文档文本内容
备战2026 年高考数学考前仿真模拟必刷10 卷
必刷模拟卷05
（考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用
橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共58 分）
一、选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的。
1．已知集合
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】先利用对数函数的单调性求解不等式得集合
，再由并集定义计算即得.
【详解】由
可得
，解得
，即
，
因
，则
.
故选：D.
2．某次市运会跳水项目的预赛中有
名参赛选手，其中
校有名，
校有
名，
校有名.现要求
校
名选手的出场均不能和
校选手的出场相邻，则这
名选手不同出场顺序的种数为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】记
校
名选手分别为甲、乙，记事件
甲与
校选手的出场相邻，事件
乙与
校选手的出
场相邻，结合韦恩图法可求出满足题设条件的排法种数.
【详解】记
校
名选手分别为甲、乙，
记事件
甲与
校选手的出场相邻，事件
乙与
校选手的出场相邻，如下图所示：
事件
为：
校选手的两边为甲和乙，
则满足题意的排法种数为
种.
故选：B.
3．如图，在棱长均相等的正三棱柱中，
为三棱柱的顶点，
为所在棱的中点，设
与
所成
的角为
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】借助等角定理与余弦定理计算即可得.
【详解】如下图：连接
，由
为所在棱的中点，则
，
故
与
所成的角的大小也为
，即有
,
设该正三棱柱棱长为
，则
，
则
，故
.
故选：C.
4．计算
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】利用复数运算法则计算即可得.
【详解】
.
5．已知函数
为偶函数，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】利用函数奇偶性定义确定函数
的奇偶性，进而得到函数
的奇偶
性，再借助余弦型函数的奇偶性求出参数值.
【详解】函数
的定义域为
，令函数
，
，即函数
是奇函数，
而函数
是偶函数，则函数
是奇函数，
因此
，解得
，又
，
所以当
时，
取得最小值
.
故选：C
6．某地区乡村用来盛粮食的小容器通常被称为“升篓”.升篓呈棱台形，全木制作，上口大，下口小，制
作形态为榫卯契合，完全不用一颗钉子.如图是一个正四棱台形的升篓，体积
，上下底面棱长
､
分别为
，则该正四棱台的侧面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】先根据台体的体积公式求台体的高，再计算台体的斜高，进而可求四棱台的侧面积.
【详解】如图,点
分别是棱台上下底面的中心，分别取边
的中点
,连接
.
设四棱台的高为
，
则
.
由图知，
,
设正四棱台的斜高
.
所以正四棱台的侧面积为：
.
故选：D
7．已知双曲线
，
，
分别为左、右焦点，过
且倾斜角为60°的直线与
在
第一象限的交点为
，
的平分线与线段
交于点
．若
，则该双曲线的离心率是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】通过角平分线性质定理、双曲线的定义、余弦定理求解.
【详解】因为直线的
，由角平分线性质定理可知
，
所以
，由双曲线的定义可知
，所以
，
在
中由余弦定理可得
，
即
，整理得
，
两边同除以
可得
，解得
或
（舍去）．
故选：C
8．已知函数
有且仅有三个零点，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】令
，利用导函数研究其单调性画出图象，将问题转化为一元二次方程
的根的问题即可求解.
【详解】因为
有且仅有三个零点，则方程
有且仅有三个根，
令
，则
，
由
得
；
得
；
则
在
单调递增，在
上单调递减，则
，
因为
时
；
时
，且
时
，
所以
的函数图象如图：
因为
不是
的根，
所以
有两个根，其中一个根位于
，另一根位于
或另一根是
，
但方程
的两根的乘积为
，
所以
一个根位于
，另一根位于
，
则
，得
，
故
的取值范围是
.
故选：C
二、选择题：本题共3 小题，每小题6 分，共18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部
选对的得6 分，部分选对的得部分分，有选错的得0 分．
9．已知函数
的图象关于点
中心对称．则（ ）
A．
的最小正周期为
B．直线
是曲线
的对称轴
C．将
的图象向右平移
个单位可得到函数
的图象
D．
在区间
上单调递增
【答案】AC
【分析】先求出
的解析式，结合正弦型函数的图象及性质逐项判断即可.
【详解】由题意知，
，所以
，
，即
，
又
，所以
，所以
.
选项A：最小正周期
，A 正确.
选项B：对称轴应满足
，
，解得
，
.
故不存在
，使得
，B 错误.
选项C：
的图象向右平移
个单位得到
，C 正确.
选项D：当
时，
.
又
在
上单调递增，在
上单调递减，所以
在区间
上不是单调递增，D 错误.
故选：AC.
10．已知
为坐标原点，抛物线
的焦点为
，点
在抛物线上，下列说法正确的
是（ ）
A．若
，
，则
B．若
，则
的面积为
C．若
三点共线，且
，则
D．若线段
的中点到
轴的距离为2，则
的最大值为9
【答案】BCD
【分析】求出点
坐标，进而求出指定角判断A；求出三角形面积判断B；设出直线
方程，与抛物线
方程联立，结合韦达定理及三角形面积求解判断C；利用抛物线定义及基本不等式求解判断D.
【详解】由抛物线
的焦点为
，得
，抛物线
，
设点
，由对称性不妨令
，
对于A，由
，得
，
，
，则
，A 错误；
对于B，由
，得直线
倾斜角为
，则
，
解得
，
，
的面积为
，B 正确；
对于C，设直线
方程为
，由
，得
，则
，
，
，
解得
，
，C 正确；
对于D，由线段
的中点到
轴的距离为2，得
，即
，而
，
因此
，
当且仅当
时取等号，D 正确.
故选：BCD
11．在某次联考中，全体物理方向高三学生数学成绩
，此次联考物理方向数学一本线为80
分，清北线为140 分．已知：若
，则
，则下列说法正确
的是（ ）
A．若随机变量
，则
服从标准正态分布
B．
C．从参考学生中依次抽取两名学生，则这两名学生的数学恰好有一人过清北线的概率为
D．从参考学生中随机抽取一人，在该生数学达到一本线的条件下，该生数学过清北线的概率为
【答案】BCD
【分析】借助正态分布中
的意义与标准正态分布的意义可判断A；利用正态分布的性质计算即可得
的值可判断B；由正态分布的性质可得
，
，结
合相互独立事件的概率公式及条件概率公式计算即可判断CD.
【详解】对于A，因为
，则
，
若随机变量
，则
服从标准正态分布
，
故
时，
才服从标准正态分布，故A 错误；
对于B，
，
，
由正态分布的对称性可得
，
所以
，故B 正确；
对于C，由
，
可得
，
所以从参考学生中依次抽取两名学生，则这两名学生的数学恰好有一人过清北线的概率为：
，故C 正确；
对于D，由
，可得
，
所以
，
又
，所以由条件概率公式可得
，
所以从参考学生中随机抽取一人，在该生数学达到一本线的条件下，该生数学过清北线的概率为
，故
D 正确.
故选：BCD.
第二部分（非选择题 共92 分）
三、填空题：本题共3 小题，每小题5 分，共15 分。
12．若曲线
在点
处的切线也是曲线
的切线，则
______．
【答案】
【分析】求得
，得到
，求得切线方程为
，再求得
，设曲线
的切点为
，列出方程组，即可求解.
【详解】由函数
，可得
，所以
，
所以曲线
在点
处的切线方程为
，
又由函数
，可得
，
设曲线
的切点为
，
则
，解得
.
故答案为：.
13．若向量
，则
_____________.
【答案】
【分析】由向量垂直得数量积为0，求出
，再计算
即可得出结果.
【详解】因为
，则
，
又因为
，
所以
，解得
.
所以
，
，
故答案为：
.
14．已知数列
满足
，
，则数列
的通项公式为
______.
【答案】
【分析】利用已知
求
的方法，分别讨论
时，与
时，
的通项，再进行验证；
【详解】由
，
当
时，
，
当
时，
，
两式相减，得
，即
，
所以
，
所以
，
所以
，
由于
时，不满足上式，
所以
.
故答案为：
.
四、解答题：本题共5 小题，共77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13 分）在数列
中，
．
(1)求
的通项公式；
(2)设
为
的前
项和，求数列
的前
项和
．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）通过变形递推关系式并构造常数列求解；
（2）通过等差数列前
项和公式、裂项相消求和法求解.
【详解】（1）因为
，所以
，
所以数列
是常数列，
又
，所以
，故
．
（2）由（1）可知，
是等差数列，则
，
所以
，
故
，
．
16．（15 分）如图所示，已知四棱锥
的底面
是梯形，侧棱
底面
，
，
，
，
．
(1)求证：
平面
；
(2)求直线
与平面
所成角的正弦值．
【答案】(1)证明见解析 (2)
【分析】（1）利用已知条件先求出
，然后根据线面平行的判定定理证明即可；
（2）根据题意建立空间直角坐标系，写出相应的点，从而得出相应向量的坐标，求出平面
的法向
量，最后利用向量法求解即可.
【详解】（1）连接
与
交于点
，连接
，如图所示：
因为
，所以
，又
，
所以
，又
，所以
，
所以
，又
，故
，
所以
，又
平面
，
平面
，
所以
平面
.
（2）因为
底面
，
，
所以
两两互相垂直，
故以
点为坐标原点，
分别为
轴建立如图所示的空间直角坐标系，
由
，
则
，
又
，所以
，
即
，故
，
由已知得，
，
设平面
的一个法向量
，
则
，
令
，则
，
，故
，
设直线
与平面
所成的角为
，
所以
，
所以直线
与平面
所成角的正弦值为
.
17．（15 分）已知函数
，
．
(1)讨论
的单调性；
(2)当
时，求证：
．
【答案】(1)当
时，函数
在区间
上单调递增；
当
时，函数
在区间
上单调递增，在区间
上单调递减．
(2)证明见解析
【分析】（1）求出
，当
时，根据
的形式可判断
，当
时，同样依据
的
形式可判断
在
、
上符号，从而得到单调性区间；
（2）根据（1）中的单调性得到
，根据恒成立得
在
上恒
成立，
，求出其导数后可判断该函数为增函数，从而得不等式恒成立.
【详解】（1）由题意可知，函数
，
的定义域为
，
导数
，
当
时，
，
；
当
时，
，
；
，
；
综上，当
时，函数
在区间
上单调递增；
当
时，函数
在区间
上单调递增，在区间
上单调递减．
（2）由（1）可知，当
时，
函数
在区间
上单调递增，在区间
，上单调递减．
所以
，
要证
，需证
．
即需证
恒成立，
令
，
则
所以函数
在区间
单调递增，
故
，
所以
，
恒成立，
所以当
时，
．
18．（17 分）在马年春节联欢晚会上，多款人形机器人惊艳亮相，其精彩的表演赢得了观众的一致好评.
某款人形机器人在排练时，导演对机器人下达了7 个动作指令，机器人成功完成了其中5 个.现从这7 个指
令中随机抽取4 个进行回放分析，以
表示抽取的指令中成功完成的个数.
(1)求
的分布列和数学期望；
(2)若对机器人下达的动作指令表述清晰，则机器人成功完成指令的概率为0.9；若对机器人下达的动作指
令表述模糊，则成功完成指令的概率为0.5.设下达的动作指令表述模糊的概率为
，若该机器人成功完成
指令的概率为0.8，求
的值；
(3)在排练过程中，记录了机器人完成某个特定动作的练习次数与所需时间（秒）的数据，如下表：
练习次数
2
4
5
6
8
完成时间
8
7
6
5
4
且
关于
的线性回归方程为
，预测当练习次数为10 时，完成时间约为多少秒.
【答案】(1)分布列为：
2
3
4
期望为
(2)
(3)2.5 秒
【分析】（1）由题设随机变量
服从超几何分布，并求出对应概率，即可得分布列，再应用分布列或超几
何分布的期望求法求期望；
（2）应用全概率公式求概率即可；
（3）首先求出样本中心，代入回归方程求参数，再由该方程估计练习次数为10 时完成时间.
【详解】（1）由题意知随机变量
服从超几何分布，其中
，
，
，
且
的所有可能取值为2，3，4，
，
，
，
故
的分布列为：
2
3
4
法一：所以
的数学期望
.
法二：根据超几何分布的期望公式知
.
（2）记“下达的动作指令表述清晰”为事件
，
记“下达的动作指令表述模糊”为事件
，
记“机器人成功完成指令”为事件
.
由已知得
，
，
，
，
.
因为
，
所以
.
（3）
，
.
因为
经过点（5，6），所以
，回归方程为
.
当
时，
，故预测当练习次数为10 时，完成时间约为2.5 秒.
19．（17 分）已知动点
与定点
的距离和
到定直线
的距离之比是常数
.
(1)求点
的轨迹
；
(2)
、
为轨迹
上不同的两点，
①若直线
斜率存在且过点
，
，直线
分别与直线
，
交于点
是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由.
②若
，求
的最大值与最小值.
【答案】(1)
(2)①是定值
；②最大值与最小值分别为:
【分析】（1）根据已知条件列出等式然后进行化简，即可得到轨迹方程.
（2）①设直线
，然后与椭圆方程联立，结合韦达定理，求出直线
的方程，进而得
到
，然后化简
的表达式，进而得出结果；②设直线
方程:
，设直线
方程:
，分别与椭圆方程联立求出
，进而得到
的表达式并化简，然后根据函数的
单调性求出最值.
【详解】（1）由已知，有:
，化简得:
，
即点
的轨迹
为: 以原点为中心，以
为长半轴，以 2 为短半轴的椭圆.
且椭圆方程为:
（2）①由题意，直线
斜率不能为 0 ；
设直线
联立
，消
得，
，
由于点
在
内部，
恒成立，得:
直线
的方程:
，
令
， 得:
，同理:
，
②若直线
，
其中一个斜率不存在，
则易知:
直线
斜率均存在，设直线
方程:
，
联立
，消
得，
，解得:
同理，设直线
方程:
，解得:
则有:
，
所以
设
，
又
，由
，即
，解得
；
.
令
，
由复合函数单调性可知，
在
上单调递增，在
上单调递减;
，
.
综上所述:
的最大值与最小值分别为:
.
