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专题五 数列
考点 五年考情（2020-2024） 命题趋势
考点01 等差数列与古建筑 2022年新课标Ⅱ卷：古建筑与等差数列
2020年新高考I卷：两等差数列相同项；
关于数列的考
2021年新高考I卷：分段数列中的等差数列；
考点02 等差数列的前n项
查，命题比较
2023年新高考I卷：与充要条件交汇；两个数列关系
和
灵活.随着整
条件下；
卷题量的减
2024年新高考II卷：等差数列基本量的计算
少，更趋于综
考点03 等差数列中的最值 2021年新高考II卷：根据前n项和与第n项的关系求
合化，难度有
问题 n的最值
增大趋势.应
注意以下几个
2020年新高考II卷：多选题、简单数列求和
考点04 等比数列前n项和
方面的问题：
2021年新高考II卷：求通项、求和
1.等差数列、
考点05 等比数列前n项和 等比数列基本
2023年新高考II卷：和的性质应用
及其性质 量的计算；
2.数列的求和
考点06 “错位相减法”的
2021年新高考I卷：民间剪纸为背景
问题；
实际应用
3.数列的应
考点07 等比数列的通项与
2020年新高考I卷： 用、数列与其
特殊数列的求和
它知识的交汇
考点08 等差数列、等比数 2022年新高考II卷：根据两数列中项的关系，求集合 问题；
列的综合问题 中符合条件的元素个数. 4.数列与不等
2022年新高考I卷：等差数列与“裂项相消法”； 式的证明；
考点09 数列求和与数列不
2023年新高考II卷：分段数列、分组求和、证明两数 5.数列的新定
等式证明
列和的不等关系. 义问题.
考点10 数列与概率的交汇
2023年新课标Ⅰ卷：求概率、构造等比数列求期望
问题
考点11 数列与解析几何的 2024年新课标Ⅱ卷：以双曲线上点列为载体，证明等交汇问题 比数列、证明三角形面积数列特征.
考点12 数列的新定义问题 2024年新课标I卷
考点01 等差数列与古建筑
1．（2022年新高考全国II卷数学真题）图1是中国古代建筑中的举架结构， 是桁，相邻
桁的水平距离称为步，垂直距离称为举，图2是某古代建筑屋顶截面的示意图．其中 是
举， 是相等的步，相邻桁的举步之比分别为 ．已知
成公差为0.1的等差数列，且直线 的斜率为0.725，则 （ ）
A．0.75 B．0.8 C．0.85 D．0.9
考点 02 等差数列的前 n 项和
2．（2023年新课标全国Ⅰ卷数学真题）记 为数列 的前 项和，设甲： 为等差数列；乙：
为等差数列，则（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
3．（2020年新高考全国卷Ⅰ数学试题）将数列{2n–1}与{3n–2}的公共项从小到大排列得到数列{an}，则{an}
的前n项和为 ．
4．（2024年新课标全国Ⅱ卷数学真题）记 为等差数列 的前n项和，若 ， ，则
.5．（2021年全国新高考I卷数学试题）已知数列 满足 ，
（1）记 ，写出 ， ，并求数列 的通项公式；
（2）求 的前20项和.
6．（2023年新课标全国Ⅰ卷数学真题）设等差数列 的公差为 ，且 ．令 ，记 分
别为数列 的前 项和．
(1)若 ，求 的通项公式；
(2)若 为等差数列，且 ，求 ．
考点 03 等差数列中的最值问题
7．（2021年全国新高考II卷数学试题）记 是公差不为0的等差数列 的前n项和，若
．
（1）求数列 的通项公式 ；
（2）求使 成立的n的最小值．
考点 04 等比数列前 n 项和
8．（多选）（2021年全国新高考II卷数学试题）设正整数 ，其中
，记 ．则（ ）
A． B．
C． D．
9．（2020年新高考全国卷Ⅱ数学试题）已知公比大于 的等比数列 满足 ．
（1）求 的通项公式；
（2）求 .
考点 05 等比数列前 n 项和及其性质
10．（2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题）记 为等比数列 的前n项和，若 ， ，则
（ ）．
A．120 B．85 C． D．
考点 06 “错位相减法”的实际应用11．（2021年全国新高考I卷数学试题）某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条
对称轴把纸对折，规格为 的长方形纸，对折1次共可以得到 ， 两种规
格的图形，它们的面积之和 ，对折2次共可以得到 ， ， 三
种规格的图形，它们的面积之和 ，以此类推，则对折4次共可以得到不同规格图形的种数为
；如果对折 次，那么 .
考点07 等比数列的通项与特殊数列的求和
12．（2020年新高考全国卷Ⅰ数学试题）已知公比大于 的等比数列 满足 ．
（1）求 的通项公式；
（2）记 为 在区间 中的项的个数，求数列 的前 项和 ．
考点 08 等差数列、等比数列的综合问题
13．（2022年新高考全国II卷数学真题）已知 为等差数列， 是公比为2的等比数列，且
．
(1)证明： ；
(2)求集合 中元素个数．
考点09 数列求和与数列不等式证明
14．（2022年新高考全国I卷数学真题）记 为数列 的前n项和，已知 是公差为 的等差
数列．
(1)求 的通项公式；
(2)证明： ．
15．（2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题）已知 为等差数列， ，记 ， 分别为数
列 ， 的前n项和， ， ．
(1)求 的通项公式；
(2)证明：当 时， ．
考点10 数列与概率的交汇问题
16．（2023年新课标全国Ⅰ卷数学真题）甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此
人继续投篮，若末命中则换为对方投篮．无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6，乙每次投篮的命中率均为0.8．由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5．
(1)求第2次投篮的人是乙的概率；
(2)求第 次投篮的人是甲的概率；
(3)已知：若随机变量 服从两点分布，且 ，则 ．
记前 次（即从第1次到第 次投篮）中甲投篮的次数为 ，求 ．
考点11 数列与解析几何的交汇问题
17．（2024年新课标全国Ⅱ卷数学真题）已知双曲线 ，点 在 上， 为常数，
．按照如下方式依次构造点 ：过 作斜率为 的直线与 的左支交于点 ，令
为 关于 轴的对称点，记 的坐标为 .
(1)若 ，求 ；
(2)证明：数列 是公比为 的等比数列；
(3)设 为 的面积，证明：对任意正整数 ， .
考点12 数列的新定义问题
18．（2024年新课标全国Ⅰ卷数学真题）设m为正整数，数列 是公差不为0的等差数列，若
从中删去两项 和 后剩余的 项可被平均分为 组，且每组的4个数都能构成等差数列，则称
数列 是 可分数列．
(1)写出所有的 ， ，使数列 是 可分数列；
(2)当 时，证明：数列 是 可分数列；
(3)从 中一次任取两个数 和 ，记数列 是 可分数列的概率为 ，证
明： ．
