2025年甘肃兰州中考数学试题及答案

2025 年甘肃兰州中考数学试题及答案
注意事项：
1．全卷共120 分．考试时间120 分钟．
2．考生必须将姓名、准考证号、考场号、座位号等个人信息填（涂）写在试卷及答题卡上．
3．考生务必将答案直接填（涂）写在答题卡的相应位置上．
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题（本大题共11 小题，每小题3 分，共33 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的）
1．下列各数中，最小的数是（    ）
A．
B．0
C．1
D．2
2．计算：
（    ）
A．6
B．
C．
D．1
3．如图是集热板示意图，集热板与太阳光线垂直时，光能利用率最高．春分日兰州正午太阳
光线与水平面的夹角
为
．若光能利用率最高，则集热板与水平面夹角
度数是
（    ）
A．
B．
C．
D．
4．如图，在平面直角坐标系
中，
与
位似，位似中心是原点O，已知
，则
的对应点
的坐标是（    ）
A．
B．
C．
D．
5．图1 是通过平面图形的镶嵌所呈现的图案，图2 是其局部放大示意图，由正六边形、正方
形和正三角形构成，它的轮廓为正十二边形，则图2 中
的大小是（    ）
A．
B．
C．
D．
6．若关于x 的一元二次方程
有两个不相等的实数根，则a 的值可以是
（    ）
A．3
B．2
C．1
D．0
7．若点
与
在反比例函数
的图象上，则
与
的大小关系是
（    ）
A．
B．
C．
D．
8．现有甲、乙两个不透明盒子，其中甲盒装有分别写着d，t，l 的三张声母卡片，乙盒装有分
别写着a，e，i 的三张韵母卡片（卡片除汉语拼音字母外，其余完全相同），若小明分别从甲、
乙盒中随机各抽取一张卡片，则两张卡片刚好拼成“德”字读音的概率是（    ）
A．
B．
C．
D．
9．《九章算术》是中国传统数学最重要的数学著作之一，“方程章”第11 题大意是：两匹马
一头牛总价超过1 万，超过部分等于半匹马的价格；一匹马两头牛的总价不足1 万，不足部分
等于半头牛的价格，问一匹马、一头牛的价格分别是多少？若设一匹马价格为x，一头牛价格
为y，则可列方程组为（    ）
A．
B．
C．
D．
10．如图，四边形
是矩形，对角线
相交于点O，点E，F 分别在边
上，连
接
交对角线
于点P．若P 为
的中点，
，则
（    ）
A．
B．
C．
D．
11．如图，在正方形
中，
，对角线
相交于点O，动点P 从点O 出发沿
方向以
的速度运动，同时点Q 从点C 出发沿
方向以
的速度
运动，当点Q 到达点D 时，P，Q 同时停止运动．若运动时间为x（s），
的面积为
，
则点P 分别在
上运动时，y 与x 的函数关系分别是（    ）
A．均为一次函数
B．一次函数，二次函数
C．均为二次函数
D．二次函数，一次函数
二、填空题（本大题共4 小题，每小题3 分，共12 分）
12．因式分解：
          ．
13．射箭运动项目中，新手成绩通常不太稳定．甲和乙同时进行12 次射箭练习后，成绩的统
计数据如下表，请根据表中信息估计新手是          ．（填写“甲”或“乙”）
甲
乙
平均成绩
（单位：环）
6.58
7.67
方差
6.91
0.72
14．如图，在菱形
中，
，垂足为E，交
于点F，
．若
，则
          ．
15．如图，黄金矩形
中
，以宽
为边在其内部作正方形
，得到四边
形
是黄金矩形，依此作法，四边形
，四边形
也是黄金矩形．依次以点E，
G，L 为圆心作
，
，
，曲线
叫做“黄金螺线”．若
，则“黄金螺线”
的长为          ．（结果用
表示）
三、解答题（本大题共11 小题，共75 分．解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
16．计算： 
．
17．解方程：
．
18．解不等式组：
．
19．如图，在平面直角坐标系中，一次函数
与反比例函数
的图象相
交于点
，与x 轴相交于点
，与y 轴相交于点C．
(1)求一次函数
与反比例函数
的解析式；
(2)点P 为y 轴负半轴上一点，连接
．若
的面积为6，求点P 的坐标．
20．天文学家运用三角函数解决了曾困扰古人数百年的难题．某天文研究小组探究用三角函
数知识计算月球与地球之间距离的方法，通过查阅资料、实际观测、获得数据和计算数据，得
出月球与地球之间的近似距离．具体研究方法与过程如下表：
问题
月球与地球之间的距离约为多少？
工具
天文望远镜、天文经纬仪等
月球、地球的实物图与平面示意图
说明
为了便于观测月球，在地球上先确定两个观测点A，B，以线段
作为基准线，
再借助天文经纬仪从A，B 两点同时观测月球P（将月球抽象为一个点），并测得
和
的度数．根据实际问题画出平面示意图（如上图），过点P 作
于点H，连接
，
．
数据
万千米，
，
．
根据以上信息，求月球与地球之间的近似距离
．（结果精确到1 万千米）
（参考数据：
，
，
，
，
，
）
21．综合与实践
在学校项目化学习中，某研究小组开展主题为“生长素浓度对植物种子发芽率的影响”的
研究．请你阅读以下材料，解决“数学建模”中的问题．
【研究背景】已知一定浓度的生长素既能促进种子发芽，也会因浓度过高抑制种子发芽．探索
生长素使用的适宜浓度等最优化问题，可以借助数学模型进行解决．
【数据收集】研究小组选择某类植物种子和生长素，以生长素浓度x（标准单位）为自变量，种
子的发芽率y（%）为因变量，进行“生长素浓度对植物种子发芽率的影响”的实验，获得相关
数据：
生长
素浓
度：x
（标
准单
位）
0
0.6
1
1.7
2
2.5
2.7
3
3.3
4
4.2
发芽
率y
（%）
35.00
49.28
56.00
62.37
63.00
61.25
59.57
56.00
51.17
35.00
29.12
【数据分析】如图，小组成员以表中各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系中描出相应
的点． 
说明：①当生长素浓度
时，种子的发芽率为自然发芽率；
②当发芽率大于等于零且小于自然发芽率时，该生长素抑制种子发芽；
③当生长素抑制种子发芽，使得发芽率减小到0 时，停止实验．
【数学建模】请你结合所学知识解决下列问题：
(1)观察上述各点的分布规律，判断y 关于x 的函数类型，并求出该函数的表达式；
(2)请计算抑制种子发芽时的生长素浓度范围．
22．“三等分角”是两千多年来数学史上最著名的古典四大问题之一，阿基米德等数学家通
过巧妙的几何作图得到了解决“三等分角”问题的特例方法．某数学兴趣小组通过折纸与
尺规作图相结合的方法探究“三等分锐角”问题的解法，解决过程如下：
操作步骤与演示图形
如图①，已知一个由正方形纸片的边PK 与经过顶点P 的直线构成的锐角
．按照以下步
骤进行操作：
任意折出一
条水平折痕
，与纸片
左边交点为
Q；再折叠将
PK 与
重合
得到折痕
，
与纸片
左边交点为
N，如图②．
→
折叠使点
Q，P 分别落
在和
上，得到折
痕m，对应
点为
，
，m 交
于M，如图
③④．
→
保持纸片
折叠，再沿
MN 折叠，得
到折痕
的一部分，
如图⑤．
→
将纸片展
开，再沿
折叠得到
经过点P
的完整折
痕
，如图
⑥．
→
将纸片折叠
使边PK 与
重合，折痕为
．则直线
和
就是锐
角
的三等
分线，如用
⑦⑧．
解决问题
（1）请依据操作步骤与演示图形，通过尺规作图完成以下两个作图任务：（保
留作图痕迹．不写作法）
任务一：在图③中，利用已给定的点
作出点
；
任务二：在图⑥中作出折痕
．
（2）若锐角
为
，则图⑤中
与
相交所成的锐角是__________ ．
23．豌豆荚里有几粒豆子不确定，那么豆子粒数是否有规律？同学们对这个问题很感兴趣．
为此，调查小组从一批豌豆荚中随机抽取了若干个豌豆荚，进行豆子粒数的统计，以下是本
次调查的过程．
【收集数据】打开每个豌豆荚，数清其中的豆子（直径大于3 毫米）粒数，记录数据．
【整理数据】将收集的豆子粒数进行数据整理，用x 表示每个豌豆荚中的豆子粒数，将数据分
为5 类：其中A 类（
），B 类（
），C 类（
），D 类（
），E 类（
）．
【描述数据】根据整理的数据，绘制出如下统计图．
【分析数据】根据以上信息，解答下列问题：
(1)本次调查活动中随机抽取了__________个豌豆荚，图中
__________，
__________；
(2)所调查豆子粒数的中位数落在__________类中；（只填写字母）
(3)如果甲同学调查了20 个豌豆荚，其中B 类有7 个，乙同学调查了10 个豌豆荚，其中D 类
有3 个．能否得到B 类豌豆荚一定比D 类豌豆荚多的规律？请说明理由．
24．如图，
是
的外接圆，
是
的直径，过点B 的切线交
的延长线于点D，
连接
并延长，交
于点E，连接
．
(1)求证：
；
(2)若
，
，求
的长．
25．【提出问题】数学讨论课上，小明绘制图1 所示的图形，正方形
与正方形
（
），点E，G 分别在
上，根据图形提出问题：如图2，正方形
绕点B 顺时
针旋转，旋转角为
，直线
与
相交于点H，连接
，探究线段
，
，
之间的数量关系．
【解决问题】（1）小明将上述问题特殊化，如图3，当点G，H 重合时，请你写出
，
，
之间的数量关系，并说明理由；
（2）小明借鉴（1）中特殊化的解题策略后，再解决图2 所示的一般化问题，当点G，H 不重合时，
请你写出
，
，
之间的数量关系，并说明理由；
【拓展问题】（3）小明将图2 所示问题中的旋转角
的范围再扩大，正方形
绕点B 顺时
针旋转，旋转角为
，直线
与
相交于点H，连接
，请直接写出
，
，
之间的数量关系．
26．在平面直角坐标系
中，对于图
上或内部有一点
（不与原点
重合），及平面内一
点
，给出如下定义：若点
关于直线
的对称点
在图
上或内部，则称点
是图
的
“映射点”．
(1)如图1，已知图
：线段
，
，
．在
，
中，__________是
图
的“映射点”；
(2)如图2，已知图
：正方形
，
，
，
，
．若直线：
上存在点
是图
的“映射点”，求
的最大值；
(3)如图3，已知图
：
，圆心为
，半径为．若
轴上存在点
是图
的“映射
点”，请直接写出的取值范围．
1．A
【分析】本题考查了有理数大小的比较：负数小于一切非负数，明确此性质是关键．
根据正数大于0，0 大于负数，即可作出判断．
【详解】解：∵
，
∴最小的数是
，
故选：A．
2．B
【分析】本题考查二次根式的乘法运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
根据二次根式的乘法运算法则计算即可．
【详解】解：
，
故选：B．
3．C
【分析】本题考查了垂直的定义，余角的性质．由题意得
，代入数据计算即可求解．
【详解】解：∵集热板与太阳光线垂直，
∴
，
∵
，
∴
，
故选：C．
4．B
【分析】本题考查的是位似变换的性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似
中心，相似比为
，那么位似图形对应点的坐标的比等于
或
．根据位似变换的性质解答
即可．
【详解】解：∵
与
位似，位似中心是原点O，
∴位似比为
，
∵
，
∴
，即
，
故选：B．
5．D
【分析】本题考查了正多边形的内角和．根据正三角形的每个内角为
，正方形的每个内角
为
，求解即可．
【详解】解：正三角形的每个内角为
，正方形的每个内角为
，
∴
，
故选：D．
6．D
【分析】根据一元二次方程根的判别式，当判别式大于0 时，方程有两个不相等的实数根．将
方程化为标准形式后，计算判别式并解不等式即可确定a 的取值范围．熟练掌握一元二次方
程根的判别式是解题的关键．
【详解】解：对于方程 
，其判别式为
，
∵方程有两个不相等的实数根，
∴ 
，
即
，
解得
．
故选：D．
7．C
【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质，根据
，反比例函数图象分布在一、三象限，
当
时
，当
时
，进行判断即可求解，掌握反比例函数的图象和性质是解题
的关键．
【详解】解：∵
，
∴反比例函数图象分布在一、三象限，当
时
，当
时
，
∵
，
∴
，
即
，
故选：
．
8．A
【分析】本题主要考查了列表法或树状图法求概率等知识点，用列表法或树状图法列举出所
有等可能出现的结果，再根据概率的定义进行计算即可，熟练掌握列表法或树状图法求概率
的方法是解决此题的关键．
【详解】解：将所有结果列表格如下：
声母         韵母
a
e
i
d
da
de
di
t
ta
te
ti
l
la
le
li
所有可能的组合为9 种，符合条件的情况仅1 种，故两张卡片刚好拼成“德”字读音de 的概
率为
．
故选：A．
9．A
【分析】此题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是正确分析题目中的等量关系．设每
匹马的价格为x 钱，每头牛的价格为y 钱，根据题意列出方程即可．
【详解】解：设每匹马的价格为x，每头牛的价格为y，根据题意可得，
．
故选A．
10．C
【分析】本题考查了矩形的性质，直角三角形斜边中线的性质，等边对等角．根据矩形的性质
求得
，利用斜边中线的性质求得
，求得
，
利用三角形内角和定理以及对顶角相等即可求解．
【详解】解：∵四边形
是矩形，
∴
，
，
∵
，
∴
，
∵
，P 为
的中点，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
故选：C．
11．D
【分析】本题考查了正方形的性质，勾股定理，二次函数的定义．当点P 在
上运动时，由题
意得
，
，作
于点
，求得
，利用
列式计算即可；当点P 在
上运动时，利用三角形面积公式求解即可．
【详解】解：∵正方形
中，
，
∴
，
∴
，
，
当点P 在
上运动时，由题意得
，
，
作
于点
，
∵
，
∴
，
∴
，是二次函数；
当点P 在
上运动时，由题意得
，
∴
，是一次函数；
故选：D．
12．
【分析】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用．先提取公因式，再利用完全平方公式即
可．
【详解】解：
．
故答案为：
．
13．甲
【分析】本题考查了方差的意义，方差越大，成绩越不稳定．根据图形可知，甲的射击不稳定，
可判断新手是甲．
【详解】解：根据表中信息可以看出，甲平均成绩较差，且方差更大，
方差越大，成绩越不稳定，
新手是甲．
故答案为：甲．
14．4
【分析】根据菱形的性质，得
，又结合
，
，得出
是等边三角形，
就可以得知
和
都是含
的直角三角形，解出三角形，即可求出
的长．
【详解】解：连接
，
，
，
， 
垂直平分
，
，
菱形
，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
．
故答案为：4．
【点睛】本题考查了菱形的性质、垂直平分线的性质、等边三角形的判定与性质以及解直角三
角形，熟练掌握这些性质定理是关键．
15．
【分析】本题主要考查了黄金矩形的定义，及弧长公式
．先根据黄金矩形
中
，且
，求出
，进而求出
，
，再根据弧长公式即可求出“黄金螺线”
的长．根据黄金矩形的
定义求出
的长，以及熟练掌握弧长的公式是解题的关键．
【详解】解: ∵黄金矩形
中
，且
，
∴
，
∵四边形
是正方形，
，
，
∵四边形
是正方形，
，
，
，
∵四边形
是正方形，
，
∴“黄金螺线”
的长为，
．
故答案为：
．
16．
【分析】本题考查了整式的混合运算．先计算平方差和单项式乘多项式，再合并同类项即可．
熟练掌握整式的运算法则是解题的关键．
【详解】解：
．
17．
【分析】解分式方程的步骤：①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论．
【详解】解：
，
去分母，得
，
去括号，得
，
移项，得
，
合并同类项，得：
，
经检验，
是原方程的解．
【点睛】本题考查的是解分式方程，掌握分式方程的解法是解题的关键．
18．
．
【分析】本题考查的是解一元一次不等式组．分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大
取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集即可．
【详解】解：解不等式
得
，
解不等式
得
，
∴不等式组的解集为
．
19．(1)一次函数解析式为：
；反比例函数解析式为：
；
(2)点P 的坐标为
．
【分析】本题考查一次函数与反比例函数的综合应用：
（1）待定系数法求出函数解析式即可；
（2）先求出
点坐标，利用三角形面积公式，列出方程求解即可．
【详解】（1）解：∵点
在一次函数
图象上，
∴
，
解得
，
∴一次函数解析式为：
；
∵点
在一次函数
图象上，
∴
，
解得
，
∴点
，
∵点
在反比例函数
图象上，
∴
∴反比例函数解析式为：
；
（2）解：∵
，
∴当
时，
，
∴
，
由题意得
，
解得
，
∵点P 为y 轴负半轴上一点，
∴
，
∴点P 的坐标为
．
20．月球与地球之间的近似距离
万千米．
【分析】本题考查了解直角三角形的应用．设
万千米．在
和
中，分
别用
表示
和
的长，再根据
万千米，列式计算即可求解．
【详解】解：设
万千米．
在
中，
，
∴
，
∴
，
在
中，
，
∴
，
∴
，
∵
万千米，
∴
，
整理得
，
解得
，
∴月球与地球之间的近似距离
为38 万千米．
21．(1)y 关于x 的函数是二次函数，
；
(2)
．
【分析】本题考查了二次函数的应用．
（1）先判断出y 关于x 的函数是二次函数，再利用待定系数法求解即可；
（2）先计算出种子自然发芽率为35，令
和
时，分别求得x 的值，再结合图象求解即
可．
【详解】（1）解：观察上述各点的分布规律， y 关于x 的函数是二次函数，
设该二次函数的解析式为
，
将
，
，
代入得，
，
解得
，
∴该二次函数的解析式为
；
（2）解：当
时，
，
∴种子自然发芽率为35，
∴当
时，
，
解得
，
，
当
时，
，
解得
（舍去），
，
∴抑制种子发芽时的生长素浓度范围为
．
22．（1）见解析；（2）50
【分析】本题考查轴对称图形的性质，尺规作图——作垂直平分线，作角平分线，平行线的性
质，读懂题意是解题的关键．
（1）任务一：连接
，作
的垂直平分线m，过点P 作直线m 的垂线，交边
于点A，以点
A 为圆心，
的长为半径作弧，交直线
于点
，则点
为所求；
任务二：作出
与
所成夹角的角平分线，即为折痕
；
（2）根据三等分线得到
，再由平行线的性质即可求解．
【详解】解：（1）任务一：如图，点
为所求．
任务二：如图，折痕
为所求．
（2）如图，
由题意可知
，
是
的三等分线，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
与
相交所成的锐角是
．
故答案为：50
23．(1)
，
，
(2)C
(3)不能，理由见解析
【分析】此题考查了条形统计图和扇形统计图的信息关联，样本估计总体，中位数等知识，熟
练样本估计总体，中位数是关键．
（1）根据B 类的数量和对应的百分比即可求出总数，再根据对应的百分比和总量减部分即可
求出答案；
（2）根据中位数的定义进行判断即可；
（3）根据选取样本的特点进行分析即可．
【详解】（1）解：由题意可得，
（个）
，
，
故答案为：
（2）由题意可得中位数是从小到大排列后，第50 和51 个数据的平均数，
∵
，
∴所调查豆子粒数的中位数落在C 类中；
故答案为：C
（3）不能，理由是：
样本容量太小，样本不具有代表性，且两个样本容量不一样，没有可比性．
24．(1)见解析
(2)
．
【分析】（1）由切线的性质求得
，由圆周角定理求得
，利用同角的余
角相等求得
，再利用圆周角定理即可证明结论成立；
（2）由（1）得
，求得
，求得
，利用勾股定理
求得
，证明
，求得
，据此求解即可．
【详解】（1）证明：∵
是
的切线，
∴
，
∵
是
的直径，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
；
（2）解：由（1）得
，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
∵
，
，
∴
，
∴
，即
，
解得
，
∴
，
∵
，
∴
．
【点睛】本题考查了解直角三角形，相似三角形的判定和性质，勾股定理，圆周角定理，切线的
性质．熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键．
25．（1）
，理由见解析；（2）
，理由见解析；（3）
，理由见解析
【分析】（1）利用正方形的性质求得
，证明
，推出
，
根据
即可求解；
（2）在
上截取
，证明
，推出
，
，证明
是等腰直角三角形，求得
，根据
，即可求得
；
（3）在
上截取
，证明
，得到
，
，同理，得
到
是等腰直角三角形，求得
，根据
，即可求得
．
【详解】解：（1）
，理由如下，
如图，当点G，H 重合时，
∵正方形
与正方形
，
∴
，
，
，
，
∴
，
，
∴
，
∴
，
∴
；
（2）
，理由如下，
由（1）得
，
∴
，
在
上截取
，
∵
，
，
∴
，
∴
，
，
∵
，
，
∴
，
∴
，
∴
是等腰直角三角形，
∴
，
∵
，
∴
；
（3）
，理由如下，
由（1）得
，
∴
，
，
在
上截取
，
∵
，
，
∴
，
∴
，
，
同理，
是等腰直角三角形，
∴
，
∵
，
∴
．
【点睛】此题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，旋转的
性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质等知识点，作出辅助线，证明三角形全等是解
本题的关键．
26．(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查了新定义，轴对称的性质，直线与圆的位置关系，切线长定理的应用，一次函
数与结合图形，熟练掌握轴对称的性质，找到临界值是解题的关键；
（1）根据定义，观察
，
，经过
对称后，判断对称点是否在
上，即可求解；
（2）根据正方形的顶点到
的距离为
，则对称之前的点到原点的距离为
，进而求得
的最大值，将
代入
得，
，即可求解；
（3）根据新定义，找到临界值，即
为
的切线时的情形，求得的值，即可求解．
【详解】（1）解：如图，当
重合时，
关于
的对称点为
，在线段
上
∴
是图
的“映射点”；
而
关于
的对称点不在
上，则
不是图
的“映射点”；
故答案为：
．
（2）解：依题意，正方形的顶点到
的距离为
，
∴当
上存在点
是图
的“映射点”，则点
到
的距离为
∴当
经过点
时，
的值最大，
将
代入
得，
解得：
，
∴
的最大值
；
（3）解：如图，
分别为
的切线，
当
为
的“映射点”， 
∴
，
又∵
，
设
，则
∴
∴
解得：
∴
，
∵
，
∴
,
当减小时，
关于
的“映射点”，在
即
的内部，符合题意，
∴
当
时，根据对称性可得
综上所述，
．