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备战2026年高考数学考前仿真模拟必刷10卷
必刷模拟卷03
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用
橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的。
1．已知集合 ， ，则 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】先通过解分式不等式得到集合A，再由对数函数的定义域求得集合B，然后取交集，最后在实数
范围内求补集即可得出结果.
【详解】化简集合 ，分式不等式 等价于 ，
整理得 ，
解得 或 ，即 ，
化简集合 ，对数函数 要求真数大于0，
即 ，解得 ，即 ，
， .
故选：A
2．已知复数 ，则 的虚部为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据复数的乘法运算化简后得解.
【详解】因为 ，
所以 的虚部为 ，故选：A
3．设不等式 的解集为 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】结合一元二次不等式的解法、元素与集合的关系求解即可.
【详解】由 ，
得 ， ， ， ．
故选：A.
4．已知一组数据：3，7， ，12，15的平均数为9，则该组数据的第40百分位数为（ ）
A．6 B．7 C．7.5 D．8
【答案】C
【分析】先由平均数9解出 ， 为整数，则该组数据的第40百分位数为从小到大排列的第2
位与第3位的平均数.
【详解】因为 ，解得 ，
从小到大排列数据为：3，7，8，12，15．
又因为 ，所以这组数据的第40百分位数为： ，
故选：C．
5．已知抛物线 ， 上的点 与焦点的距离为4，则 （ ）
A．2 B．4 C．2或 D．4或
【答案】D
【分析】根据题设，结合抛物线的定义可求得 ，再将点 代入抛物线方程即可求解.
【详解】抛物线 的准线方程为 ，
根据抛物线的定义， 到焦点的距离为 ，得 ，
则抛物线方程为 ，
将点 代入抛物线方程得 ，则 .
故选：D
6．已知函数 ，若 ，则 （ ）
A．1 B．2 C． D．【答案】B
【分析】先根据分段函数的定义，分情况讨论 和 的符号，由 求出参数 ，再代
入更新后的函数，从内到外依次计算 和 .
【详解】若 ，则 ，因为函数 在 单调递增，
且 ，所以方程 无解；
若 ， ，则 ，
得到 ，即 ，
整理得 ，解得 （舍）或 ；
若 ，因为函数 在 单调递减，
且 ，所以方程 无解；
综上， ， ，
所以 ， .
故选：B.
7．已知正方体 的棱长为4，棱 上的点满足 与 交于点 ．若平面 经过
点 且与 垂直，则平面 截该正方体所得截面的面积为（ ）
A．4 B．7 C．4 D．7
【答案】B
【分析】取 的中点 ，先证得 平面 ，则平面 平面 ，由平面基本性质可作出五边
形 为平面 ，求出梯形 的面积和 的面积，即可求解.
【详解】如图，设 的中点为 ，
是正方体， 是正方形， ， ，
， 平面 , 平面 ，
与 交于点 ， 平面 ， ，
是正方体的棱长为 ， 为 的中点， ，
，
，
，，
， ，
， ， 平面BDF，
平面 ．
平面 经过点 且与 垂直， 平面 平面 ，
， 是 的中点， ，
在 上取点 ，使得 ，连接 ，则 ，
在 上取点 ，使得 ，连接 ，则 ，
取 的中点 ，连接 ，则 ，
取 的中点 ， 为 的中点， ， ，
在 上取点 ，连接 ，则 ，
连接 ，连接 ，故平面 平面 ，
则截面五边形 为平面 ，
梯形 中， ，
则梯形 的面积 ．
中， ，又 ，
所以 ，
即 ．
故选：B．
8．在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它可应用到有限维空间，并
构成一般不动点定理的基石，布劳威尔不动点定理得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔（L.E.J.Brouwer），
简单地讲就是对于满足一定条件的连续函数 存在一个点 ，使得 ，那么我们称该函数为
“不动点函数”，给定函数 ， ，已知函数 ， ， 在 上均
存在唯一不动点，分别记为 ，则（ ）A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据新定义得到 ， ， ，得到三个具体的等式，构造函数，
通过研究函数的单调性可比较大小.
【详解】由已知可得， ，即 ，所以 ，即 .
由 得 .
由 得 .
令 ， ，则 恒成立，
所以 在 上单调递增，所以 ，所以 .
所以 ，即 .
令 ， ，
因为函数 在 上单调递增， 在 上单调递减，且 ，
根据复合函数的单调性可知，函数 在 上单调递减，
所以 在 上单调递减.
又 ， ，所以 .
因为 在 上单调递减， ，所以 .
又 ，所以 ，即 .
令 ， ，则 恒成立，
所以 在 上单调递减.
又 ， ，
所以 .
综上可得， .
故选：C.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部
选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知函数 ．若存在不相等的实数 ，使得 ，则下列说法中正确的有（ ）
A．
B．若 的最小值为 ，则
C．若 ，则 的取值范围为
D．若 ，且 的最大值为 ，则 的取值范围为
【答案】ACD
【分析】A根据函数值域可求；B根据周期计算；C求出 ，结合正弦函数的性质可
求；D求出 的最大值，结合正弦函数的性质可求.
【详解】因为 ，所以 ，
因为存在不相等的实数 ，使得 ，
所以存在不相等的实数 ，使得 ，故A正确；
若 的最小值为 ，则 ，得 ，故B错误；
若 ，则 ，
因为 ，所以 ，得 ，故C正确；
因为 的最大值为 ，所以 的最大值为 ，
则 ，得 ，故D正确.
故选：ACD
10．设 ，且 ．若随机变量 满足 ，则（已知若随机变量
，则 ）（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【分析】利用二项分布的期望与方差公式可判定A，利用随机变量的期望与方差公式可判定B、C，由正态分布的对称性可判定D.
【详解】依据二项分布相关公式， ．
依据正态分布定义， ．
故而由期望可加性， A选项正确．
由随机变量数学期望和方差的相关性质， ，
，因此B选项正确，C选项错误．
由正态分布的相关性质，有 ，
而 ，所以 ，D选项正确．
故选：ABD
11．已知函数 ，则（ ）
A．函数 存在唯一零点
B．若方程 在 上有唯一解，则实数 的取值范围是
C．存在唯一 ，使得
D．关于 的不等式 在 上恒成立，则实数 的取值范围是
【答案】ACD
【分析】对于选项A：对 求导后根据 的正负判断 单调递增后易得存在唯一零点；
对于选项B：对 求导后根据 的正负判断 的增减性，求出极小值即最小值不在选项范围内；
对于选项C：设 ，再根据形式化简 后求导并判断 的增减性，求出极小值即最小
值为0，即存在唯一零点 ；对于选项D：讨论 的范围后参变分离，构造新函数求导分析即可求得 的取
值范围.
【详解】对于选项A：由题易得 ，则 在 上单调递增，
且当 时， ，且当 时， ，
由零点存在定理， 在 上有且仅有1个零点，故A选项正确；
对于选项B：由题得 ，令 ，则 ，
故在 上， ， 单调递减，在 上， ， 单调递增，
故 在 处取极小值，即最小值 ，且易得当 时， ，
则有若 在 上有唯一解，则 或 ，故B选项错误；
对于选项C：设 ， ，
则 ，
故 ，则 ，令 ， ，
故在 上， ， 单调递减，
则在 上， ， 单调递增，故 在 处取极小值即最小值 ，
则有 在 上有且仅有1个零点，由选项A易得 在 上单调递增，
故有且仅有1个解 使 ，即 有且仅有1个零点，故C选项正确；
对于选项D：若有 在R上恒成立，讨论 的范围后参变分离：
①若 ，则有 ，显然成立
②若 ，则有 ，令 ，则 ，
令 ， 或 （舍），易得当 时， 在 处取极小值即最小值 ，因此
；
③若 ，则有 ，
令 ，则 ，
令 ， （舍）或 ，
易得当 时， 在 处取极大值即最大值 ，因此 ；
综上， 的取值范围是
故选项D正确.
故选：ACD第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．在 中，角 的对边分别为 ，若 且 ，则
．
【答案】4
【分析】利用三角形内角和的性质推出角 ，再利用正弦定理化简并求解 ．
【详解】 三角形内角和 ，
，
，
，故 ，
C是三角形内角， ，故 ，则 ，
，
，
根据正弦定理得 ，
，
．
故答案为：4．
13．在 的展开式中， 的系数是 .（用数字作答）
【答案】
【分析】直接根据二项式定理展开式的通项公式计算可得.
【详解】因为 的展开式的通项为 ，
令 ，得 ，所以 的系数是 .
故答案为：
14．如图，点 ， 的中点 及 的中点 所确定的平面把直三棱柱 切割成体积不同的
两部分，记小部分的体积为 ，大部分的体积为 ，则 .【答案】
【分析】先确定平面 与棱 交点 的位置，再将上部分几何体分割成三棱锥 和四棱锥
，分别计算它们体积与原三棱柱体积的比，最后求比值.
【详解】设平面 与棱 交点为 ，则 ，（可先补成四棱柱，如图易得结论）
所以 ，
，
所以上部分几何体体积 ，
因此小部分的体积和大部分的体积之比为 ，
故答案为：
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13分）已知 是公差不为0的等差数列， ， 是 和 的等比中项．
(1)求 的通项公式；
(2)记 ，求数列 的前 项和 ．【答案】(1) (2)
【分析】（1）设等差数列 的公差为 ，根据题意，得到 和 ，联立求得 的
值，即可求得 的通项公式；
（2）由（1）知 ，得到 ，结合裂项法求和，即可求解.
【详解】（1）解：设等差数列 的公差为 ，
因为 ，可得 ，
又因为 是 和 的等比中项，可得 ，即 ，即 ，
因为 ，所以 ，代入 ，可得 ，
所以 ，所以数列 的通项公式为 .
（2）解：由（1）知： ，可得 ，
所以
.
16．（15分）已知函数 ．
(1)求 的最小正周期和单调递增区间；
(2)将函数 的图象向左平移 个单位长度得到函数 的图象，若 在 上有2个零点，求实
数 的取值范围．
【答案】(1) ， (2)
【分析】（1）利用三角恒等变换化简，再根据正弦函数的周期公式和单调递增区间即可求解；
（2）利用三角函数图象变换法则求得 ，将方程根的问题转化为函数 在 上的
图象与 有两个交点，画出图像，数形结合求解即可.
【详解】（1）
，所以 的最小正周期为 ，
令 ，解得 ，
所以 的单调递增区间为 ；
（2）由题可知， ，
当 时， ，由 得 ，
由 得 ，
因此函数 在 上单调递增，在 上单调递减，
令 ，则 ，即 ，
又函数 在 上有2个零点等价于函数 在 上的图象与 有两个交点，
在同一坐标系内作出直线 与函数 在 上的图象，如图，
观察图象知，当 时，直线 与函数 在 上的图象有两个交点，
所以实数 的取值范围是 ．
17．（15分）如图，在四棱锥 中，底面 为菱形，平面 平面 .
(1)求证： ；(2)设 在线段 和 上，且 为 中点， ，若直线 与平
面 所成角的大小为 ，
（i）求平面 与平面 所成角的余弦值；
（ii）平面 交直线 于点 ，设 ，求 的值.
【答案】(1)证明见解析 (2)（i） （ii）
【分析】（1）根据面面垂直可得线面垂直，再由线面垂直得线线垂直即可得证；
（2）（i）建立空间直角坐标系，利用向量法求平面与平面所成的角；
（ii）设 ，利用向量运算求出 ，再由 求解.
【详解】（1）连接 和 交于点 ，连接 .
∵底面 为菱形，
为 的中点，且
又 平面 平面 ，平面 平面 ，
平面 ，又 平面 ，
.
（2）因为 ，所以
∵平面 平面 ，平面 平面 ，
平面 .
是直线 与平面 所成角，即 .
在菱形 中， ，
.
，即 .
（i）如图，以 为原点，直线 分别为 轴建立空间直角坐标系 ，则 ，
，
所以 ，
设平面 的法向量为 ，
则 ，
令 ，得 ，
平面 的法向量为 ，
因此 ，
所求平面 与平面 所成角的余弦值为
（ii）平面 交线段 于点 ，设 ，
则 ，
因为 ，即 ，
即 ，解得 .
18．（17分）如图，椭圆 的左、右焦点分别为 ，上、下顶点分别为
为坐标原点，且 是面积为 的等边三角形.
(1)求椭圆 的标准方程及离心率；(2)若点 为椭圆 上一点，且在 轴左侧，设过点 与椭圆 相切的直线为 ，过 两点分别作 轴的
垂线交直线 于 两点.
（i）若点 的纵坐标是 ，求 的面积；
（ii）证明： .
【答案】(1) ， (2)（i）4，（ii）证明见解析．
【分析】(1)依题意求出 ,即可求出椭圆的标准方程及离心率；
(2)（i）得 ，设直线 的方程为： ，与椭圆方程联立，得切线方程
，即可求解；
（ii）由（i）知,直线 的方程为 ，分三种情况：①当直线 的斜率不存在时，②当直线
的斜率不存在时，③当直线 的斜率存在时，进行求解．
【详解】（1） 是面积为 的等边三角形，且 ，
则 ，得 ，
则 ，即 ，
得椭圆 的标准方程为 ，离心率为 ．
（2）（i）设 ，当 时，代入椭圆 ，
可得 ，即 ，
由题意可知，直线 的斜率存在，设直线 的方程为： ，
由 ，消去 ，得 ，
由 ，得 ，得 ，
则直线 的方程为 ，令 ，则 ，故 ，即 的面积为4.
（ii）证明:由（i）知,直线 的方程为 ，
令 ，则 ，即 ，
令 ，则 ，即 ，
①当直线 的斜率不存在时，
由 ，得 ，
所以 ，故 ，
由 ，则 ，
由 为锐角，则 ，故 ，
②当直线 的斜率不存在时， ，
与①同理可得故 ，
则 ，
由 为钝角，则 ，故 ，
③当直线 的斜率存在时， 且都不为 ，
设直线 的斜率为 ，则 ，
设直线 的斜率为 ，则 ，
又 ，
则 ，要证，只需证 ，
只需证 ，
即证 ，
即证 ，
而 满足 ，则 成立，
故 ．
19．（17分）已知随机变量 的取值为非负整数，其分布列为：
0 1 2 …
…
其中 ，且 .由 生成的函数为 .
(1)若 生成的函数为 ，设事件 ：当 为奇数时，求 的值；
(2)现有编号为一和二的两个盒子，在盒一中有1个红球，在盒二中有2个蓝球和4个绿球（球的颜色不
同，其他完全相同）.若随机选两个盒中的一个盒，再取出一个球，选择盒一的概率为 ，设随机变量 生
成的函数为 ，其中 分别对应取到红球､蓝球､绿球的概率.
请判断 与 的大小关系；
(3)从方程 的自然数中等可能地随机选取一组解，用 表示一组解中最小的数，此时由 生成
的函数记为 ，令 ，求 的极小值点.
【答案】(1) (2) (3)
【分析】（1）根据题意，得到 ，结合 为奇数时，求得 的值，得到答案；
（2）根据题意，得到 生成的函数为 ，求得 ，得到
的值，再由期望和方差的公式，求得 的值，即可求解；
（3）得出变量 的可能取值为 ，求得相应的概率，得到函数 ，求得 ，令 ，求
得 ，得到函数 单调性，结合极值点的定义，即可求解.
【详解】（1）解：由变量 生成的函数为 ，
可得 ，
所以 ，
所以当 为奇数时，可得 .
（2）证明：由 分别对应取到红球､蓝球､绿球的概率，
故 ，即 ，所以 ，
所以 生成的函数为 ，
可得 ，则 ，
所以 ，
因为 ，
所以 ，故 ，
因为 ，
所以 ，
所以 .
（3）解：由方程 的自然数中等可能地随机选取一组解，
可得有序三元组 的总数的组合数为 种，
由随机变量 ，所以随机变量 的可能取值为 ，当 时，即数组 中，有1个0或2个0，可得 ；
当 时，即数组 中，有1个1或2个1，可得 ；
当 时，即数组 中，有1个2或2个2，可得 ；
当 时，即数组 中，三个数都是3，可得 ，
则变量 的分布列为
0 1 2 3
所以 ，可得 ，
则 ，令 ，即 ，解得 ，
所以当 时， 单调递减；当 时， 单调递增，
所以，当 是函数 的极小值点.
