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第35 讲 碰撞模型及拓展
1．（2025·江苏·高考真题）如图所示，在光滑水平面上，左右两列相同的小钢球沿同一直线
放置。每列有n 个。在两列钢球之间，一质量为m 的玻璃球以初速度
向右运动，与钢球发
生正碰。所有球之间的碰撞均视为弹性碰撞。
(1)若钢球质量为m，求最右侧的钢球最终运动的速度大小；
(2)若钢球质量为
，求玻璃球与右侧钢球发生第一次碰撞后，玻璃球的速度大小
；
(3)若钢球质量为
，求玻璃球经历
次碰撞后的动能
。
2．（2025·河南·高考真题）两小车P、Q 的质量分别为
和想
，将它们分别与小车N 沿
直线做碰撞实验，碰撞前后的速度v 随时间t 的变化分别如图1 和图2 所示。小车N 的质量为
，碰撞时间极短，则（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2025·福建·高考真题）传送带转动的速度大小恒为1m/s，顺时针转动。两个物块A、
B，A、B 用一根轻弹簧连接，开始弹簧处于原长，A 的质量为1kg，B 的质量为2kg，A 与传
送带的动摩擦因数为0.5，B 与传送带的动摩擦因数为0.25。t=0 时，将两物块放置在传送带
上，给A 一个向右的初速度v0=2m/s，B 的速度为零，弹簧自然伸长。在t=t0时，A 与传送带
第一次共速，此时弹簧弹性势能Ep=0.75J，传送带足够长，A 可在传送带上留下痕迹，重力
加速度
，则（ ）
真题演练
A．在t=
时，B 的加速度大小大于A 的加速度大小
B．t=t0时，B 的速度为0.5m/s
C．t=t0时，弹簧的压缩量为0.2m
D．0﹣t0过程中，A 与传送带的痕迹小于0.05m
4．（2025·广东·高考真题）如图所示，光滑水平面上，小球M、N 分别在水平恒力
和
作
用下，由静止开始沿同一直线相向运动在
时刻发生正碰后各自反向运动。已知
和
始终
大小相等，方向相反。从开始运动到碰撞后第1 次速度减为0 的过程中，两小球速度v 随时
间t 变化的图像，可能正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（2024·贵州·高考真题）如图，半径为
的四分之一光滑圆轨道固定在竖直平面内，
其末端与水平地面
相切于P 点，
的长度
。一长为
的水平传送带
以恒定速率
逆时针转动，其右端与地面在M 点无缝对接。物块a 从圆轨道顶端由静
止释放，沿轨道下滑至P 点，再向左做直线运动至M 点与静止的物块b 发生弹性正碰，碰撞
时间极短。碰撞后b 向左运动到达传送带的左端N 时，瞬间给b 一水平向右的冲量I，其大小
为
。以后每隔
给b 一相同的瞬时冲量I，直到b 离开传送带。已知a 的质量为
的质量为
，它们均可视为质点。a、b 与地面及传送带间的动摩擦因数
均为
，取重力加速度大小
。求：
(1)a 运动到圆轨道底端时轨道对它的支持力大小；
(2)b 从M 运动到N 的时间；
(3)b 从N 运动到M 的过程中与传送带摩擦产生的热量。
6．（2025·河南·三模）如图所示，光滑的水平轨道左右两端分别与倾角为
和
的光滑斜面平滑连接。初始时刻，质量
的小球甲静止在距水平轨道高度
的A 处，质量
的小球乙静止在距水平轨道高度
的D 处，两小
球同时由静止释放。小球甲、乙同时在水平轨道内运动时，它们之间才存在相互排斥力，排
斥力的大小
（
为两者的相对速度）。已知水平轨道足够长，不计空气阻力，
重力加速度取
。
(1)求甲、乙两小球刚进入水平轨道时的速度
和
的大小。
(2)若甲、乙两小球第一次在水平轨道上运动的过程中恰好不相碰，求水平轨道的长度
。
(3)在水平轨道
的基础上增加水平导轨的长度，使得小球甲第二次在水平轨道上运动的过程
中与小球乙恰好不相碰，求此时水平轨道的最小长度
。
7．（2025·陕西汉中·一模）如图所示，装有一定质量沙子的小车，其总质量为M，静止在光
滑的水平面上。将一个质量为m 的铁球，从距离沙面h 高处，以大小为v0的初速度水平抛出，
小球落入车内并陷入沙中∆h 深处，最终与车一起向右匀速运动。不计空气阻力，则下列说法
模拟冲关
正确的是（ ）
A．小球抛出时的高度h 越高，小车最终的速度越大
B．小球陷入沙中过程，小球和沙、车组成的系统动量不守恒，机械能不守恒
C．此过程中小车（包括沙子）所受合外力的冲量为
D．此过程中系统内能的增加了
8．（2025·安徽·模拟预测）一个四分之一光滑圆弧形物块B 静止在光滑的水平面上，圆弧的
半径为R，一可视为质点的小物块A 从物块B 的底端以速度
滑上圆弧，经过时间t
恰好能滑上B 的圆弧面顶端，已知滑块A 的质量为m，重力加速度为g，则（ ）
A．物块A 滑上圆弧面后，A、B 组成的系统动量守恒
B．物块B 的质量为m
C．物块A 从底端到滑上圆弧面顶端的过程物块B 的位移为
D．A 和B 分离时，B 的速度大小为
9．（2025·山东·模拟预测）如图所示，A 是
光滑圆弧轨道，B 是由上表面粗糙、长度
的木板与
光滑圆弧轨道组成，两圆弧轨道的半径均为
，木板与圆弧轨
道底端等高，A、B 质量均为
。A、B 靠在一起静止在光滑水平面上，A 紧靠左侧
竖直固定挡板，B 的右侧某位置有竖直固定挡板。质量为
的物块从A 正上方距轨
道上端高
处由静止释放，物块恰好切入圆弧轨道，当物块第二次到达B 左端时，B
刚好与右侧挡板发生弹性碰撞。已知物块与木板间的动摩擦因数
，不计空气阻力，重
力加速度
。求
(1)物块到达A 底端时受到的支持力大小；
(2)B 与右侧挡板第一次碰撞前B 的速度大小；
(3)B 与右侧挡板第一次碰撞后B 通过的路程。
10．（2025·湖北·三模）如图所示，轻弹簧的一端固定在竖直墙上，质量为M 的光滑弧形槽
静置在光滑水平面上，弧形槽底端与水平面相切，一个质量为m 的小物块（可视为质点）从
槽上高为h 处由静止释放，已知弹簧始终处于弹性限度内，下列说法正确的是（ ）
A．小物块下滑过程中，物块和槽组成的系统动量守恒
B．小物块下滑过程中，槽对物块的支持力不做功
C．若
，物块能再次滑上弧形槽
D．若物块再次滑上弧形槽，则物块能再次回到槽上的初始释放点
11．（2025·福建三明·三模）如图甲，在智能机器人协作实验场中，元件A、B 之间用智能柔
性机械臂连接（机械臂可根据内置算法自动调整伸缩，模拟弹簧功能），放在光滑水平试验
台上，B 右侧与竖直挡板相接触。
时刻，元件C 以一定速度向右运动，
时与元件
A 相碰（碰撞时间极短），并立即与A 粘连且不再分开。C 的运动情况由视觉追踪系统和惯
性测量单元监测，并生成如图乙的
图像，已知
、
，则（ ）
A．元件C 的质量为100 g
B．1 s 到3 s 的时间内，墙壁对B 的冲量大小为
C．元件B 离开墙壁后，柔性机械臂的最大弹性势能为
D．元件B 离开墙壁后，B 的最大速度为
12．（2025·山东青岛·三模）物体间发生碰撞时，因材料不同，机械能损失程度不同，该性
质可用碰撞后二者相对速度大小与碰撞前二者相对速度大小的比值e 来描述，称之为恢复系
数。现有运动的物块A 与静止的物块B 发生正碰，关于A、B 间的碰撞，下列说法正确的是
（ ）
A．若e=0，则碰撞后A、B 均静止
B．若e=1，则碰撞后A、B 交换速度
C．若e=1，则碰撞前后A、B 总动能相等
D．若e=0.5，A、B 质量相同，则A、B 碰后速度大小之比为1：3
13．（2025·河北石家庄·模拟预测）如图所示，光滑的平台与水平传送带平滑连接，传送带
的长度为7m，以恒定速率4m/s 顺时针转动，质量为1kg 的物块
静止在平台上，质量为2kg
的物块
以3m/s 的速度向右运动，与物块
发生完全非弹性碰撞（时间极短），然后一起
滑上传送带。物块
和物块
与传送带之间的动摩擦因数均为0.2，二者均可视为质点，重
力加速度
。下列说法正确的是（ ）
A．物块
和物块
在碰撞过程中损失的机械能为6J
B．物块
和物块
在传送带上的加速时间为2s
C．传送带对物块
和物块
做的功为42J
D．传送带克服摩擦力做的功为24J
14．（2025·重庆·三模）如图所示，一个质量为m 的玩具蛙，蹲在质量为4m 的小车的固定轻
质细杆上，小车静置于光滑的水平桌面上，若车长为L，细杆高为h，且位于小车的中点。玩
具蛙以水平速度跳离细杆，并落在小车上。已知重力加速度为g，不计空气阻力。求：
(1)玩具蛙水平位移大小的范围；
(2)起跳过程，玩具蛙做功的最大值。
15．（2025·江西·二模）如图所示，倾角
的光滑斜面与粗糙水平面平滑连接，距离斜面底
l 处有一固定墙壁。质量为m 的物体A 从高为h 的斜面由静止下滑，若在斜面底端放置一个
质量为m 的粘性物体B，A 和B 碰撞后粘在一起，与墙壁碰撞后回到斜面底端时，速度恰好
为零。现在把粘性物体换成质量为
的弹性物体C，物体A 仍从原位置由静止下滑，
且A 与C 碰撞不会损失机械能。设物体A、B、C 与水平面的摩擦因数相同，物体均可视为
质点，物体与墙壁碰撞后以原速率返回，重力加速度为g，求：
(1)物体A 滑到斜面底端所需时间；
(2)物体与水平面间的摩擦因数；
(3)若
，物体A 与C 第二次碰撞点与斜面底端的距离。
16．（2025·湖南娄底·二模）如图所示为一缓冲机构工作的原理示意图。两滑块A、B 可在光
滑水平面上做直线运动，
，
，滑块B 中贯穿一轻质摩擦杆，靡擦杆和滑块
B 之间的滑动摩擦力可以通过改变滑块B 中安装的液压装置所提供的压力进行调节，摩擦杆
前端固定一劲度系数为
的轻质弹簧，当A 挤压弹簧达到一定压缩量时可以导致摩擦杆与B
之间达到最大静摩擦力，并出现相对运动，某次实验时，调节B 与摩擦杆之间的压力使得它
们之间的最大静摩擦力大小为
（
为重力加速度的值），弹簧左端与B 的左端距
离为
初始时静止，滑块A 位于滑块B 的左侧，给滑块A 一向右的初始速度正对B 做直
线运动，当A 与弹簧接触时缓冲机构开始工作。已知弹签的弹性势能
为弹簧的形
变量若膝擦杆与滑块B 之间的最大静摩擦力等于滑动摩擦力。求：
(1)若摩擦杆与B 刚好出现相对运动时所对应A 的初速度的值以及此条件下A、B 分离后的速
度
(2)若A 的初始速度大小为
的右端与B 的左端的最小距离以及A、B 分离后的速度
17．（2025·浙江·二模）如图所示固定装置，由弧形光滑轨道AB、竖直光滑圆轨道、水平光
滑直轨道BD、倾角为37°的粗糙斜轨道DE、圆弧形光滑管道EF（圆心
位于水平地面上）
平滑连接而成，D 点处小圆弧光滑连接。现将一质量为
的小滑块由弧形轨道AB 上高h 处
由静止释放（h 未知），通过圆轨道后与静置于BD 上质量为
的小滑块碰撞，碰撞时间极
短且碰后立即粘在一起形成一组合体，组合体在F 点与静止在水平台面上质量为M 的长木板
发生弹性碰撞。已知圆轨道半径R=0.25m，
，
、
与轨道DE 间的动摩擦因
数
，M 与水平台面间的动摩擦因数
，M 最右端停放一质量为
的小滑块，
M 与
间的动摩擦因数
；水平台面和木板M 足够长，已知
、
、
、
；
从轨道AB 上滑下后进入圆弧轨道，运动到与圆心O 等高的C
点时对轨道的压力为32N。忽略空气阻力，重力加速度g 取
，
、
。
(1)求h 的大小；
(2)求
、
组合体刚到达F 点时的速度大小；
(3)求最终
与M 最右端之间的距离
。
18．（2025·河南·模拟预测）如图所示，光滑水平面右端固定一竖直挡板，劲度系数为
的轻
质弹簧水平放置在平面上，右端固定在挡板上，质量为
的小球乙（视为质点）放置在水平
面上，半径为
、内壁光滑的细圆管轨道
竖直固定，与水平面在A 点平滑连接，
是
竖直直径，
是倾斜半径，与竖直方向的夹角为
。现控制质量为
的小球甲（视为质
点）向右压缩弹簧（甲与弹簧不粘连），然后由静止释放甲，甲离开弹簧后，与乙发生碰撞，
碰后瞬间甲的速度大小是碰前瞬间的
，乙从A 点进入圆弧轨道，恰好能沿圆管道运动并从
点离开圆轨道，弹簧的弹性势能的表达式为
（
为劲度系数，
是弹簧的形变
量），弹簧始终处于弹性限度内，重力加速度为
，空气阻力不计，
，
，求：
(1)乙在A、
两点的速度大小；
(2)弹簧的最大压缩量；
(3)乙从
点运动到水平面时重力的瞬时功率。
19．（2025·陕西西安·模拟预测）如图所示，光滑水平面上有一弹簧，左端固定，右端与质
量
的小球接触。小球右侧静置一质量
、半径
的四分之一光滑圆
弧轨道。现推动小球使其向左压缩弹簧，松手后，小球脱离弹簧，冲上右侧轨道，小球恰好
能到达圆弧的最高点。取重力加速度大小
，求：
(1)小球脱离弹簧时的速度大小；
(2)整个过程中，圆弧轨道最大速度的大小。
20．（2025·全国·模拟预测）如图所示，一轻杆的长度为
m，两端连接两个均可视为质
点的小球A、B，小球A 的质量为
kg，开始时杆竖直放置在光滑水平面上，B 左侧
m 处有一竖直固定挡板。某时刻装置受微小扰动，轻杆向左侧倒下，A 球与挡板碰撞
瞬间B 球到挡板的水平距离为0.9m。现让轻杆竖直时受微小扰动后向右侧倒下，两球始终在
同一竖直面内，不计空气阻力，重力加速度为
m/s²，下列说法正确的是（ ）
A．小球B 的质量为17.7kg
B．B 与挡板碰前瞬间的速度大小为
m/s
C．B 与挡板碰前瞬间A 球重力的功率为
W
D．B 与挡板碰前瞬间A 球机械能的损失量为6.4J
21．（2025·江苏·模拟预测）如图所示，质量为
的小球P 和质量为
的小球Q 用自然长度
为的弹性细绳连接，让绳水平伸直，两球静止在同一高度h 处。现给小球P 沿绳方向向右的
初速度
，同时将小球Q 由静止释放，两球在空中发生两次弹性正碰后落到水平地面上，小
球Q 在空中运动过程中的水平位移大小为
。已知重力加速度为
，碰撞时间极短，不计空
气阻力，求：
(1)第一次碰撞前瞬间，P 球的速度大小
；
(2)两球第一次碰后到第二次碰前过程，细绳对Q 球做的功
；
(3)P 球在空中运动过程中的水平位移大小
。
22．（2025·安徽·模拟预测）如图所示的水平地面上有
、
、
、
四点。将一条轨道固定
在竖直平面内，
段是粗糙的水平面，间距
，与物块间动摩擦因数均为
，
段光滑，其中斜面
在
点通过光滑圆弧与水平面连接，在
点与圆弧轨道
相切（
点为圆心，
为圆弧最高点），其中
段对应的圆心角
，圆弧半径
，小
物块
静止于
处，质量
的小物块
以速度
从
点向
运动，到达
点与
发生弹性碰撞，碰后
运动到圆弧轨道的最高点
时对轨道的压力大小等于
所受重
力的
，小物块视为质点，重力加速度
，
，
，求：
(1)物块
在
点的速度大小；
(2)物块
的质量大小；
(3)若仅改变物块
的质量，
与
碰后物块
仍能沿轨道
运动到
，求物块
质量的
取值范围。
23．（2025·湖北荆州·三模）一工人通过传送带输送质量
的货物，传送带与水平面
夹角
，以
的速度顺时针运行，传送带与转轴无相对滑动，转轴的半径
。工人将货物轻放在传动带上切点A 处，货物与传送带间动摩擦因数为
，
货物到达传送带上切点B 时恰好与传送带相对静止，随后水平抛出。货物从传送带离开后掉
落到静止在光滑水平地面的小车上，立即与小车共速并一起向右运动，小车碰到弹簧后停止
运动，随后工人拿走货物。已知小车质量
，弹簧劲度系数为
，重力
加速度为
，弹簧的形变量为x 时，弹性势能为
，货物可看成质点。求：
(1)货物在传送带上运动时，电动机多消耗的电能；
(2)货物与小车一起向右运动时的速度；
(3)小车碰到弹簧后货物不相对小车滑动，货物与小车间的动摩擦因数不能小于多少？
24．（2025·广西南宁·模拟预测）如图所示，三个质量均为1kg 可视为质点的弹性小球A、
B、C 组成系统，用两根长均为1m 的轻绳连成一条直线，此时A、C 距离最远且静止在光滑
水平面上。现给中间的小球B 一个水平初速度
，方向与绳垂直。小球相互碰撞时无
机械能损失，轻绳不可伸长。则（ ）
A．该系统机械能守恒，动量也守恒
B．运动过程中小球A 的最大动能为4.5J
C．当A、C 再次相距最远时，小球B 的速度为1m/s
D．当A、C 再次相距最远时，绳中的拉力F 的大小为9N
25．（2025·陕西安康·模拟预测）如图所示，在光滑水平面上固定有一半径为
的
四分之一光滑圆弧轨道。轨道末端与长木板B 的上表面相切（木板和轨道接触但不连接）。
木板B 的质量
，其右端距离竖直固定挡板C 的距离为s。质量为
的物
块A 从轨道顶端由静止释放，滑过轨道末端后滑上木板B。已知物块A 与木板B 之间的动摩
擦因数为
。假设木板B 足够长，物块A 始终在木板上运动，且木板B 与挡板C 之间
的碰撞无动能损失，碰撞时间可忽略不计，重力加速度大小取
。
(1)求物块A 在到达圆弧轨道末端时对轨道的压力大小。
(2)若
，求木板B 第一次与挡板C 碰撞前瞬间的速度大小。
(3)若将长木板B 的质量调整为
，且长木板B 只能与挡板C 碰撞两次，其他条件不
变，求s 的取值范围（结果保留2 位小数）。
26．（2025·陕西安康·模拟预测）如图所示，在光滑水平面上竖直固定两根弹性立柱M、N，
一质量为m 的水平薄板左端紧靠立柱M，另一质量也为m 的物块在薄板上从距离薄板左端
处以
的速度向左运动。物块与立柱M 碰撞后被弹回，在薄板与立柱N 碰
撞前物块与薄板已相对静止，最终物块恰好没有从薄板上掉落。已知物块与薄板之间的动摩
擦因数为
，物块、薄板和立柱间的碰撞时间均极短且无能量损失，立柱M、N 被碰撞
一次后立即被撤走，物块可视为质点，取重力加速度
。求：
(1)物块与弹性立柱M 碰撞时的速度大小
；
(2)初始，薄板右端到立柱N 的最小距离d；
(3)薄板的长度L。
27．（2025·陕西安康·模拟预测）如图所示，固定在竖直面内的光滑细管道顶部有质量分别
为
的小球A 和B，两小球受到微小扰动后同时由静止开始沿管道的两侧滑下，相遇后
发生弹性碰撞，碰撞时间极短。已知两小球均可视为质点，管的内径略大于两小球的直径，
对小球下滑之后的运动判断正确的是（ ）
A．在小球下滑至与管道圆心等高之前，管道对小球的支持力一定沿半径向外
B．碰前，管道受到两小球的最大压力为
C．只有满足
时，两小球才能在最低点发生碰撞后同时返回最高点
D．若碰撞后小球B 返回管道最高点时对管道恰好无压力，则
28．（2025·甘肃平凉·模拟预测）如图所示，光滑水平面上放置半径为
的四分之一
光滑圆弧轨道C，轨道C 左侧放置长度为
的长木板B，木板B 右端距轨道C 左端
距离
，木板B 上表面与轨道C 最低点等高，小滑块A（可视为质点）静止放置在木
板B 的左端，现对小滑块A 施加
向右的拉力，滑块A 与木板B 间的动摩擦因数为
，当木板B 与轨道C 相碰立即黏合到一块时，立即撤去拉力F，已知滑块A、木板
B、轨道C 的质量均为
，重力加速度g 取
，不计空气阻力，求：
(1)拉力F 的作用时间；
(2)滑块A 经过轨道C 最底端时对轨道的压力；
(3)滑块A 距轨道C 最底端的最大高度及轨道C 的最大速度。
29．（2025·甘肃平凉·模拟预测）如图所示，在足够大空间有长度
的竖直竹筒，竹筒
下端密封，竹筒正上方
处有金属球，金属球直径略小于竹筒内径，由静止释放金
属球0.5s 后再无初速释放竹筒，金属球与竹筒质量相等，两者碰撞时间极短可忽略不计，碰
撞过程能量不损失，重力加速度g 取
，不计空气阻力，下列说法正确的是（ ）
A．碰撞前金属球速度大小为12
，竹筒速度大小为10
B．碰撞过程中金属球和竹筒加速度大小近似相等
C．金属球在竹筒中的运动时间为0.8s
D．若金属球与竹筒质量不相等，则金属球在竹筒中运动时间不变
30．（2025·河北·模拟预测）如图木板P 与四分之一圆弧滑块Q 靠在一起（未拴接）置于足
够长水平地面上，木板右端B 与圆弧最低点平滑相切。某时刻小物块从木板左端A 以初速度
冲上木板，整个运动过程中Q 都未滑动。已知小物块与木板质量均为m=2kg，木
板长为L=0.4m，下表面光滑，上表面材料特殊，与小物块间动摩擦因数随距左端A 距离满足
关系式：
；滑块Q 圆弧表面光滑，半径为R=0.1m，下表面与地面间动摩擦
因数为
，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度
，忽略空气阻力的
影响。整个运动过程中，Q 始终静止。求：
(1)小物块经过B 点时的速度；
(2)Q 的质量M 至少为多少？
(3)最终小物块与B 端的距离。
