小鼓!要求一
个鼓身配两个鼓面!为了使每小时制作的鼓
身与剪出的鼓面刚好配套!应该分配多少名
学生制作鼓身( 多少名学生剪鼓面(
追问*#若想& 小时制作3- 个小鼓!且制作
的鼓身与剪出的鼓面刚好配套!应再加入多
少名学生(
解#设男生有"人$则女生有!/- %""人$
由题意$得"$0 '/- %"$解得"'**!
/- %"'*2!
答#男生有** 人$女生有*2 人!
追问&#设分配)名学生制作鼓身$则!/- %
)"名学生剪鼓面$
由题意$得* 6*)'0!/- %)"$
解得)'(-!
/- %)'*-!
答#应分配(- 名学生制作鼓身$*- 名学生剪
鼓面!
追问*#由追问& 知(- 名学生制作鼓身$*-
名学生剪鼓面$
则& ? 可制作小鼓(- 6* '0-!个"$还需制
作小鼓3- %0- '(-!个"$
因为/- 名学生& ? 可制作0- 个小鼓$所以
*/ 名学生& ? 可制作(- 个小鼓$所以还需
再加入*/ 名学生!
答#应再加入*/ 名学生!
-拓展设问.
"##在足球趣味赛中!共赛了&1 轮"即每队均需
参赛&1 场#!记分办法是胜一场得( 分!平
一场得& 分!负一场得- 分!
!在这次足球赛中!若小虎足球队踢平场数
与踢负场数相同!共积&0 分!求该队胜了
几场'
"在这次足球赛中!若小虎足球队总积分仍
为&0 分!且踢平场数是踢负场数的整数倍!
试推算小虎足球队踢负场数的情况有几种!
解#!设小虎足球队胜了"场$平了*场$则
负了*场!
依题意得"$**'&1$
("$*'&0
{
$解得"'($
*'1
{
!
答#该队胜了( 场!
"设小虎足球队胜了)场$平了+ 场$负了7场$
依题意得
)$+ $7'&1$!
()$+ '&0$"
+ '-7!-为整数"$
{
#
把#分别代入!"$得)$!-$&"7'&1$
()$-7'&0
{
$
消去)$得7' (/
*-$( !-为整数"!
由题意知7为正整数$
所以当-'& 时$7'1(当-'* 时$7'/(
当-'&0 时$7'&!
所以小虎足球队踢负场数的情况有三种#负
1 场或负/ 场或负& 场
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
&
(
)
44
4+
,-./0./1
! ! "
笔墨染岁月!书香润成长!在懵懂年华!积攒力量奔赴远方"
!%,
!!
!!"!% >X(1)小红学习了等式的基
本性质后!在甲+乙两台天平的左右
两边分别放入)#*)"*)$*三种物
体!如图所示!天平都保持平衡!若设) #* 与
)"*的质量分别为"!*!则下列关系式正确的
是
" $ #
!!"'*
)!"'**
+!"'#*
.!"'/*
"!
!!"!# ¡¢(1)某商场打折销售一款风扇!若按
标价的六折出售!则每台风扇亏损&- 元'若按
标价的九折出售!则每台风扇盈利3/ 元!这款
风扇每台的标价为
" # #
!"(/- 元
)"(*- 元
+"*1- 元
."**- 元
#! !"#$%&'(
)* !("*'& -. !!"!% £2(1)我
国古代%四元玉鉴&中记载)二果问价*问题!其
内容大致如下$用九百九十九文钱!可买甜果苦
果共一千个!若2!2!试问买甜果苦果各几个(
若设买甜果"个!买苦果*个!可列出符合题意
的二元一次方程组
"$*'& ---!
&&
3 "$#
1 *'333
{
!根据已有
信息!题中用)2!2*表示的缺失的条件应为
" ! #
!"甜果七个用四文钱!苦果九个用十一文钱
)"甜果十一个用九文钱!苦果四个用七文钱
+"甜果四个用七文钱!苦果十一个用九文钱
."甜果九个用十一文钱!苦果七个用四文钱
$! !"#$WXYZ !!"!# Gv(1)把一根长&- 9
的钢管截成( 9长和& 9长两种规格的钢管!
为了不造成浪费!可能截得钢管的总根数为
42!或0 或#"4"写出一种情况即可#!
%!
!!"!% ¤¥c(1)幻方!中国古代
称为)河图* )洛书*!又叫)纵横
图*!如图所示的幻方中! 每一
行+每一列及各条对角线上的三
个数之和均相等!则# 的值为4(4!
&!
!!"!# ]O(1)甲+乙两张等宽的长方形纸条!
长分别为#!$!如图!将甲纸条的&
( 与乙纸条的
*
/ 叠合在一起!形成长为2& 的纸条!则# $$'
4334!
'! !"#$%&'( !!"!# ¦X(1)我国古代很早
就开始研究一次方程组!在%九章算术&的)方
程*章中!古人用算筹表示一次方程组!例如!
算筹图& 表示的方程组为*"$*'&&!
("$**'1
{
!图中省
略了未知数"和*!各行从左到右用算筹依次
表示未知数"!*的系数与相应的常数项!请写
出算筹图* 所表示的方程组!并求出该方程组
的解!
解#根据题意$得*"$(*'&($!
"$**'2$
{
"
由"$得"'2 %**$#
把#代入!$得*!2 %**" $(*'&($
解得*'($
把*'( 代入#$得"'*$
所以该方程组的解为"'*$
*'(
{
!
(! )* !("( Q % -. !!"!% 2§(1)乡村振兴战略
实施以来!很多外出人员返乡创业!某村有部
分返乡青年承包了一些田地!采用新技术种植
!!)两种农作物!种植这两种农作物每公顷所
需人数和投入资金如下表$
农作物
品种
每公顷所
需人数
每公顷所需投入
资金/万元
!
#
2
)
(
3
已知农作物种植人员共*# 位!且每人只参与
一种农作物种植!投入资金共0- 万元!问!!)
这两种农作物的种植面积各为多少公顷(
解#设!种农作物的种植面积为"公顷$)种
农作物的种植面积为*公顷!
根据题意$得#"$(*'*#$
2"$3*'0-
{
$解得"'($
*'#
{
!
答#!$)两种农作物的种植面积分别为( 公
顷'# 公顷
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
'
(
)
!"#$%&'()*%!"+
+
人生没有白走的路!每一步努力!都在悄悄成就更好的我们"
!%#
根据以下素材!探索完成任务!
如何设计板材裁切方案
素材&
图& 中是一张学生椅!主要由靠背+坐垫及铁架组成!经
测量!该款学生椅的靠背尺寸为#- <96&/ <9!坐垫尺寸
为#- <96(/ <9!图* 是靠背与坐垫的尺寸示意图!
素材*
因学校需要!某工厂配合制作该款式学生椅!清点库存时发现!工厂仓库已有大量的学生椅铁架!
只需在市场上购进某型号板材加工制作该款式学生椅的靠背与坐垫!已知该板材长为*#- <9!宽
为#- <9"裁切时不计损耗#!
我是板材裁切师
任务一
拟定裁切方案
若要不造成板材浪费!请你设计出一张该板材的所有裁切方法!
方法一$裁切靠背&0 张和坐垫- 张!
方法二$裁切靠背434张和坐垫4(4张!
方法三$裁切靠背4*4张和坐垫404张!
任务二
确定搭配数量
若该工厂购进/- 张该型号板材!则能制作成多少张学生椅(
解#因为& 张靠背和& 张坐垫可配成& 张学生椅$*#- 6/-
&/ $(/ '*#-!张"$所以用方
法一裁切&- 张板材$用方法三裁切#- 张板材$或用方法二裁切*- 张板材$用
方法三裁切(- 张板材$恰好配成*#- 张学生椅!
所以该工厂购进/- 张该型号板材$能制作成*#- 张学生椅!
任务三
解决实际问题
现需要制作1-- 张学生椅!该工厂仓库现有& 张坐垫和&& 张靠背!还需要购进
该型号板材多少张"恰好全部用完#( 并给出一种裁切方案!
解#设用"张板材裁切靠背3 张和坐垫( 张$用*张板材裁切靠背* 张和坐垫0 张!
根据题意$得
3"$**'1-- %&&$
("$0*'1-- %&
{
$
解得
"'/1$
*'22
{
!
因为/1 $22 '&#/!张"$
所以还需要购进该型号板材&#/ 张$其中/1 张板材按方法二裁切$22 张板材按
方法三裁切!
[\]^ *
_`ab>?cd^e
[\]^ %
(
(
)
44
4+
,-./0./1
! ! "
保持心底纯粹!留住年少温柔!在喧嚣世界里安静生根发芽"
!
!" #!
"#$%!
!"#
&'(
# !"#$%&'()!
!!
!!"!# "#$%&'()如图是一个保温杯!
用数学的眼光可将"保温杯#近似地看成
$ ! %
!"棱柱
#"球
$"圆柱
%"圆锥
"!
!" !$"$%$ #$ 如图!试找出与下面几何图形
类似的实物!$用线连接%
解!如图所示!
&'(
$ !*+,+-+)./&01!
#!
!!"!# *+,-&'()中华武术是中国传统文化
之一!是独具民族风貌的武术文化体系!"枪挑
一条线!棍扫一大片#!从数学的角度解释为
$ " %
!"点动成线!线动成面
#"线动成面!面动成体
$"点动成线!面动成体
%"点动成面!面动成线
$! %&'()*+, 如图!" 尉迟恭单
鞭救主# 图罐是南宁博物馆的镇
馆之宝!下列平面图形绕轴旋转
一周能形成这个瓷罐形状的是
$ ! %
A B C D
&'(
% !'(2345678!
%!如图所示是一间房子的平面示意图!组成这
幅图的简单几何图形是
$ ! %
!"三角形&长方形
#"三角形&梯形
$"三角形&长方形&梯形
%"长方形&梯形
&!
!!"!# ./0/&'()如图!圆柱体桶中装一半
的水!将桶水平放置!此时桶中水面的形状是
$ " %
'!
!!"!# 1#'()老师拿着一个装有某几何体的
盒子!并描述了这个几何体的两个特征!
特征!'它由五个面组成!这些面中只有三角
形和长方形(特征"'它一共有& 条棱!
则盒子里面放的几何体是
$ ! %
!"长方体
#"三棱锥
$"三棱柱
%"五棱锥
(!!!"!$ 23 4 5 & ' ()如图所示的几何体有
'('个顶点!')*'条棱!
)!下列结论中正确的有'"#'!$填序号%
!圆柱由+ 个面围成!这+ 个面都是平的面(
"圆锥由* 个面围成!这* 个面中!) 个是平
的面!) 个是曲的面(
$球仅由) 个面围成!这个面是平的面(
#正方体由, 个面围成!这, 个面都是平
的面
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
)
(
*
!
" ! #
$%&'()
风雨会洗礼成长!挫折会磨炼心性!少年越沉淀!越从容坦荡"
!
)*+,!
-./012!
!"#
!!
!!"!# 6789&:;)如图!用经过"!#!$三点的
平面截去正方体的一个角!得到一个新的多面
体!这个多面体的面数和棱数分别是
$ # %
!"(!)*
#"-!)*
$"(!).
%"-!).
第) 题图
''''
第* 题图
"! %&'()*+, !!"!% <#=;)走马灯!又称仙
音烛!是中国特色工艺品!常见于除夕&元宵&
中秋等节日!在一次综合实践活动中!一同学
用如图所示的纸片!沿折痕折合成一个棱锥形
的"走马灯#!正方形做底!侧面有一个三角形
面上写了"祥# 字!当灯旋转时!正好看到"吉
祥如意#的字样!则在"!#!$处依次写上的字
可以是
$ " %
!"吉'如'意
#"意'吉'如
$"吉'意'如
%"意'如'吉
#!下列各图中!是正方体展开图的是
$ ! %
#$ 如图!某张白纸上放有一
个表面涂满染料的小正方体!
在不脱离白纸的情况下!转动
小正方体!使其各面染料都能印在白纸上!且各
面仅能接触白纸一次!则在白纸上可以形成的
图形有'!$'!$填序号%
$!
!!"!# >?@=A;)如图) 至图+ 是将正方体截
去一部分后得到的多面体!
$)%根据要求填写表格'
面数$%%
顶点数$&%
棱数$'%
图)
-
&
)/
图*
,
(
)*
图+
-
).
)0
$*%猜想%!&!'三个量间有何关系!
$+% 根据猜想!若一个多面体的顶点有* .*/
个!棱有/ .+0 条!试求出它的面数!
$/%某个玻璃饰品的外形是简单多面体!它的
外表面由三角形和八边形两种多边形拼
接而成!且有*/ 个顶点!每个顶点处都有
+ 条棱!设该多面体外表面三角形的个数
为(!八边形的个数为)!求(1)的值!
解!"*#根据图) 得$- 1& 2)/ 3*$
根据图* 得$, 1( 2)* 3*$
根据图+ 得$- 1). 2)0 3*$
由此猜想%$&$'三个量间的关系为%1&2'3*!
"+#因为&3* .*/$'3/ .+0$%1&2'3*$
所以%1* .*/ 2/ .+0 3*$所以%3* .)+$
即它的面数是* .)+!
"/# 这个多面体的面数%3(1)$ 棱数'3
*/ 4+
*
3+,$
由&1%2'3*$得*/ 1"(1)# 2+, 3*$所以
(1)3)/
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
*
)
*
''
'!
"#$%&'
! ! "
晨起逐光!暮时拾暖!认真对待每一天!便是青春最好模样"
!
!" $!
34563573!
9: !!,;+<,+=,&>?
!"&
&'( !,;+<,+=,&>?!
!! -./(0+ )红楼梦*第0- 回有这么一句话'
"自古道'+千里姻缘一线牵!, 管姻缘的有一
位月下老儿!预先注定!暗里只用一根红丝!把
这两个人的脚绊住!# 请问!这里所说的"丝#
若是真的!则在数学中指的可能是
$ ! %
!"直线
#"射线
$"线段
%"以上都不对
"! !" !$""%$ #$ 下列各图中!直线的表示方法
正确的是
$ # %
!
#
$
%
#!
!!"!# B='()下列四幅图中!射线*"与射线
*#是同一条射线的为
$ ! %
'''''!'''''''''#
'''''$'''''''''%
$!
!!"!# CDE8F'()下列几何图形与相应语言
描述相符的是
$ $ %
!"如图) 所示!点$在线段#"上
#"如图* 所示!射线#$经过点"
$"如图+ 所示!延长线段"#到点$
%"如图/ 所示!图中共有/ 条射线
!"&
%!
123
!" !$"# %' #$
图中有' ) ' 条直线!
有',' 条射线! 有
','条线段!
&!如图!已知数轴的原点为+!点"表示+!点#表
示2+
* !
$)%数轴上原点+右边的部分$包括原点%是
什么图形- 怎么表示-
$*%射线+#上的点表示的数是什么数- 端
点表示什么数-
$+%数轴上表示大于或等于2+
* 且小于或等
于+ 的部分是什么图形- 怎么表示-
解!")#因为数轴是可以向两个方向无限延伸
的$所以数轴上原点+右边的部分" 包括原
点#是射线$表示为射线+"!
"*#因为射线+#在数轴的原点的左边"包括
原点#$所以射线+#上的点表示非正数$端点
表示.!
"+#数轴上表示大于或等于2+
* 且小于或等
于+ 的部分是线段$表示为线段"#!
'! 4567
$)%
!" !$"(%'8$9#$ %观察思考&如
图!线段"#上有两个点$!,!分别以点"!#!
$!,为端点的线段共有','条!
$*%%模型构建& 若线段上有-个点$包括端
点%! 则该线段上共有' -"-2)#
*
' 条
线段!
$+%
%:; %拓展应用&*.*, 年, 月底!淮宿
蚌城际铁路开通运营!它是皖北城市群连
接合肥都市圈及沪宁杭等地区的便捷通
道!该路线设有淮北北&淮北西&宿州西&
双堆集&固镇南&蚌埠南, 座车站!若要满
足乘客在这, 个站点之间的往返需求!铁
路公司需要准备'+.'种不同的车票
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
)
*
&()*+,-./0+!"!
!
不必事事完美!接纳不完美的自己!向阳而行!自在且温柔"
9: "!=,&@ABCD,;+<,+=,&EF
!"&
&'(
# !=,&@ABCDGH=,!
!!
!!"!# 6G'()如图!直线.与直线-相交于点
+!下列说法错误的是
$ # %
!"点"在直线-外
#"点*在直线.上
$"点#在线段+"的反向
延长线上
%"直线-与线段"#相交于点+
"!
%&'()*+,
!!"!# H I ' ()如
图!墨斗被认为是鲁班的发明!是木
匠用来弹&放各种线记的重要工具!以其"绳
之以墨# 的功能成为文人墨客心中正直的化
身!经过刨平的木板上的两个点!能用墨斗弹
出一条笔直的墨线!而且只能弹出一条墨线!
能解释这一实际应用的数学知识是'两点确
定一条直线'!
&'(
$ !,;+<,+=,&EF!
#!
!!"!# JK'()如图!已知三点"!#!$!画直线
"#!画射线"$!连接#$!按照上述语句画图正
确的是
$ " %
'
''!'''' #''' '$'''' %
$!
!!"!# L6MN&O;)如图!已知"!#!$!,四
点!根据下列语句画图!
$)%画直线"#(
$*%连接"$!#,!相交于点+(
$+%画射线",!#$!交于点*!
解!")#"*#"+#如图所示!
!"&
%!
!!"!# CDPQ&:;)如图!* 条直线相交有) 个
交点!+ 条直线相交最多有+ 个交点!/ 条直线
相交最多有, 个交点..按照这样的规律!若
/ 条直线相交交点最多有+, 个!则此时/ 的值
为
$ # %
!").
#"&
$"(
%"-
&!
!" !$"#%( #$ 如图!平面上有"!#!$!,四
点!按下列要求画图'
$)%画线段",!射线"$(
$*%画直线.!点"在直线.外!点#在直线
.上(
$+%连接#,!#,与射线"$相交于点0(
$/%连接#$并延长!交线段",的延长线于
点1!
解!")#"*#"+#"/#如图所示!
'! !" !$#$) < %$ #$ 过平面上四点中的任意两
点画直线!甲说可画一条!乙说可画四条!丙说
可画六条!丁说他们说得都不对!应该是一条&
四条或六条!你觉得谁说得对- 请画图来说明
你的看法!
解!丁说得对!分三种情况!
")#当四点共线时$可画一条直线$如图)'
"*#当四点中有三点共线时$可画四条直线$
如图*'
"+#当四点中任意三点不共线时$可画六条直
线$如图+!
'' '图)' '''图*' ''图
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
+
"
)
*
''
'!
"#$%&'
! ! "
时光催着人长大!岁月磨去稚气!慢慢懂事!慢慢温柔强大"
!
!" %!
3489:!
9: !!,;&IJKLD,;&MN
!"*
&'(
# !,;&IJKL!
!!
!!"!# K?'()如图!用圆规比较两条线段"#
和"2#2的大小!其中正确的是
$ # %
!""2#25"#
#""2#26"#
$""2#23"#
%"无法比较
"!如图!比较线段"$和"#的长短!合理的方
法有
$ ! %
!沿点"折叠!使"#和"$重合!观察点#的
位置("用直尺度量出"#和"$的长度($用
圆规将线段"#叠放到线段"$上!观察点#
的位置(#凭感觉估计!
!") 个
#"* 个
$"+ 个
%"/ 个
#! -./(=> 体育课上!小聪&小明&小智&小慧
分别在点+处进行了一次铅球试投!铅球分别
落在图中的点"!#!$!,处!则他们四人中!成
绩最好的是'小智'!$填人名%
&'(
$ !,;&MDN!
$! !" !$(+%, #$ 如图!下列等式不一定成立的
是
$ ! %
!"",2$,3"#1#$
#""$2#$3",2#,
$""$2#$3"$1#,
%"",2"$3#,2#$
#$
如图!点#!点$都在线段",上!若
",3*#$!则
$ ! %
!""#3$,
#""$2$,3#$
$""#1$,3#$
%"",1#$3*"$
%!
!!"!# RST'()如图!点"!#!$!,在同一直
线上!"$3#,!比较线段"#与线段$,的大
小
$ " %
!!"#3$,
#!"#5$,
$!"#6$,
%!无法比较
&!
123 !!"!# U?"U&'()已知线段"#3
( 78!在直线"#上画线段#$!使它等于+ 78!
则线段"$的长为
$ ! %
!")) 78
#"0 78
$"0 78或)) 78
%"( 78或)) 78
'!
!!"!# V?'()线段"#的长为+ 78!延长"#
到点$!使"$3*"#!再延长#"到点,!使
#,3+#$!则线段$,的长为')*'78!
&'(
% !OPQ,;!
(!
!!"!# WX'()下列作图中!不能得到3 14的
是
$ # %
)! !" !$"* ? , #$
@3AB 如图!已知线段3!
4!用圆规和无刻度的直尺作一条线段"#!使
"#3*42*3!
解!如图$作射线"5!在射线"5上顺次截取
"$3$,34$ 在线段,"上顺次截取,03
0#33$ 则线段"#3*42*3 即为所求作的
线段!
"优解见答案册
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
#
#
)
*
&()*+,-./0+!"!
!
眼里要有星光!心中要有理想!脚下要有力量!少年无畏远方"
9: "!,;&R*D@ABC
!"*
&'(
# !,;&R*!
!! !" !$(, CD %$ #$ !!"!# U?'()已知"!#!$
三点在同一条直线上!则下列可以判定点$是
线段"#的中点的有
$ " %
!"$1#$3"#( " "$3)
* "#( $ "$3#$(
#"#3*#$!
!!$
#!"#
$!"$#
%!!"$#
"!
!" !$(, D3 %, #$ !!"!# YZ[\&'()如图!
$!,是线段"#上的两点!且点,是线段"$
的中点!若"#3). 78!#$3/ 78!则",的长
为
$ # %
!"* 78
#"+ 78
$"/ 78
%", 78
#$ !!"!$ ]?'()如图!点$为线段"#上
一点!点,是线段"$的中点!#$3+ 78!若
"$3#,!则"#的长为
$ ! %
!")+
/ 78
#", 78
$"& 78
%"*-
/ 78
#!如图!数轴上"!#两点所表示的数分别是2/
和*!点$是线段"#的中点!则点$所表示的
数是
$ " %
!"2)
#"2)"0
$"2*
%".
$!
!" !$#$) < %, #$
!!"!# ^ # ' () 已知线段
"#3).!点$在线段"#上!且满足"$9#$3+9
*!若点5 是"#的中点! 则线段5$的长
为')'!
%!
!!"!# _`'()如图!已知线段"#33!延长"#
至点$!使#$3*"#!,为线段"$的中点!若
#,3*!则3 的值为'/'!
&!
!!"!# CDE#&'()如图!点$是线段"#上的
一点!且"$3)* 78!#$3, 78!点,是"$的
中点!点0是"#的中点!求线段,0的长!
解!因为"$3)* 78$#$3, 78$所以"#3
"$1#$3)* 1, 3)("78#!
因为点,是"$的中点$所以",3,$3)
* "$3
)
* 4)* 3,"78#!
因为点0是"#的中点$所以"03)
* "#3)
* 4
)( 3&"78#$
所以,03"02",3& 2, 3+"78#!
&'(
$ !,;&@ABC4S*/&TU!
'!
!!"!$ a?=;)如图!秦岭终南山公路隧道是我
国自主设计&施工的我国最长的双洞单向高速
公路隧道!一度被誉为"天下第一隧#!隧道线
形为直线!建成后通行里程大大缩短!下面能
解释路程缩短原因的是
$ ! %
!"垂线段最短
#"两点确定一条直线
$"两点之间的所有连线中!线段最短
%"过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
(!
123 !!"!# V?bc&:;)如果线段"#3
0 78!线段#$3/ 78!那么"!$两点之间的距
离是
$ $ %
!"& 78
#") 78
$") 78或& 78
%"
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
以上答案都不对
$
)
*
''
'!
"#$%&'
! ! "
一程山水一程成长!一路风雨一路盛放!青涩年华!向阳而生"
!(+
)!
!!"!# 9<'()如图!在一条笔直的公路.两
侧!分别有5!6两个村庄!现要在公路上建一
个公交站!使得该公交站到两个村庄的距离之
和最短!则该公交站应建在
$ # %
!""处
#"#处
$"$处
%",处
!*!如图!已知#是线段"$上的一点!5是线段
"#的中点!6是线段"$的中点!*是线段
"6的中点!7是线段"5的中点!则569*7
等于
$ # %
!")9)' #"*9)
$"+9)'
%"/9)
!!!
!!"!# ./'()如图!$是线段"#上的一点!
,是#$的中点!已知图中所有线段长度之和
为*+!
$)% 设线段#, 的长为(! 则线段"$3
'*+ 2-(
+
'!$用含(的代数式表示%!
$*%若线段"$!#,的长度都是正整数!则线
段"$的长为'+'!
!"!!!"!# de'()如图)!已知点5是线段"#
上一点!$!,两点分别从5!#同时出发分别以
) 78:;!+ 78:;的速度沿线段#"向左运动!
且点$在线段"5上!点,在线段#5上!
$)%若"#3). 78!当点$!,运动* ;时!
"$15,3'*'78!
$*% 当点$!,运动时!总有5,3+"$!则
"53')
/ '"#!
$+%如图*!若"53)
/ "#!点6是直线"#上
一点!且"62#6356!求56
"#的值!
解!"+#当点6在线段"#上时$如图)$
因为"62#6356$"62"5356$
所以#63"53)
/ "#$
所以563)
* "#$即56
"#3)
* !
当点6在线段"#的延长线上时$如图*$
因为"62#6356$"62#63"#$
所以563"#$即56
"#3)!
综上所述$56
"#的值为)
* 或)!
!#! EFGH !!"!$ CD'()如图!线段
"#3)!点") 是线段"#的中点!点
"*是线段") #的中点!点"+ 是线段
"*#的中点..以此类推!点"/ 1)
是线段"/#的中点!
$)%线段"+#的长为'" )
* # +'(
$*%线段"/#的长为'" )
* # /'(
$+% "") 1") "* 1"* "+ 1. 1", "- 的值
为') 2" )
* # -'!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!(+
VWXY
123456789:
如图!点$!,是线段"#上两点$点$在点,的
左侧%!"#3/ 78!
$)%若",3)<0 78!#$3+<0 78!则$,的长度
为') 78'(
$*%若点,是线段"#的中点!点$是线段",
的中点!则$,的长度为') 78'(
$+%若"$9#$3)9/!",9#,3*9+!则$,的长
度为'/
0 78'(
$/%若点,是线段"#的三等分点!点$是线段",
的中点!则$,的长度为'*
+ 78或/
+ 78'(
$0%若"$3#,!延长线段#"到点5!使5,3
0 78!点6是线段$5的中点!则"6的长
度为')
* 78'
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
%
)
*
&()*+,-./0+!"!
!
慢慢来别着急!时光自有安排!所有付出!都会在未来回响"
!
;< #!
=>(34?@!
!($
如图!*)!** 分别是"#!#$的中点!则*) ** 3
)
* "$!
如图!*)!** 分别是"#!"$的中点! 则*) ** 3
)
* #$!
如图!*)!** 分别是"$!#$的中点!则*) ** 3
)
* "#!
结论""!#!$三点共线!构成线段"#!#$!"$!若
点*)!**是其中任意两条线段的中点!则*)** 3
第三条线段的)
* !
!!
!!"!# CDfg&'()线段"#3)*!在直线"#
上截取线段#$3/!,为线段"#的中点!0为
线段#$的中点!那么线段,0的长为$ ! %
!"(
#",
$"/ 或(
%"/ 或,
"!
!!"!# CDhi&'()如图!线段"#被点$!,分
成*9/9-三部分!5!6分别是"$!,#的中点!
若563)- 78!求#,的长度!
解!设"$3*(78$$,3/(78$#,3-(78!
因为5$6分别是"$$,#的中点$
所以,63)
* #,3-
* (78$$53)
* "$3(78!
因为563$51$,1,63)- 78$
所以(1/(1-
* (3)-$解得(3*$
所以#,3* 4- 3)/"78#!
#!
!!"!# CD'()如图!$!,是线段"#上两点!
5!6分别是线段",!#$的中点!
$)%若"#3),!$,3/!求线段56的长(
$*%试说明'"$2#,3*$5$2,6%!
解!")#因为5$6分别是线段",$#$的中点$
所以,53)
* ",$$63)
* #$$
所以563,51$62$,3)
* ",1)
* #$2$,$
所以*563",1#$2*$,3",1#$2$,2
$,3"#2$,$
即563)
* ""#2$,#!
因为$,3/$"#3),$
所以563)
* ""#2$,# 3)
* 4"), 2/# 3,!
"*#因为5$6分别是线段",$#$的中点$
所以"53)
* ",$#63)
* #$$
因为"$3"5 15$3)
* ",15$$#,3#61
,63)
* #$1,6$
所以"$2#,3" )
* ",15$# 2" )
* #$1
,6# 3)
* "",2#$# 1"5$2,6#$
所以* " "$2#,# 3" ",2#$# 1* " 5$2
,6#!
因为",2#$3"$2#,$所以*""$2#,# 3
""$2#,# 1*"5$2,6#$
所以"$2#,3*"5$2,6#!
$!
!!"!# j5'()如图!点5在"#上!点,!0分
别是#5!"5的中点!
$)%若,03, 78!求线段"#的长!
$*% 若点5 为线段"#上任意一点!且满足
,033 78!其他条件不变!你能猜想"#的
长度吗- 并说明理由!
$+% 若点5 在线段"#的延长线上!且满足
,033 78!其他条件不变!试猜想"#的长
度!请画出图形!并说明理由!
解!")# 因为点5 在"#上$点,$0分别是
#5$"5的中点$
所以,53#,3)
* #5$503"03)
* "5!
因为,03,51503)
* #51)
* "53)
* "#$
所以"#3*,03)* 78!
"*#"#3*3 78!理由如下!
因为点,$0分别是#5$"5的中点$
所以,53#,3)
* #5$503"03)
* "5!
因为,03,51503)
* #51)
* "53)
* "#$
所以"#3*,03*3 78!
"+#"#3*3 78!理由见答案册
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
&
)
*
''
'!
"#$%&'
! ! "
埋头苦读的日子看似枯燥!却藏着奔赴未来最坚实的力量"
!
;< $!
348,ABC!
!(,
D@
# !Z*[W!
!!
!!"!# k?il&'()如图!"!#!$为直线.上从
左到右的三个点!"#3*#$!动点5!6分别从
"!#两点同时出发!向右运动!点5的速度是
点6的速度的+ 倍!在运动过程中!如果要知
道56的长!那么只要知道下列哪条线段的
长-
$ $ %
!""5
#"#6
$"#5
%"$5
"!
!!"!$ de:;)如图!"#3)+ 78!点*是线段
"#上一点!且"*3( 78!点$从点"出发!以
* 78:;的速度向点#运动!同时点,从点*
出发!以/ 78:;的速度沿射线*#运动!设运
动的时间为8;!
$)%当83) 时!"$3'*'78!$,3').'78!
此时线段"$! $,! "*之间的数量关系
是'"$1"*3$,'!
$*% 当点$在线段"*上运动时!猜想线段
"$! $,! "*之间的数量关系! 并说明
理由!
$+%当点$在线段*#上运动时!请直接写出
线段"$!$,!"*之间的数量关系!
解!"*#"$1"*3$,!理由如下!
当点$在线段"*上运动时$
根据题意$可知"$3*8$*,3/8$所以*,3
*"$$所以$,3$*1*,3"$1"$1$*3
"$1"*$所以"$1"*3$,!
"+#$,3"*1"$!
解法提示!当点$在线段*#上运动时$
根据题意$可知"$3*8$"*3($",3( 1/8$
所以$,3",2"$3/81( 2*83*81(!
因为"*1"$3*81($
所以$,3"*1"$!
D@
$ !Z,;[W\]^_[W`!
#!
!!"!# mnoi&'()已知!直线.上"#3,!$,3
*$点"在点#的左侧!点$在点,的左侧%!
$)%如图)!若线段#$3)!则线段",的长度
为'- 或&'(
$*%如图*!点*!7分别为",!#$的中点!求
线段*7的长度(
$+%如图+!若线段$,从点#开始以) 个单位
长度9秒的速度向右运动!同时!点5从点
"开始以* 个单位长度9秒的速度向右运
动!点6是线段#,的中点!若563*,6!
求线段$,运动的时间!
解!"*#设#$3($则",3"#1#$1$,3( 1
(!因为点*$7分别为",$#$的中点$
所以*,3)
* ",3/ 1)
* ($$73)
* ($所以*73
*,2$,2$73/ 1)
* (2* 2)
* (3*!
"+#线段$,运动的时间为* ;或)( ;!
"详细解析见答案册#
$!
!!"!# pq'()如图!已知直线.上有两
条可以左右移动的线段'"#3-!$,3
/!且-!/ 满足=-2/ =1$/ 2(%* 3.!
$)%求线段"#!$,的长!
$*%线段"#的中点为5!线段$,的中点为
6!线段"#以每秒/ 个单位长度向右运
动!线段$,以每秒) 个单位长度也向右
运动!若运动, 秒后!563/!求移动前线
段#$的长!
$+%将线段$,固定不动!线段"#以每秒/ 个
单位长度向右运动!5!6分别为"#!$,
的中点!#$3*/!在线段"#向右运动的某
一个时间段8内!始终有561",为定值!
求出这个定值!并直接写出8在哪一个时
间段内!
解!")#由=-2/ =1"/ 2(# * 3.$得-2/ 3.$
/ 2( 3.$所以-3/$/ 3($所以"#3/$$,3(!
"*#因为线段"#$$,的中点分别为点5$6$
所以"535#3*$$63,63/!设运动后对应
"#$$,的中点分别为52$62!
当运动, 秒后$点52在点62左边时$
561662355215262$
即* 1/ 1#$1, 4) 3, 4/ 1/$解得#$3),!
当运动, 秒后$点52在点62右边时$5523
56166215262$
即, 4/ 3* 1#$1/ 1, 4) 1/$解得#$3(!
综上所述$移动前线段#$的长为( 或),!
"+#当-!0"8"& 时$561",的定值为,
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
'
)
*
&()*+,-./0+!"!
!
告别年少任性!学会独立坚强!在成长路上独自奔赴风和月"
!
!" !!
E!
9: !!a&>?4bc
!(,
&'(
# !a&>?4defF!
!!下列关于角的说法!正确的有
$ # %
!角是由两条射线组成的图形(
"角的大小与边的长短无关!只与两条边张开
的角度有关(
$在角的一边的延长线上取一点,(
#角可以看作由一条射线绕着它的端点旋转
而形成的图形(
%把一个角放到一个放大). 倍的放大镜下观
看!角的度数也扩大). 倍!
!") 个
#"* 个
$"+ 个
%"/ 个
"!
!!"!# rst8N&'()下列四个图形中!能用
#!!#"+#!#+三种方法表示同一个角的是
$ ! %
'''!''' #'''
$'''' %
#!如图!把同一个角用不同的表示方法表示出
来!并填表!
表示
方法)
#)
#*
#!
#""或
#",$#
#+
表示
方法*
#0",
##",
#$"或
##$,#
#,
##"或
#"#$#
$!
!!"!# "?'()$)%数一数!图) 中共有'+'个角!
图* 中共有','个角!图+ 中共有').'
个角(
$*%根据$)%中的规律求图/ 中角的个数!
"*#题图) 中角的个数为) 1* 3+$
题图* 中角的个数为) 1* 1+ 3,$
题图+ 中角的个数为) 1* 1+ 1/ 3).$
所以题图/ 中角的个数为) 1* 1+ 1( 1"/ 2
)# 3/"/ 2)#
*
!
&'(
$ !a&bc!
%!下列四个角中!最小的角是
$ # %
!''''#''' $''' %
&!给出下列说法'!) 周角3* 平角(") 平角3* 直
角($) 直角3* 锐角!其中正确的个数是$ ! %
!".
#")
$"*
%!+
'!下列说法正确的是
$ ! %
!"平角就是一条直线
#"周角就是一条射线
$"平角的两条边始终在同一条直线上
%"周角的终边与始边重合!所以周角的度数
是.:
(!在综合与实践课上!将#"与##两个角的关
系记为#"3/## /
(
)
5. !探索/ 的大小与两
个角的类型之间的关系!下列说法正确的是
$ " %
!"当/ 3* 时!若#"为锐角!则##为锐角
#"当/ 3* 时!若#"为钝角!则##为钝角
$"当/ 3)
* 时!若#"为锐角!则##为锐角
%"当/ 3)
* 时!若#"为锐角!则##
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
为钝角
(
)
*
''
'!
"#$%&'
! ! "
迷雾终会散开!前路终会明朗!坚持下去!自有清风与明月"
9: "!a&ghDij
!('
&'(
# !a&ghDij!
!!用量角器测量#5+6的度数!下列操作正确
的是
$ ! %
"!
!!"!# JKuv&'()已知#!3+)!*:!将#!用
度分秒表示正确的是
$ # %
!"+):*2
#"+):)*2
$"+):*.2
%"+):)*;
#!将* ((.;用度表示为
$ # %
!".!,:
#".!(:
$")!*:
%")!/:
$!
!!"!# w?B8x=A;)若#) 30/:+02!则*#)
的度数是
$ $ %
!")./:+02
#").(:+02
$").(:-.2
%").&:).2
%!!!"!# y ? z { = ' ()若#*3*0:)*2! #73
*0!)*:!#<3*0!*:!则
$ ! %
!"#*3#7
#"#73#<
$!#*3#<
%"#*3#73#<
&!!!"!$ |?0}&'()机械手
表都是依靠传动齿轮运
行!如图是某一手表内部
的部分齿轮示意图!最大的齿轮有0. 个齿!
每相邻两齿中心线的夹角都相等!则这个
夹角的度数是'-':')*'2!
'!计算'
$)%+(:/(2/0;1--:))2+(;( $*%(.:2,(:)&2/.;(
解!")#+(:/(2/0;1--:))2+(;3))0:0&2(+;3
)),:*+;!
"*#(.:2,(:)&2/.;3-&:0&2,.;2,(:)&2/.;3
)):/.2*.;!
$+%+.:*)2/0;4/('''$/%).&:))2/;>-!
解! " + # +.:*)2/0;4/ 3)*.:(/2)(.;3
)*):*-2!
"/ # ).&:))2/;>- 3).0:*/02+,/;>- 3
)0:+020*;!
&'(
$ !fkaDl-a!
(!
!!"!$ CDhi&'()如图!聪聪在明明的
$ ! %
!"北偏东,(:方向上
#"北偏东**:方向上
$"南偏西,(:方向上
%"南偏东**:方向上
)!
%&'()*+, !!"!# ~ # ' ()在我国古代!
人们用"铜壶滴漏# 的方法计时!把一昼夜分
为十二时辰!对应于今天的二十四小时!又划
为九十六刻!一刻对应于今天的十五分钟!已
知寅时为凌晨三点到五点!则寅时二刻所对
应钟表时间的时针和分针之间所夹的角度
为'-0:'
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
)
)
*
&()*+,-./0+!"!
!
把理想藏进日常!把努力融入朝夕!平凡日子!也熠熠生辉"
!
!" &!
E8FGHIJKLE!
9: !!a&KL
!('
&'(
# !a&mnKL!
!!
!!"!# '()如图!用三角尺比较#"与##
的大小!其中正确的是
$ # %
!!#"5##
#!#"6##
$!#"3##
%!无法确定
"!
!!"!# WX:;)如图所示!正方形网格中有#!
和#"!若每个小正方形的边长都为)!则#!
与#" 的大小关系为
$ " %
!!#!6#"
#!#!3#"
$!#!5#"
%!无法确定
&'(
$ !a&MDN!
#!如图所示!下列式子错误的是
$ " %
!"#"+,3#"+#1#$+,
#"##+,3#,+$1#$+#
$"#"+#3#"+$2#$+#
%"##+$3##+,2#$+,
第+ 题图
'''' 第+ 题变式图
#$
!!"!# 3 ' () 如图! 若#"+$3
##+,!则#) 和#* 的大小关系为
$ # %
!"#) 5#*
#"#) 3#*
$"#) 6#*
%"无法比较
$! !" !$(&%, #$
!!"!# '()用一副三角尺
不能画出的角是
$ ! %
!"-0:
#!)0:
$")).:
%")+0:
%! -./(IJ !!"!$ HI
&'()如图!若入射
光线与平面镜成*0:夹角!且入射光线&反射光
线与平面镜所成的角度相等!则入射光线与反
射光线的夹角的度数为')+.:'!
&'(
% !a&ob,!
&!
!!"!# S+&'()如图!已知+$是#"+#
内的一条射线!下列条件中不能确定+$是
#"+#的平分线的是
$ ! %
!!#"+$3##+$
#!#"+#3*#"+$
$!#"+$1#$+#3#"+#
%!##+$3)
* #"+#
第, 题图
'''
第- 题图
'!
!!"!# CDhi&'()如图!#"+#3&.:!#"+,3
-0:!+#平分#$+,!则#"+$的度数是
$ # %
!"&.:
#").0:
$"-0:
%")..:
(!
!!"!# CD=='()如图!+0为#"+,的
平分线!#$+,3)
/ #0+$!#$+,3*.:!
求'$)%#0+$的大小(
$*%#"+,的大小!
解! 解! " ) # 因为#$+, 3
)
/ #0+$$
所以#0+$3/#$+,3/ 4*.:3(.:!
"*#因为#0+$3(.:$#$+,3*.:$
所以#,+0 3 #0+$ 2 #$+, 3(.:2
*.:3,.:!
因为+0为#"+,的平分线$
所以#"+,3*#,+03* 4,.:3)*.
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
:!
*
*
!
''
'!
"#$%&'
! ! "
少年温柔且坚定!内敛且勇敢!在漫长岁月里慢慢沉淀发光"
!("
)!
!!"!# j6'()如图!已知#"+$3##+,3
&.:!#"+,3)*.:!则##+$的度数为$ " %
!",.:
#"0.:
$"/0:
%"+.:
第& 题图
''''第& 题变式图
#$
!!"!$ r s 8 5 & ' ()如图! ##+$在
#"+,的内部!且##+$3(:!#"+,3):!则
图中所有角的度数之和为
$ " %
!"(:1+):
#"*(:1*):
$"+(:1):
%"+):2(:
!*!如图!若#"+#3(:!+$是#"+#的平分线!
+$)是#"+$的平分线!+$*是#"+$)的平分
线.. +$/ 是#"+$/ 2) 的平分线! 则
* .*0#"+$* .*0与* .*, #"+$* .*, 的大小关
系是
$ ! %
!"* .*0#"+$* .*0 3* .*,#"+$* .*,
#"* .*0#"+$* .*0 6* .*,#"+$* .*,
$"* .*0#"+$* .*0 5* .*,#"+$* .*,
%"无法确定
B
C
D
A
E
O
!!!
!" !$-"%& #$ 如图!"#是一
条直线!+$是#"+,的平分
线!+0在##+,内!#,+03
)
+ ##+,! #$+0 3-*:! 则
##+03'-*':!
!"!!!"!# V ? ' () 如图! 已知
#"+#3(.:! +$是#"+#
的平分线! +,是##+$的
平分线!
$)%求#"+,的度数(
$*%若#$+03)
/ #$+#!求
#"+0的度数!
解!")#因为+$是#"+#的平分线$
所以#"+$ 3#$+# 3 )
* #"+# 3 )
*
4
(.:3/.:!
因为+,是##+$的平分线$
所以#$+,3)
* #$+#3)
* 4/.:3*.:$
所以#"+, 3#"+$ 1#$+, 3/.:1
*.:3,.:!
"*# 由")# 知#$+#3/.:$ 所以#$+03
)
/ 4/.:3).:!
如图)$当射线+0在#"+$的内部时$得
#"+03#"+$2#$+03/.:2).:3+.:$
如图*$当射线+0在#$+,的内部时$得
#"+03#"+$1#$+03/.:1).:30.:!
综上所述$#"+0的度数为+.:或0.:!
''''
'''''图)'''''''''图*
!#!
EFGH
如图! #"+# 3
)0.:!射线+$从+"开始!
绕点+按逆时针方向旋转!
旋转速度为每秒,:(射线+,从+#开始!绕
点+按顺时针方向旋转!旋转速度为每秒
)/:!+$和+,同时旋转!设旋转的时间为
8秒$."8"*0%!
$)%
!" !$(&%$ #$ 当#"+,第) 次为&.:
时!图中有'&'个小于平角的角!
$*%当8为何值时!射线+$与+,重合-
$+%当8为何值时!#$+,3&.:-
解!"*#由题意$知#"+$3,:8$##+,3)/:8$
当射线+$与+,重合时$#"+$1##+,3
#"+#$即,:81)/:83)0.:$解得83-!0$
所以当83-!0 时$射线+$与+,重合!
"+#!射线+$与+,重合前$如图)$
当#$+,3&.:时$,:81)/:83)0.:2&.:$解
得83+!
"射线+$与+,重合后$如图*$
当#$+,3&.:时$,:81)/:83)0.:1&.:$解
得83)*!
如图+$ 当#$+, 3&.:时$ ,:81)/:83
)0.:1+,.:2&.:$解得83*)!
综上$当83+ 或)* 或*) 时$#$+,3&.
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
:!
!
*
!
&()*+,-./0+!"!
!
岁月温柔以待追梦人!只要步履不停!终会抵达理想彼岸"
!((
VWpq
;<=>2?@
如图!+,!+0分别平分#"+#!##+$#两角无公共
部分$!则#,+03)
* #"+$!
如图!+,!+0分别平分#"+#!##+$#两角有公共
部分$!则#,+03)
* #"+$!
!! KL@MNOPQNRSTUN !!"!# j6'()已知!
+$是#"+#内部的一条射线!且#"+#3
+#"+$!
$)%如图)!若#"+#3)*.:!+5平分#"+$!
+6平分#"+#!求#5+6的度数(
$*%如图*!#"+#3(:!射线+*!射线+7分
别从+$!+#出发!并分别以每秒):和每
秒*:的速度绕着点+逆时针旋转!+*和
+7分别只在#"+$和##+$内部旋转!
运动时间为8秒!
! 直接写出#"+*和#$+7 的数量
关系(
"若#"+#3)0.:!当#*+73*
+ ##+*!
求8的值!
解!")#因为#"+#3+#"+$$#"+#3)*.:$
所以#"+$3)
+ 4)*.:3/.:!
因为+5平分#"+$$+6平分#"+#$
所以#"+5 3 )
* #"+$ 3*.:$ #"+6 3
)
* #"+# 3,.:$ 所以#5+6 3#"+6 2
#"+53,.:2*.:3/.:!
"*#!#$+73*#"+*!
"83*.!"详细解析见答案册#
"! KL@VNOPQNRSTUN !!"!# >?'()
如图!已知#"+#3&.:!以+为顶
点&+#为一边画##+$!再分别画出
#"+$与##+$的平分线+5!+6!
$)%在图) 中!射线+$在#"+#的内部!
!若锐角##+$3+.:!则#5+63/0':(
"若锐角##+$3/:!则#5+63/0':!
$*%在图* 中!射线+$在#"+#的外部!且
##+$为任意锐角!求#5+6的度数!
$+% 在$*% 中! " ##+$为任意锐角# 改为
"##+$为任意钝角#!其余条件不变$如
图+%!求#5+6的度数!
解!"*# 因为#"+#3&.:$+5$+6分别平分
#"+$$##+$$
所以#$+53)
* #"+$$#$+63)
* ##+$$
所以#5+63#$+52#$+63)
* #"+#3/0:!
"+#因为+5$+6分别平分#"+$$##+$$
所以#$+53)
* #"+$$#$+63)
* ##+$$
所以#5+63#$+51#$+63)
* "#"+$1
##+$# 3)
* 4"+,.:2&.:# 3)+0
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
:!
"
*
!
''
'!
"#$%&'
! ! "
学会自愈!学会成长!在无人问津的日子里默默努力变优秀"
9: "!r\s`a
!((
&'(
# !raDsa&>?!
!!
!!"!$ /=;)若#"3*0:!则#"的余角为
$ # %
!"*0:
#",0:
$"-0:
%")00:
"!!!"!# CDhi&'()如图!+是直线"#上一
点!##+$30&:0.2!则#"+$的度数是
$ # %
!")*):).2
#")*.:).2
$")*):0.2
%")*.:0.2
#!
!!"!# ^#'()若一个角等于它的余角!则这个
角的补角度数为
$ " %
!")+0:
#")*.:
$"&.:
%"/0:
$!
!!"!# 9:;)若#) 与#* 互余!#* 与#+ 互
补!则#+ 与#) 的关系是
$ # %
!"#+ 3#)
#"#+ 3&.?1#)
$"#+ 3&.?2#)
%"#+ 3)(.?2#)
%! !" !$-+%' #$ $)% 如果#!和它的余角的比
是+9*!求#!的度数(
$*%已知一个角的补角比这个角的余角的/ 倍
大)0:!求这个角的度数!
解!")# 根据题意$得#!1*
+ #!3&.:$所以
#!30/:!
"*#设这个角为(:!
根据题意$得)(. 2(3/ 4"&. 2(# 1)0$解得
(3,0!
所以这个角的度数为,0:!
&'(
$ !raDsa&tu!
&!
!!"!# '()把一副三角板按如图所示方式放
置在一起!则#!与#" 的大小关系是
$ # %
!"#!5#"
#"#!3#"'
$"#!6#"''
%"无法确定
'!
!!"!# '=)某数学兴趣小组在测量教学楼
高度的活动中需要测量观察教学楼顶*的视
线与水平线的夹角!他们制作了一个简易测角
仪!使用方法如下'如图) 所示!量角器的圆心
+在垂直于地面的支杆+5一端上!量角器
&.:刻度线+6与支杆+5重合!如图* 所示!
绕点+转动量角器!使教学楼顶*与直径两
端点"!#在同一条直线上!此时视线+*与
水平线+$的夹角#*+$3#5+6!请用你学
过的一个几何知识解释简易测角仪的工作原
理''同角的余角相等'!
(!
!" !$-+%, #$
如图! 点+在直线"#上!
#"+, 3##+, 3#0+$ 3&.:! ##+$9
#"+03+ 9)!
$)%求#,+$的度数!
$*%图中有哪几对角互余-
$+%图中有哪几对角互补-
解!")#由#"+,3#0+$3&.:$
得#"+01#0+,3&.:$#,+$1#0+,3
&.:$
所以#"+03#,+$!
由##+$9#"+03+9)$得##+$9#,+$3
+9)!
因为#,+$1##+$3&.:$ 所以#,+$3
**!0:!
"*#由互余的定义$可知#"+0与#0+,互
余$#"+0与##+$互余$ #,+$与##+$
互余$#,+$与#0+,互余!
"+#由互补的定义$可知#"+0与#0+#互
补$#"+,与#,+#互补$#"+,与#$+0
互补$##+,与#$+0互补$#"+$与#$+#
互补$ #"+$ 与#0+, 互补$ #$+, 与
#0+#互补
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
#
*
!
&()*+,-./0+!"!
!
所有短暂的煎熬!都是为了长久的美好!咬牙坚持!终有回甘"
!(-
)!
!!"!# 6G=A;)如图!将三个大小不同的
正方形的一个顶点重合放置!则!!"!#三个角
的数量关系为
$ ! %
!"!1" 1#3&.:
#"!1" 2#3&.:
$"!2" 1#3&.:
%"!1*" 2#3&.:
第& 题图
''
第). 题图
!*!!!"!# CDhi&'()如图!点+在直线",上!
##+03#$+,3&.:!下列说法不一定正确
的是
$ $ %
!"#,+0与##+$互补
#"#"+#与##+$互余
$"#"+#与#0+$互补
%"#,+0与##+"互补
!!!!!"!# " ? _ 6 ? '
()如图!+$!+,!+0
是#"+#内三条射
线!+0平分#,+"!
+$平分#"+#!
$)%已知##+, 3(.:! #"+0 3*0:! 则
#$+,的度数为')0:'!
$*%若##+,与#0+$互余!则#0+$的度
数为'+.:'!
!"!
!!"!# ?'()"苍南) 号# 是我国第一个平
价海上风电项目!服务于国家"双碳# 战略!
具有显著的环境效益和经济效益!如图) 所
示!风电机的塔架+*垂直于海平面!叶片
+"!+#!+$可绕着轴心+旋转!且#"+#3
##+$3#"+$!
$)%如图*!当+"$+*时!求##+*的度数!
$*%叶片从图+ 位置$+"与+*重合%开始绕
点+顺时针旋转! 若旋转后#"+*与
##+*互补! 则旋转的最小角度是多
少度-
图)'''''
图*'''' '图+
解!")#因为#"+#3##+$3#"+$$
#"+#1##+$1#"+$3+,.:$
所以#"+#3##+$3#"+$3)*.:!
因为+"$+*$所以#"+*3&.:$
所以#$+*3#"+$2#"+*3)*.:2&.:3+.:$
所以##+*3##+$1#$+*3)*.:1+.:3)0.:!
"*# 设旋转的最小角度是($则#"+*3($
##+*3(1)*.:!
因为#"+*与##+*互补$ 所以#"+*1
##+*3)(.:$即(1(1)*.:3)(.:$解得
(3+.:$所以旋转的最小角度是+.:!
!#! WJGH
!" !$-'%- #$ 如图)!将一副三角
板的直角顶点$叠放在一起!
$)%!若#,$03+0:!则#"$#3')/0':(
"若#"$#3)0.:!则#,$03'+.':!
$*% 请你猜想#"$#与#,$0有何关系!并
说明理由!
追问)!如图*!若将两个同样的三角板的,.:
角的顶点"重合在一起!请你猜想#,"#与
#0"$有何关系!并说明理由!
追问*!如图+!如果把任意两个锐角#"+#!
#$+,的顶点+重合在一起!已知#"+#3!!
#$+,3"$ !!" 都是锐角%!请你直接写出
#"+,与##+$的关系!
''''图)''''图*''''图+
解!"*##"$#与#,$0互补!理由如下!
因为#"$01#,$03&.:$#,$01#,$#3&.:$
所以#"$01#,$01#,$01#,$#3)(.:!
因为#"$01#,$01#,$#3#"$#$
所以#"$#1#,$03)(.:$
即#"$#与#,$0互补!
追问)!#,"#1#0"$3)*.:!理由如下!
因为#,"01#0"$3,.:$#0"$1#$"#3,.:$
所以#,"01#0"$1#0"$1#$"#3)*.:!
因为#,"01#0"$1#$"#3#,"#$
所以#,"#1#0"$3)*.:!
追问*!#"+,1##+$3!1"!
解法提示!因为#"+,3#,+$1#$+"3
" 1#$+"$ 所以#"+, 1##+$ 3" 1
#$+"1##+$3" 1#"+#3" 1!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
$
*
!
''
'!
"#$%&'
! ! "
心若向阳!岁月生香!少年怀揣希望!一路奔赴!一路晴朗"
9: #!OPQa
!(#
!!
!!"!# HIRY=A;)如图!点$在#"+#
的边+#上!用尺规作出了##$,3#"+#!以
下是排乱的作图过程!则正确的作图顺序是
$ ! %
!以$为圆心!+0长为半径画
)
56!交+#于
点5!
"作射线$,!则##$,3#"+#!
$以5 为圆心!01长为半径画弧!交
)
56于
点,!
#以+为圆心!任意长为半径画
)
01!分别交
+"!+#于点0!1!
!"! 2" 2$ 2#
#"$ 2" 2# 2!
$"# 2! 2$ 2"
%"# 2$ 2! 2"
"!
!" !$-,%, #$ 如图! 已知#!和#"!求作'
#"+#!使#"+#3*#!2#"!$保留作图痕迹!
不写作法%
解!如图所示$#"+#即为所求!
#!如图!用尺规作出一个角!使它等于三角形
"#$三个内角的和!并用量角器测量三个内角
的和为多少度!
解!如图$")#作#,+03#"'
"*#以点+为顶点$+0为一边$在#,+0的外
部作#0+13##'
"+#以点+为顶点$+1为一边$在#,+1的外
部作#1+*3#$!
则#,+*就是所求作的角!
由量角器测量可知#,+*3)(.:$即三角形三
个内角的和为)(.:!
$!
!!"!# CDPQ&'()已知'如图!#"+#3&.:!
+$是#"+#内部一条射线!
$) % 请你用直尺和圆规在#"+#外部作
#"+,!使得#"+,3#"+$($保留作图
痕迹!不写作法%
$*% 在$)% 的条件下!若+0平分##+$!且
##+03)(:!求##+,的度数!
解!")#如图所示$#"+,即为所求!
"*#因为+0平分##+$$且##+03)(:$
所以##+$3*##+03* 4)(:3+,:!
因为#"+#3&.:$
所以#"+$3#"+#2##+$30/:$
所以#"+,3#"+$30/:$
所以##+,3#"+,1#"+#3)//
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
:!
%
*
!
&()*+,-./0+!"!
!
不追光!自成光!在自己的世界里安静努力!慢慢惊艳时光"
!
)*+,!
M$!
!(#
!!将如图所示的一个圆分割成四个扇形!这四个
扇形的圆心角的度数比为)9*9+9/!先分别求
出这四个扇形对应的圆心角的度数!再作图!
解!由题意可知$四个扇形对应的圆心角的度
数分别为+,.:4
)
) 1* 1+ 1/ 3+,:$+,.:4
*
) 1* 1+ 1/ 3-*:$+,.:4
+
) 1* 1+ 1/ 3).(:$
+,.:4
/
) 1* 1+ 1/ 3)//:!画图如下!
"!补全下面的步骤并依照下面的步骤制作八
角星!
步骤)'任意画一个圆(
步骤*'以圆心为顶点!连续画'/0'度的角!
与圆相交于'('个点(
步骤+'用线段连接相间的点!即得八角星!
请你仿照上面的方法!利用圆规&量角器&直尺
画出图形!$保留画图痕迹!不写画图过程%
解!画图如下!
#! XYV6 如图!在钟面上!点+为钟面的圆心!
以点+为顶点画出符合下列要求的角$角的
两边不经过钟面上的数字%'
$)%在图) 中画一个锐角!使锐角的内部含有
* 个数字!且数字之差的绝对值最大(
$*%在图* 中画一个直角!使直角的内部含有
+ 个数字!且数字之积等于数字之和(
$+%在图+ 中画一个钝角!使钝角的内部含有
/ 个数字!且数字之和最小(
图)
''
图*
''
图+
$/%在图/ 中画一个平角!使平角的内部与外
部的数字之和相等(
$0%在图0 中画两个直角!使这两个直角的内
部含有的+ 个数字之和相等!
图/
''
图0
解!")#如图)$#"+#即为所求!
"*#如图*$#*+7即为所求!
"+#如图+$#$+,即为所求!
"/#如图/$#=+>即为所求!
"0#如图0$#0+1和#5+6即为所求!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
&
*
!
''
'!
"#$%&'
! ! "
青春短暂且珍贵!以热爱渡迷茫!以努力赴前程!岁岁皆安然"
!
;< %!
)*NOPQR34SE8TU>8VW!
!(#
D@
# !bcvwxy!
!!!!"!# ./'()如图!有公共
端点*的两条线段5*!6*
组成一条折线5/*/6!若
该折线5/*/6上一点7把这条折线分成相
等的两部分!我们把这个点7叫作这条折线的
"折中点#!已知点,是折线"/$/#的"折中
点#!点0为线段"$的中点!$,3+!$030!则
线段#$的长为'/ 或),'!
"!
!!"!# U?'()作图与计算!
$)%如图!已知'#!!#"+#!
求作'以+"为一边!在#"+#的内部作
#"+$3#!!$保留作图痕迹!不写作法%
$*%过点+作射线+,!若#"+#3,0:!##+,3
+.:!则#"+,的度数为'+0:或&0:'!
解!")#如图所示$#"+$即为所求的角!
D@
$ !fzxy!
A
O
B
C
D
E
#!如图! #"+$与##+$互余!
+,平分##+$!#0+$3*#"+0!
$)% 若#"+,3-0:! 求#"+0
的度数(
$ * % 若#,+0 30/:! 求
#0+$的度数!
解!因为+,平分##+$$所以##+,3#$+,!
因为#"+$与##+$互余$
所以#"+#3#"+$1##+$3&.:!
")# 因为#"+,3-0:$ 所以##+,3&.:2
#"+,3)0:$
所以#$+,3##+,3)0:$
所以#"+$3#"+#2##+$3&.:2* 4
)0:3,.:$即#0+$1#"+03,.:!
因为#0+$3*#"+0$所以+#"+03,.:$所
以#"+03*.:!
"*#设##+,3($则#$+,3($
所以#"+$3#"+#2##+$3&.:2*(!
因为#0+$3*#"+0$
所以#0+$3*
+ #"+$3*
+ "&.:2*(#!
因为#,+0 30/:$ 所以#0+$ 1#$+, 3
*
+ "&.:2*(# 1(30/:$ 解得(3)(:$ 所以
#0+$3+,:!
$!如图!$是线段"#上一点! "#3
)* 78!"$3/ 78!*!7两点分别从
点"!$出发!以) 78:;!* 78:;的速
度沿直线"#向右运动!设运动时间为8;!
$)%当83) 时!$*3'+'78!7#3','78!
$*%当8为多少时!*7为"#的一半-
$+%当8为多少时!#73"*-
解!"*#由题意$得"*3878$"73"/ 1*8#78$
所以/ 1*8283)
* 4)*$解得83*!
故当8为* 时$*7为"#的一半!
"+#由题意$得"*3878$#73=( 2*8=78$
当#73"*时$有83=( 2*8=$解得83( 或83
(
+ $故当8为( 或(
+ 时$#73"*!
D@
% !{3|}xy!
%!如图!点"在数轴上表示的数是2&!点,在数
轴上表示的数是)*!"#3/$单位长度%!$,3
*$单位长度%!
$)%点#在数轴上表示的数是' 20'!点$
在数轴上表示的数是').'!线段#$的
长为')0'$单位长度%(
$*%若点*是线段#$的中点!则点*在数轴
上表示的数是'*!0'(
$+%若点7是数轴上的点!且7$3*7#!则点
7在数轴上表示的数是'. 或2*.'!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
'
*
!
&()*+,-./0+!"!
!
不必急着成为大人!先在少年时光里!把温柔与勇敢悄悄藏进心底"
D@
! !~)xy!
A
B
D
C
O
M
N
&!如图! #"+$ 3)..:!
##+,3/.:!射线+5
在#"+#内部!射线+6
在#$+,内部!#"+#3
/ #"+5! #$+, 3
/#$+6!求#5+6的度数!
解!设#"+53($#$+63)$则#"+#3/($
#$+,3/)$所以##+$3#"+#2#"+$3
#$+,2##+,$
即/(2)..:3/)2/.:$所以(2)3)0:$
所以#5+63#"+$1#$+62#"+5 3
)..:1)2(3)..:2"(2)# 3(0:!
D@
& !cKxy!
'!
%Z[(\]^.D !!"!$ '()阅读与思考'
下面是小钧课后思考的一部分笔记!请你认真
阅读!并完成相应的任务!
线段与角的研究一致性
在第/ 章%几何图形初步&的学习中!我认
识到'线段(和'角(在研究方法和研究路径上
具有一致性!同时!我还发现!在解决线段和角
的某些问题时!其方法也有许多一致性!
)问题)*如图)!!点$是线段"#上一点!
"点5是线段"$的中点!点6是线段#$的
中点!$若"#3).!"53*!求56的长!
分析"在审题时!我用下划线和序号!"$分
别标记了题目的已知条件!并逐次分析如下"
由条件!!可得"$1#$3"#+将条件"得到
的部分结论和条件$标记在图) 中!
解答"下面是我解决问题) 的过程!
因为点5是线段"$的中点!所以"535$3
)
* "$!因为"53*!所以5$3*!所以"$3/!
因为点$是线段"#上一点!所以#$3"#2
"$3). 2/ 3,,,
反思)"我发现!根据题中的条件!能求出图)
中所有线段的长度!若去掉任何一个条件!就
无法求出所有线段了!
反思*"根据问题) 的结果!可以发现56与
"#有特殊的数量关系!即563')
* '"#!
反思+'我发现若将条件!改为"点$是直线
"#上的一点#!去掉题中的条件'$'$选填
""#或"$#%!56与"#之间的关系也不会
变化!
在练习中!我发现下面的问题* 与问题) 有许
多一致性!分析时!我也用下划线和!"$标
记了已知条件!可类比问题) 的思路解答!
0问题*1如图*!#"+#6)(.:!将射线+#绕
点+按逆时针方向旋转得到射线+$$旋转的
度数小于)(.:%!已知!射线+$在#"+#内
部!"+5!+6分别平分#"+$和##+$!$若
#"+# 3)*.:! #"+5 3/.:! 求#5+6 的
度数!
解答'..
反思/'..
任务'$)%请将阅读材料中问题) 的解答过程
和反思*&反思+ 补充完整(
$*%请完成问题* 的解答(
$+%请类比小钧问题) 的反思!写出完成问题
* 后你的一条反思!
解!")#补充的问题) 的解答过程如下!
因为点6是线段#$的中点$所以$63#63
)
* #$3+!因为5$3*$所以5635$1$63
* 1+ 30!
"*#因为+5平分#"+$$#"+53/.:$
所以#$+53#"+53/.:$
所以#"+$3#$+51#"+53(.:!
因为#"+#3)*.:$ 所以##+$3#"+#2
#"+$3)*.:2(.:3/.:!
因为+6平分##+$$
所以#$+63##+63)
* ##+$3*.:$
所以#5+63#$+51#$+63/.:1*.:3,.:!
"+#"反思答案不唯一$合理即可#
反思)!我发现$根据题中的条件$能求出题图
* 中所有角的度数!若去掉任何一个条件$就
无法求出所有角的度数了!
反思*!根据问题* 的结果$可以发现#5+6
与#"+#之间有特殊的数量关系$即#5+63
)
* #"+#!
反思+!我发现若条件!)条件"不动$去掉条
件$$依然有#5+63)
* #"+#$理由如下!因
为射线+$在#"+#内部$+5$+6分别平分
#"+$和##+$$所以设#$+53#"+53!$
#$+63##+63"$所以#"+$3*!$##+$3
*"$#5+63#$+5 1#$+63!1"$ 所以
#"+#3#"+$ 1##+$ 3*!1*"$ 所以
#5+63)
* #
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
"+#!
(
*
!
''
'!
"#$%&'
! ! "
把迷茫交给风!把努力交给时光!少年自有一路繁花相伴"
'
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
!
XYZ[;\!
!(*
!!如图!"!#!$!,是平面上的四个点!
%基础设问&
$)%按照下列要求作图'
!作直线",!线段#,(
"作直线"#和射线,$相交于点0(
$在直线"#上!作"13"#2#0!且点1
在点"的左侧!
解!")#如图所示!
$*%写出"#上所有能表示的线段''"#$"0$
#0$1"$1#$10'!
%能力设问&
$+%若"#33!则$*%中所有的线段的长度和
为'-3'!$用含3 的式子表示%
$/%若"!#!$!,表示/ 个居民小区!现要在
四边形"#$,内建一购物中心!试问'把
购物中心建在何处才能使/ 个居民小区
到购物中心的距离之和最小- 说明理由!
$0%在$)%的条件下!若"#30!"19"#3*9+!
点5!点6分别是"1!#0的中点!求线段
56的长!
解!"/#建在连接点"$$的线段与连接点#$,
的线段的交点处$才能使/ 个居民小区到购物
中心的距离之和最小!理由如下!
因为两点之间的所有连线中$线段最短$
所以购物中心应建在连接"小区和$小区的
线段上$又应建在连接#小区和,小区的线段
上$故把购物中心建在连接点"$$的线段与连
接点#$,的线段的交点处$才能使/ 个居民小
区到购物中心的距离之和最小!
"0# 因为"#30$"19"#3* 9+$所以"13
*
+ "#3).
+ !因为"13"#2#0$所以#03"#2
"130 2).
+ 30
+ !因为点5$点6分别是"1$#0
的中点$所以"53)
* "130
+ $#63)
* #030
, $
所以563"51"#1#63)0
* !
"!如图)!已知+$是#"+#内
部的一条射线! 且#"+#3
+#"+$!
%基础设问&
$)% 比较大小'#"+$' 6'
##+$!
#"+#' 5'##+$!
$*%尺规作图'在#"+#的内部!过点+作射
线+,!使#"+,3*#"+$$ 保留作图痕
迹!不要求写作法%!
$+% 若#"+#3)+/:**2!则#"+$的度数为
'//:/-2*.;'!#"+$的余角的度数为
'/0:)*2/.;'!#"+$的补角的度数为
')+0:)*2/.;'!
%能力设问&
$/%如图*!若#"+#3)*.:!+5平分#"+$!+6
平分#"+#!则#5+6的度数为'/.:'!
$0 % 如图+! #"+#3&.:! 从点+ 出发在
##+$内引射线+,! 满足##+$ 2
#"+$3#$+,!若+5 平分#$+,!求
##+5的度数!
%拓展设问&
$,% 如图/!在#"+$的内部作射线+*!在
##+$的内部作射线+7!若#$+*9
##+73)9*!求#"+*和#$+7的数量
关系!
''
解!"*#如图所示!
"0#因为#"+#3&.:$
#"+#3+#"+$$
所以#"+$3)
+ 4&.:3+.:$所
以##+$3#"+#2#"+$3&.:2+.:3,.:$
所以#$+,3##+$2#"+$3,.:2+.:3+.:!
又因为+5平分#$+,$
所以#$+53)
* #$+,3)
* 4+.:3)0:$
所以##+53##+$2#$+53,.:2)0:3/0:!
",#设#$+*3!$则##+73*!!
因为#"+#3+#"+$$
所以#"+$3#"+#2##+$3+#"+$2##+$$
所以*#"+$3##+$$
所以*"#"+*1#$+*# 3#$+71##+7$
所以*"#"+*1!# 3#$+71*!$
所以*#"+*3#
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
$+7!
)
*
!
&()*+,-./0+!"!
!
平凡的日常里藏着惊喜!安静的坚持中!藏着你想要的远方"
!(*
!!
!!"!$ j/=;)如图!将直角三角形绕直角边所
在直线.旋转一周!得到的立体图形是$ " %
"!
!!"!$ =;)一个正方体的展开图如图所示!
把它折叠成正方体后!有"的# 字一面的相对
面上的字为
$ ! %
!"我
#"中
$"国
%"梦
#!
!!"!% =;)如图!* 时整!钟表的时针和分
针所成的锐角为
$ ! %
!"*.?
#"/.?
$",.?
%"(.?
$!
!!"!$ y?=;)如图是集热板示意图!集热板与
太阳光线垂直时!光能利用率最高!春分日兰
州正午太阳光线与水平面的夹角" 为0/:!若
光能利用率最高!则集热板与水平面夹角!度
数是
$ ! %
!"*,:
#"+.:
$"+,:
%"0/:
%!
!!"!% =;)如图!从长春站去往胜利公园!
与其他道路相比!走人民大街路程最近!其蕴
含的数学道理是'两点之间的所有连线中$线
段最短'!
&!!!"!% "?=;)如图!在三角形"#$中!以点"
为圆心!线段"#的长为半径画弧!交#$于点
,!连接",!若"#30!则",的长为'0'!
'!
!!"!& 9=;)如图!点"!#!$在数轴上!
点"表示的数是2)!点#是"$的中点!线段
"#3*!则点$表示的数是'+'!
A
B
C
-1 0
(!!!"!$ = ;)如图!#"+$3##+,3&.:!
#$+,3//:!则#"+#的度数为')+,:'!
)!!!"!% 67=;)如图!点"!+!#在同一条直线
上!+,是#"+$的平分线!+0是##+$的平
分线!若#"+03),*:!则##+,3').(':!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
*
!
!
''
'!
"#$%&'
! ! "
清晨的阳光很暖!夜晚的星光很亮!努力的你!比一切都耀眼"
!-+
!!"!$ 57_c&'()某班计划用一些长方形的卡纸!为同学们制作棱长为). 78的正方体心愿语
盒!设计组提供了如图) 所示的两种心愿语盒的展开图!制作组按照展开图可围成如图* 所示的
心愿语盒$不考虑接缝%!
$)%按展开图* 可以围成心愿语盒'#'$填"!#或"##%!
$*%材料组准备了三种类型的卡纸$如图+ 所示%供选择!规格&成本如下表'
卡纸型号
型号&
型号'
型号(
卡纸规格$单位'78%
+. 4/.
/. 4,.
0. 4(.
卡纸成本$单位'元9张%
*
0
(
!设计组用一张型号'的卡纸!最多可以画出'*'个心愿语盒!的展开图!或'+'个心愿
语盒#的展开图!
"制作组要制作), 个心愿语盒!如果你是设计组的成员!请合理选择展开图的样式&卡纸的
型号和数量!使所选卡纸的总成本尽量低!写出你的方案'型号&的卡纸')'张!型号'的
卡纸')'张!型号(的卡纸'*'张!所选卡纸的总成本是'*+'元!
图+
解!"*#!*'+
如图)$一张型号'的卡纸最多可以画出* 个心愿语盒!的展开图$或+ 个心愿语盒#的展
开图"
'''
图)''''''''''''''''''图*''
")')'*'*+
如图*$一张型号(的卡纸最多可画出/ 个心愿语盒!的展开图或, 个心愿语盒#的展开图$则
每个心愿语盒!的成本为(
/ 3*"元#$每个心愿语盒#的成本为(
, 3/
+ "元#'
由!得$一张型号'的卡纸可画出* 个心愿语盒!的展开图或+ 个心愿语盒#的展开图$则每
个心愿语盒!的成本为0
* 元$每个心愿语盒#的成本为0
+ 元'
易知一张型号&的卡纸可画出) 个心愿语盒!的展开图或) 个心愿语盒#的展开图$则每个心
愿语盒!的成本为* 元$每个心愿语盒#的成本为* 元!
综上所述$可选择型号(的卡纸* 张$制作心愿语盒#$型号'的卡纸) 张$制作心愿语盒#$型号
&的卡纸) 张$制作心愿语盒!或#$可制作, 4* 1+ 1) 3),"个#心愿语盒$此时总成本较低$
所用卡纸总费用为( 4* 10 1* 3*+"元#!
_`ab (
!
!
!
&()*+,-./0+!"!
!
不必和别人比较!按自己的节奏生长!你自有独特的芬芳"
!
!" #!
"#$%&!
!"#
'()
# !"#$%&!
!!下列统计活动!不宜用问卷调查的方式收集
数据的是
" ! #
!"七年级同学家中电脑的数量
#"各种手机在使用时所产生的辐射
$"星期六早晨同学们起床的时间
%"学校足球队队员的年龄
"!
!" !$%& #$ $ %& 某学校课外活动小组为了
解同学们喜爱的电影类型!设计了如下的调
查问卷"不完整#$
调查问卷&&&年&&&月
你平时最喜欢的一种电影类型是"&&#"单选#
!"&&#"&&$"&&%"其他
准备在%!国产片!"科幻片!#动作片!$喜
剧片!%亿元大片&中选取三个作为该问题的
备选答案!选取合理的是
" " #
!"!"# #"!#%
$""#$
%""$%
'()
$ !'()*+,-)*!
#!!!"!# "#$%&'()下列调查中!适合采用全
面调查的是
" # #
!"对乘坐飞机的旅客进行安检
#"调查某批次汽车的抗撞击能力
$"调查某市居民垃圾分类的情况
%"调查市场上冷冻食品的质量情况
$!!!"!# *+
,&'()下列说法最恰当的是
" ! #
!"某校对学生进行体育达标测试!应采用抽
样调查法
#"要了解我省中学生的身高状况!应采用抽
样调查法
$"要了解某班级学生期中数学测试成绩!应
采用抽样调查法
%"某工厂质检人员检测灯泡的使用寿命!应
采用普查法
'()
% !./01/0-2+-234!
%!
!" !$%'(& %& !!"!# "#-.&'()为了解某
校七年级学生的视力情况!从中抽取'( 名学
生进行视力检查!在这次调查中!总体是
" $ #
!"每名学生的视力情况
#"'( 名学生的视力情况
$"'( 名学生
%"该校七年级学生的视力情况
&!!!"!# /010&'()每年的) 月*+ 日是%世界
读书日&!某校为了解八年级+,( 名学生对
%世界读书日&的知晓情况!从中随机抽取了
,( 名学生进行调查!则本次调查的样本容量
是&,(&!
'!分别指出以下问题中的总体'样本'个体及样
本容量!
"-#为了解某商店某月的日营业额情况!现抽
出该月里' 天的日营业额进行统计(
"*#为了解某种酱油的质量合格情况!从几个大
商场共购买了+( 瓶该种酱油进行检测!
解!"-#总体是某商店某月的日营业额$
样本是抽出的该月里' 天的日营业额$
个体是某商店某月中每天的营业额$
样本容量是'!
"*#总体是某种酱油的质量合格情况$
样本是购买的+( 瓶某种酱油的质量合格
情况$
个体是每瓶某种酱油的质量合格情况$
样本容量是+(!
'()
& !5678,-!
(!为了解某校"初中# 学生的身体健康情况!采
用下列调查方法!其中为简单随机抽样的是
" $ #
!"从九年级每个班中任意抽取, 名学生做调查
#"查阅全校所有学生的体检表
$"对每个班成绩前, 名的学生做调查
%!从每个班中任意抽取,
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
名学生做调查
"
!
!
!
" ! #
$%&'()*+
青春没有重来!每一分每一秒!都值得被认真对待与珍惜"
!
!" $!
"#$*+!
!"$
'()
# !9:;<=>"#!
!!为了解某校全体同学最喜欢的特色景点的情
况!小明抽取了七"+#班+( 名同学进行调查!
得到最喜欢的特色景点的调查结果如下"其
中!代表黄山!#代表九华山!$代表西递宏
村!%代表徽州古城#$
!!#$%!#!!$#!!$#
#!#$!!#!$%#!$%#
"-#填表$"画正字表示划记#
特色景点
划记
人数
百分率"#
!
-*
)(
#
.
+(
$
'
*(
%
+
-(
"*#该班同学喜欢哪里的最多)
解!"* # 由"- # 可知该班同学喜欢黄山的
最多!
'()
$ !9?@:;A=>"#!
"!
!!"!# 23'()老师布置大家绘制扇形统计图
来直观表示自己一天的时间使用情况!小明每
天用于睡眠的时间约为. 小时!则在小明绘制
的统计图中!%睡眠& 这一项对应的扇形圆心
角为&-+,&度!
%& !!"!# 45'()在扇形统计图中!其中一
个扇形的圆心角为/*$!则这个扇形所表示的
区域占总体区域的百分比为&*(#&!
#!本学期我们学习了有理数'整式及其加减'一
次方程与方程组'几何图形初步'数据的收集
与整理这五章内容!在一次数学测试中!试卷
满分为-(( 分!小穆同学想用扇形统计图统
计每一章分值所占百分率情况!于是将测试
内容及分值的分布情况整理计算后列出下列
表格!并制作了扇形统计图"不完整#!
"-#将表格中的内容补充完整!
测试内容
分值
百分率
圆心角度数
有理数
+( 分
+(#
-(0$
整式及其加减
-, 分
-,#
+'($1-,# 2,)$
一次方程与方程组
*, 分
*,#
+'($1*,# 2.($
几何图形初步
*( 分
*(#
+'($1*(# 2/*$
数据的收集与整理
-( 分
-(#
+'($1-(# 2+'$
"*#补全扇形统计图!
"*#补全的扇形统计图如图所示!
'()
% !9B@:;A0CD:;A=>"#!
$!
!!"!# 6+'()甲'乙'丙'丁共有课外书+( 本!
用条形统计图表示) 人课外书数量的分布情
况!若) 人对应的直条高度之比是*3)3+3-!则
丙有课外书&.&本!
%!下表是某患者从周一到周日每天早上0 点的
体温情况统计表!
周一
周二
周三
周四
周五
周六
周日
体温"4
+'!,
+/
+0
+.!,
+.
+0!,
+/
请用折线统计图表示该患者一周的体温变化
情况!
解!折线统计图如图所示!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
#
!
!
!"#$%&'()*%!"+
+
挫折是成长的礼物!经历过风雨!才更懂阳光的温暖与珍贵"
!"$
&!
!!"!# 0789)小杰同学选择扇形统计图分析为
预防某种疾病接种不同针数的居民人数所占总
人数的百分比!下面是制作扇形统计图的步骤
"顺序打乱#$
接种疫苗针数
(
-
*
+
人数
* -(( * *0( - +*(
+((
! 计算各部分扇形的圆心角分别为-*'$!
-+'!0$!/.!*$!-0$!
"计算出接种不同针数的居民人数占总人数的
百分比分别为+,#!+0#!**#!,#!
#在同一个圆中!根据所得的圆心角度数画出
各个扇形!并注明各部分的名称及相应的百
分比!
制作扇形统计图的步骤排序正确的是
" # #
!""!#
#"!#"
$"!"#
%"#!"
'!
!!"!$ %:;9)如图显示了某地连续, 天的日最
低气温!则能表示这, 天日最低气温变化情况
的是
" # #
(!
!!"!# <=;9)在第*, 个全国科技活动周中!某
班每位学生结合自己的兴趣从元宇宙'脑机接
口和人形机器人中选择一项进行深入了解!现
将选择结果绘制成如下统计图表$
人数
元宇宙
-'
脑机接口
%
人形机器人
-)
&&&&
根据图表信息!表中% 的值为
" ! #
!"0
#"-(
$"-*
%"-,
)! '() !!"!# >?'()如图是校园里各类树木
数量分布情况的扇形统计图!若要绘制成条形
统计图!则正确的是
" ! #
!&&&&&& &&#
$&&&&&& &&%
!*!
!" !$)$(* %&
!!"!# @;'()如图是甲'乙两
个家庭全年支出费用的扇形统计图!根据统计
图小华认为就全年教育支出费用来说!甲家庭
比乙家庭多!你同意他的看法吗) &不同意&
"填%同意&或%不同意&#!理由$&甲%乙两个家
庭全年支出总数无法确定&所以两个家庭全年
的教育支出费用的多少也无法确定&!
!!!!!"!# *+'()如图是
明明一天中作息时间
分配的扇形统计图!
"-# 求%阅读& 对应的
扇形圆心角度数!
"*#若明明想把每天的
阅读时间调整为* 小时!那么她的阅读
时间需增加多少分钟)
解!"-#由题图可知&'阅读(对应的扇形圆心
角度数为+'($1"- 5)(# 5+-# 5-'# 5
0## 2-0$!
"*# 调整前阅读时间为*) 1"- 5)(# 5
+-# 5-'# 50## 2-!*"时#&则她的阅读时
间需增加"* 5-!*# 1'( 2)0"分#
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
$
!
!
&&
&+
#,-./012
! ! "
笔尖划过纸张!留下的不只是字迹!还有追梦的执着与滚烫"
!
"#$%!
&'()!
!"#
!!你能阅读下面的这段英文短文吗!
!"#$%&'%(#')* +,#)-./0)1.*#-2#3/11/(.04
/0#)56).-4/.04-/$'.0 -/&'%! 7.11/,$3//-8'11
-#'9(.0 -2.)(##*#0&! 7.119%8#)-3$.#0& '0&
68/-2 8#)#1#:-#& -/$#;$#)#0-/,$:1'))!
这篇短文中共有<=> 个字符"不含标点符号#5
"<#统计字母#$-$)$/出现的次数及其占字母
总数的百分率$完成下表%
字母
字母出现的次数
占字母总数的百分率?@
#
AB
<C!D
-
<C
>!>
)
<<
E!=
/
<C
>!>
由表可知$#$-$)$/中出现次数最多的是字
母F#F!
"A#画出#$-$)$/出现次数的条形统计图!
解!"A#条形统计图如图所示!
"!清朝康熙年间编校的&全唐诗'包含四万多首
诗歌$逾三百万字$是后人研究唐诗的重要资
源!小云利用统计知识分析&全唐诗'中李白和
杜甫作品的风格差异!下面给出了部分信息%
'5&全唐诗' 中$李白和杜甫分别有>GH 首和
< <D>首作品!
85二人作品中与(风)相关的词语频数统计表
如表%
春风
东风
清风
悲风
秋风
北风
李白
EA
A=
A>
H
AH
>
杜甫
<G
=
H
<B
CB
<=
:5通过统计二人的个性化用字$可绘制一种视
觉效果更强的(词云图)$出现次数较多的关
键字被予以视觉上的突出!
注!在文学作品中"东风即春风"常含有生机勃
勃之意和喜春之情"如!等闲识得东风面"万紫
千红总是春!北风#秋风通常寄寓诗人凄苦的
情怀"抒写伤别之情"如!千里黄云白日曛"北
风吹雁雪纷纷!
根据以上信息$回答下列问题%
"<#在与(风)相关的词语中$李白最常使用的
词语是F春风F$大约每F<AF首诗歌中
就会出现一次该词语"结果取整数#$而杜
甫最常使用的词语是F秋风F!
"A#下列推断合理的是F!"F!"填序号#
!相较于杜甫$与(风)有关的词语在李白
的诗歌中更常见*
#个性化用字中$李白最常使用的汉字是
(水)$杜甫则是(江)*
"李白更常用(风)表达喜悦$而杜甫更常
用(风)表达悲伤
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
#
!
!
!"#$%&'()*%!"+
+
愿你始终保持善良与真诚!在喧嚣世界里!守住内心的清澈"
!
!" %!
312456"#!
!"*
'()
# !:;A$EF!
!! '*+ 体育强则中国强!国运兴则体育兴!在
*(*, 年第十五届全运会上!安徽代表团发挥
出色!共获得-( 块金牌'-- 块银牌和*( 块铜
牌!要想清楚地表示出安徽体育代表团获得各
类奖牌数量与奖牌总数之间的关系!适合绘制
" # #
!"扇形统计图&
#"折线统计图
$"条形统计图&
%"以上统计图均可以
"!
!!"!# ABC89)某同学查询了我国五大名山
的海拔!并绘制统计图以便更清楚地比较五座
山的高度!那么最适宜采用的是
" # #
!"条形统计图
#"折线统计图
$"扇形统计图
%"以上都可以
#!
'*+ *(*, 年我国全年货物进出口总额规
模再创新高!超), 万亿元!为描述这十年我
国货物进出口总额的变化情况!最适合使用
&折线&统计图!
$! !" !$)+(* %& 一家服装店专卖羽绒服!下面
是去年各月的销售统计表!
月份
-
*
+
)
,
'
/
0
. -( -- -*
销量"件-(( .( ,( -- 0
'
)
'
, +( 0( --(
根据上表回答下列问题!
"-#用一个适当的统计图表示去年各季度的
销量情况!
"*#计算去年各季度销量在全年销量中所占
百分率!并用适当的统计图表示!
解!"-# 第一%二%三%四季度销量分别为*)(
件%*, 件%-, 件%**( 件!
可用条形统计图表示!
&
"*#第一%二%三%四季度销量占全年销量的百
分率分别为)0#&,#&+#&))#!
可用扇形统计图表示!
'()
$ !GH:;A!
%!某年/ 月至-( 月!!市和#市的月平均气温
如表$
月份
/
0
.
-(
!市月平均气温P4
*+
*(
-,
,
#市月平均气温"4
*/
*.
*)
-0
"-#选择适当的统计图表示这四个月份中两
市的气温变化情况(
"*#这两个市中!哪个市的月平均气温较高)
解!"-#选择折线统计图&如图所示!
"*#由"-#中折线统计图&可知#市的月平均
气温较高!
&!
,-$ %校园手机& 现象越来越受到社会的
关注!%五一&期间!实验小学小记者随机调查
了若干名学生和家长对小学生在校期间带手
机现象的看法!统计'整理并制作了两幅不完
整的统计图!如图$
&
"-#这次调查的家长人数是&)((&人!
"*#补全条形统计图!
"+#对%在校期间学生带手机& 的现象!你有
什么看法)
解!"*#)(( 5)( 50( 2*0("人#&补全的条形
统计图如图所示!
"+#答案不唯一&合理即可!如!我反对'在校
期间学生带手机(&理由是影响学习
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
&
!
!
&&
&+
#,-./012
! ! "
每一次努力都有意义!每一次坚持都在靠近心中的那片山海"
!
!" &!
7489$"#:;<=!
!"&
'()
# !IA<J$"#KLMN!
!!某校对中学生开展心理健康知识测试!七'八'
九三个年级共有0(( 名学生!各年级的合格人
数如表所示!则下列说法正确的是
" $ #
年级
七
八
九
合格人数
*/(
*'*
*,)
!"七年级的合格率最高
#"八年级的学生人数为*'*
$"八年级的合格率高于全校的合格率
%"九年级的合格人数最少
"!
!!"!# <='()如图是某商品- R) 月份单个的
进价和售价的折线统计图!则售出该商品单个
利润最大的是
" ! #
!"- 月
#"* 月
$"+ 月
%") 月
第* 题图
&
第+ 题图
#!
./0123 !!"!# DEF'()如图是我国陆地
地形分布统计图!下列说法中错误的是" $ #
!"我国陆地地形分为, 类!其中%山地& 面积
最大
#"统计图中%高原&所占扇形的圆心角度数为
.+!'$
$"%丘陵& 和%盆地& 的总面积占我国陆地总
面积的*.#
%"%平原&面积和%丘陵&面积相差约+( 万平
方千米
$!
!!"!# GH;9)习近平总书记致首届全民阅读
大会举办的贺信指出$阅读是人类获取知识'
启智增慧'培养道德的重要途径!可以让人得
到思想启发!树立崇高理想!涵养浩然之气!中
华民族自古提倡阅读!讲究格物致知'诚意正
心!传承中华民族生生不息的精神!塑造中国
人民自信自强的品格!如图是某网站连续多年
对其用户书籍阅读量的统计图!下列结论错误
的是
" " #
人均书籍阅读量"*(-',*(*) 年#
!"*(** 年!人均纸质书籍阅读量为, 本
#"*(*+ 年!人均电子书籍阅读量为-- 本
$"*(*) 年!人均电子书籍阅读量是人均纸质
书籍阅读量的+ 倍
%"*(-' 年至*(*) 年!人均电子书籍阅读量逐
年上升
'()
$ !OPQR:;A$ST!
%!!!"!% I:'()小明将他的0 次数学测验成绩
按顺序绘成了如图所示的两幅统计图!若小
明想向他的父母说明他数学成绩的提高情况!
他应向父母展示统计图&!&!"填序号#
&!一则广告上绘制了如图所示的统计图!并称
%乙品牌牛奶每天的销售量是甲品牌牛奶每
天销售量的+ 倍&!这则广告信息正确吗) 请
说明理由!
解!不正确!理由如下!
由题图可知甲品牌牛奶每天
的销售量是,-( 万袋&乙品
牌牛奶每天的销售量是,+(
万袋&所以乙品牌牛奶每天
的销售量不是甲品牌牛奶每天销售量的+ 倍!因
此这则广告信息不正确
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
'
!
!
!"#$%&'()*%!"+
+
少年不惧岁月长!心怀热爱!便敢奔赴所有未知与远方"
!"&
'!
!!"!# <=JK&'()某班为了解学生日常出行
交通方式的情况!对学生进行问卷调查!学生
只选择一种交通方式作为出行方式!把调查结
果分为%私家车&%出租车&%公交车&%轨道交
通&四类!绘制成如图所示的不完整的条形统
计图!如果选择%公交车& 出行的学生人数是
该班总人数的-
-(!那么选择%私家车& 出行的
学生人数是该班总人数的
" " #
!"+
-(
#"--
*(
$"+
*(
%"-
,
(!
!!"!$ 23;9)甲'乙两家公司*(-. R*(*+ 年
的利润统计图如图所示!比较这两家公司的利
润增长情况
" # #
!"甲始终比乙快
#"甲先比乙慢!后比乙快
$"甲始终比乙慢
%"甲先比乙快!后比乙慢
)!
!!"!% LM;9)某书店某一天图书的销售情况
如图所示!
书店某天图书销售情况条形统计图
书店某天图书销售情况扇形统计图
&
根据以上信息!下列选项错误的是
" $ #
!"科技类图书销售了'( 册
#"文艺类图书销售了-*( 册
$"文艺类图书销售占比+(Q
%"其他类图书销售占比-0#
!*!!!"!# NO89)如图呈现了*(*, 年. 月R-* 月
某家电经销商的冰箱销售量及增长率!根据
图中信息!该家电经销商在-- 月的冰箱销售
量是&/((&台!
!!!全球已经进入大数据时代!大数据是指数据规
模巨大'类型多样且信息传播速度快的数据库
体系!大数据在推动经济发展!改善公共服务
等方面日益显示出巨大的价值!为创建大数据
应用示范城市!我省某机构针对公民最关心的
四类生活信息进行了民意调查"被调查者每人
限选一项#!下面是四类生活信息关注度的统
计图!请根据图中提供的信息解答下列问题!
150
"-#本次调查的样本容量为&- (((&(
"*#关注城市医疗信息的有&-,(&人!并补
全条形统计图(
"+#请写出一条你从统计图中获取的信息!
解!"*#补全的条形统计图如图所示!
"+#市民最关心的是交通信息!"答案不唯一
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
#
(
!
!
&&
&+
#,-./012
! ! "
日子慢慢过!成长悄悄来!不慌不忙!才是青春最好的状态"
!
>?!
1248$@ABC!
!"&
BC
# !61:;A<!
!!!!"!$ PQ;9)为了解全班同学对新闻'体育'
动画'娱乐'戏曲五类节目的喜爱情况!班主
任对全班,( 名同学进行了问卷调查"每名同
学只选其中的一类#!依据,( 份问卷调查结
果绘制了全班同学喜爱节目情况扇形统计图
"如图所示#!下列说法正确的是
" $ #
!"班主任采用的是抽样调查
#"喜爱动画节目的同学最多
$"喜爱戏曲节目的同学有' 名
%"%体育&对应扇形的圆心角为/*$
"!
!!"!$ GH;9)近年来!我国重视农村电子商务
的发展!下面的统计图反映了*(-' R*(*+ 年中
国农村网络零售额情况!根据统计图提供的信
息!下列结论错误的是
" $ #
!"*(*+ 年中国农村网络零售额最高
#"*(-' 年中国农村网络零售额最低
$"*(-' R*(*+ 年!中国农村网络零售额持续
增加
%"从*(*( 年开始!中国农村网络零售额突破
*( ((( 亿元
BC
$ !U1:;A<!
#!小明调查了本班每位同学最喜欢的颜色!并绘
制了不完整的扇形统计图及条形统计图"柱的
高度从高到低排列#!条形统计图不小心被撕
了一块!图* 中%"&&#&内应填的颜色是
" $ #
!!蓝
#!粉
$!黄
%!红
$!
!!"!# 0789)某校连续四个月开展了数学计
算能力测试!并将测试成绩整理!绘制了如图
所示的统计图"四次参加计算能力测试的学生
总人数不变#!下列四个结论正确的是" " #
!"共有).( 名学生参加计算能力测试
#"从- 月到) 月测试成绩%优秀&的学生人数
在总人数中的占比先增后减
$"从+ 月到) 月增长的%优秀&人数比从* 月
到+ 月增长的%优秀&人数多
%") 月份测试成绩% 优秀& 的学生人数为
-/(
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
人
)
!
!
!"#$%&'()*%!"+
+
把梦想藏进心底!把行动落在当下!未来自会给你答案"
%!
!!"!# @;'()某校积极开展中学生社会实践
活动!决定成立文明宣传'环境保护'交通监督
三个志愿者队伍!每名学生最多选择一个队
伍!现想了解学生的选择意向!随机抽取七年
级!!#!$!%四个班!共*(( 名学生进行调查!
将调查得到的数据进行整理!绘制成如图所示
的两幅不完整的统计图!根据统计图提供的信
息解答下列问题$
"-#求扇形统计图中交通监督所占的百分比!
"*#求%班选择环境保护志愿者队伍的学生
人数!并补全折线统计图!
"+#若该校共有学生* ((( 人!请你估计该校
学生选择文明宣传志愿者队伍的人数!
解!"-# 由题意可知&扇形统计图中交通监督
所占的百分比为"-* S-, S-+ S-)# T*(( 1
-((# 2*/#!
"*# 由题意可知&*(( 1+(# 2'( " 人#&'( 5
-, 5-) 5-' 2-,"人#&所以%班选择环境保
护志愿者队伍的学生人数为-,!
补全折线统计图如图所示!
"+#* ((( 1"- 5+(# 5,# 5*/## 2/'("人#!
答!估计该校学生选择文明宣传志愿者队伍的
人数为/'(!
&!
!!"!# "#'()根据去年+ 至0 月份期间!!!
#!$三种品牌空调的销售情况制作的统计图
如图!
根据统计图!回答下列问题$
"-#+ 至0 月份期间!&#&品牌空调销售量
最多" 填% !& % #& 或% $& # (0 月份$品
牌空调销售量为&*/, & 台(扇形统计
图中!!品牌所对应的扇形的圆心角是
&./!*&$!
"*#0 月份其他品牌的空调销售总量是多少台)
"+#小明打算选购一台空调!你建议小明购买
哪种品牌的空调) 请你写出一条理由!
解!"*#0 月份总销售量为*/( T*/# 2- ((("台#&
- ((( 1"-((# 5*/# 5*+!)# 5*/!,## 2
**-"台#!
答!0 月份其他品牌的空调销售总量是**- 台!
"+#建议小明购买#品牌的空调!
理由!因为#品牌空调的销售量最大&所以建
议小明购买#品牌的空调!"答案不唯一&合理
即可
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
#
*
"
!
&&
&+
#,-./012
! ! "
青春本就是一场温柔的冒险!一路跌撞!一路向阳!一路成长"
&
"""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
"""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""
"""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""
!
DEFG>H!
!",
为了解某校0(( 名七年级学生的暑期课外阅读
情况!某研究小组从中抽取了,( 名学生进行问
卷调查!
)基础设问*
"-#上述调查方式为&抽样调查&!"填%普查&
或%抽样调查&#
"*#指出上述调查问题中的总体'个体'样本和
样本容量!
总体$ 0(( 名七年级学生的暑期课外阅读
情况!
个体$ 每名七年级学生的暑期课外阅读情况!
样本$&抽取的,( 名七年级学生的暑期课
外阅读情况&!
样本容量$&,(&!
"+# 下面选取样本的方法中! 你认为合适的
是&$&!
!!从七年级随机抽取一个班的,( 名学生
#"从七年级女生中随机抽取,( 名学生
$"从七年级所有学生中随机抽取,( 名
学生
)能力设问*
")#对调查数据进行整理!得到下面两幅尚不完
整的统计图表!统计表中的% 2&*,&!*2
&-,&!补全条形统计图!
暑期课外阅读情况统计表
阅读数量"本
人数
(
,
-
%
*
*
+ 本及以上
,
",#根据统计表中的数据!绘制扇形统计图!
解!暑期课外阅读情况扇形统计图如图!
"'#估计该校七年级学生暑期课外阅读数量达
到* 本及以上的学生人数!
解!0(( 1-, S,
,(
2+*("人#!
所以七年级学生暑期课外阅读数量达到*
本及以上的学生人数约为+*(!
"/#根据上述调查情况!写一条你的看法!
解!大多数学生暑期课外阅读数量不够多&
要多加宣传课外阅读的重要性!"答案不唯
一&合理即可
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
#
!
"
!
!"#$%&'()*%!"+
+
认真生活的人!总会被时光温柔以待!少年只管大步向前"
!",
!!
!!"!% RS;9)下列调查中!适合采用全面调查
的是
" # #
!"了解某班同学的跳远成绩
#"了解夏季冷饮市场上冰激凌的质量情况
$"了解全国中学生的身高状况
%"了解某批次汽车的抗撞击能力
"!
!!"!% M?;9)某市为尽快了解义务教育阶段
劳动课程开设及实施的情况!现面向全市义务
教育阶段的学校进行抽样调查!下列抽样方式
较合适的是
" $ #
!"随机抽取城区三分之一的学校
#"随机抽取乡村三分之一的学校
$"调查全体学校
%"随机抽取三分之一的学校
#! '*+ !!"!$ TU;9)中国中医科学院教授屠
呦呦因其在青蒿素抗疟方面的研究获*(-, 年
诺贝尔生理学或医学奖!某科研小组用石油醚
做溶剂进行提取青蒿素的实验!控制其他实验
条件不变!分别研究提取时间和提取温度对青
蒿素提取率的影响!其结果如图所示!
由图可知!最佳的提取时间和提取温度分别为
" ! #
!"-(( MCE!,( 4
#"-*( MCE!,( 4
$"-(( MCE!,, 4
%"-*( MCE!,, 4
$!
!!"!% VW;9)某高铁站出站
后有出租车'地铁'汽车'公
交等出行方式!高铁站为调
查各个出行方式的人流!先
对* ((( 人展开调查!结果
如图所示!那么某日高铁站
出站客流约为-!0 万人!其中约有&(!-0&万
人选择出租车!
%!
!!"!% 23;9)' 月' 日是%全国爱眼日&!小明
在报纸上看到某市疾控中心发布的中学生近
视情况统计数据!如图- 所示!
"-#图- 中的数据是从全市+( 所中学随机抽
取的部分学生视力筛查的结果!
!疾控中心收集数据!采用的调查方式是
&抽样调查&("填%普查&或%抽样调查&#
"根据统计图!请你分析近视率随年级升
高的变化趋势!
"*#小明想了解%影响视力的主要因素&!对全
校近视的.0, 名学生进行问卷调查!问卷
中设置了五个主要因素$!"不认真做眼保
健操(#"长时间连续用眼($"课间只在教
室休息(%"饮食不均衡(6"睡眠时间不足"
他绘制了如图* 所示的条形统计图!
!从图* 中可知!影响视力的最主要因素
是&#&!"填选项代号#
"结合上述统计数据!请你谈一谈如何预
防近视!
解!"*# "认真做眼保健操&避免长时间连续
用眼&用眼一段时间要适当休息&课间到室外
活动或者作适当远眺!" 答案不唯一& 合理
即可
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
#
"
"
!
&&
&+
#,-./012
! ! "
愿你历经少年时光!依旧眼里有光!心中有暖!步步皆坦荡"
!",
某校劳动实践小组为了解全校- 0(( 名学生参与家务劳动的情况!随机抽取部分学生进行问卷
调查!形成了如下调查报告$
11学校学生参与家务劳动情况的调查报告
调查主题
11学校学生参与家务劳动情况
调查方式
抽样调查
调查对象
11学校学生
数据的收集%
整理与描述
第一项
你日常家务劳动的
参与程度是"单选#
!"天天参与(
#"经常参与(
$"偶尔参与(
&%"几乎不参与!
第二项
你日常参与的家务
劳动项目是"可多选#
6"扫地抹桌(
U"厨房帮厨(
V"整理房间(
W"洗晒衣服!
第三项
-
-
调查结论
-
请根据以上调查报告!解答下列问题$
"-#参与本次抽样调查的学生有&*((&人(
"*#若将上述报告第一项的条形统计图转化为相对应的扇形统计图!求扇形统计图中选项%天天
参与&对应扇形的圆心角度数(
"+#估计该校- 0(( 名学生中!参与家务劳动项目为%整理房间&的人数(
")#如果你是该校学生!为鼓励同学们更加积极地参与家务劳动!请你面向全体同学写出一条
倡议!
解!"*#+'($1+'
*(( 2')!0$&所以选项'天天参与(对应扇形的圆心角度数为')!0$!
"+#- 0(( 10+# 2- ).)"人#&
所以估计全校参与家务劳动项目为'整理房间(的人数为- ).)!
")#倡议同学们在家多帮助父母扫地抹桌和洗晒衣服!"答案不唯一&合理即可#
4567 "
89:;<=>?7@
4567 %
#
"
!
!"#$%&'()*%!"+
+
